递推数列特征方程的发现
(完整版)递推数列特征方程的发现(必修5).10
递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推（迭代）是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出,这个数列有通项公式吗?如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生,带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …），求通项公式n a 。
参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为12+=x x 即012=--x x ，解得251±=x ， 设此数列的通项公式为nn n c c a )251()251(21-++=, 由初始条件121==a a 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==515121c c , 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n a )251(251(55）。
这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”.换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸,但由于现行教材只字未提特征方程,我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来,或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。
面对一头雾水的数学尖子,我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时,也在苦苦寻觅解答这一问题的良策.其后不久，一次偶然的数学探究活动,竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。
二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ,令d t c =-)1(，即1-=c dt ，当1≠c 时可得 )1(11-+=-++c da c c d a n n ,知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列，11)1(1--+=-+∴n n c c d a c d a 将b a =1代入并整理,得()11---+=-c d c b d bc a n n n 。
特征方程解数列递推关系
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2 =aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n (其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+xA n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。
然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n 11+X k n 22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n )(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。
数列特征根法原理
数列特征根法原理数列特征根法是一种常见的数列求解方法，通过寻找数列的特征根，可以得到数列的通项公式，从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。
本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。
数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。
对于一个线性递推数列，其通项公式可以表示为：\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]其中，\(c_1, c_2, \cdots, c_k\)为常数，\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)为数列的特征根。
特征根法的核心就是求解特征根\(r_1, r_2, \cdots, r_k\)，进而得到数列的通项公式。
对于线性递推数列，其递推关系可以表示为：\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]其中，\(p_1, p_2, \cdots, p_k\)为常数。
为了求解特征根，可以将递推关系转化为特征方程：\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]解特征方程得到的根就是数列的特征根。
接下来，我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。
假设有一个线性递推数列，其递推关系为：\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]我们可以将其转化为特征方程：\[r^2 3r + 2 = 0\]解特征方程得到特征根为\(r_1 = 2, r_2 = 1\)，因此数列的通项公式为：\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]通过给定的初始条件，我们可以求解出常数\(c_1, c_2\)，进而得到数列的具体形式。
除了求解数列的通项公式，数列特征根法还可以应用于求解数列的前n项和。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算出前n项和的表达式，从而简化求和运算。
此外，数列特征根法还可以应用于解决递推关系的问题。
递推通项公式的特征根法
递推通项公式的特征根法递推通项公式是数列中常用的求解方法，它可以通过求解特征根来快速得到数列的通项公式。
下面我将通过一篇内容生动、全面、有指导意义的文章来介绍特征根法的使用。
特征根法是求解递推通项公式的一种常用方法，它的核心思想是通过求解数列的特征根，求得通项公式的表达式。
首先，什么是特征根呢？在线性代数中，特征根是指矩阵与一个非零向量乘积的结果等于该向量乘以一个常数。
而在数列中，我们可以将数列看作是线性代数中的矩阵，即将数列的每一项视为向量的一个分量，通过特征根法可以求解数列的通项公式。
