信号与系统课后习题答案汇总

第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。

(1) ||3)(t et x -=(2) ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t tx επ= (5) )]4()([4cos )(--=-t t t et x tεεπ(7) t t t t x 2cos)]2()([)(πδδ--=(9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε)5- (11) )]1()1([)(--+=t t dtdt x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ⎰∞--=td t x ττδ)1()((14) )()(n n n x --=ε1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。

(1) ||3)(t et x -=解 能量有限信号。

信号能量为：(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解 能量有限信号。

信号能量为：(3) t t x π2sin )(=解 功率有限信号。

周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。

(4) n n x 4sin)(π=解 功率有限信号。

n 4sin π是周期序列，周期为8。

(5) )(2sin )(t t t x επ=解 功率有限信号。

由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。

如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。

(6) )(4sin)(n n n x επ=解 功率有限信号。

由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4sin π的功率为1/2，因此)(4sinn n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。

如果考察)(4sinn n επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。

(7) te t x -=3)(解 非功率、非能量信号。

考虑其功率： 上式分子分母对T 求导后取极限得∞→P 。

(8) )(3)(t e t x tε-=解 能量信号。

信号能量为：1.3 已知)(t x 的波形如题图1.3所示，试画出下列函数的波形。

(3) )2(t x(4) (x(5) )(t x -(6) )2(+-t x11 -1/2 0 1 1 -2 -1 0 1 23 4(7) )2(--t x(8) )22(+-t x(9) )221(-t x)221(--t x (10)(11) )221()(-+t x t x(12) )21()2(t x t x ⋅(13)d(14)⎰∞-t d x ττ)(=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<≥<≤+<≤-++=122320210121221t t t t t t t1.4 已知)(1t x 及)(2t x 的波形如题图1.4所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别。

(1) )2(1t x1.5已知)(n x 序列的波形。

(1))4(+n x(3)x (4) )3(+-n x(5))3(--n x +)3(+-n x(7) )1()()(--=∇n x n x n x(8)∑-∞=nm m x )(1-2 -1 0 110 1 2 31 -4 -3 -3 -1 010 1 3/21 -8 -4 -2 010 1 2 3 4 5 6 7 81-1 0 1 2 3 4 5 6 7 81-1/2 0 11-1 03/21/2-1 0 1 2 t2 1-1/2 1/22 2 22 2 21.6 任何信号可以分解为奇分量和偶分量的和：)()()(t x t x t x o e += 或 )()()(n x n x n x o e += 其中e x 为偶分量；o x 为奇分量。

偶分量和奇分量可以由下式确定：)]()([21)(t x t x t x e -+=， )]()([21)(t x t x t x o --=)]()([21)(n x n x n x e -+=， )]()([21)(n x n x n x o --=(1) 试证明)()(t x t x e e -=或)()(n x n x e e -=；)()(t x t x o o --=或)()(n x n x o o --=。

(2) 试确定题图1.6(a)和(b)所示信号的偶分量和奇分量，并绘出其波形草图。

(1) 证明 根据偶分量和奇分量的定义：离散序列的证明类似。

(2) 根据定义可绘出下图nn x 2)(=，试求)(),(),(),(22n x n xn x n x ∆∇∆∇。

11222122)1()()(--=⋅=-=--=∇n nn n n x n x n x 解1.8 判断下列信号是否为周期信号，若是周期的，试求其最小周期。

(1) )64cos()(π+=t t x解 周期信号，21π=T(2) )()2sin()(t t t x επ=解 非周期信号。

(3) )2cos()(t et x tπ-=解 非周期信号。

(4) )3(4)(-=t j et x π解 周期信号，81=T 。

(5) )cos()5sin()(t b t a t x π+= 解 若,0,0≠=b a 则)(t x 为周期信号，21=b T ；若,0,0=≠b a 则)(t x 为周期信号，π521=a T ；若,0,0≠≠b a 则)(t x 为非周期信号。

(6) )38cos()(+=n n x π解 周期信号，161=N 。

(7) )97cos()(n n x π= 解 周期信号，181=N 。

(8) )16()(n con n x =解: 非周期信号。

1 18 8 8 642 11-2 -1 01/2-2 -1 0 1 2 1/2-2 -10 1 2 t2-3 3-3/2 2 n(9) n jen x 152)(π=解: 周期信号，151=N 。

