初等数论c++

备注：纯手写代码，注释。

数论1、素数（1）暴力求解法根据素数的概念，没有1和其本身没有其他正因数的数。

所以只需枚举比这个数小的数，看能整除即可；C++代码：#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;bool determine(int number){if(n<=2)return false;if(!n%2)return false;for(int i=3;i<=ceil(sqrt(number));i+=2)//去掉了偶数的判断，效率提高一倍/*如果number整除以i，那么会得到两个的因数，而较小的那个因数不会超过number的二分之一次方；所以只需判断到number的平方根向上取整即可；*/if(number%i);else return false;return true;}int main(){int sum;cin>>sum;if(determine(sum))cout<<"YES!";else cout<<"NO!";return 0;}时间复杂度：o(sqrt(n)/2);空间复杂度：几乎没有；（2）一般线性筛法：因为任何一个合数都能分解成几个素数相乘的形式；所以可以做一个表，首先把2设为质数，然后将2的倍数设为合数，剩下的数就是新得到的质数，然后重复这个过程，直到筛到合适的范围即可；但是这个算法有缺陷：1、同一个数可能被筛多次，这就产生了多余的步骤。

2、占用空间很大，如果使用bool数组的话，只能筛到1e9；3、从1-n筛，不能从m-n开始筛；C++代码：#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>using namespace std;bool s[1000000000];int m,n;int main(){cin>>m>>n;memset(s,true,n);s[0]=s[1]=0;//输出M—N之间所有素数；for(int i=2;i<=ceil(sqrt(n));++i)if(s[i]){for(int j=i;j<=n;++j)if(s[i*j])s[i*j]=false;}for(int i=m;i<=n;++i)if(s[i])cout<<i<<' ';return 0;}时间复杂度：o(n*loglogn);空间复杂度：很大！注意数据大的话可能会爆空间；（3）线性筛法求素数这个占空间就更大了，需要使用一个bool数组和int数组而亲身试验得到int数组最多开到1e8……很无语，快确实是快了，但是测试数据一大，爆空间就更容易了；#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;int m,n,sum;bool inp[1000000000];int s[100000000]={0,0};int main(){cin>>m>>n;for(int i=2;i<=n;++i){if(!inp[i])s[sum++]=i;for(int j=0;j<sum&&i*s[j]<=n;++j){inp[i*s[j]]=true;if(!(i*s[j]))break;}}for(int i=m;i<=n;++i)if(!inp[i])cout<<i<<' ';return 0;}2、唯一分解定理任何数都可以被唯一的分解成多个素数之积例如：456=2*2*2*3*19；C++代码：#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdlib>using namespace std;bool s[1000000];int m,n,sum=0,num;int Prime[1212121];int zhi[1500];void Primes(){for(int i=1;i<=num;++i)s[i]=true;s[0]=s[1]=0;for(int i=2;i<=num;++i)if(s[i]){Prime[++sum]=i;for(int j=i;j<=num;++j)if(s[i*j])s[i*j]=false;}}int main(){int flag=0;cin>>num;int number=num;Primes();if(s[num]){cout<<num<<'='<<num;return 0;}cout<<num<<"=";str.chu();while(num>1)for(int i=1;num>1&&i<=sum;++i) if(!(num%Prime[i])){zhi[++flag]=Prime[i];num/=Prime[i];}sort(zhi+1,zhi+flag+1);cout<<zhi[1];for(int i=2;i<=flag;++i)cout<<"*"<<zhi[i];return 0;}首先做一个质数表，并把质数存到数组里，然后用数模每个素数，如果为0则记录素数，最后排个序输出；4、欧拉函数欧拉函数φ（n）为不大于n的与n互素的数的个数；A与B互素，表示a与b的最大公约数为1，即（a，b）=1；欧拉函数的符号φ读作fhi，在搜狗的特殊符号里可以找到；，其中pi为x的质因数，其中φ(1)=1（唯一与1互质的数是1本身）设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

几个性质（来自百度百科）1、若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

2、欧拉函数是积性函数——若m,n互质，3、特殊性质：当n为奇数时， , 证明与上述类似。

4、若n为质数则5、设p是素数，a是一个正整数，那么C++实现：#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdlib>using namespace std;bool s[1000000];int m,n,sum=0,num;int Prime[1212121];int zhi[1500];bool asd[1500];int phi(int n){int i,rea=n;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){rea=rea-rea/i;while(n%i==0) n/=i;}}if(n>1)rea=rea-rea/n;return rea;}void Primes(){for(int i=1;i<=num;++i)s[i]=true;s[0]=s[1]=0;for(int i=2;i<=num;++i)if(s[i]){Prime[++sum]=i;for(int j=i;j<=num;++j)if(s[i*j])s[i*j]=false;}}int main(){int flag=0;cin>>num;int number=num;Primes();if(num==1||!num){cout<<"fhi"<<'('<<number<<")=";cout<<num;return 0;}if(s[num]){cout<<"fhi"<<'('<<number<<")="<<number-1;return 0;}while(num>1)for(int i=1;num>1&&i<=sum;++i)if(!(num%Prime[i])){zhi[++flag]=Prime[i];num/=Prime[i];}int fenzi=1,fenmu=1;sort(zhi+1,zhi+flag+1);for(int i=1;i<=flag;++i)if(!asd[zhi[i]]){asd[zhi[i]]=true;fenzi*=zhi[i]-1;fenmu*=zhi[i];}cout<<"fhi("<<number<<")="<<number/fenmu*fenzi;//cout<<"fhi("<<number<<")="<<fhi(number);/*这是另一种求欧拉函数值的方法*/return 0;}5、欧几里得算法辗转相除法，根据公式(a,b)=(b,r)其中r为a%b，即a/b；C++代码：（1）递归#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int GCD(int a,int b){if(a%b)return GCD(b,a%b);else return b;}int main(){int a,b;cin>>a>>b;cout<<GCD(a,b);return 0;}（2）递推#include<iostream>using namespace std;int main(){int a,b,r;cin>>a>>b;r=m%n;while(r!=0){a=b;b=r;r=m%n;}cout<<n;return 0;}6、扩展欧几里得扩展欧几里得又称斐蜀定理，对于不完全为0 的非负整数a，b，gcd（a，b）表示a，b 的最大公约数，必然存在整数对x，y ，使得gcd（a，b）=ax+by；求同余方程#include<cstdio>void exgcb(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1;y=0;return;int q=a/b;int r=a%b;exgcb(b,r,y,x);y-=q*x;}int main(){int x,y;int a,b;scanf("%d %d",&a,&b);exgcb(a,b,x,y);while(x<0)x+=b;printf("%d",x);return 0;}求乘法逆元#include<cstdio>void exgcb(int a,int b,int &x,int &y) {if(!b)x=1;y=0;return;}int q=a/b;int r=a%b;exgcb(b,r,y,x);y-=q*x;}int Multiplicative inverse(int a,int b) {int x,y;int gcb=GCD(a,b,x,y);if(1%gcb)return -1;x*=1%gcb;b=abs(b);int answer=x%b;while(answer<=0)answer+=b;return answer;}int main(){int x,y;int a,b;scanf("%d %d",&a,&b);exgcb(a,b,x,y);while(x<0)x+=b;printf("%d\n",x);cout<<Multiplicative inverse(a,b);return 0;}求线性方程ax+by=c这个方程等同于ax≡c（mod b）所以（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）。