3.2 三维波动方程初值问题ppt课件
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3.2 三维波动方程初值问题
表达的 u(x,y,z,t) 在 R3 (0, ) 内二阶连续可微，且为三
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
维齐次波动方程初值问题的古典解。
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u3 0, 因此 u xzt yz.
2.3 泊松公式的物理意义
由泊松公式可见，定解问题(2.1)的解在M(x,y,z)点 t 时刻
的值，由以 M 为中心，at 为半径的球面 SaMt 上的初始值而
确定。
这是由于初值的影响是以速度 a 在时间 t 内从球面 SaMt 上
传播到 M 点的缘故。
设初始扰动限于空间某区域 内，(即在 外 0, 0 ),
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
波动方程和行波法剖析课件
波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。
波动大学物理-PPT文档资料
Y(x,t)的函数形式称为波函数，它也就 是波传播时媒质质元的运动函数。
x 称为行波的波函数。 y (x ,t） f （ t ） u
(二) 简谐波(波函数) 一、一维简谐波的表达式(波函数) 讨论:沿+x方向传播的一维简谐波(u , )
波速ｕ 假设 : 媒质无吸收 参考点 a 任一点p (质元振幅均为A) o ·x d · 已知:参考点a的振动表达式为 x
§1
机械波的产生和传播
一. 机械波的产生 1. 产生条件: 波源 媒质 2. 弹性波: 机械振动在弹性媒质中的传播 • 横波 • 纵波 3. 简谐波: 波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元均作简谐振动 。
· · · · · · · ·t = 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · ·t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t=T · · · · ·· ·
结论：
u
a b 沿波的传播 · · 方向 , 各质元的相 x 位依次落后。 2 图中b点比a点的相位落后 x
传播方向
x
三. 波形曲线(波形图) y u t • 不同时刻对应有 o 不同的波形曲线 • 波形曲线能反映横 波 纵波的位移情况 四. 波的特征量 1.波长 : 两相邻同相点间的距离 2. 波的频率 : 媒质质点(元)的振动频率 即单位时间传过媒质中某点的波的个数 3. 波速u : 单位时间波所传过的距离
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
波动方程初始问题的求解
当 1/2a t 3/4a
x, 1 2 at , u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ), 0 x1 2 at 1 2 at x 1 at 1 at x at at x 1 2 at
第二节 特征线方法
弦振动方程的初始问题
2 2u u 2 a , x , t 0 t 2 2 x u ( x, 0) ( x), x ut ( x, 0) ( x),
等价问题
u u a v, t x x , t 0 v a v 0, x t u ( x, 0) ( x), v( x, 0) ( x) a ( x), x
第四节 球平均法
三维波动方程的初始问题
p x, y , z R 3 , t 0 p x, y , z R 3
2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 , y z t x u ( p, 0) ( p), u ( p, 0) ( p), t
r
p
M u ( p,0, t ) u( p, t )
M ( p,0) ( p)
M ( p,0) ( p)
2 2 rM u 2 a rM u , r R, t 0 2 2 t r rM u ( p, r , 0) rM ( p, r ), rR rM u ( p, r , 0) rM ( p, r ), t
依赖区间
影响区域
§32三维波动方程的泊松公式
3
3.2.1 三维波动方程的球对称解 如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
2 1 2 u 1 1 u u r 2 sin q 2 2 2 2 r r r r sin q q q r sin q
1
2 u (r , t ) 4 a r r r
2
14
或
u (r , t ) a 2 u (r , t ) 2 r 2 t r r r
2 2 2
1 2 u (r , t ) 1 (ru (r , t )) 但 r 2 2 r r r r r 2 2 (ru (r , t )) 2 ( ru ( r , t )) a 故得 2 2 t r 这是关于 ru (r , t ) 的一维波动方程 , 它的通解 为 ru (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ), (3.27)
2 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为 ru=f1(r+at)+f2(rat). 或 f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
5
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
这就是三维波动方程的关于原点为球对称的 解, 其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数, 这两个函数可以用指定的初始条件来确定.
18
令r0, 并利用洛必达(L'Hospital)法则得到
(at ) t1 (at ) u (0, t ) 0 (at ) at0 1 2 0 ( x at sin q cos , y at sin q sin , z at cos q ) a t 0 0 at (at ) 2 sin q d d q t 4
3.2.1 三维波动方程的球对称解 如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
2 1 2 u 1 1 u u r 2 sin q 2 2 2 2 r r r r sin q q q r sin q
1
2 u (r , t ) 4 a r r r
2
14
或
u (r , t ) a 2 u (r , t ) 2 r 2 t r r r
2 2 2
1 2 u (r , t ) 1 (ru (r , t )) 但 r 2 2 r r r r r 2 2 (ru (r , t )) 2 ( ru ( r , t )) a 故得 2 2 t r 这是关于 ru (r , t ) 的一维波动方程 , 它的通解 为 ru (r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ), (3.27)
2 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为 ru=f1(r+at)+f2(rat). 或 f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
5
f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r
这就是三维波动方程的关于原点为球对称的 解, 其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数, 这两个函数可以用指定的初始条件来确定.