(10) )34sin(2)3sin()6cos(3)(ππππ+-+=n n n n x 解: 周期信号，最小公共周期为241=N 。

1.9 计算下列各式的值。

(1)⎰∞∞--dt t t t x )()(0δ解: 原式dt t t x )()(0δ⎰∞∞--==).(0t x -(2)⎰∞--td t x ττδτ)()(0解: 原式ττδd t x t)()(0⎰∞--=)()(0t t x ε⋅-=(3)⎰∞∞--dt t t t x )()(0δ解: 原式dt t t x )()(0δ⎰∞∞-=)(0t x =(4)⎰∞∞--dt t t t x )(')(0δ解: 原式)(')(000't x t t x t --=--==(5)⎰∞∞---dt t t t t )2()(00εδ 解: 原式dt t t t t )()2(000-⋅-=⎰∞∞-δε)2(0t ε=(6)⎰∞---td t t ττετδ)2()(00解: 原式=⎰∞---td t t t τετδ)2()(000=⎰∞---t d t t ττδε)()(00)()(00t t t --=εε=⎩⎨⎧<->0)(00000t t t t ε (7)⎰∞∞-dt t )(δ解: 原式1= (8)⎰-∞-0)(dt t δ解: 原式0= (9)⎰∞+)(dt t δ解 原式0= (10)⎰+-00)(dt t δ解 原式1= (11)⎰∞∞--+-dt t tt )12)(33(2δ解 令t v 3=得：原式dv v vv 31]132)3)[(3(2-+-=⎰∞∞-δ32]132)3[(31=-+=x v v 32=(12)⎰∞∞-+dt t x t )()1('δ 解: 原式)1()('1'--=-=-=x t x t(13) ⎰∞∞--dt et t)('δ解: 原式1][0'=-==-t t e (14)⎰--3131)()32(dt t x t δ解: 令t v 2=得：原式dv v x v 21)2()3(3232⋅-=⎰-δ＝dv v x v 21)2()3(3232⋅-=⎰-δ因为0)3(3232=-⎰-dv v δ，所以: 原式＝01.10 设)(t x 或)(n x 为系统的输入信号，)(t y 或)(n y 为系统的输出信号，试判定下列各函数所描述的系统是否是：(a) 线性的 (b) 时不变的 (c) 因果的 (d) 稳定的 (e) 无记忆的? (1) )4()(+=t x t y 解 )(a 线性的.Θ若 );4()()(111+=→t x t y t x )4()()(222+=→t x t y t x则: )()()4()4()()()(212121t by t ay t bx t ax t y t bx t ax +=+++=→+)(b 时不变的.Θ若 )4()()(+=→t x t y t x则: )4()(ττ-+→-t x t x)(c 非因果的.t Θ时刻的响应取决于0t 以后时刻(即40+t 时刻)的输入. )(d 稳定的.Θ若|M t x ≤|)(<∞ 则:∞<≤M t y |)(| )(e 有记忆的Θ若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入，则称此系统为无记忆系统。

