离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答
第1章 习题讲解 离散数学(共22张PPT)
设 P :今天是星期二 Q :我有一次计算方法测验 R :我有物理(wùlǐ)测验 S :物理(wùlǐ)
老前师提生(病qiántí)： P ∧P → Q ∨ R， S → R
S，
步骤
断 言（真）
结论：Q
根据
1
2
3
4 5
6
7 8
2012-2013-2
P∧S
P P→Q∨R Q∨R
S
S→ R
R
Q
鲁东大学 第十四页，共22页。
鲁东大学 第十六页，共22页。 数学与统计科学学院 鲍永平
第一章 数理逻辑
习题(xítí)1.6
11.设 P(x, y, z) 表示 x * y ＝z，E( x, y )表示 x＝y，G(x , y)表示 x > y，
论述域是整数(zhěngshù)，将以下断言译成逻辑符。
2)如果(rúguǒ) xy 0，那么 x 0并且 y 0
〔i〕 Q （R ∧ P）
我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。
〔i v〕
（R ∨ Q ）
说我有时间或我去镇上是不对的
2012-2013-2
鲁东大学 第四页，共22页。 数学与统计科学学院 鲍永平
第一章 数理逻辑
2. 否认以下(yǐxià)命题 〔1〕上海处处(chùchù)清洁
上海并非处处清洁 4. 给 P 和 Q 指派(zhǐpài)真值 T，给 R 和 S 指派(zhǐpài)
第一章 数理逻辑 14.试译出“ a 是 b 的外祖父〞，只允许用以下(yǐxià)谓词： P(x) 表示 “x是人〞，F(x , y)表示 “x 是 y 的父亲〞， M(x，y)表示 “ x 是 y 的母亲〞
x ( P(x) ∧ P(a) ∧ P(b) ∧ F( a , x) ∧ M(x, b) )
（完整版）离散数学答案（尹宝林版）第一章习题解答
（完整版）离散数学答案（尹宝林版）第一章习题解答第一章命题逻辑习题与解答⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。
⑴ 2x - 3 = 0。
⑵ 前进！⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。
⑷ 请勿吸烟！⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。
⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。
解⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。
⒉ 将下列命题符号化：⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。
⑶ 他生于1963年或1964年。
⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。
⑸ 只要上街，我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。
⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。
⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。
⑼ 我进城的必要条件是我有时间。
⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。
解⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为 ?p 。
⑵ p ：我看见的是小张。
q ：我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。
⑶ p ：他生于1963年。
q ：他生于1964年。
“他生于1963年或1964年”符号化为p ⊕ q 。
⑷ p ：害怕困难。
q ：战胜困难。
“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q → ? p 。
⑸ p ：我上街。
q ：我去书店。
“只要上街，我就去书店”符号化为p → q 。
⑹ p ：小杨晚上做完了作业。
q ：小杨晚上没有其它事情。
r ：小杨晚上看电视。
s ：小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
⑺ p ：林芳在家里。
q ：林芳做作业。
r ：林芳看电视。
“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。
⑻ p ：三角形三条边相等。
离散数学课后习题答案(最新)
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。
离散数学第五版前3章课后习题答案
第1章习题1.1(2) 简单命题（3），（4），（5）不是命题(6) 复合命题1.5p∧，其中，p：2是偶数，q：2是素数。