具体而言，假设我们有一个递推数列{a1, a2, a3, ...}，其中ai 表示第i项，且满足递推公式：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + ... + pk * an-k为了找到数列的通项公式，我们假设数列的通项公式为：an = xn将这个假设代入递推公式中，可以得到：xn = p1 * xn-1 + p2 * xn-2 + ... + pk * xn-k进一步整理，可以将上述公式转化为：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0通过移项，得到：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0注意观察上述公式，我们可以发现这是一个特征根方程，因为xn 是数列的通项公式，它和特征根之间存在着一定的关系。
接下来，我们要求解上述特征根方程的解，即特征根。
求解特征根的过程可以通过特征方程来实现。
将特征根方程改写为：xn - p1 * xn-1 - p2 * xn-2 - ... - pk * xn-k = 0可以进一步化简为：xn - (p1 * xn-1 + p2 * xn-2 + ... + pk * xn-k) = 0注意观察上述公式，我们可以发现它可以看作是关于xn的一元齐次线性方程。
而一元齐次线性方程的特征方程是：x^k - p1 * x^(k-1) - p2 * x^(k-2) - ... - pk = 0因此，求解特征根就是解特征方程的过程。
递推数列特征方程的来源探究及应用
递推数列特征方程的来源探究及应用
递推数列（recurrence sequence）是一类是由一个数列反复递推式生成的数列，它由当前项序列和初始值共同决定，可以用下面的递推式来描述：un = f(un-1, un-2, un-3, … , u1)，其中u1, u2, u3, … 是当前项序列，及该数列的上一项，上两项，上三项等。
因此可以总结出来，递推数列的特征方程可以写成：un = f(un-1, un-2, un-3, … , u1) ，其中f为函数，un是当前项，而u1、u2、u3、…等则是这一数列的初始值。
递推数列的来源主要有以下几个方面：一是根据物理过程而提出的递推关系式；二是对自然现象和社会现象的数学建模而得出的递推关系式；三是从线性代数及空间角度出发而推出的递推关系式；四是从数论和计算机科学等学科出发而推出的应用领域。
递推数列特征方程在数学上有着重要的应用。
首先，它可以用来分析和解决与数列相关的问题；其次，它可以用来分析和解决数学模型问题；第三，它可以用来分析和解决统计分析问题；第四，它可以用来分析和解决机器学习问题；最后，它可以被用来分析和解决图像处理问题。
总之，递推数列特征方程是一种描述数字特征的强大方法，它可以用来分析和解决许多数学上的问题，它可以帮助我们更清楚地认识数字，从而更深入地了解数字的性质及其本质。
数列的递推 特征方程法
考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列的项满足其中求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2已知数列满足递推关系：其中为虚数单位.当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须现在考虑一个分式递推问题（*）.例3已知数列满足性质：对于且求的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换则①∵是特征方程的根，∴将该式代入①式得②将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③当，即=时，由②式得故当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：④由是方程的两个相同的根可以求得∴将此式代入④式得令则故数列是以为公差的等差数列.∴其中当时，当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换故，将代入再整理得⑤由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故故所以由⑤式可得：⑥∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴将上两式代入⑥式得当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有当即时，上式也成立.由且可知所以(证毕)注：当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题.解：依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有∴∴即例4已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）∵对于都有（2）∵∴令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，.（3）∵∴∴令则∴对于∴（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.数列特征方程式.一个数列:设有r，s使∴得消去s就导出特征方程式∴。
数列三项递推求通项特征方程
数列三项递推求通项特征方程数列是我们日常生活中非常常见的数学模型，它们可以描述一种事物或现象的变化规律。
在数列中，常常需要计算出第 n 项，而有些数列可以通过递推关系式来求解第 n 项。
其中，三项递推是一种常见的递推方式。
在这篇文章中，我们将介绍如何利用三项递推求解数列的通项公式，以及如何使用特征方程来解决数列的求解问题。
一、数列三项递推求通项公式对于数列 {a1，a2，a3，…，an}，如果它们之间存在递推关系式：an = f(an-1，an-2，an-3)，n ≥ 4那么我们可以通过这个递推关系式来求解数列的通项公式。
具体来说，我们可以通过迭代使用递推关系式，通过已知的前三项（a1、a2、a3），逐个求出数列的每一项。
当我们求得第 n 项时，我们就可以得到数列的通项公式。
例如，我们考虑这样一个数列：{1，1，2，3，5，8，13，…}我们发现这个数列的特点是，每一项都是前两项之和。
我们可以用以下递推关系式来描述这个数列：an = an-1 + an-2，n ≥ 3利用这个递推关系式，我们可以求出数列中的每一项，如下所示：a1 = 1a2 = 1a3 = a2 + a1 = 2a4 = a3 + a2 = 3a5 = a4 + a3 = 5a6 = a5 + a4 = 8a7 = a6 + a5 = 13…我们发现，这个数列的通项公式可以写成：an = fib(n)，n ≥ 1其中，fib(n) 表示斐波那契数列的第 n 项。
这个数列是一个非常著名的数列，每一项都是前两项之和，它的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…二、特征方程的应用除了使用递推关系式来求解数列的通项公式之外，我们还可以使用特征方程的方法来解决这个问题。
