河南2019年中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
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则 AE 的长为________．
8．(2017·洛阳一模)在菱形 ABCD 中，AB＝5，AC＝8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，过点 P 作 EF 垂直 AC 交 AD 于点 E，交 AB 于点 F，将△AEF 折叠，使点 A 落在点 A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP 的长 为______．
【分析】 当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论． 【自主解答】 当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点 D，E 分别为 AC，BC 的中点， ∴D、E 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°， ∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在 Rt△ A′CB 中，∵E 是斜边 BC 的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得 AB2＝BC2－AC2，∴AB＝ 82－42＝4
3．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点，F 是 BC 边上的动点，将△EBF 沿 EF 所在直线折 叠得到△EB′F，连接 B′D.则当 B′D 取得最小值时，tan∠BEF 的值为__________．
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4．(2017·河南模拟)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AB 上的任意一点(点 E 不与点 B 重合)，沿 DE 翻折△DBE 使点 B 落在点 F 处，连接 AF，则线段 AF 的长取最 小值时，BF 的长为_________．
9．(2018·濮阳一模)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D，E 为 AC，BC 上两个动点．若 将∠C 沿 DE 折叠，点 C 的对应点 C′恰好落在 AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时 CD 的长为 __________．
类型二 点的位置不确定 (2016·河南)如图，已知 AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将△ABE
沿 AE 折叠，点 B 落在点 B′处，过点 B′作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N.当点 B′为线段 MN 的三等 分点时，BE 的长为________．
【分析】 根据勾股定理，可得 EB′，根据相似三角形的性质，可得 EN 的长，根据勾股定理，可得答案．
【自主解答】 由翻折的性质，得 AB＝AB′，BE＝B′E.①当 MB′＝2，B′N＝1 时，设 EN＝x，得 B′E＝
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＋4
3 ，解得 x2＝2，BE＝B′E＝ 2 ＝ 2 ，故答案为： 2 或 5 .
1．如图，正方形 ABCD 的边长为 9，将正方形折叠，使 D 点落在 BC 边上的点 E 处，折痕为 GH.若点 E 是 BC 的三等分点，则线段 CH 的长是_______．
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2．(2018·林州一模)在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝9，点 E 是 AD 边上一动点，将边 AB 沿 BE 折叠，点 A 的 对应点为 A′.若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为 1∶3，则 AE 的长为__________． 3．(2015·河南)如图，矩形 ABCD 中，AD＝5，AB＝7，点 E 为 DC 上一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠，当点 D 的对应点 D′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为______．
例 3 题解图
【自主解答】 以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE，当点 A′在线段 CE 示．根据折叠可知：A′E＝AE＝2AB＝1.在 Rt△BCE 中，BE＝2AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝
BE2＋BC2＝ 10，∴A′C 的最小值＝CE－A′E＝ 10－1.故答案为 10－1.
6．(2018·盘锦)如图，已知 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2 3＋4，点 M、N 分别在线段 AC、AB 上．将△ANM 沿直线 MN 折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上，当△DCM 为直角三角形时，折 痕 MN 的长为__________．
7．(2018·乌鲁木齐)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2 3，AC＝2，点 D 是 BC 的中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿 DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′DE 的位置，B′D 交 AB 于点 F，若△AB′F 为直角三角形，
3－2.
15 15 2. 8 或 7 【解析】在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3.沿直线 EF 将∠B 折叠，使点 B
恰好落在 BC 上的 D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE＝DE，设 BE＝x，则
DE AE x 5－x
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DE＝x，AE＝5－x，①当∠ADE＝90°时，则 DE∥BC，∴CB＝AB，∴3＝ 5 ，解得 x＝ 8 ；②当∠AED＝90°
4．(2018·新乡一模)菱形 ABCD 的边长是 4，∠DAB＝60°，点 M、N 分别在边 AD、AB 上，且 MN⊥AC，垂足 为 P，把△AMN 沿 MN 折叠得到△A′MN.若△A′DC 恰为等腰三角形，则 AP 的长为____________．
5．(2017·三门峡一模)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点 D 是 BC 上一动点，连接 AD，将△ACD 沿 AD 折叠，点 C 落在点 C′，连接 C′D 交 AB 于点 E，连接 BC′.当△BC′D 是直角三角形时， DE 的长为______．
类型一
参考答案
针对训练 1. 3＋1 或 2 3－2 【解析】(1)当点 E 在边 AD 上时，过点 E 作 EF⊥CD 于 F，如解图①，设 CF＝x，
第 1 题解图① ∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形，∴∠DCD′＝90°.由折叠可知， ∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF＝x，在直角三角形 DEF 中，∠D＝30°， ∴DE＝2x，∴DF＝ 3x，∴CD＝CF＋DF＝x＋ 3x＝2，解得 x＝ 3x－1，∴DE＝2x＝2 3－2. (2)当 E 在 DA 的延长线上时，如解图②.
DE AE x 5－x
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时，则△AED∽△ACB，∴BC＝AC，∴3＝ 4 ，解得 x＝ 7 ，故所求 BE 的长度为： 8 或 7 .
11 3.2 2＋2或 1 【解析】①如解图①，当∠B′MC＝90°，B′与 A 重合，M 是 BC 的中点，
11 1 ∴BM＝2BC＝2 2＋2；②如解图②，当∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是 等腰直角三角形，∴CM＝ 2MB′.∵沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点为
如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将△AEF
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沿 EF 所在直线翻折，得到△A′EF，则 A′C 的长的最小值是________．
【分析】 以点 E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接 CE.当点 A′在线段 CE 上时，A′C 的长取最小值，根据 折叠的性质可知 A′E＝1，在 Rt△BCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度，用 CE－A′E 即可求出结论．
第 1 题解图② 过点 B 作 BF⊥DA 于点 F，根据折叠可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形 BD′C 是等边三角形，∴D′E 垂直平分 BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝ 3.令 D′E 与 BC
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1 的交点为 G，则易知 EF＝BG＝2BC＝1，∴AE＝ 3－1，∴DE＝ 3＋1，综上所述，DE 的长度为 3＋1 或 2
6．(2018·河南模拟)如图，△ABC 中，AB＝ 5，AC＝5，tan A＝2，D 是 BC 中点，点 P 是 AC 上一个动点， 将△BPD 沿 PD 折叠，折叠后的三角形与△PBC 的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半，则 AP 的长为 ____________．
7．在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝12，点 E 在边 BC 上，且 BE＝2CE，将矩形沿过点 E 的直线折叠，点 C，D 的对应点分别为 C′，D′，折痕与边 AD 交于点 F，当点 B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF 的长为 __________________． 类型三 根据图形折叠探究最值问题
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2．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F 分别为 AB、AC 上的点，沿直线 EF 将∠B 折叠， 使点 B 恰好落在 AC 上的 D 处．当△ADE 恰好为直角三角形时，BE 的长为______．
3．(2017·河南)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝ 2＋1，点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动 点，沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′始终落在边 AC 上．若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的 长为__________．
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专题三 几何图形的折叠与动点问题
类型一 与特殊图形有关 (2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点 C 在边 AM 上，AC＝4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，△
A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E.当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为________．
3；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述， AB 的长为 4 3或 4.
河南省中考数学压轴题全揭秘 专题03 折叠与落点有迹性(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题03 折叠与落点有迹性【例题】（2018·河师大附中模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =5，BC =8，点P 是射线BC 上一动点，连接AP ，将△ABP 沿AP 折叠，当点B 的对应点B ’落在线段BC 的垂直平分线上时，则BP 的长等于【答案】10或52. 【解析】解：点B ’的运动轨迹是以点A 为圆心以AB 的长为半径的圆，圆与BC 的垂直平分线的交点即为所求的落点B ’，如图作出图形，分两种情况计算：①连接BB ’，过B ’作B ’E ⊥BC 于E ，如下图所示，B由题意知，BB ’=B ’C ，BP =B ’P ，BE =EC =4，BB ’⊥AP ，∴∠B ’BC =∠B ’CB ，∠B ’BC +∠APB =90°，∠B ’CB +∠CB ’E =90°，∴∠APB =∠CB ’E ，∴△CB ’E ∽△APB ， ∴'AB BP CE B E=,即54'BP B E =， 设BP =x ，则B ’P =x ，EP =4－x ，B ’E =45x ， 在Rt △B ’PE 中，由勾股定理得：()222445x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 解得：x =10（舍）或x =52， 即BP =52； ②过A 作AH ⊥MN 于H ，如图所示，∵AB =AB ’=5，AH =4，GH =5,∴B ’H =3，B ’G =8，设BP =x ，则B ’P =x ，PG =x －4，在Rt △PGB ’中，由勾股定理得：()22284x x =+-，解得：x =10，即BP =10;综上所述，答案为：10或52. 【变式】（2019·偃师一模）如图，在边长为 3 的等边三角形ABC 中，点D 为AC 上一点，CD =1，点EM为边AB 上不与A ，B 重合的一个动点，连接DE ，以DE 为对称轴折叠△AED ，点 A 的对应点为点 F ，当点 F 落在等边三角形ABC 的边上时，AE 的长为．【答案】1或5.【解析】解：第一步：确定落点，点F 在以D 为圆心，以线段AD 的长为半径的弧上，如下图所示，第二步，根据落点确定折痕（对称轴）（1）∵AD =DF =2，∠A =60°，∴△ADF 是等边三角形，∵DE 平分∠ADF ，∴AE =EF =1；（2）如下图所示，由对称知，∠EFD =∠A =60°，∴∠EFB +∠DFC =120°，∵∠DFC +∠FDC =120°，∴∠EFB =∠FDC ，∵∠B =∠C =60°，∴△BEF ∽△CFD ，BCF DF CD设AE =x ，则BE =3－x ， 即321x x BF CF -==, ∴BF =2x ，CF =()23x x -， ∵BF +CF =3， 即2x +()23x x -=3，解得：x x =5，综上所述，答案为：1或51.（2019·某某二模）如图，P 是边长为 3 的等边△ABC 的边 AB 上一动点，沿过点 P 的直线折叠∠B ，使点 B 落在 AC 上，对应点为 D ，折痕交 BC 于点 E ，点 D 是 AC 的一个三等分点，PB 的长为．【答案】1或5.【解析】解：第一步确定落点，AC 的三等分点有两个，所以有两种情况；第二步根据落点确定折痕，方法：作BD 的垂直平分线即为折痕所在的直线；（1）如下图所示，由折叠性质得：∠B =∠EDP =60°，∴∠CDE +∠ADP =120°，∵∠A =∠C =60°，∴∠ADP +∠APD =120°，∴∠APD =∠CDE ，∴△CED ∽△ADP ， ∴CE CD DE AD AP DP==， 设BP =DP =x ，则AP =3－x ，13x x-∴CE=23x-，DE=23xx-，∵DE=BE，∴CE+DE=CE+BE=3，即23x-+23xx-=3，解得：x=75；（2）如下图所示，当CD=1时，同理可得：∴CE CD DE AD AP DP==，设BP=DP=x，则AP=3－x，∴123CE DEx x==-，∴CE=23x-，DE=3xx-，∴23x-+3xx-=3，解得：x=74；综上所述，PB的长为75或74.2.（2017·新野一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=6，E．F分别是线段AD，BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为．【答案】4或4﹣．【解析】解：如图1所示：由翻折的性质可知PF=CF=4，∵ABFE为正方形，边长为2，∴AF．∴PA=4﹣．如图2所示：由翻折的性质可知PF=FC=4．∵ABFE为正方形，∴BE为AF的垂直平分线．∴AP=PF=4．故答案为：4或4﹣．3.（2018·某某一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE F在AD 上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为．【答案】4或【解析】解：第一步，确定落点，以E 为圆心，AE 的长为半径画弧，与BC 的垂直平分线的交点即为A ’，第二步，作出折痕，求解.(1) 如下图所示，由折叠性质知：A ′E =AE，AF =A ′F ，∠FA ′E =∠A =90°，AM =12AD =3， 过E 作EH ⊥MN 于H ，则四边形AEHM 是矩形，∴MH =AE由勾股定理得：A ′H∴A ′M由MF 2+A ′M 2=A ′F 2，得（3﹣AF ）2+）2=AF 2，解得：AF =2，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EF =4；（2）如下图所示，可得：A′E=AE AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH=AG，HG=AD=6，A′H=A′G=3，在Rt△A’EG中，由勾股定理得：EG∴DH=AG=AE+EG在Rt△A’HF中，由勾股定理得：A′F=6，在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF；故答案为：4或4.