题给系统显然不满足此条件。

(2) )()()(τ-+=t x t x t y (0>τ，且为常数)解 )(a 线性的.Θ若 )()()()(1111τ-+=→t x t x t y t x ，)()()()(2222τ-+=→t x t x t y t x则: )]()([)]()([)()()(221121ττ-++-+=→+t x t x b t x t x a t y t bx t ax =)()(21t by t ay +)(b 时不变的.Θ 若 )()()()(τ-+=→t x t x t y t x则: )()()()(0000t t y t t x t t x t t x -=--+-→-τ )(c 当0>τ时为因果的.Θ 当0>τ时:系统0t 时刻的输出仅与0t 及0t 以前时刻的输入有关. 当0<τ时:系统0t 时刻的输出与0t 以后时刻的输入有关. )(d 稳定的.Θ若|)(|t x ∞<， 则∞<|)(|t y )(e 有记忆的.Θ 系统0t 时刻的输出与0t 时刻以前的输入有关. (3) )2/()(t x t y =解:)(a 线性的. (说明略) )(b 时变的Θ若)2()()(t x t y t x =→ 则: )2()2()(τττ-≠-→-t x t x t x )(c 非因果的.)21()1(-=-x y Θ. 即1-=t 时刻的输出与1-=t 时刻以后)21(-=t 的输入有关.)(d 稳定的. (说明略))(e 有记忆的.Θ)21()1(x y =. 即1=t 时刻的输入与1=t 时刻以前)21(=t 的输入有关.(4) )()(2t x t y =解:)(a 非线性的.Θ 若 )()()(2111t x t y t x =→， )()()(2222t x t y t x =→则: )()()()()]()([)()(21222122121t by t ay t bx t ax t bx t ax t bx t ax +=+≠+→+)(b 时不变的.Θ若)()()(2t x t y t x =→ 则: )()()(2τττ-=-→-t y t x t x)(c 因果的. (说明略) )(d 稳定的. (说明略) )(e 无记忆的.Θ 0t 时刻的输出仅取决于0t 时刻的输入.(5) )(2)(t x et y =解:)(a 非线性的. (说明略))(b 时不变的. (说明略) )(c 因果的. (说明略)(d)稳定的.Θ 若 |)(t x |∞<≤M , 则∞<≤M e t y 2|)(|(e)无记忆的. (说明略) (6) t t x t y π2sin )()(=解: (a)线性的.Θ 若 )(]2[sin )()(111t x t t y t x π=→，)(]2[sin )()(222t x t t y t x π=→ 则: )()()]()([2sin )()(212121t by t ay t bx t ax t t bx t ax +=+→+π (b)时变的.Θ 若 )()(t y t x →则: )()](2[sin )()()2(sin )(ττπττπτ--=-≠-→-t x t t y t x t t x (c)因果的. (说明略)(d)稳定的.Θ 若∞<≤M t x |)(|， 则∞<≤≤M t M t y |2sin ||)(| (e)无记忆的. (说明略) (7) ⎩⎨⎧>=0)()()(t x t x t y解: (a)非线性的.Θ 若 0)()0()(1≠→<t y t x而0<a 时: )(0)()0)((12t ay t y t ax ≠=→<，即不满足均匀性. (b)时不变的.Θ若 )()(t y t x → 则: )(0)(00)()()(00000t t y t t x t t x t t x t t x -=⎩⎨⎧<->--→-(c)因果的.Θ0t 时刻的输出仅与0t 以后时刻的输入无关. (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的. (说明略) (8) dtt dx t y )()(=解:(a) 线性的. Θ 若 dt t dx t y t x )()()(111=→，dtt dx t y t x )()()(222=→ 则: )()()]()([)()(212121t by t ay t bx t ax dtdt bx t ax +=+→+ (b)时不变的.Θ若: dtt dx t y t x )()()(=→ 则: )()()()()(τττττ-=--=-→-t y t d t dx dt t dx t x(c)因果的. (说明略) (d)非稳定的.(e)无记忆的 (说明略) (9) ⎰∞-=td x t y ττ)()(解: (a)线性的. (说明略) (b)时不变的.Θ 若: ⎰∞-=→td x t y t x ττ)()()(则: )()()()(0000t t y dv v x d t x t t x t t t-==-→-⎰⎰-∞-∞-ττ(c)因果的. (说明略)(d)非稳定的.Θ 若∞<=|)(||)(|t u t x 1，但∞→|)(|t y (e)有记忆的. (说明略) (10) )1()()(-⋅=n x n x n y解: (a)非线性的Θ若 )1()()()(1111-⋅=→n x n x n y n x ，)1()()()(2222-⋅=→n x n x n y n x则: )()()]1()1()][()([)()(2122121n by n ay n bx n ax n bx n ax n bx n ax +≠-+-+→+(b)时不变的.Θ若 )1()()()(-⋅=→n x n x n y n x则: )()1()()(N n y N n x N n x N n x -=--⋅-→- (c)因果的.0n Θ时刻的输出与0n 时刻以后的输入无关. (d)稳定的.Θ 若 |∞<≤M n x |)(, 则: |∞<≤2|)(M n y(e)有记忆的.0n Θ时刻的输出与0n 时刻以前的输入有关.(11) )()(n nx n y =解: (a)线性的.Θ若 )()()(11n nx n y n x =→，)()()(222n nx n y n x =→ 则: )()()]()([)()(212121n by n ay n bx n ax n n bx n ax +=+→+ (b)时不变的.Θ若 )()()(n nx n y n x =→则: )()()()(N n y N n x N n N n x -=--→- (c)因果的. (说明略)(d)非稳定的.Θ 即使M n x <|)(|，∞→n 时，∞→)(n y (e)无记忆的. (说明略) (12) 6)(5)(+=n x n y解: (a)非线性的.Θ若 6)(5)()(111+=→n x n y n x ，6)(5)()(222+=→n x n y n x 则: )(6)(6)]()([5)()()(212121n y n ay n bx n ax n y n bx n ax +≠++=→+ (b)时不变的. (说明略) (c)因果的. (说明略) (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的. (说明略)(13) )()(n x n y -=解: (a)线性的. (说明略) (b)时变的.Θ若 )()()(n x n y n x -=→则: )]([)()()(N n x N n y N n x N n x --=-≠--→-(c)非因果的.)1()1(x y =-Θ. 即 1-=n 时刻的输出与 1-=n 以后时刻(1=n 时刻)的输入有关. (d)稳定的. (说明略)(e)有记忆的.).1()1(-=x y Θ 即 1=n 时刻的输出与1=n 以前时刻(1-=n 时刻)的输入有关.*1.11 已知)22(t x -的波形如题图1.11所示，试画出)(t x 的波形。