特征方程是什么呢？它可以帮助我们求出数列的通项公式。
对于一个递推关系式：an = c1an-1 + c2an-2 + … + cm an-m，n ≥ m我们可以构造一个特征方程：x^m - c1x^(m-1) - c2x^(m-2) - … - cm = 0其中，x 是未知数。
数列递推公式的特征方程
数列递推公式的特征方程数列递推公式的特征方程，这个听上去就有点高大上的东西，实际上是数学中的一块“蛋糕”。
咱们平时生活中，也许没太注意，但它就像是你身边那块潜力巨大的蛋糕，稍微用心一挖，就能挖出不少甜蜜来。
嘿，想想啊，数列不就是一个个数字排成的队伍吗？有时候它们像是跟随在老师后面的小学生，个个都得听话；有时候又像是在比赛的运动员，拼命想超越前面的选手，特别刺激。
咱们先从简单的数列说起。
比如斐波那契数列，那可是数学界的明星。
你看看，前两个数加起来就能得到第三个数，简直是合作无间。
数列的每一步都是在遵循某种规则，就像是舞蹈的每一个动作，得配合得当，才能跳得美丽。
可要是跳错了，那可真是“丢人现眼”了。
数列的递推公式就是帮助我们找到这些规则的钥匙，它帮我们搞清楚，下一步应该怎么走。
说到特征方程，别急，听我慢慢来。
它就像是你在玩拼图，拼出一个完整的画面。
你需要先找到每一块的形状和位置，才能把它们完美组合。
特征方程就是这种形状的指引，让你知道如何去把数列的每一个部分都组合起来。
用点数学术语来说，就是把数列的递推关系转化成一个多项式，之后再寻找它的根，这样一来，数列的行为就一目了然了，真是个“聪明”的方法。
特征方程也不是随便就能搞定的。
就像你想要吃到那块蛋糕，首先得知道它在哪。
首先要搞清楚方程的形式，得把数列的递推关系整理成标准的形式，这可是一门“艺术”。
有些方程可能比较简单，像是1、2、3，直接就能找出规律；而有些方程可就复杂了，像是“九九乘法表”那样，得花些功夫才行。
不过，没关系，努力总是会有回报的，对吧？再说了，解特征方程就像是解谜游戏，找出根的过程充满了惊喜和挑战。
每当你找到一个根，心里那种成就感，简直就像是找到藏在沙发缝里的硬币，嘿嘿，那种感觉太妙了！找到所有根之后，咱们就可以写出数列的通项公式了，简直像是打开了宝藏的门，里面全是金灿灿的数字和规律，闪闪发光。
不过呀，有些数列的特征方程可能还涉及到复数，听起来有点吓人，其实也没啥大不了的。
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递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121=+===-+n a a a a a n n n …)，求通项公式n a 。
参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为12+=x x 即012=--x x ，解得251±=x ， 设此数列的通项公式为nn n c c a )251()251(21-++=， 由初始条件121==a a 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1)251()251(1251251222121c c c c ，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==515121c c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n a )251(251(55）。
这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。
换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。
面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。
其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。
二、研究与探索问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列{}n a 满足),1(,11≠+==+c d ca a b a n n 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设t c ca a t a c t a n n n n )1(),(11-+=+=+++则 ， 令d t c =-)1(，即1-=c dt ，当1≠c 时可得 )1(11-+=-++c da c c d a n n ，知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 是以c 为公比的等比数列， 11)1(1--+=-+∴n n c c da c d a 将b a =1代入并整理，得()11---+=-c d c b d bc a n n n .将上述参数法类比到二阶线性递推数列,11-++=n n n qa pa a 能得到什么结论？ 仿上，我们来探求数列{}n n ta a ++1的特征： 不妨设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ， 则11)(-++-=n n n sta a t s a , 令⎩⎨⎧==-qst pt s ①（1） 若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211t s t s ,则)(11111-++=+n n n n a t a s a t a ,)(12221-++=+n n n n a t a s a t a ,即{}n n a t a 11++、{}n n a t a 21++分别是公比为1s 、2s 的等比数列， 由等比数列性质可得1111211)(-++=+n n n s a t a a t a , 1212221)(1-++=+n n n s a t a a t a ,∵,21t t ≠由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 22121221211112..-+--+=.（2） 若方程组①有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11s t -=，则())(2112111111---++=+=+n n n n n n a t a s a t a s a t a =…)(11211a t a s n +=-，211121111s a s a s a s a nn n n -=-∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列， 由等差数列性质可知()21112111.1s a s a n s a s a nn --+=， 所以n n s n s a s a s a s a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=．（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t 即得02=--q ps s ，显然1s 、2s 就是方程q px x +=2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11-++=n n n qa pa a 的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为,11-++=n n n qa pa a 其特征方程为022=--+=q px x q px x 即， 1、 若方程有两相异根1s 、2s ，则n nn s c s c a 2211+=； 2、 若方程有两等根21s s =，则nn s nc c a 121)(+=.其中1c 、2c 可由初始条件确定。