（2019·某某二模）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为．【答案】8+，8-【解析】解：由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE，∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，∠C′BE＝30°，①当点C′在B、D’之间时，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝′CEF，∴∠C′EF＝∠CEF＝60°，∵AD∥BC∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，GF＝∴AF②当点D′在B、C’之间时，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同理可得：AF＝8﹣故答案为：8+或8-5.（2019·某某模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为．【答案】15或53.【解析】解：第一步：确定落点，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交射线CD于B’，分两种情况讨论；第二步，根据落点作出折痕，求解；（1）如下图所示，由折叠知：AB ′＝AB ＝5，B ′E ＝BE ， ∴CE ＝3﹣BE ，∵AD ＝3，∴DB ′＝4，B ′C ＝1，由勾股定理知：B ′E 2＝CE 2+B ′C 2， ∴BE 2＝（3﹣BE ）2+12，∴BE ＝53；（2）如下图所示，AB ′＝AB ＝5，∵CD ∥AB ，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，A CE∴∠2＝∠3，∵AE 垂直平分BB ′，∴AB ＝BF ＝5，∴CF ＝4，∵CF ∥AB ，∴△CEF ∽△ABE ， ∴CF CE AB BE=， 即453CE CE =+， ∴CE ＝12，∴BE ＝15， 故答案为：53或15．6.（2019·某某模拟）如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点（不与点A ，B 重合），若点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形ABC 的边上，则BN 的长为cm ．【解析】解：∵N 不与A 重合，∴B 落点不会在BC 上，分两种情况讨论：（1）当B 关于直线MN 的对称点B '落在AB 边上时，此时，MN ⊥AB ，即∠BNM =90°，∵△ABC 是等边三角形，AB ＝M 是BC 中点，∴∠B =60°，BM∴BN =12BM ； （2）当点B 关于直线MN 的对称点B '落在边AC 上时，则MN ⊥BB ′，可得：四边形BMB ′N 是菱形，∴BN ＝BM ＝12BC． 7.（2019·某某二模）在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A ′处，则AP 的长为． 【答案】32或94. 【解析】解：矩形对角线有两条，AC 、BD ，所以先以D 为圆心以AD 的长为半径作弧，与对角线AC 、BD 的交点即为A ’点；再作出AA ’的垂直平分线即为折痕；（1）点A 落在矩形对角线BD 上时，由AB ＝4，BC ＝3，得：BD ＝5，根据折叠的性质，AD ＝A ′D ＝3，AP ＝A ′P ，∠A ＝∠PA ′D ＝90°，∴BA ′＝2，设AP ＝x ，则BP ＝4﹣x ，由勾股定理得：BP 2＝BA ′2+PA ′2，（4﹣x ）2＝x 2+22，解得：x ＝32， ∴AP ＝32； ②点A 落在矩形对角线AC 上，根据折叠的性质可知：DP ⊥AC ，易证：∠ACB =∠APD ，∴tan ∠ACB = tan ∠APD ，∴AP ＝AD BC AB=94． 故答案为：32或94. 8.（2019·枫杨外国语三模）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝8，AD ＝6，点E 、F 分别是边AB 、CD 上的动点，将该四边形沿折痕EF 翻折，使点A 落在边BC 的三等分点处，则AE 的长为．【答案】32或94. 【解析】解：第一步确定落点，因为BC 的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，第二步，确定落点后，画出折痕EF ，求解.(1)如下图所示过点A ’作A ’H ⊥AB 交AB 的延长线于H ，则∠A ’BH =60°，∵A ’B =2，∴BH =1，A ’H设AE =A ’E =x ，则BE =8－x ，EH =9－x ，在Rt △A ’EH 中，由勾股定理得：()2229x x =-+，解得：x =143， 即AE =143; （2）如下图所示，过点A ’作A ’H ⊥AB 交AB 的延长线于H ，则∠A ’BH =60°，∵A ’B =4，∴BH =2，A ’H,设AE =A ’E =x ，则BE =8－x ，EH =10－x ，在Rt △A ’EH 中，由勾股定理得：()(22210x x =-+，解得：x =5.6， 即AE =5.6; 综上所述，答案为：143或5.6. 9.（2019·中原名校大联考）如图，边长为1的正方形ABCD ，点P 为边AD 上一动点（不与点A 重合）．连接BP ，将△ABP 沿直线BP 折叠，点A 落在点A ′处，如果点A ′恰好落在正方形ABCD 的对角线上，则AP 的长为．1.【解析】解：由题意知，A ’落在对角线BD 上，连接A 'D ，则B、A’、D在同一直线上，∴∠A＝∠PA'B＝∠PA'D＝90°，AP＝A'P，AB＝A'B=1，∴BD，∴DA'＝BD﹣BA'＝BD﹣AB1，由正方形性质知，∠PDA’=∠A’PD=45°，∴AP=A’P=A’D﹣1，﹣1．10.（2017·某某一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．【答案】(10,3).【解析】解：∵四边形A0CD为矩形，D（10，8），∴AD=BC=10，DC=AB=8，由折叠性质知：AD=AF=10，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF=6，∴FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，EF2=EC2+FC2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，∴点E的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）．。
中考数学压轴题：几何图形的折叠与动点问题
几何图形的折叠与动点问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C 落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H ＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22＝22，∴AP2＝P2F－AF＝4－2 2 .第3题解图4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD 不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图511或513 【解析】如解图①所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′CB ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5＋HD＝112，解得：HD ＝511；如解图②所示，∵AD ∥BC ，∴△HB ′D ∽△HBC ，∴HD HC ＝DB ′BC ，∵AB ＝CD ＝5，BC ＝12，DB ′＝1，∴HD 5－HD＝112，解得：DH ＝513.故DH 的长度为511或513.5.如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N .当点B ′分线段MN 为3∶5的两部分时，EN 的长为________．第5题图 35511或53913【解析】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝3，B ′N ＝5时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 3＝x 2＋258，解得x 2＝4511，∴EN ＝x ＝35511；②当MB ′＝5，B ′N ＝3时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋9，由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 5＝x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．第6题图247或 83 【解析】在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD ＝10.由折叠得PE ＝EC ，PF ＝CF ，∠EPF ＝∠FCE ＝90°.∵∠PDF ＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD ＝90°时，∵∠FCE ＝∠FPE ＝∠PFC ＝90°，∴四边形PECF 是矩形．∵PF ＝FC ，∴四边形PECF 是正方形，∴PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DBC ，∴PF BC ＝DF DC .设FC ＝PF ＝x ，则DF ＝6－x ，∴x 8＝6－x 6，解得：x ＝247，即FC ＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF＝90°时，∵∠FPE＝∠FCB＝90°，∴此时点E与点B 重合，∴BP＝BC＝8，∴PD＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF＝∠DCB＝90°，∴△DPF∽△DCB，∴PFBC＝PDDC，即：PF8＝26，解得：PF＝83，∴FC＝83.综上所述，FC的长为247或83.第6题解图7.如图，正方形的边长为4，E是BC的中点，点P是射线AD 上一动点，过P作PF⊥AE于F.若以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似，则P A＝________．第7题图2或5【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP∽△ABE 时，则有∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴P A＝EB＝2；如解图②，当△PFE∽△ABE时，则有∠PEF＝∠AEB，又∵∠P AF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠P AF，∴PE＝P A，∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，∵AE＝42＋22＝25，PEAE＝EFEB，即PE25＝52，得PE＝5，∴P A＝5，∴当P A＝2或P A＝5时，以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于____________．第8题图2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB ＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；点M 是边AB 的一个三等分点．则△AOE 与△BMF 的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB时，S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF＝12×2＝1.∵BE ＝AE ，∴EF ＝12EA ′＝12AP ＝1，∴AP ＝2＝AC ，∴点P 与点C 重合，∴BP ＝BC ＝2 3.故BP 的长为2或2 3.第10题解图① 第10题解图②。
河南中招折叠专题
河南中招折叠专题一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C 落在DE所在直线上，则折痕的长度为．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF 绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC 沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF 沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB ∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度旋转α角后得到△A′B′Ｃ数是度，阴影部分的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP 交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为cm2．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′Ｂ，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′Ｄ平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为cm．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为．21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP 的长为．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D 处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．三．解答题（共1小题）39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P （3，﹣2）．【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==2，∴AP=4，∴m2+（2m）2=（4）2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=×2=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．3．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．【解答】解：如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．故答案为：3＜x＜7．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C 落在DE所在直线上，则折痕的长度为和．【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB==6，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD与△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，∵EM平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′Ｍ是△ECM沿EM折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′＝，∴，解得：x=，∴EM=PM=；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM=，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．故答案为：和．5．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF 绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为或或．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，∴BQ=BD=，QM=﹣2=，∴∠3=90°﹣∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，∴PN=，∴AP=+=；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，∴CP=，∴AP=3﹣=；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，∴AP=．故答案为或或．6．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC 沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′Ｅ，，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′Ｅ2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=．故答案为：．7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF 沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM===10，①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．8．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB ∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=，∴BN=BC﹣NC=1﹣=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′Ｎ2=A′Ｂ2﹣BN2=12﹣（）2=，所以，A′N==．故答案为：．9．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作⊥BC交BC于点PD′Ｐ∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．