18
令r0, 并利用洛必达(L'Hospital)法则得到
(at ) t1 (at ) u (0, t ) 0 (at ) at0 1 2 0 ( x at sin q cos , y at sin q sin , z at cos q ) a t 0 0 at (at ) 2 sin q d d q t 4
波动方程第二章PPT课件
A0 α
σn
▪ 正应力亦称作直应力， 以σ或σn表示。
▪ 正应力可以是压应力， 也可以是张应力。
▪ 正应力符号规定：
• 压应力为正 • 张应力为负 • 与材料力学中的规定相反
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9
剪应力
Aα σα
A0 α τ
▪ 剪应力亦称作切应力，以τ或 σs表示。可分解为x和y方向的 两个互相垂直的切应力分量 σxn和σyn。
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21
2.2.4 应变分析
一个点在所有方向上的无穷小伸长度就构成了该点的 应变状态。 研究应变时，必须假设形变是很小的，即
2 固体弹性力学的基本理论
本章包括：
▪ 应力分析 ▪ 应变分析 ▪ 应力与应变关系,弹性参数弹性 ▪ 弹性波的波动方程：Navier方程、纵波传
播方程、横波传播方程
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1
2 固体弹性力学的基本理论
▪ 地震波可视为弹性波。
▪ 弹性波在弹性介质中传播时，波经过的介质产生 两种类型的变化——
▪ 内部应力的重新分布；
➢ 应力定义为单位面积上所受的内力。应力并 不是一个力，因为它的量纲不是力而是单位 面积上的力。
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5
2.1 应力分析
▪ 应力的方向与作用力的方向一致 ▪ 应力的大小
• σ= P(作用力) / A( 面积) • 或dP / dA（当应力分布不均匀时）
▪ 对应力概念其它方式的理解
• 力的强度 • 类似的表达：压强，密度 …
▪ 剪应力符号规定：
• 使物体沿逆时针方向旋转的 剪应力为正
• 使物体沿顺时针方向旋转的 剪应力为负
• 与材料力学中的规定相反
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( )d
xat
1
其中 2at
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
8
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
r at 0.
2ar atr
7
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
4
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
6
1 2r
[(r
at
) (r
at)(rFra bibliotekat)
(r
at)]
u(r, t )
1
[(r
1
r at
( )d,
2ar rat
at)(r at) (at r)(at
r at r)]
0;
2r
1
r at
( )d,
4 a2 t SaMt
t
4 a2 SaMt
t
——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式
其中 SaMt 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。 为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面 SaMt
的方程为 ( x)2 ( y)2 ( z)2 (at)2.
设 P(, , ) 为球面上的点，则
5
其中F(r + at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r -at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。 从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,t 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
Partial Differential Equations
Autumn 2013
Instructor : Y. Huang ylhuang@
Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST
x at sin cos, y at sin sin, dS a2t2 sin d d z at cos ,
10
于是
u(x,
y,
z,t)
t
t
4
1 a 2t 2
2 0
0
(
,
,
)a
2t
2
sin
d
d
+t
4
1 a2t
2
2 0
(, , )a2t2 sin d d
0
t
[ru (r,t)]tt a2[ru (r,t)]rr (2.8) 设 BrM 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两 边在 BrM 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有
uttdxdydz a2 [(ux )x (uy )y (uz )z ]dxdydz
乙 1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
乙 u(x, y, z,t)
t
1
(, , )dS +t
1
(, , )dS
t 4 a2t2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
9
乙 1 (, , ) dS+ 1 (, , ) dS, (2.5)
一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有
关的球对称函数 u , 通过 u 把 u 求出来。
考虑 u 在球面 SrM 上的平均值，即
乙 u(r,t) 1 udS 1 u(, , ,t)d, (2.7)
4 r2 SrM
4 S1M
x r sin cos, 其中 y r sin sin,
z r cos ,
r 0, 0 , 0 2 ,
12
是球面 SrM 上的点的坐标， d 是单位球面上的面积元，且 有 dS r2 sin d d r2d ，则
u(M ,t) u(x, y, z,t) limu(r,t) u(0,t) ——球平均法 r 0
下面证明 ru 满足一维波动方程
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
(2.3)
(ru)tt rutt a2 (rurr 2ur ) a2 (ru)rr , 令 ru = v,则有 vtt a2vrr , 其通解可表示为
v F(r at) G(r at), r 0,t 0,
t
4
2 0
(x at sin cos, y at sin sin,
0
z at cos )sindd t
2
(x at sin cos,
4 0 0
y at sin sin, z at cos )sin d d. (2.6)
11
(2) Poisson公式(5)的推导
推导思路——球平均法
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
3
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
即
y
r
sin
sin ,
1
§3.2 三维波动方程初值问题
三维齐次波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和
球平均法 泊松公式的物理意义 三维非齐次波动方程的初值问题
和推迟势
2
2. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播， 称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
xat
1
其中 2at
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
8
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
r at 0.