（1）qp→，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（5）qq→，其中，p，q的含义同（5）（6）pq→，其中，p，q的含义同（5）（7）p1.7（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重等值演算法→)p∨∨q(rp∨⇔（蕴含等值式）∨⌝qp∨(r)p∨⌝⇔)(（结合律）p∨∨rqp⇔1（排中律）∨rq∨⇔（零律）1由最后一步可知，（1）为重言式。
（3）用等值演算法判（3）为矛盾式(→⌝)p∧qq⌝⇔)(（蕴含等值式）⌝q∨qp∧⇔（德·摩根律）⌝∧p∧qq∧⇔（结合律）⌝(q)qp∧0∧⇔p （矛盾律）0⇔（零律）由最后一步可知，（3）为矛盾式。
（10）非重言式的可满足式 1.8（1）从左边开始演算)()(q p q p ⌝∧∨∧)(q q p ⌝∨∧⇔ （分配律）1∧⇔p （排中律） .p ⇔ （同一律）（2）从右边开始演算)(r q p ∧→)(r q p ∧∨⌝⇔ （蕴含等值式） )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝⇔ （分配律） ).()(r p q p →∧→⇔ （蕴含等值式）1.9（1）))((p q p →∧⌝ ))((p q p ∨∧⌝⌝⇔ （蕴含等值式）p q p ⌝∧∧⇔（德·摩根律） q p p ∧⌝∧⇔)(（结合律、交换律）q ∧⇔0 （矛盾式）.0⇔（零律）由最后一步可知该公式为矛盾式。
（2）)())()((q p p q q p ↔↔→∧→)()(q p q p ↔↔↔⇔（等价等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。
1.12 (1) 设(1)中公式为A.)())((r q p r q p A ∧∧→∧∨⇔ )())((r q p r q p A ∧∧∨∧∨⌝⇔)()(r q p r q p A ∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(r q p r p q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())((r q p r q q p r r q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()(r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔7210m m m m A ∨∨∨⇔于是,公式A 的主析取范式为7210m m m m ∨∨∨易知,A 的主合取范式为6543M M M M ∨∨∨A 的成真赋值为000, 001, 010, 111A 的成假赋值为011,100,101,110(2)设(2)中公式为B)()(p q q p B ∨⌝→→⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⌝⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⇔ )()(p q q p ∨⌝∨∨⌝⇔ p q q p ∨⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())(()(q q p q p p q p ⌝∨∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝⇔)()()()()(q p q p q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔320m m m ∨∨⇔所以,B 的主析取范式为320m m m ∨∨.B 的主合取范式为1M B 的成真赋值为00,10,11. B 的成假赋值为01. 1.14 设p:A 输入;设q:B 输入; 设r:C 输入;由题的条件,容易写出C B A F F F ,,的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的}{↓中的公式即可.)()()()(r q p r q p r q p r q p F A ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⇔)()()()(r r q p r r q p ∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧⇔)()(q p q p ∧∨⌝∧⇔ )(q q p ∨⌝∧⇔ p ⇔)()(r q p r q p F B ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝⇔)()(r r q p ∨⌝∧∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⌝⌝⇔ )(q p ⌝∨⌝⇔q p ⌝↓⇔)(q q p ↓↓⇔. )(r q p F C ∧⌝∧⌝⇔r q p ∧∨⌝⇔)(r q p ∧↓⇔)( ))((r q p ∧↓⌝⌝⇔ ))((r q p ⌝∨↓⌝⌝⇔ r q p ⌝↓↓⌝⇔)()())()((r r q p q p ↓↓↓↓↓⇔1．