10．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD、APEF是正方形，∴A、E、C共线，①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，∴AE=AC﹣EC=1，∴AP=AE=．∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．故答案为﹣1或．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度旋转α角后得到△A′B′Ｃ数是60度，阴影部分的面积为．【解答】解：∵AC=A′Ｃ，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．，∴∠ACA′=60°﹣60°=30°，∴∠A′CB=90°∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，﹣30°=60°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°，∴∠CB′D=30°∴CD=CB′＝CB=×2=1，∴B′D==，∴S△CDB′=×CD×DB′＝×1×=，S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．12．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD 的长为．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′＝，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′＝，∴BD=CD′＝，故答案为：．13．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP 交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4﹣2、2或2．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵DC=AB=2，∴DH=2．在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH==2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣2、2或2．故答案为：4﹣2、2或2．14．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为2或cm2．【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2，如图2，等腰三角形的高为：=，则其面积为：×2×=．故答案为：2或．15．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′Ｂ，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=或1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则PP'=a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴CP'==，∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，AP=CP'=，当a=2时，AP=CP'=1，故答案为：或1．16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或4．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′Ｆ又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF的长度是或4．故答案为：或4．17．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′Ｐ，，∴FP=B′Ｐ∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，，∴GB′=AB′=AB=5∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′Ｇ，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴B′C==4，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′Ｇ的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′＝．故答案为：．18．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′Ｄ平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2﹣2．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，，∴AB=2，∠B=∠A′CB=45°①如图1，当A′Ｄ∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，，A′D=AD=x，∴∠A′＝∠A=∠A′CB=45°∵∠B=45°，⊥AB，∴A′Ｃ∴BH=BC=，DH=A′D=x，∴x+=2，∴x=2﹣2，∴AD=2﹣2；②如图2，当A′Ｄ∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD=A′Ｄ，AC=A′Ｃ，∠ACD=∠A′CD，∵∠A′DC=∠ACD，∴∠A′DC=∠A′CD，，∴A′D=A′Ｃ∴AD=AC=2，综上所述：AD的长为：2或2﹣2．19．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A2014（2014，2016）．故答案为：（2014，2016）．20．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为2πcm．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=3cm，设⊙I的半径为x，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，故3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，故⊙I的周长为2πcm．故答案为：2π．21．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为或﹣1．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=；②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=﹣1；故答案为：或﹣122．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6﹣π．【解答】解：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF==π，S△ABC=AD?BC=×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣π．故答案为：6﹣π．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP 的长为或．【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6，∴AD＜DF，故分两种情况：①如图所示，当FA=FD时，过F作GH⊥AD与G，交BC于H，则HG⊥BC，DG=AD=2，∴Rt△DFG中，GF==4，∴FH=6﹣4，∵DG∥PH，∴△DGF∽△PHF，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=；②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16；Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36；联立两式，解得FG=，∴FH=6﹣，∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH，∴△DFG∽△PFH，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=，故答案为：或．24．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD==5，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=cos∠ODC===．故答案为：．25．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．26．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为或．【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′Ｐ，∠A=∠PA′D=90°∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．27．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长为或．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，，∠D′BC=∠D′CB，∴D′B=D′Ｃ∴∠DCD′＝∠ABD′，在△DD′Ｃ和△AD′Ｂ中，，∴△DD′Ｃ≌△AD′Ｂ，∴DD′=AD′，，∴DD′=AD′=AD∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=AE，设DE=x，则AE=2x，（2x）2﹣x2=42，解得：x=，即DE=．②：当CD'=CB时，如图，连接AC，由于AD'=4，CD'=4，而AC==＞4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，从而由勾股定理求得D'F===，又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，∴，即；解得x=综上，故答案为：或．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D 是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．③当BD=AB=2时，E（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．29．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D 处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或．【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，设AN=x，则CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案为：7或．30．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE 折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为2或1．【解答】解：连接B′Ｄ，过点B′作B′Ｍ⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′Ｍ2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故答案为：2或1．31．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是2．【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）．将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣得：x=﹣2．即G的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．故答案为：2．32．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为或．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴FN==，∴CN=CF+NF=+=；②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴NF==，∴CN=NF﹣CF=﹣=，综上所述，CN的长为或．故答案为：或．33．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB?sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．34．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF?sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．35．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF的取值范围为≤CF≤3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x=，∴≤CF≤3．故答案为≤CF≤3．36．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B=60°，∴CK=BC?sin60°=4×=2 ，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2 ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE?sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC=，∴S△CEF=××2 =，故答案为．37．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，。
河南省2019年中考数学专题复习专题三 几何图形的折叠与动点问题训练(含答案)
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E.当△A′EF为直角三角形时，AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时，如解图①，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE ＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB 中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时，如解图②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为43或4.图①图②1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为D′，连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形，则DE＝________________.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、AC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为______．3．(2017·河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C 为直角三角形，则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4，∠DAB＝60°，点M、N分别在边AD、AB上，且MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形，则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C′，连接C′D交AB于点E，连接BC′.当△BC′D是直角三角形时，DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝23＋4，点M、N分别在线段AC、AB上．将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝23，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD 为等腰三角形时，AP的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E为AC，BC 上两个动点．若将∠C沿DE折叠，点C的对应点C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为__________．类型二点的位置不确定(2016·河南)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为________．【分析】 根据勾股定理，可得EB ′，根据相似三角形的性质，可得EN 的长，根据勾股定理，可得答案．【自主解答】 由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝2，B ′N ＝1时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋1.由△B ′EN ～△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 2＝x 2＋13，x 2＝45，BE ＝B ′E ＝45＋1＝355； ②当MB ′＝1，B ′N ＝2时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋22，△B ′EN ∽△AB ′M ，EN B′M ＝B′E AB′，即x 1＝x 2＋43，解得x 2＝12，BE ＝B ′E ＝12＋4＝322，故答案为：322或355.1．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使D 点落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若点E 是BC 的三等分点，则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝9，点E 是AD 边上一动点，将边AB 沿BE 折叠，点A 的对应点为A ′.