这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令1==q p ，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d cb a ），看看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数t ，则da c ct a dtb a ct a t d ac b a a t a n n n n n +⋅++++=++⋅+⋅=++)(1 ② 令cta dtb t ++=，即 0)(2=--+b t d a ct ③ 记此方程的两根为21,t t ，（1） 若21t t ≠，将21,t t 分别代入②式可得 da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(da c t a ct a t a n n n +⋅++=++2221)(以上两式相除得21212111t a t a ct a ct a t a t a n n n n ++⋅++=++++， 于是得到⎭⎬⎫⎩⎨⎧++21t a t a n n 为等比数列，其公比为21ct a ct a ++， 数列{}n a 的通项n a 可由121211121)(-++⋅++=++n n n ct a ct a t a t a t a t a 求得；（2）若21t t =，将1t t =代入②式可得da c t a ct a t a n n n +⋅++=++1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11t a ct d t a c ct a t a n n n +-++⋅+=++ ④ 由于21t t =时方程③的两根满足cda t --=12，∴11ct d ct a -=+ 于是④式可变形为111111t a ct a c t a n n +++=++∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11t a n 为等差数列，其公差为1ct a c+， 数列{}n a 的通项n a 可由1111)1(11ct a cn t a t a n +⋅-++=+求得． 这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。
如果我们引入分式线性递推数列da c ba a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c R d cb a ）的特征方程为dcx b ax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列da cb a a a n n n +⋅+⋅=+1（0,,,,≠∈c Rd c b a ），其特征方程为d cx bax x ++=，即0)(2=--+b x a d cx ，1、若方程有两相异根1s 、2s ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21s a s a n n 成等比数列，其公比为21cs a cs a --； 2、若方程有两等根21s s =，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11s a n 成等差数列，其公差为1cs a c-. 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。
如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。
三、应用举例例1、 已知数列,5,121==a a 且)2(4411≥-=-+n a a a n n n ，求通项公式n a 。
解 设)(11-++=+n n n n ta a s ta a ，∴11)(-++-=n n n sta a t s a 令⎩⎨⎧-==-44st t s 可得⎩⎨⎧-==22t s 于是=-=-=----+)2(2)2(2221211n n n n n n a a a a a a (1121)23)2(2--⋅=-=n n a a ，∴432211=-++n n n n a a ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧nn a 2是以21211=a 为首项、43为公差的等差数列， ∴43)1(212⋅-+=n a nn ，从而22)13(-⋅-=n n n a . 例2、设数列{}n a 满足n n n n a a a a a 求,7245,211++==+.解： 对等式两端同加参数t 得()(),7252475272475272451++++⋅+=++++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a 令5247++=t t t ，解之得1-=t ，2，代入上式 得,72292,7213111++⋅=++-⋅=-++n n n n n n a a a a a a两式相除得,21312111+-⋅=+-++n n n n a a a a即31,41212111公比为是首项为=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-a a a a n n 的等比数列， ∴134234,34121111-⋅+⋅=⋅=+----n n n n n n a a a 从而． 四、收获与反思随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。
如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。
由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式，“授人以鱼不如授之以渔”，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。