2ar atr
7
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
z r cos
0 r ,0 ,0 2 ,
则方程(2.1)可化为
utt
a2
1 r2
r
r
2
u r
1
r2 sin
sin
u
1
r2 sin
2u
2
(2.2)
4
所谓球对称解，是指在球面上各点的值都相等的解(设球心
为原点)，即 u(x, y, z,t) u(r,t) 与 和 无关。
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
6
1 2r
[(r
at
) (r
at)(rFra bibliotekat)
(r
at)]
u(r, t )
1
[(r
1
r at
( )d,
2ar rat
at)(r at) (at r)(at
r at r)]
0;
2r
1
r at
( )d,
4 a2 t SaMt
t
4 a2 SaMt
t
——三维齐次波动方程初值问题的Poisson公式
其中 SaMt 为M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面。 为简化计算，将公式(2.5)在球坐标下化为累次积分，球面 SaMt
的方程为 ( x)2 ( y)2 ( z)2 (at)2.
设 P(, , ) 为球面上的点，则
5
其中F(r + at)是沿 r 负方向传播，为收敛波，G(r -at)是沿 r 正方向传播的行波，为发散波。 从而，
u(r,t) F(r at) G(r at) , r 0,t 0, r
其中 F,G 是任意两个二阶连续可微函数。 若考虑初始条件
u(r, 0) (r),ut (r, 0) (r), r 0, (2.4)
Partial Differential Equations
Autumn 2013
Instructor : Y. Huang ylhuang@
Room 721, Shangxian Building School of Mathematics & Statistics, NUIST
x at sin cos, y at sin sin, dS a2t2 sin d d z at cos ,
10
于是
u(x,
y,
z,t)
t
t
4
1 a 2t 2
2 0
0
(
,
,
)a
2t
2
sin
d
d
+t
4
1 a2t
2
2 0
(, , )a2t2 sin d d
0
t
[ru (r,t)]tt a2[ru (r,t)]rr (2.8) 设 BrM 表示中心在 M 的半径为r的球域。对方程(2.1)的两 边在 BrM 上积分，并利用高斯公式及(2.7)，有
uttdxdydz a2 [(ux )x (uy )y (uz )z ]dxdydz
乙 1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
4 a2t 2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
则问题(2.1)的解应该是(待证)
乙 u(x, y, z,t)
t
1
(, , )dS +t
1
(, , )dS
t 4 a2t2 SaMt
4 a2t 2 SaMt
9
乙 1 (, , ) dS+ 1 (, , ) dS, (2.5)
一般情况下，ru 未必满足一维波动方程。设法找一个与u有
关的球对称函数 u , 通过 u 把 u 求出来。
考虑 u 在球面 SrM 上的平均值，即
乙 u(r,t) 1 udS 1 u(, , ,t)d, (2.7)
4 r2 SrM
4 S1M
x r sin cos, 其中 y r sin sin,
z r cos ,
r 0, 0 , 0 2 ,
12
是球面 SrM 上的点的坐标， d 是单位球面上的面积元，且 有 dS r2 sin d d r2d ，则
u(M ,t) u(x, y, z,t) limu(r,t) u(0,t) ——球平均法 r 0
下面证明 ru 满足一维波动方程
故当 u 是球对称函数时，方程(2.2)可化为
utt
a2
urr
2 r
u r
,
或者等价地写成
r 0,t 0
(2.3)
(ru)tt rutt a2 (rurr 2ur ) a2 (ru)rr , 令 ru = v,则有 vtt a2vrr , 其通解可表示为
v F(r at) G(r at), r 0,t 0,
t
4
2 0
(x at sin cos, y at sin sin,
0
z at cos )sindd t
2
(x at sin cos,
4 0 0
y at sin sin, z at cos )sin d d. (2.6)
11
(2) Poisson公式(5)的推导
推导思路——球平均法
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
3
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
即
y
r
sin
sin ,
1
§3.2 三维波动方程初值问题
三维齐次波动方程的球对称解 三维齐次波动方程的泊松公式和
球平均法 泊松公式的物理意义 三维非齐次波动方程的初值问题
和推迟势
2
2. 三维波动方程初值问题
三维波动方程可描述声波、电磁波和光波等在空间中的传播， 称为球面波。 基本思路：将三维问题转化为一维问题
2.1 三维齐次波动方程的球对称解