若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则AE 的长为__________．3．(2015·河南)如图，矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上时，DE 的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为__________．5．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，点P是AB上(不含端点A，B)任意一点，把△PBC 沿PC折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图，△ABC中，AB＝5，AC＝5，tan A＝2，D是BC中点，点P是AC 上一个动点，将△BPD沿PD折叠，折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD 面积的一半，则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点E在边BC上，且BE＝2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，折痕与边AD交于点F，当点B，C′，D′恰好在同一直线上时，AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE.当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE －A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如解图所示．根据折叠可知：A ′E ＝AE ＝12AB ＝1.在Rt △BCE 中，BE ＝12AB ＝1，BC ＝3，∠B ＝90°，∴CE ＝BE 2＋BC 2＝10，∴A ′C 的最小值＝CE －A ′E ＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图，在边长为10的等边三角形△ABC 中，D 是AB 边上的动点，E 是AC 边的中点，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，连接BA ′，则BA ′的最小值是__________．2．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，如图，当A ′与点D 的距离最短时，△A ′PD 的面积为________．3．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F ，连接B ′D .则当B ′D 取得最小值时，tan ∠BEF 的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练 1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E 在边AD 上时，过点E 作EF ⊥CD 于F ，如解图①，设CF ＝x ，第1题解图①∵∠ABC ＝30°，∴∠BCD ＝150°.∵△BCD ′是等边三角形，∴∠DCD ′＝90°.由折叠可知，∠ECD ＝∠D ′CE ＝45°，∵EF ＝CF ＝x ，在直角三角形DEF 中，∠D ＝30°，∴DE ＝2x ，∴DF ＝3x ，∴CD ＝CF ＋DF ＝x ＋3x ＝2，解得x ＝3x －1，∴DE ＝2x ＝23－2.(2)当E 在DA 的延长线上时，如解图②.第1题解图②过点B 作BF ⊥DA 于点F ，根据折叠可知，∠ED ′C ＝∠D ＝30°，又∵三角形BD ′C 是等边三角形，∴D ′E 垂直平分BC ，∵AD ∥BC .∴D ′E ⊥AD ，∵∠ABC ＝30°∴∠BAF ＝30°，又∵AB＝2，∴AF ＝ 3.令D ′E 与BC 的交点为G ，则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1，∴AE ＝3－1，∴DE ＝3＋1，综上所述，DE 的长度为3＋1或23－2.2.158或157【解析】在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC ＝3.沿直线EF 将∠B 折叠，使点B 恰好落在BC 上的D 处，当△ADE 恰好为直角三角形时，根据折叠的性质：BE ＝DE ，设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝5－x ，①当∠ADE ＝90°时，则DE ∥BC ，∴DE CB ＝AE AB ，∴x 3＝5－x 5，解得x ＝158；②当∠AED ＝90°时，则△AED ∽△ACB ，∴DE BC ＝AE AC ，∴x 3＝5－x 4，解得x ＝157，故所求BE 的长度为：158或157.3.122＋12或1 【解析】①如解图①，当∠B ′MC ＝90°，B ′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝122＋12；②如解图②，当∠MB ′C ＝90°，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CMB ′是等腰直角三角形，∴CM ＝2MB ′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点为B ′，∴BM ＝B ′M ，∴CM ＝2BM .∵BC ＝2＋1，∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1，∴BM ＝1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①，当A ′D ＝A ′C 时，∠A ′DC ＝∠A ′CD ＝30°，∴∠AA ′D ＝60°.又∵∠CAD ＝30°，∴∠ADA ′＝90°，在Rt △ADA ′中，AA ′＝AD cos 30°＝432＝833，由折叠可得AP ＝12AA ′＝433；图①图②第4题解图②如解图②，当CD ＝CA ′＝4时，连接BD 交AC 于O ，则Rt △COD 中，CO ＝CD ×cos 30°＝4×32＝23，∴AC ＝43，∴AA ′＝AC －A ′C ＝43－4，由折叠可得AP ＝12AA ′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示，点E 与点C ′重合时．在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE ，则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x ，则BD ＝4－x .在Rt △DBE中，DE 2＋BE 2＝DB 2，即x 2＋22＝(4－x )2.解得x ＝32.∴DE ＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB ＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC ′，∠C ＝∠AC ′D ＝90°.∵∠C ＝∠AC ′D ＝∠CDC ′＝90°，∴四边形ACDC ′为矩形．又∵AC ＝AC ′，∴四边形ACDC ′为正方形．∴CD ＝AC ＝3.∴DB ＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA .∴DE AC ＝DB CB ＝14，即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动，∠DBC ′＜90°，故∠DBC ′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或6 【解析】分两种情况：①如解图①，当∠CDM ＝90°，△CDM 是直角三角形，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝23＋4，∴∠C ＝30°，AB ＝12AC ＝3＋2，由折叠可得，∠MDN ＝∠A ＝60°，∴∠BDN ＝30°，∴BN ＝12DN ＝12AN ，∴BN ＝13AB ＝3＋23，∴AN ＝2BN ＝233＋43，∵∠DNB ＝60°，∴∠ANM ＝∠DNM ＝60°，∴∠ANM ＝60°，∴AN ＝MN ＝23＋43.②如解图②，当∠CMD ＝90°时，△CDM 是直角三角形，由题可得∠CDM ＝60°，∠A ＝∠MDN ＝60°，∴∠BDN ＝60°，∠BND ＝30°，∴BD ＝12DN ＝12AN ，BN ＝3BD ，又∵AB＝3＋2，∴AN ＝2，BN ＝3，过N 作NH ⊥AM 于H ，则∠ANH ＝30°，∴AH ＝12AN ＝1，HN ＝3，由折叠可得∠AMN ＝∠DMN ＝45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴HM ＝HN ＝3，∴MN ＝6，故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C ＝90°，BC ＝23，AC ＝2，∴tan B ＝AC BC ＝223＝33，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点，沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B ′D ′E 的位置，B ′D 交AB 于点F ，∴DB ＝DC ＝3，EB ′＝EB ，∠DB ′E ＝∠B ＝30°.设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，EB ′＝4－x ，当∠AFB ′＝90°时，在Rt △BDF 中，cos B ＝BF BD ，∴BF ＝3cos 30°＝32，∴EF ＝32－(4－x )＝x －52.在Rt △B ′EF 中，∵∠EB ′F ＝30°，∴EB ′＝2EF ， 则4－x ＝2(x －52)，解得x ＝3，此时AE 为3；第7题解图当∠FB ′A ＝90°时，作EH ⊥AB ′于H ，连接AD ，如解图，∵DC ＝DB ′，AD ＝AD ，∴Rt △ADB ′≌Rt △ADC ，∴AB ′＝AC ＝2.∵∠AB ′E ＝∠AB ′F ＋∠EB ′F ＝90°＋30°＝120°，∴∠EB ′H ＝60°.在Rt △EHB ′中，B ′H ＝12B ′E ＝12(4－x )，EH ＝3B ′H ＝32(4－x )，在Rt △AEH中，∵EH 2＋AH 2＝AE 2，∴34(4－x )2＋[12(4－x )＋2]2＝x 2，解得x ＝145，此时AE 为145.综上所述，AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∠DAC ＝∠BAC .∵EF ⊥AA ′，∴∠EPA ＝∠FPA ′＝90°，∴∠EAP ＋∠AEP ＝90°，∠FAP ＋∠AFP ＝90°，∴∠AEP ＝∠AFP ，∴AE ＝AF .∵△A ′EF 是由△AEF 翻折，∴AE ＝EA ′，AF ＝FA ′，∴AE ＝EA ′＝A ′F ＝FA ，∴四边形AEA ′F 是菱形，∴AP ＝PA ′.①当CD ＝CA ′时，∵AA ′＝AC －CA ′＝3，∴AP ＝12AA ′＝32.②当A ′C ＝A ′D 时，∵∠A ′CD ＝∠A ′DC ＝∠DAC ，∴△A ′CD ∽△DAC ，∴A′C AD ＝DC AC，∴A ′C ＝258，∴AA ′＝8－258＝398，∴AP ＝12AA ′＝3916，故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①，当∠ADC ′＝90°时，∠ADC ′＝∠C ，第9题解图①∴DC ′∥CB ，∴△ADC ′∽△ACB .又∵AC ＝3，BC ＝4，∴AD DC′＝34，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝34，解得x ＝127，经检验：x ＝127是所列方程的解，∴CD ＝127；②如解图②，当∠DC ′A ＝90°时，∠DCB ＝90°，第9题解图②由折叠可得，∠C ＝∠DC ′E ＝90°，∴C ′B 与CE 重合，由∠C ＝∠AC ′D ＝90°，∠A ＝∠A ，可得△ADC ′∽△ABC ，在Rt △ABC 中，AB ＝5，∴AD C′D ＝AB CB ＝54，设CD ＝C ′D ＝x ，则AD ＝3－x ，∴3－x x ＝54，解得x ＝43，∴CD ＝43.综上所述，CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝9－x ，当BE ∶EC ＝2∶1时，BC ＝9，∴CE ＝13BC＝3.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.当BE ∶EC＝1∶2时，CE ＝23BC ＝6.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝62＋x 2，解得：x ＝52，即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图，过点A ′作A ′M ⊥AD 于M 交BC 于N ，则四边形ABNM 是矩形，∴AB ＝MN ＝4.∵若点A ′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，∴A ′M ＝1，A ′N ＝3或A ′M ＝3，A ′N ＝1.①当A ′M ＝1，A ′N ＝3时，在Rt △BA ′N 中，BN ＝42－32＝7，∴AM ＝BN ＝7.由△A ′EM ～△BA ′N ，∴EM A′N ＝A′M BN ，∴EM 3＝17，∴EM ＝377，∴AE ＝477；②当A ′M ＝3，A ′N ＝1时，同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图，连接BD ′，过D ′作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，CD 于点N ，作D ′P ⊥BC 交BC 于点P .∵点D 的对应点D ′落在∠ABC 的平分线上，∴MD ′＝PD ′.设MD ′＝x ，则PD ′＝BM ＝x ，∴AM ＝AB －BM ＝7－x ，又由折叠图形可得AD ＝AD ′＝5，∴x 2＋(7－x )2＝25，解得x ＝3或4，即MD ′＝3或4.在Rt △END ′中，设ED ′＝a ，①当MD ′＝3时，AM ＝7－3＝4，D ′N＝5－3＝2，EN ＝4－a ，∴a 2＝22＋(4－a )2，解得a ＝52，即DE ＝52；②当MD ′＝4时，AM ＝7－4＝3，D ′N ＝5－4＝1，EN ＝3－a ，∴a 2＝12＋(3－a )2，解得a ＝53，即DE ＝53.综上所述，DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①，当点F 在矩形内部时，∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上，∴AN ＝4.∵AF ＝AD ＝5，由勾股定理得FN ＝3，∴FM ＝2.设DE 为x ，则EM ＝4－x ，FE ＝x ，在△EMF 中，由勾股定理，得x 2＝(4－x )2＋22，∴x ＝52，即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②，当点F 在矩形外部时，同①的方法可得FN ＝3，∴FM ＝8，设DE 为y ，则EM ＝y －4，FE ＝y ，在△EMF 中，由勾股定理，得y 2＝(y －4)2＋82，∴y ＝10，即DE 的长为10.综上所述，点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时，DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上，如解图①，∵在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6∴∠ABC ＝90°，AC ＝BD ，∴AC ＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质，得PC ⊥BB ′，∴∠PBD ＝∠BCP ，∴△BCP ∽△ABD ，∴BP AD ＝BC AB ，即BP 6＝68，解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上，如解图②，根据折叠的性质，得BP ＝B ′P ，∠B ＝∠PB ′C ＝90°，∴∠AB ′A＝90°，∴△APB ′∽△ACB ，∴B′P BC ＝AP AC ，即BP 6＝8－BP 10，解得BP ＝3，故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－5 【解析】分两种情况：①当点B ′在AC 的下方时，如解图①，∵D 是BC 中点，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝12S△BPD，∴S△PDF＝12S△PDC.∴F是PC的中点，∴DF是△BPC的中位线，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折叠得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，过B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝BEAE＝2，∵AB＝5，∴AE ＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝BE2＋EC2＝22＋42＝25，∵D为BC的中点，∴BD＝5，∴PB＝BD＝5，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC的上方时，如解图②，连接B′C，同理得：F是DC的中点，F是PB′的中点，∴DF＝FC，PF＝FB′，∴四边形DPCB′是平行四边形，∴PC＝B′D＝BD＝5，∴AP＝5－5，综上所述，AP的长为2或5－ 5.7．8＋23或8－23【解析】由折叠的性质得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，BEC′E＝2，∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时，如解图①，过E作EG⊥AD于G，延长EC′交AD于H，则四边形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折叠的性质得，∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC，∴∠HFE ＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等边三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝23，∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时，如解图②，过F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四边形ABGF是矩形，△EFH是等边三角形，∴AF＝BG，FG＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2 3.∵BE＝8，∴BG＝8－23，∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图，连接BE .第1题解图∵AB ＝BC ＝AC ＝10，∴∠C ＝60°.∵AB ＝BC ，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC .∴BE ＝BC 2－EC 2＝102－52＝5 3.∵AC ＝10，E 是AC 边的中点，∴AE ＝5.由翻折的性质可知A ′E ＝AE ＝5.∵BA ′＋A ′E ≥BE ，∴当点B 、A ′、E 在一条直线上时，BA ′有最小值，最小值＝BE －A ′E ＝53－5. 2.403【解析】连接DE ，DE ＝52＋122＝13，∵将△AEP 沿FP 折叠，使得点A 落在点A ′的位置，∴EA ′＝EA ＝5，∵A ′D ≥DE －EA ′第2题解图(当且仅当A ′点在DE 上时，取等号)，∴当A ′与点D 的距离最短时，A ′点在DE 上，∴DA ′＝13－5＝8，设PA ′＝x ，则PA ＝x ，PD ＝12－x ，在Rt △DPA ′中，x 2＋82＝(12－x )2，解得x ＝103，∴△A ′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt △ADE 中，DE ＝22＋42＝25，当B ′在ED 上时，B ′D 最小，在ED 上截取EB ′＝EB ＝2，连接B ′F ，FD ，则B ′D ＝ED －EB ′＝25－2，设BF ＝x ，则B ′F ＝x ，CF ＝4－x ，在Rt △B ′FD 和Rt △FCD 中，利用勾股定理，可得DB ′2＋B ′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2，即(25－2)2＋x 2＝(4－x )2＋42，解得x ＝5＋1，∴Rt △BEF 中，tan ∠BEF ＝BF BE ＝1＋52.第3题解图 4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，第4题解图∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，作⊙D ; 连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD ＝5，而FD ＝3，∴FA ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△DAC ，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，即35＝DH 3＝HF 4，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255.。
2019年 中考数学 图形折叠问题 专题复习(含答案)
2019年中考数学图形折叠问题专题复习1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A.25°B.30°C.35°D.40°2.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE：EC=2:1,则线段CH的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A.1.8B.2.4C.3.2D.3.64.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )A. B.5 C.6 D.5.如图，矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE，已知∠CFG=400,则∠DEF= .6.如图,将矩形ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．7.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,折痕为BE,则∠EBF的大小为_______．8.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．9.如图,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8）,则点E的坐标为10.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=6，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．11.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为 .12.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AD=4cm,点E,F分别是CD和AB的中点.现将这张纸片折叠,使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为 .13.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，则AG的长是__________．14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A/的位置上.若OB=,OC=2BC,则点A′的坐标 .15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是．16.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．17.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积．18.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．19.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．20.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，O为原点，A(8，0)，C（0，4），如图所示.D在AB上(D可以与A、B重合)，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△CDE.（1）如图1，若E点落在OA上，求D、E坐标；（2）如图2，F为CD中点，连接BF、EF、BE，若BEF为直角三角形，求E点坐标；（3）如图3，若F点始终为CD的中点，求F点运动路径长度.图1 图2 图3答案1.D2.B.3.D4.C；5.答案为：1106.答案为：127.答案为：45°8.答案为：75/16；9.答案为：（10，3）．10.答案是：2．11.答案为：3.7512.答案为：；13.答案为：1.514.答案为：(-0.6,0.8)15.答案为：100°．16.17.18.解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．19.解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．20.解：(1)D(8,),E(,0);(2)E();(3)F点运动路径长度为2.。
2019河南中考数学专题训练—几何图形的折叠与动点问题
几何图形的折叠与动点问题1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝9，点E 在BC 上，CE ＝4，点F 是AD 上的一个动点，若把△BEF 沿EF 折叠，点B 落在点B ′处，当点B ′恰好落在矩形ABCD 的一边上，则AF 的长为________．第1题图3或 113 【解析】如解图①，当点B ′落在边AD 上时，则易证四边形BEB ′F 为菱形，∴BF ＝BE ＝9－4＝5，由勾股定理易求AF ＝3；如解图②，当点B ′落在边CD 上时，BE ＝B ′E ＝9－4＝5.由勾股定理易求B ′C ＝3，∴B ′D ＝4－3＝1.设AF ＝x ，则FD ＝9－x .根据折叠的性质得BF ＝B ′F ，∴x 2＋42＝(9－x )2＋12，解得x ＝113，∴AF ＝3或 113.第1题解图2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，点P 是边BC 上的动点，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，折痕与矩形边的交点分别为E 、F ，要使折痕始终与边AB 、AD 有交点，则BP 的取值范围是________．第2题图6－25≤BP≤4【解析】①如解图①，当F、D重合时，BP的值最小，根据折叠的性质可知：AF＝PF＝6，在Rt△PFC中，PF＝6，FC＝4，则PC＝25，∴BP min＝6－25；②如解图②，当E、B重合时，BP的值最大，根据折叠的性质即可得到AB＝BP＝4，即BP的最大值为4；故BP的取值范围是6－25≤BP≤4.第2题解图3.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝6，E，F分别是线段AD、BC上的点，连接EF，使四边形ABFE为正方形，若点G是AD上的动点，连接FG，将矩形沿FG折叠使得点C落在正方形ABFE的对角线所在的直线上，对应点为P，则线段AP的长为__________．第3题图4或4－22【解析】当C落在BE的延长线上时，对应点为P1，如解图①，连接FP1，AP1，过P1点作P1H⊥FC，垂足为点H，交AD于点N，设FH＝x，∵∠P1BH＝45°，∴P1H＝BH＝x＋2，由折叠性质可得P1F＝FC＝6－2＝4，在Rt△P1HF中，x2＋(x＋2)2＝42，解得x＝7－1或x＝－7－1(舍去)，∴P1H＝2＋7－1＝7＋1，P1N＝7＋1－2＝7－1，在Rt△P1NA 中，AP1＝AN2＋P1N2＝（7＋1）2＋（7－1）2＝4；当点C落在F A 的延长线上时，对应点为P2，如解图②，易知P2F＝CF＝4，AF＝22＋22＝22，∴AP2＝P2F－AF＝4－2 2 .第3题解图4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AB与CD不平行，AB＝CD＝5，BC＝12，点E是BC上的动点，将∠B沿着AE折叠，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝________．第4题图5 11或513【解析】如解图①所示，∵AD∥BC，∴△HB′D∽△HBC，∴HDHC＝DB′CB，∵AB＝CD＝5，BC＝12，DB′＝1，∴HD5＋HD＝112，解得：HD＝511；如解图②所示，∵AD∥BC，∴△HB′D∽△HBC，∴HDHC＝DB′BC，∵AB＝CD＝5，BC＝12，DB′＝1，∴HD5－HD＝112，解得：DH＝513.故DH的长度为511或513.5.如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N .当点B ′分线段MN 为3∶5的两部分时，EN 的长为________．第5题图 35511或53913【解析】由翻折的性质，得AB ＝AB ′，BE ＝B ′E .①当MB ′＝3，B ′N ＝5时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋25.由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 3＝x 2＋258，解得x 2＝4511，∴EN ＝x ＝35511；②当MB ′＝5，B ′N ＝3时，设EN ＝x ，得B ′E ＝x 2＋9，由题意得△B ′EN ∽△AB ′M ，∴EN B ′M ＝B ′E AB ′，即x 5＝x 2＋98，解得x 2＝7513，∴EN ＝x ＝53913，故EN 的长为35511或53913.6.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点P 是对角线BD 上一动点，将纸片折叠，使点C 与点P 重合，折痕为EF ，折痕EF 的两端分别在BC 、DC 边上(含端点)，当△PDF 为直角三角形时，FC 的长为________．第6题图247或 83 【解析】在矩形ABCD 中，AB ＝CD ＝6，BC ＝AD ＝8，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BD ＝10.由折叠得PE ＝EC ，PF ＝CF ，∠EPF ＝∠FCE ＝90°.∵∠PDF ＜90°，∴△PDF 为直角三角形有以下两种情况：(Ⅰ)如解图1，当∠PFD ＝90°时，∵∠FCE ＝∠FPE ＝∠PFC ＝90°，∴四边形PECF 是矩形．∵PF ＝FC ，∴四边形PECF 是正方形，∴PF ∥BC ，∴△DPF ∽△DBC ，∴PF BC ＝DF DC .设FC ＝PF ＝x ，则DF ＝6－x ，∴x 8＝6－x 6，解得：x＝247，即FC ＝247；(Ⅱ)如解图2，当∠DPF ＝90°时，∵∠FPE ＝∠FCB ＝90°，∴此时点E 与点B 重合，∴BP ＝BC ＝8，∴PD ＝10－8＝2.∵∠PDF公用，∠DPF ＝∠DCB ＝90°，∴△DPF ∽△DCB ，∴PF BC ＝PD DC ，即：PF 8＝26，解得：PF ＝ 83，∴FC ＝83.综上所述，FC 的长为247或83.7.如图，正方形的边长为4，E 是BC 的中点，点P 是射线AD 上一动点，过P 作PF ⊥AE 于F .若以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似，则P A ＝________．第7题图2或5 【解析】分两种情况：如解图①，当△EFP ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ，∴四边形ABEP 为矩形，∴P A ＝EB ＝2；如解图②，当△PFE ∽△ABE 时，则有∠PEF ＝∠AEB ，又∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ，∴PE ＝P A ，∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，∵AE ＝42＋22＝25，PE AE ＝EF EB ，即PE 25＝52，得PE ＝5，∴P A ＝5，∴当P A ＝2或P A ＝5时，以P 、F 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．第7题解图8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 中点，点P 在射线BD 上运动，若△BEP 为等腰三角形，则线段BP 的长度等于____________．2或53或655 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∴∠BAD ＝90°，AE ＝DE ＝1，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE ＝2AB ＝ 2.若△BEP 为等腰三角形，则分三种情况：①当BP ＝BE 时，显然BP ＝2；②当PB ＝PE 时，如解图①，连接AP .∵PB ＝PE ，AB ＝AE ，∴AP 垂直平分BE ，∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠BAP ＝∠EAP ＝45°，作PM ⊥AB 于点M ，设PM ＝x ，∵S △ABD ＝S △ABP ＋S △APD ，∴12×1×2＝12×1×x ＋12×2×x ，解得x ＝23，∴PM ＝23，∴BP ＝PM sin ∠ABD ＝2325＝53；③当EB ＝EP 时，如解图②，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，过点E 作EG ⊥BD 于点G ，在Rt △ABF 中，AF ＝AB ·sin ∠ABF ＝1×25＝255，∵AE ＝ED ，EG ∥AF ，∴EG ＝12AF ＝55，在Rt △BEG 中，∵BE ＝2，EG ＝55，∴BG ＝BE 2－EG 2＝355，∵EB ＝EP ，EG ⊥BP ，∴BP ＝2BG ＝655.综上所述，线段BP 的长度等于2或53或655.第8题解图① 第8题解图②9.如图，在▱ABCD 中，∠B ＝30°，AB＝AC ，O 是两条对角线的交点，过点O 作AC 的垂线分别交边AD 、BC 于点E 、F ；点M 是边AB 的一个三等分点．则△AOE 与△BMF 的面积比为__________．第9题图3∶4或3∶8 【解析】如解图，连接AF 、MF ，∵AB ＝AC ，∠B ＝30°，∴∠ACB ＝∠B ＝30°， ∵点O 是对角线的交点，EF ⊥AC ，∴AF ＝FC ，∴∠ACB ＝∠F AC ＝30°，∴∠F AB ＝90°，∴BF ＝2AF ＝2FC ，∵点M 为AB 的三等分点，如解图①，当BM ＝13AB 时，设S △BMF ＝a ，则S △AMF ＝2a ，S △ABF ＝3a ，∴S △AFC ＝3a 2，∴S △AOE ＝3a 4，∴S △AOE ∶S △BMF ＝3a 4∶a ＝3∶4.则△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4；如解图②，当BM ＝23AB 时，S △AOE ∶S△BMF ＝3a 4∶2a ＝3∶8.综上所述：△AOE 与△BMF 的面积比为3∶4或3∶8.第9题解图① 第9题解图②10.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP 、PE ，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EP A ′，若△EP A ′与△ABC 的另一个交点为F ，当EF ＝14AB 时，则BP 的长为________．第10题图 2或23 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，E 为斜边AB 的中点，∴AB ＝4，AE ＝12AB ＝2，BC ＝2 3.①若P A ′与AB 交于点F ，连接A ′B ，如解图①，由折叠可得S △A ′EP ＝S △AEP ，A ′E ＝AE ＝2，∵点E 是AB 的中点，∴S △BEP ＝S △AEP ＝12S △ABP .∵EF ＝14AB ，∴S △EFP ＝12S △BEP ＝12S △AEP ＝12S △A ′EP ，∴EF ＝12BE ＝BF ，PF ＝12A ′P ＝A ′F .∴四边形A ′EPB 是平行四边形，∴BP ＝A ′E ＝2；②若EA ′与BC 交于点F ，连接AA ′，交EP 于H ，如解图②.同理可得FP ＝12BP ＝BF ，EF ＝12×2＝1.∵BE ＝AE ，∴EF ＝12EA ′＝12AP ＝1，∴AP ＝2＝AC ，∴点P 与点C 重合，∴BP ＝BC ＝2 3.故BP 的长为2或2 3.第10题解图① 第10题解图②。
2019中考数学专题汇编全集 几何图形的折叠(10道)
几何图形的折叠1. 如图，在矩形ABCD中，把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF.把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，则∠HAF＝________.第1题图45°【解析】由折叠的性质可得∠DAH＝∠GAH，∠BAF＝∠EAF，∵∠DAH＋∠GAH＋∠BAF＋∠EAF＝90°，∴2∠GAH＋2∠EAF＝90°，∴∠GAH＋∠EAF＝45°，∴∠HAF＝45°.2. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，若AB＝3，∠EF A＝60°，则四边形A′B′EF的周长是________．第2题图5＋3【解析】由折叠知，∠EF A＝∠EF A′＝60°，又BC∥AD，∴∠A′EF＝∠EF A＝60°，∴△A′EF为等边三角形，∴A′F＝EF＝A′E，又∠B′A′F＝90°，∴∠B′A′E＝30°，∵AB＝A′B′＝3，∴B′E ＝1，A′E＝2，∴C四边形A′B′EF＝A′B′＋B′E＋A′F＋EF＝3＋1＋2＋2＝5＋ 3.3. (2018淄博)在如图所示的▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD 沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．第3题图10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，又∵△ACE是由△ACD折叠而来，∴由折叠的性质可知AE＝AD＝3，CE＝CD＝2，∴△ADE的周长为3＋3＋2＋2＝10.4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于点M，则线段AM的长为________．第4题图132 【解析】如解图，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，∴四边形ABFM 是矩形，∴BF ＝AM ，FM ＝AB ＝6，∵将纸片折叠，使A 点与E 点重合，折痕MN 交AD 于M 点，∴AM ＝ME ，设AM ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，∴EF ＝x －4，在Rt △MEF 中，ME 2＝EF 2＋MF 2，∴x 2＝(x －4)2＋62，解得x ＝132，∴AM ＝132.第4题解图5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，cos B ＝34，点D 在BC 边上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与BC 边交于点F .若BD ＝2，那么EF ＝________.第5题图3215 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H , ∵AB ＝AC ＝8，cosB ＝34， ∴BH ＝6＝CH ，BC ＝12, 由折叠可得，BD ＝DE ＝2，∠E＝∠ABC ＝∠C ，AB ＝AE ＝6, 又∵∠AFC ＝∠DFE , ∴△AFC ∽△DFE , ∴DF AF ＝EF CF ＝DE AC ＝14.设EF ＝x ，则CF ＝4x ，AF ＝8－x , ∴DF＝14AF ＝2－14x , ∵BD ＋DF ＋CF ＝BC , ∴2＋2－14x ＋4x ＝12, 解得x ＝3215，∴EF ＝3215.第5题解图6. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG ＝60°，GE ＝2BG ，则折痕EF 的长为________．第6题图2 【解析】∵∠AFG ＝60°，∴∠FGE ＝60°，∠GFE ＝∠DFE ＝60°，∴△EFG 为等边三角形，∵∠FGH ＝∠D ＝90°，∴在Rt △EGH 中，∠EGH ＝30°，∴GE ＝2EH ，GH ＝30tan EH ＝3EH ，∵GE ＝2BG ，∴EH ＝EC ＝BG ，∴CD ＝GH ＝3EH ＝3BG ，∴BC ＝BG ＋GE ＋EC ＝BG ＋2BG ＋BG ＝4BG ，∵S 矩形ABCD ＝43，∴BC ·CD ＝4BG ·3BG ＝43，∴BG ＝1，GE ＝2，∴EF ＝GE ＝2.7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，CD 是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE.若DE∥AC，则AE的长为________．第7题图23【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠BCD，由折叠性质得BD＝DE，∠BCD＝∠DCE，∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∵DE∥AC，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DEC＝∠ACE＝∠BCD，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴∠B＝30°，∴AC＝AD＝DE，又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵CD ＝DE，∴四边形ACDE是菱形，∴AC＝AE，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝33BC＝33×6＝23，∴AE＝2 3.8. (2018襄阳)如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD 折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE＝2，则AP的长为__________．第8题图1623【解析】∵点A与点P关于BD对称，∴BD垂直平分AP ，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在矩形ABCD 中，∠ABE ＝∠BAD ＝90°，∴△ABE ∽△DAB ，∴AD AB AB BE =，∵BE ＝2，∴AD ＝12AB 2，∵S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝AB ·12AB 2＝322，∴AB ＝4，AD ＝82，∴由勾股定理得BD ＝22AD AB +＝12，∵S 四边形ABPD ＝S 矩形ABCD ，∴12AP ·BD ＝322，∴AP ＝1623.第8题解图9. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE ∶EC ＝4∶1，则线段DE 的长为________．第9题图210 【解析】由矩形ABCD ，得∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ，AD ∥BC .由△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处，得△DFE ≌△DCE ，∴DF ＝DC ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∵DF ＝AB ，∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠B ，由AD ∥BC 得∠DAF ＝∠AEB ，∴在△ABE 和△DF A 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF AB AFD B DAF AEB ，∴△ABE ≌△DF A . ∵BE ∶EC＝4∶1，∴设CE ＝x ，BE ＝4x ，则AD ＝BC ＝5x ，由△ABE ≌△DF A ，得AF ＝BE ＝4x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得DF ＝3x ，又∵DF ＝CD ＝AB ＝6，∴x ＝2，在Rt △DCE 中，DE ＝22DC CE +＝22＋62＝210.10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝9，BC ＝6，在矩形边上有一点P ，且DP ＝3，将矩形纸片折叠，使点B 与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E ，F ，则EF 长为________．第10题图 62或210 【解析】①如解图①，当点P 在边CD 上时，∵PD ＝3，CD ＝AB ＝9，∴CP ＝BC ＝6，∵△EPF 由△EBF 折叠而来，∴PF ＝FB ，∠EPF ＝∠ABC ＝90°，又∵∠PEB ＝∠EBF ＝90°，∴四边形PFBE 是正方形，∴EF ＝62；②如解图②，当点P 在边AD 上时，过E 作EQ ⊥AB 于点Q ，∵PD ＝3，AD ＝6，∴AP ＝3，∴PB ＝AP 2＋AB 2＝310，∵EF 垂直平分PB ，∴∠FEQ ＋∠EFQ ＝∠PBA ＋∠EFQ ，∴∠FEQ ＝∠PBA ，∵∠A ＝∠EQF ，∴△ABP ∽△QEF ，∴PB FE ＝AB QE ，∴310FE ＝96，∴EF ＝210.综上所述，EF 长为62或210.第10题解图。
2021年河南省中考数学压强题型专项训练： 题型一 几何图形的折叠与动点问题
题型一几何图形的折叠与动点问题类型1动点或图形的相对位置不定型1.[2020河南省实验月考改编]如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=√3+1,点E在边AD上,且DE=1,点F为线段AB 上一动点,将菱形沿直线EF折叠,当点A的对应点G落在菱形的对角线上时,AF的长为.(第1题)(第2题)2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点M为边AC的中点,点N为边BC上任意一点,若点C关于直线MN 的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上,则CN的长为.3.[2020开封二模]如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,动点E在射线BC上,将△ABE沿直线AE折叠,得到△AB'E.若点B'恰好落在射线CD上,则BE的长为.(第3题)(第4题)4.[2020焦作二模]如图,在▱ABCD中,AB=4,∠B=60°,点G为边BC上一点,且BG=2√3(CG>BG),点E为边AB上一动点(不与点B重合),将∠B沿直线GE折叠,当点B的对应点F落到平行四边形的边上时,线段BE的长为.5.[2019河南省实验三模]如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,点P是直线BC上一动点,将△ABP沿直线AP折叠,使点B落在平面上的点E处.若P,E,D三点在同一直线上,则BP= .(第5题)(第6题)6.[2019安阳二模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,点D是边AC的中点,点E在边AB上,将△ADE沿直线DE 折叠,使点A落在点A'处.当线段AE的长为时,A'E∥BC.⏜,点D为AC⏜的中点,连接CD,点E为BC上一7.如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以点B为圆心、BC的长为半径作AC动点(不与点B,C重合),连接DE,以DE所在直线为对称轴作△DEC的对称图形,点C的对称点为点F,当点F落在△ABC的边上时(不与端点重合),CE的长为.(第7题)(第8题)8.[2020河南省实验二模]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=√10,点E为CD边上一点,将△BCE沿BE所在直线折叠,点C的对应点为点F,连接AF,若tan∠BAF=1,则CE的长为.39.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=9,点P为AD边上一点,沿直线BP折叠△ABP,点A在矩形内部的对应点为点E,若点E到矩形两条较长边的距离之比为1∶4,则AP的长为.(第9题)(第10题)10.如图,在矩形ABCD中,AB=8√3,AD=m(m>8),点E是CD的中点,点M在线段AD上,点N在射线AB上,将△AMN沿直CE时,m的值为.线MN折叠,使点A与点E重合,当BN=1211.[2018南阳宛城区一模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,BD=2,点E是边AB上一动点,把∠B沿直线DE折叠,点B的对应点为点B',若直线DB'与边AB垂直,垂足为点F,则BE的长为.类型2特殊图形的形状不定型12.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=2√2,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A'EF,连接A'C,A'D,则当△A'DC是以A'D为腰的等腰三角形时,AF的长是.(第12题) (第13题)13.[2020洛阳三模]如图,菱形ABCD的边长是4,∠ABC=120°,点M,N分别在边AD,AB上(均不与端点重合),连接MN,且MN⊥AC,垂足为点P,把△AMN沿直线MN折叠,得到△A'MN,连接A'D,若△A'DC恰为等腰三角形,则AP的长为.14.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=60°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿直线CE折叠,点D的对应点为D',连接D'B,若△D'BC为等边三角形,则DE= .15.如图,在△ABC中,∠A=30°,AB=AC=2√3+2,点D为线段AC上的动点,点E为射线CB上的动点,连接DE,将△CDE 沿直线DE折叠,点C的对应点F恰好落在线段AB上,则当△ADF是以DF为腰的等腰三角形时,CD的长为.(第14题) (第15题)16.[2018郑州外国语三模]如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=√5,BC=4,点D从点A出发,以每秒√5个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作∠DEF=∠B,交直线AC于点F,连接DF.设运动时间为t秒,则当△ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为.(第16题)(第17题)17.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从点O,B同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动,过点M作MP⊥OA,交AC于点P,连接NP,设动点运动了t秒,则当t= 时,△NPC是一个等腰三角形.18.[2020濮阳模拟]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点M为边AC的中点,点N为边BC上一动点,△MNC'与△MNC关于直线MN对称,连接BC',当△BNC'为直角三角形时,线段CN的长度为.(第18题)(第19题)19.[2019焦作二模]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC上,沿AD所在直线折叠△ABD得到△AB'D,AB'与边BC交于点E.若△DEB'为直角三角形,则BD的长是.20.[2016河南B卷]如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为BC边上一个动点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD外部时,连接PC,PD.若△DPC为直角三角形,则BE的长为.(第20题)(第21题)21.[2020河南省实验三模]如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC的中点,连接AE,P是边AD上一动点,沿过点P 的直线将矩形折叠,使点D落在AE上的点D'处,当△APD'是直角三角形时,PD= .22.[2017河南,15]如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=√2+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'始终落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM的长为.(第22题)(第23题)23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠∠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上.若△EFC和△ABC相似,则AD的长为.24.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=√3+1,点E是射线CA上的动点,点F是线段BC上的动点(不与点B重合),作点C关于直线EF的对称点D,点D恰好落在线段AB上,连接DE,DF,当△ADE与△BDF相似时,CE的长为.(第24题)(第25题)25.如图,直线l∥AB,l与AB之间的距离为4.点C,D是直线l上的两个动点(点C在点D的左侧),且CD=AB=10.连接AC,BC,BD,作△ABC关于直线BC的对称图形,其中点A的对应点为A'.若以点A',C,B,D为顶点的四边形为矩形,则此矩形的周长为.26.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,点D为AB的中点,点E为线段BC上的点,连接DE,把△BDE沿DE翻折得到△B1DE.若以点A,D,B1,C为顶点的四边形为平行四边形,则BE= 3或3√3.类型3含参、范围或最值型27.如图,在矩形ABCD 中,AB=a ,BC=2√2,点E 是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ,延长BG 交射线DC 于点F ,若CD=2CF ,则a 的值为 .28.[2020郑州外国语三模]如图,在矩形ABCD 中,BC=4,AB=a ,点E 为AD 的中点,点F 为射线AB 上一点,且BF=3,连接CF ,若将△AEF 沿直线EF 折叠后,点A 恰好落到CF 上的点G 处,则a 的值为 .29.如图,在▱ABCD 中,AD=6,AB=8,∠DAB=60°,点E ,F 分别是边AD ,AB 上的动点,连接EF ,将△AEF 沿直线EF 翻折,使点A 的对应点A'落在边CD 上,则BF 长度的取值范围为 .30.如图,在矩形ABCD 中,AB=10,BC=12,点E 是AB 的中点,点F 是边BC 上一动点,把△EBF 沿EF 折叠,当点B 的对应点B'落在矩形内部(不含边界)时,DB'的长的取值范围是 .31.[2020安阳二模]如图,半圆O 的直径AB=10,AC ⏜=BC ⏜,点D 在AC ⏜上,且tan ∠DOC=34,点P 是半径OC 上一个动点(不与点O 重合),连接DP ,过点P 作PF ⊥DP ,交直径AB 于点F ,当点P 在半径OC 上移动时,点F 可左右移动的最大距离是 .32.[2020湖北荆门中考改编]如图,在平面直角坐标系中,长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动,A (0,2),B (0,4),连接AC ,BD ,则AC+BD 的最小值为 .33.[2020山东潍坊中考改编]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为.34.[2020湖南永州]∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,且∠AOB=60°,在∠AOB内有一点P(4,3),点M,N 分别是OA,OB上的动点,连接PM,PN,MN,则△PMN周长的最小值是.35.[2020江苏扬州]如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点E为边AB上的一个动点,连接ED并延长至点F,使DE,以EC,EF为邻边构造▱EFGC,连接EG,则EG的最小值为.得DF=1436.[2020广西河池]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=8,点D在AB上,且BD=√3,点E在BC上运动.将△BDE沿DE折叠,点B落在点B'处,则点B'到AC的最短距离是.37.[2019洛阳模拟]如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点M是BC边上的一个动点(点M不与点B,C重合),BM=x,将△ABM沿直线AM折叠,使点B落在射线MP上的点B'处,点E是CD边上一点,CE=y,将△CME沿直线ME折叠,使点C落在射线MP上的点C'处.当y取最大值时,△C'ME的面积为.参考答案1.3-√3或√3分两种情况讨论.①当点G落在对角线BD上时,如图(1),易知△ABD是等边三角形,∴∠ADB=60°,BD=√3+1.在△DEG中,DE=1,EG=√3,∠EDG=60°,易得EG⊥DE(过点E作EP⊥AD,交BD于点P,易求EP=√3,故点P与点G重合,故EG⊥AD),∴∠DGE=30°,DG=2,∴BG=√3+1-2=√3-1.又∠EGF=60°,∴∠FGB=90°,∴FG=√3BG=√3(√3-1)=3-√3,∴AF=FG=3-√3.②当点G落在对角线AC上时,如图(2),由折叠的性质可得,EF⊥AG,EA=EG,FA=FG.由菱形的性质可得,∠EAG=∠FAG,∴EA=FA,∴四边形AFGE是菱形,∴AF=AE=√3.综上可知,AF的长为3-√3或√3.图(1)图(2)2.23或8−2√73如图(1),设点D,E分别为边BC,AB的中点,连接DE,EM,DM,则DE,EM,DM即为△ABC的中位线.以点M为圆心、CM的长为半径作圆,该圆与DM,DE的交点,即为满足题意的点C'的位置,故分两种情况讨论.①当点C'落在DM上时,如图(2),连接NC',由轴对称的性质可得∠NC'M=∠C=90°,C'M=CM,∴∠DC'N=90°.易知CD=32,CM=2,DM=52,则C'D=52-2=12.设CN=x,则C'N=x,DN=32-x.由勾股定理可得DN2=C'N2+C'D2,即(32-x)2=x2+(12)2,解得x=23,即CN=23.②当点C'落在DE上时,如图(3),连接NC',C'M,由轴对称的性质可得∠NC'M=∠C=90°,C'M=CM=2.在Rt△C'EM中,根据勾股定理,可得C'E=√22-(32)2=√72,∴C'D=2-√72=4−√72.由“一线三直角”模型,可得△NDC'∽△C'EM,∴C'DEM=DNC'E,即4−√7232=DN√72,∴DN=4√7-76,∴CN=CD-DN=8−2√73.综上可知,CN的长为23或8−2√73.图(1)图(2)图(3)3.53或15设BE=x.由折叠的性质可得AB'=AB=5,B'E=BE=x.分两种情况讨论.①当点B'落在线段CD上时,如图(1).在Rt△ADB'中,AB'=5,AD=3,∴DB'=4,∴B'C=CD-DB'=1.在Rt△EB'C中,根据勾股定理得,CE2+B'C2=B'E2,即(3-x)2+12=x2,解得x=53.②当点B'落在CD的延长线上时,如图(2).在Rt△ADB'中,AB'=5,AD=3,∴DB'=4,∴B'C=DB'+DC=9.在Rt△EB'C中,根据勾股定理得,CE2+B'C2=B'E2,即(x-3)2+92=x2,解得x=15.综上,BE的长为53或15.图(1)图(2)4.√3或6-2√3分两种情况讨论.①当点F落在AB边上时,如图(1),则GE⊥AB.在Rt△BEG中,BE=BG·cos∠GBE=2√3×cos 60°=√3.②当点F落在AD边上时,如图(2),在▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M.∵AB=4,∠B=60°,∴AM=AB·sin B=2√3,BM=AB·cos B=2.由折叠的性质可得GF=BG=2√3,∠EFG=∠B=60°.易知点G到AD的距离为2√3,∴GF⊥AD,∴∠AFE=∠AFG-∠EFG=30°.易知四边形AMGF为矩形,∴AF=MG=BG-BM=2√3-2.∵AD∥BC,∠B=60°,∴∠BAD=180°-60°=120°,∴∠AEF=180°-120°-30°=30°,∴AE=AF=2√3-2,∴BE=AB-AE=4-(2√3-2)=6-2√3.综上可知,BE的长为√3或6-2√3.图(1)图(2)5.7-2√6或7+2√6分两种情况讨论.①当点P位于线段BC上时,如图(1),由题意可知DC=AB=AE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DPC.又∵∠AED=∠DCP=90°,∴△ADE≌△DPC,∴PD=DA=7,∴PC=√PD2-CD2=√72-52=2√6,则BP=BC-PC=7-2√6.②当点P位于线段BC的延长线上时,如图(2),同理可得△ADE≌△DPC,∴PD=AD=7,∴PC=√PD2-CD2=√72-52=2√6,则BP=BC+CP=7+2√6.综上所述,当P,E,D三点在同一直线上时,BP的长为7-2√6或7+2√6.图(1)图(2)6.92或12分两种情况讨论.①如图(1),当点A'在AC左侧时,设A'E交AC于点F.∵AC⊥BC,A'E∥BC,∴AC⊥A'E,∴∠A'FD=90°.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,由勾股定理得AC=3.∵点D是边AC的中点,∴AD=32.由翻折的性质可得A'D=AD=32,∠A'=∠A.在△ABC中,∠C=90°,sin A=BCAB=45,∴sin A'=DFA'D=45,∴DF32=45,∴DF=65.∵A'E∥BC,∴AFAC=AEAB,∴32+653=AE5,解得AE=92.②如图(2),当点A'在AC右侧时,设A'E的延长线交AC于点G.∵A'E∥BC,∠C=90°,∴A'G⊥AC.在△ABC中,∠C=90°,sin A=BCAB =45,∴sin A'=DGA'D=45,∴DG32=45,∴DG=65,∴AG=AD-DG=310.∵A'E∥BC,∴AGAC=AEAB,∴3103=AE5,解得AE=12.综上可知,AE的长为92或12.图(1) 图(2)7.2-√3或3-√3 由轴对称的性质可知DF=DC ,∴点F 在以点D 为圆心、CD 长为半径的圆上,运动轨迹为圆的一部分,该圆与BC ,AB 的交点(非点A ,C )即为符合题意的点F.分两种情况讨论.①当点F 落在BC 上时,如图(1),连接BD ,易知此时∠BED=90°,∠DBE=30°,BD=BA=BC=2,∴BE=BD ·cos ∠DBE=2×cos 30°=√3,∴CE=BC-BE=2-√3.②当点F 落在AB 上时,如图(2),连接BD ,AD ,则DA=DC=DF.∵BA=BD ,∠ABD=30°,∴∠DFE=∠DCE=∠BAD=∠BDA=75°,∴∠DFA=75°,∴∠BFE=180°-75°×2=30°.又∠FBE=60°,∴∠BEF=90°,∴EF=√3BE.又BC=BE+EC=BE+EF=2,∴BE+√3BE=2,解得BE=√3-1,∴EF=3-√3,∴CE=3-√3.综上可知,CE 的长为2-√3或3-√3.图(1) 图(2)8.10−√103或10+√103分两种情况讨论.①当点F 在AB 上方时,如图(1),过点F 作AB 的垂线,分别交AB ,CD 于点M ,N.由折叠的性质,得EC=EF ,BF=BC=√10,∠BFE=∠C=90°.∵FM AM =tan ∠BAF=13,∴可设FM=x ,AM=3x ,∴BM=6-3x.在Rt △BFM 中,由勾股定理,得BF 2=FM 2+BM 2,∴10=x 2+(6-3x )2,解得x 1=1,x 2=135(不合题意,舍去),∴FM=1,BM=3,∴NF=√10-1.∵∠NFE+∠BFM=90°=∠NFE+∠NEF ,∴∠NEF=∠BFM.又∠FNE=∠BMF=90°,∴△ENF ∽△FMB ,∴NE FM =NF BM ,即NE 1=√10-13,∴NE=√10-13,∴CE=CN-NE=BM-NE=3-√10-13=10−√103.②当点F 在AB 下方时,如图(2),过点F 作AB 的垂线,分别交AB ,CD 于点P ,Q ,同理可求FP=1,BP=3,∴QF=√10+1.易证△EQF ∽△FPB ,∴EQ FP =QF BP ,即EQ 1=√10+13,∴EQ=√10+13,∴CE=CQ+EQ=BP+EQ=3+√10+13=10+√103.综上可知,CE 的长为10−√103或10+√103. 图(1) 图(2)9.53或5√63过点E 作AD 的垂线,分别交AD ,BC 于点M ,N ,则四边形ABNM 为矩形,分两种情况讨论.①当EM ∶EN=1∶4时,如图(1),易得ME=1,EN=4.在Rt △BNE 中,BE=5,EN=4,∴BN=√BE 2-EN 2=√52-42=3,∴AM=3.易证△PME ∽△ENB ,∴PM EN =ME BN ,即PM 4=13,∴PM=43,∴AP=3-43=53.②当EM ∶EN=4∶1时,如图(2),易得ME=4,EN=1.在Rt △BNE 中,BE=5,EN=1,∴BN=√BE 2-EN 2=√52-12=2√6,∴AM=2√6.易证△PME ∽△ENB ,∴PM EN =ME BN ,即PM 1=42√6,∴PM=√63,∴AP=2√6-√63=5√63.综上可知,AP 的长为53或5√63. 图(1) 图(2)10.4√6或8√3过点E作EF⊥AB于点F,则EF=AD=m,BF=CE=12CD=4√3.∵CE=4√3,∴BN=12CE=2√3.分两种情况讨论.①当点N在线段AB上时,如图(1),则FN=BF-BN=4√3-2√3=2√3.又EN=AN=AB-BN=8√3-2√3=6√3,∴EF=√EN2-FN2=√(6√3)2-(2√3)2=4√6,∴m=4√6.②当点N在线段AB的延长线上时,如图(2),则FN=4√3+2√3=6√3,又EN=AN=8√3+2√3=10√3,∴EF=√EN2-FN2=√(10√3)2-(6√3)2=8√3,∴m=8√3.综上可知,m的值为4√6或8√3.图(1)图(2)11.23或6分以下两种情况讨论.①当点B'位于BC上方时,如图(1).∵AB=√AC2+BC2=√82+62=10,cos B=BCAB=35,sinB=ACAB =45,∴FB=DB·cos B=2×35=65.由折叠的性质可知,∠B=∠DB'E,BE=B'E.设BE=m,则EF=65-m.在Rt△EFB'中,EF=B'E·sin∠DB'E=45m,即65-m=45m,解得m=23,即BE=23.②当点B'位于BC下方时,如图(2),在Rt△FDB中,DF=DB·sinB=2×45=85,FB=DB·cos B=2×35=65.由折叠的性质可知B'D=BD=2, ∴B'F=B'D+DF=2+85=185.在Rt△EFB'中,EF=B'F·tanB'=185×43=245,∴BE=EF+FB=245+65=6.综上可知,BE的长为23或6.图(1)图(2)12.1或√22分两种情况讨论.①如图(1),当A'D=A'C时,点A'在线段DC的垂直平分线上.易知点E在线段DC的垂直平分线上,∴直线EA'垂直平分线段DC,∴∠AEA'=90°,∴∠AEF=45°.又∵∠A=90°,∴∠AFE=45°,∴AF=AE=1.②如图(2),当A'D=DC时,连接ED.∵AE=1,AD=2√2,∴DE=√12+(2√2)2=3.∵DC=2,∴A'D=2.又∵EA'=1,∴EA'+A'D=DE,∴E,A',D三点共线,∴∠FA'D=90°.设AF=x,则A'F=x,FD=2√2-x.在Rt△FA'D中,由勾股定理可得A'F2+A'D2=FD2,即x2+22=(2√2-x)2,解得x=√22,即AF=√22.综上所述,AF的长为1或√22.图(1)图(2)13.2√3-2或4√33∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD=4,∠ADC=∠ABC=120°,∴∠DCA=30°.∵MN⊥AC,点M,N分别在边AD,AB上,∴点A'在线段AC上.连接BD,交AC于点O,则AC=2OC=2CD·cos∠DCO=2×4×cos 30°=4√3.分两种情况讨论.①当CA'=CD=4时,AP=12AA'=12(AC-A'C)=12×(4√3-4)=2√3-2.②当A'D=A'C时,过点A'作A'E⊥CD于点E,则CE=DE=2,∴A'C=CEcos∠DCA'=2cos30°=4√33,∴AP=12AA'=12(AC-A'C)=12×(4√3-4√33)=4√33.综上可知,AP的长为2√3-2或4√33.14.1或4由折叠及菱形的性质可得CD'=CD=CB,故△D'BC是以BD'为底边的等腰三角形,故当∠D'BC=60°时,△D'BC为等边三角形.分以下两种情况讨论.①如图(1),当点D'与点A重合时,∠D'BC=60°,此时点E为AD的中点,故DE=1.②如图(2),当点D'与点A 关于直线BC 对称时,∠D'BC=60°.∵∠BCD'=60°,∠BCD=120°,∴D',C ,D 三点共线.由折叠的性质可得EC ⊥DC.又∠D=60°,故DE=2DC=4.综上所述,DE=1或4.图(1) 图(2)15.√3+1或2 分两种情况讨论.①当DF=DA 时,如图(1),由折叠的性质,可得DF=DC ,∴DC=DA=12AC=√3+1.②当DF=FA 时,∠FDA=∠A=30°,如图(2).过点F 作FG ⊥AC 于点G ,则AG=DG=DF ·cos ∠ADF=√32DF.由折叠的性质,可得DF=CD ,∴AG=DG=√32CD ,∴√32CD ×2+CD=2√3+2,∴CD=2.综上可知,CD 的长为√3+1或2.图(1) 图(2)16.521,511或12 根据题意可得AD=√5t ,BE=4t ,则BD=√5-√5t ,CE=4-4t.易证△BDE ∽△CEF ,∴BD CE =BE CF,∴BD ·CF=BE ·CE.分以下三种情况讨论.①如图(1),当点F 在线段AC 上,且AF=AD=√5t 时,CF=BD=√5-√5t ,∴(√5-√5t )2=4t (4-4t ),解得t=521(不合题意的解已舍去).②如图(2),当点F 在CA 的延长线上,且AF=AD=√5t 时,CF=√5+√5t ,∴(√5-√5t )(√5+√5t )=4t (4-4t ),解得t=511(不合题意的解已舍去).③如图(3),当点F 在CA 的延长线上,且DF=AD=√5t时,过点B 作BM ⊥AC ,垂足为点M.设AM=x ,由勾股定理可得AB 2-AM 2=BC 2-CM 2,即(√5)2-x 2=42-(√5+x )2,解得x=3√55.取AF的中点H ,连接DH ,则∠HDA=∠MBA ,∴sin ∠HDA=sin ∠MBA,即AH AD =AMAB,∴√5t=3√55√5,解得AH=3√55t ,∴AF=6√55t ,∴(√5-√5t )(√5+6√55t )=4t (4-4t ),解得t=12(不合题意的解已舍去).综上所述,t 的值为521,511或12.图(1) 图(2) 图(3)17.43,169或12857 方法一(几何法):易知BC=OA=4,OC=AB=3,∴AC=5.∵MP ∥OC ,∴△APM ∽△ACO ,∴AP AC =PM OC =AM OA ,∴AP 5=PM 3=4−t 4,∴AP=20−5t 4,PM=12−3t 4,∴CP=5-20−5t 4=5t 4.分三种情况讨论:①当PC=PN 时,如图(1),延长MP 交BC 于点E ,则PE ⊥BC ,∴CE=EN=12CN=2-12t ,∴OM=CE=2-12t.又OM=t ,∴2-12t=t ,解得t=43.②如图(2),当CP=CN 时,5t 4=4-t ,解得t=169.③当NP=NC 时,如图(3),过点N 作NG ⊥AC 于点G ,则CG=12CP=5t 8.∵cos ∠ACB=CG CN =BCAC ,∴58t4−t =45,∴t=12857.综上可知,t 的值为43,169或12857.方法二(代数法):易知C (0,3),N (4-t ,3),P (t ,3-34t ),PC 2=t 2+(34t )2=2516t 2,PN 2=(4-2t )2+(34t )2=7316t 2-16t+16,CN 2=(4-t )2=t 2-8t+16.①当PC=PN时,PC2=PN2,∴2516t2=7316t2-16t+16,解得t1=4(舍去),t2=43.②当NP=NC时,NP2=NC2,∴7316t2-16t+16=t2-8t+16,解得t3=0(舍去),t4=12857.③当CP=CN时,5t4=4-t,解得t=169.综上可知,t的值为43,169或12857.图(1)图(2)图(3)18.2或2√13-43分两种情况讨论.①如图(1),当∠BNC'=90°时,∠CNC'=90°.由轴对称的性质可知,∠MNC'=∠MNC=45°.又∠MCN=90°,∴∠NMC=45°=∠CNM,∴NC=MC=12AC=2.②如图(2),当∠BC'N=90°时,∵∠MC'N=90°,∴B,C',M三点共线.在Rt△BCM中,BM=√CM2+BC2=√22+32=√13.又MC'=MC=2,∴BC'=√13-2.∵tan∠CBM=NC'BC'=CMBC,∴NC'√13-2=23,∴NC'=2√13-43,∴NC=2√13-43.综上可知,NC的长度为2或2√13-43.图(1)图(2)19.2或5∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=√62+82=10.由折叠可知BD=B'D,AB'=AB=10.分以下两种情况讨论.①当∠B'DE=90°时,如图(1),过点B'作B'F⊥AC,交AC的延长线于点F,易知四边形CFB'D为矩形.设BD=B'D=x,则AF=6+x,FB'=CD=8-x.在Rt△AFB'中,由勾股定理得AB'2=AF2+FB'2,即102=(6+x)2+(8-x)2,解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去),故此时BD=2.②当∠B'ED=90°时,点C与点E重合,如图(2).∵AB'=10,AC=6,∴B'E=4.设BD=B'D=y,则CD=8-y.在Rt△B'DE中,DB'2=DE2+B'E2,即y2=(8-y)2+42,解得y=5,故此时BD=5.综上所述,BD的长为2或5.图(1)图(2)20.3或7+√174由题意和旋转的性质可得,∠AEP=90°,AE=PE.∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=3,∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°.分三种情况:(1)当∠CDP=90°时,此时点P在AD的延长线上,如图(1)所示,易得△AEP是等腰直角三角形,∴∠EAP=45°,∴∠BAE=∠BAD-∠EAP=90°-45°=45°,∴∠AEB=45°,∴BE=AB=3.(2)当∠DPC=90°时,如图(2)所示,过点P作CD的平行线,交AD的延长线于点F,交BC的延长线于点G,易得四边形DCGF是矩形,∴FG=CD=3,DF=CG,∠F=∠G=90°.∵∠AEP=90°,∴∠AEB+∠PEG=90°.∵∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠PEG.∵∠B=∠G=90°,AE=EP,∴△ABE≌△EGP,∴BE=GP,EG=AB=3.设BE=x,则CE=5-x,PG=x,CG=EG-CE=3-(5-x)=x-2,∴DF=CG=x-2,PF=GF-PG=3-x.∵∠DPC=90°,∴Rt△DFP∽Rt△PGC,∴DFPG =FPCG,即x-2x=3−xx-2,解得x=7±√174.∵{x-2>0,3−x>0,∴2<x<3,∴x=7+√174,即BE的长为7+√174.(3)当∠PCD=90°时,此时点P在BC的延长线上,则∠AEP>90°,与题意不符,∴此种情况不存在.综上所述,BE的长为3或7+√174.图(1)图(2)21.83或247∵点E为BC的中点,∴BE=CE=3,∴AE=√AB2+BE2=√42+32=5.设D'P=DP=x,则AP=6-x.分两种情况讨论.①当∠AD'P=90°时,如图(1),易证△APD'∽△EAB,∴APAE =PD'AB,即6−x5=x4,解得x=83,即PD=83.②当∠APD'=90°时,如图(2),则∠BAE=∠AD'P,∴tan∠BAE=tan∠AD'P,∴BEAB =APPD',即34=6−xx,∴x=247,即PD=247.综上可知,PD的长为83或247.图(1)图(2)22.√2+12或1∵∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.由折叠的性质可得,∠BMN=∠B'MN,∠BNM=∠B'NM,BM=B'M.分两种情况:(1)当∠B'MC=90°时,此时∠BMN+∠B'MN=90°,∴∠BMN=45°.∵∠B=45°,∴∠BNM=90°,∴∠B'NM=90°,∴B,N,B'三点共线.∵点B'在边AC上,∴点B'与点A重合,此时点N是AB的中点.∵∠A=90°,∴∠BNM=∠A,∴NM∥AC,∴NM是△ABC的中位线,∴BM=12BC=√2+12.(2)当∠CB'M=90°时,∵∠C=45°,∴∠B'MC=45°,∴B'M=B'C.设BM=x,则B'M=B'C=x,CM=√2+1-x.在等腰直角三角形MB'C中,CM=√2B'M,即√2+1-x=√2x,解得x=1,∴BM=1.综上所述,BM的长为√2+12或1.23.95或52分以下两种情况讨论.①如图(1),当△EFC∽△BAC时,∠CEF=∠B,∴EF∥AB.连接CD,由折叠的性质可知EF⊥CD,∴AB⊥CD,∴∠ADC=90°.∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5.由三角形的面积公式可得12BC·AC=12AB·CD,∴CD=4×35=125,∴AD=√32-(125)2=95.②如图(2),当△EFC∽△ABC时,∠CEF=∠A.连接CD,交EF于点P,由折叠的性质知EF⊥CD,∴∠PCF+∠PFC=90°,又∠PFC+∠FEC=90°,∴∠PCF=∠FEC,∴∠PCF=∠A,即∠DCA=∠A,∴DA=DC.同理DB=DC,∴DA=DB=12AB=52.综上可知,AD的长为95或52.图(1)图(2)24.√3或2√3+3在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴∠CAB=60°,AB=2AC=2√3+2,BC=√3AC=3+√3.分两种情况讨论.①当点E在线段AC上时,∵△ADE与△BDF相似,∠EAD=60°,∠FBD=30°,∴∠AED=30°或∠ADE=30°.a.当∠AED=30°时,∠EDA=90°.又∠EDF=∠ECF=90°,∴点A,D,F三点共线,∴点F与点B重合,不合题意,故此种情况不存在.b.当∠ADE=30°时,如图(1),则∠AED=90°,∴AE=√33DE=√33CE.∵AC=√3+1,∴CE+√33CE=√3+1,∴CE=√3.②当点E在线段CA的延长线上时,如图(2),∠EAD=180°-60°=120°.分析可知∠FDB>90°.又∵△ADE与△BDF相似,∴∠FDB=120°.又∠DBF=30°,∴∠DFB=30°,∴∠AED=∠ADE=30°,DF=DB,∴AE=AD,CF=DF=DB.过点D作DG⊥BC于点G,则BG=GF=√32BD.∵BC=3+√3,∴CF+BF=3+√3,∴BD+√32BD×2=3+√3,∴BD=√3,∴AE=AD=AB-BD=2√3+2-√3=√3+2,∴CE=√3+2+√3+1=2√3+3.综上可知,CE的长为√3或2√3+3.图(1)图(2)25.12√5或28分两种情况讨论.①当A'C为矩形的边时,如图(1),则∠ACB=∠A'CB=90°.设AC=A'C=a,BC=b,由AC2+BC2=AB2,得a2+b2=100.由S△ABC=12AC·BC=12AB×4,可得ab=40,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+80=180,∴a+b=6√5,∴矩形的周长为12√5.②当A'C为矩形的对角线时,如图(2),易知∠CBA=∠CBA'=90°,BC=4.∵BA'=10,∴矩形的周长为28.综上可知,矩形的周长为12√5或28.图(1)图(2)26.3或3√3由题易得,AB=6,BC=3√3,DB1=DB=3,DB1=AC.分两种情况进行讨论.①如图(1),当四边形ACB1D为平行四边形时,DB1∥AC,∴∠BDB1=60°,∴∠BDE=∠EDB1=30°,∴DE=BE.过点E作EF⊥DB于点F,则DF=BF=32.在Rt△BEF中,EF=12BE,∴BE2=(12BE)2+(32)2,解得BE=√3.②如图(2),当四边形ACDB1为平行四边形时,∵CD=12AB=3,∴CD=AC,∴四边形ACDB1为菱形.∵∠EB1D=∠B=30°,∠CB1D=12∠AB1D=12∠ACD=30°,∴∠EB1D=∠CB1D,∴点E与点C重合,∴BE=BC=3√3.综上可知,BE=3或3√3.图(1)图(2)27.2或2√33连接EF,由折叠和线段中点的性质可得EG=AE=DE,BG=AB=a,∠BGE=∠A=90°,∴∠EGF=90°=∠D.又EF=EF,∴Rt△EGF≌Rt△EDF,∴DF=GF.分两种情况讨论.①如图(1),当点F在线段CD上时,易知GF=DF=CF=12a,∴BF=BG+GF=a+12a=32a,在Rt△BCF中,由勾股定理,得(2√2)2+(12a)2=(32a)2,解得a=2(负值已舍);②如图(2),当点F在DC的延长线上时,易知CF=12a,GF=DF=a+12a=32a,∴BF=BG+GF=a+32a=52a,在Rt△BCF中,由勾股定理,得(2√2)2+(12a)2=(52a)2,解得a=2√33(负值已舍).综上可知,a的值为2或2√33.图(1)图(2)28.4或1分两种情况讨论.①当点F在线段AB上时,如图(1),连接CE,∵EG=EA=ED,CE=CE,∠EGC=180°-∠EGF=180°-∠A=90°=∠D,∴Rt△EGC≌Rt△EDC,∴CG=CD=AB=a.由勾股定理可得FC=√FB2+BC2=√32+42=5,∴AF=FG=5-a.又AB=AF+FB,∴a=5-a+3,解得a=4.②当点F在线段AB的延长线上时,如图(2),连接EC,易证△EGC≌△EDC,∴CG=CD=a,∴AF=FG=5-a.又AB=AF-BF,∴a=5-a-3,解得a=1.综上可知,a的值为4或1.图(1)图(2)29.2≤BF≤8-3√3当点A'与点D重合时,如图(1).易知∠AA'F=60°,A'F=AF,∴△AA'F是等边三角形,∴AF=AD=6,BF=8-6=2.当点E与点D重合时,如图(2),∵∠EA'F=60°=∠C,∴A'F∥CB.又A'C∥FB,∴四边形A'FBC是平行四边形,∴A'F=BC=6,∴AF=6,∴BF=8-6=2.故当点A'与点D重合或点E与点D重合时,BF最短,且BF=2.当A'F⊥AB时,A'F最短,即AF最短,此时BF最长.如图(3),过点B作BG⊥CD于点G,则BG=BC·sin C=6·sin 60°=3√3,∴AF=A'F=BG=3√3,∴BF=8-3√3.综上可知,BF长度的取值范围为2≤BF≤8-3√3.图(1)图(2)图(3)30.8≤DB'<2√61易知点B'在以AB为直径的圆上,当点F与点B重合时,B'与B重合,此时DB'=BD=√102+122=2√61.连接DE,易得AE=EB=EB'=5.易知EB'+DB'≥ED,当E,B',D共线时,DB'最短,如图.由勾股定理得ED=13,∴DB'=ED-EB'=13-5=8,∴DB'的长的取值范围是8≤DB'<2√61.31.3∵AB=10,∴OD=OA=12AB=5.过点D作DE⊥OC于点E,在Rt△ODE中,tan∠DOE=DEOE=34,OD=5,易得DE=3,OE=4.①当点P在点O,E之间运动时(不与点E重合),点F落在OP的左侧,如图(1),易证△FOP∽△PED,∴DEOP =EPOF.设OP=x(0<x<4),则PE=4-x,∴3x =4−xOF,∴OF=x(4-x)3=-13(x2-4x)=-13(x-2)2+43.∵-13<0,∴当x=2时,OF取得最大值,为43.②当点P在点C,E之间运动时(不与点E重合),点F落在OP的右侧,如图(2),易证△FOP∽△PED,∴DEOP =EPOF.设OP=x(4<x≤5),则PE=x-4,∴3 x =x-4OF,∴OF=13(x2-4x)=13(x-2)2-43.∵13>0,抛物线的对称轴为直线x=2,∴当x>2时,函数值随x的增大而增大,∴当x=5时,OF取得最大值,为53.③当点P与点E重合时,点F与点O重合.故点F可左右移动的最大距离为43+53=3.图(1) 图(2)32.2√10 如图,作A (0,2)关于x 轴的对称点A'(0,-2),过A'作A'E ∥x 轴,且A'E=2,则E (2,-2),连接DE ,A'C ,则四边形CDEA'为平行四边形,∴A'C=DE ,∴AC+BD=A'C+BD=DE+BD.连接BE 交x 轴于点D',易知当点D 与点D'重合时,DE+BD 最小,即AC+BD 最小,最小值为BE 的长,易知BE=√(2-0)2+(-2-4)2=2√10,即AC+BD 的最小值为2√10.33.34延长CO 交☉O 于点E ,连接ED ,交AO 于点P ,如图,此时PC+PD 的值最小.∵CD ⊥OB ,∠AOB=90°,∴CD ∥AO ,∴∴24=CD 3,∴CD=32.∵CD ∥AO ,∴△EOP ∽△ECD ,∴△BCD ∽△BOA ,∴BC BO =CD AO .∵OC=2,OB=4,∴BC=2,EO EC =PO DC ,即24=PO32,∴PO=34.34.5√3 如图,分别作点P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P',P ″,连接P'P ″,与OA ,OB 分别交于点M ,N ,此时△PMN 的周长最小,最小值为P'P ″的长.连接OP',OP ″,OP ,则OP'=OP ″=OP=√42+32=5,且∠POA=∠P'OA ,∠POB=∠P ″OB.又∵∠AOB=∠POA+∠POB=60°,∴∠P'OP ″=120°,∴∠OP'P ″=∠OP ″P'=30°.过点O 作OQ ⊥P'P ″,易得P'Q=P ″Q=5√32,∴P'P ″=2P'Q=2×5√32=5√3,故△PMN 周长的最小值是5√3.35.9√3 设CD 与EG 交于点O.∵四边形EFGC 是平行四边形,∴EF=CG ,EF ∥CG ,∴△DOE ∽△COG ,∴OE OG =DE CG .又∵DF=14DE ,∴DE CG =45,即OE OG =45,∴OE EG =49,即EG=94OE ,∴当OE 最小时,EG 也最小.当OE ⊥AB 时,OE 取最小值.如图,过点C 作CH ⊥AB 于点H.在Rt △BCH 中,BC=8,∠B=60°,∴CH=sin B ×BC=4√3,∴OE 的最小值为4√3,∴EG 的最小值为94×4√3=9√3.36. √32如图,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,过点B'作B'J ⊥AC 于点J.在Rt △ACB 中,∵∠ABC=90°,AC=8,∠A=30°,∴AB=AC ·cos 30°=4√3.又∵BD=√3,∴AD=AB-BD=3√3,∴DH=12AD=3√32.易知B'D+B'J ≥DH ,DB'=DB=√3,∴B'J ≥DH-DB',∴B'J ≥√32,∴当D ,B',J 三点共线时,B'J 的值最小,最小值为√32.37.2732 ∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABM=∠BCE=90°,∴∠AMB+∠BAM=90°.由折叠的性质得∠AMB'=∠AMB ,∠EMC'=∠EMC ,∴∠AME=90°,∴∠AMB+∠EMC=90°,∴∠BAM=∠EMC ,∴△ABM ∽△MCE ,∴BM CE =AB CM ,即x y =23−x,∴y=-12x 2+32x=-12(x-32)2+98.∵-12<0,∴当x=32,即BM=32,CM=BC-BM=32时,y 取最大值98,即CE=98,此时S △C'ME =12×32×98=2732.。
中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题含答案
专题：折叠类题目中的动点问题折叠问题是中考的热门也是难点问题，平时与动点问题联合起来，这种问题的题设平时是将某个图形按必定的条件折叠，经过分析折叠前后图形的变换，借助轴对称性质、勾股定理、全等三角形性质、相似三角形性质、三角函数等知识进行解答。
此类问题立意新奇，充满着变化，要解决此类问题，除了能依据轴对称图形的性质作出要求的图形外，还要能综合利用相关数学模型及方法来解答。
种类一、求折叠中动点运动距离或线段长度的最值例 1.着手操作：在矩形纸片ABCD 中， AB=3，AD =5.如图例1-1所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的 A’处，折痕为PQ ，当点在BC边上挪动时，折痕的端点、也随之挪动 . 若限制点、分别在、边上挪动，则点A’A ’P Q P Q AB AD在 BC 边上可挪动的最大距离为.图例 1-1【答案】 2.【分析】此题依据题目要求正确判断出点A'的最左端和最右端地点.当点Q与点D重合时，A '的地点处于最左端，当点P 与点 B 重合时，点 A'的地点处于最右端. 依据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种状况下的BA'或 CA'的长度，两者之差即为所求.①当点 Q 与点 D 重合时， A '的地点处于最左端，如图例1-2 所示 .确立点 A'的地点方法：由于在折叠过程中， A 'Q= AQ ，因此以点 Q 为圆心，以 AQ 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '.再作出∠ A' QA 的角均分线，与AB 的交点即为点P.图例 1-2图例1-3由折叠性质可知，AD = A' D=5，在 Rt△A' CD 中，由勾股定理得，A'C A' D2CD252324②当点 P 与点 B 重合时，点A'的地点处于最右端，如图例1-3 所示 .确立点 A'的地点方法：由于在折叠过程中， A 'P= AP，因此以点P 为圆心，以AP 长为半径画弧，与BC 的交点即为点A '.再作出∠ A' PA 的角均分线，与AD 的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A' B=3，因此四边形AB A' Q 为正方形.因此 A'C= BC－A'B=5－3=2.综上所述，点 A 挪动的最大距离为4－2=2.故答案为： 2.【点睛】此类问题难度较大，主要观察学生的分析能力，作图能力。
31_专题三 折叠与动点
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一、选择题 1.(2018河南中原名校一模)如图,正方形ABCD中,AB=1,M,N分别 是AD,BC边的中点,沿BQ将△BCQ折叠,若点C恰好落在MN上的
点P处,则PQ的长为 ( B )
A. 1 B. 3 C. 1 D. 3
2
3
3
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答案 B ∵∠CBQ=∠PBQ= 1 ∠PBC,BC=PB=2BN=1,∠BPQ=
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类型一 与三角形有关的折叠与动点问题
例1 (2017河南,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC= 2 +1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,将△MBN沿边MN折叠,使
点B的对应点B'始终落在边AC上.若△MB'C为直角三角形,则BM
2 1
的长为 2 或1 .
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4.(2017河南许昌一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC= 3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点E
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处,DE交AB于点F,当△DEB是直角三角形时,DF的长为 2 或 4
.
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答案 3 或 3
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解析 ∵点D在CB上运动, ∴∠DBE一定是锐角. 所以,当△DEB为直角三角形时,∠DEB为直角或∠EDB为直角. (1)∠DEB=90°时,点E与点F重合,如图所示.
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答案 15°或75°
解析 由折叠的性质可知,∠ACP=∠A'CP= 1∠ACA'.分两种情况
2
讨论.①如图1,当点A'与点A在BC的同侧时, ∵A'B=A'C,A'C=AC=BC,∴A'B=A'C=BC,∴△A'BC是等边三角形, ∴∠A'CB=60°,∴∠A'CA=90°-60°=30°,∴∠ACP=15°; ②如图2,当点A'与点A在BC的异侧时,同理可知∠A'CB=60°,∴∠ A'CA=90°+60°=150°,∴∠ACP=75°. 综上可知,∠ACP的度数为15°或75°.