19 (1)证明 ①r q ∨⌝ 前提引入②r ⌝ 前提引入③q ⌝ ①②析取三段论 ④)(q p ⌝∧⌝ 前提引入 ⑤q p ∨⌝ ④置换⑥p ⌝ ③⑤析取三段论 (2)附加前提证明法：证明 ①r 附加前提引入 ②r p ⌝∨ 前提引入③p ①②析取三段论④)(s q p →→ 前提引入 ⑤s q → ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 (5)归缪法：证明 ①q 结论的否定引入②s r ∨⌝ 前提引入 ③s ⌝ 前提引入④r ⌝ ②③析取三段论 ⑤r q p →∧)( 前提引入 ⑥)(q p ∧⌝ ④⑤拒取式 ⑦q p ⌝∨⌝ ⑥置换⑧p 前提引入⑨q ⌝ ⑦⑧析取三段论 ⑩q q ⌝∧ ①⑨合取 ⑪0 ⑩置换 1.20 设p ：他是理科生q ：他是文科生 r ：他学好数学 前提 r p q r p ⌝→⌝→,,结论q通过对前提和结论的观察，知道推理是正确的，下面用构造证明法给以证明。
离散数学第五版第一章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
相容性，有时具有排斥性，对应的联结词分别称为相容或和
排斥或
h
15
命题与联结词
例5：将下列命题符号化。
（1）张明正在睡觉或游泳。 （2）李强是位排球队员或是足球队员。 （3）他昨晚做了二十或三十道题。 或表示约数，不能用析取 （4）张静只能挑选202或203房间。
p:张明正在睡觉。 q:张明正在游泳 pq
h
6
命题与联结词
一、命题
定义：能判断真假的陈述句，被称为命题。
说明： 1) 命题的真值：作为命题所表达的判断只有两个结果：正确和 错误，此结果称为命题的真值。
命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误的，称此 命题的真值为假。
真值为真的命题称为真命题 ；真值为假的命题称为假命题。
任何命题的真值都是唯一的。
例如: ( ((P∧Q)∨R)→((R∨P)∨Q)) 可写成:(P∧Q∨R)→R∨P∨Q
但有时为了看起来清楚醒目, 也可以保留某些原可省去的括号。
3) 我们只关心复合命题中命题之间的真值关系，而不关心命题
的内容。
h
22
命题与联结词
例 8 将下列命题符号化
① 设P表示“他有理论知识”, Q表示“他有实践经验”, 则“他既有理论知识又有实践经验”
真命题 真命题
（3）雪是黑的。
（4）x大于y。
（5）向右看齐！
（6）你吃饭了吗？
h
假命题
真值不唯一 非命题
祈使句 非命题
疑问句 非命题
8
命题与联结词
例1： 判断下列句子是否为命题，真值如何？
（7）本命题是假的 。
悖论 非命题
（8）我正在说谎。
悖论 非命题
（9）2014年元旦是晴天。
离散数学(第五版)清华大学出版社第
离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2（1）p:2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→q。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→q为假命题。
（7）p→q，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命可编辑范本题，q为真命题，因而p→q为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
离散数学第一章命题逻辑习题答案
习题一 5.证明下列各等价式
(4)(P Q) (Q R) (R P) (P Q) (Q R) (R P) 证明 : (P Q) (Q R) (R P) (Q (P R) ) (R P) (分配律) (Q (R P) ) (P R (R P) ) (Q R) (P Q) (R P) (分配律、吸 收律、交换律)
P1 P4 ~ P1
~P4
~P4 ~P3
~P3
P2
P2 P3 P2 J
J
习题一 23(3) 利用消解法证明蕴含式：
P (Q R), Q (R S) P (Q S) 证明: 首先把结论否定加入前提得公式集: P (Q R), Q (R S), ~(P (Q S)) 构造子句集:{~P ~Q R, ~Q ~R S, P, Q, ~S} 消解过程如下: (1) P 引入子句 (2) ~P ~Q R 引入子句 (3) ~Q R 由(1)(2)消解 (4) Q 引入子句 (5) R 由(3)(4)消解 (6) ~Q ~R S 引入子句 (7) ~Q S 由(5)(6)消解 (8) ~S 引入子句 (9) ~Q 由(7)(8)消解 (10) 由(9)(4)消解
P (R (Q P)) 1 1 1 1 0 1
1 1 0
0
0
1
1 1 1 1 解法一 (真值表法) 由对应于公式取值为0的全部解释得主合取范式： (~P Q R) (~P ~ Q R) 由对应于公式取值为1的全部解释得主析取范式：
(~P ~ Q ~ R) (~P ~ Q R) (~P Q ~ R) (~P Q R) (P ~ Q R) (P Q R)
离散数学第1章习题答案
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#define MAX_STACK_SIZE 100typedef int ElemType;typedef struct{ElemType data[MAX_STACK_SIZE];int top;} Stack;void InitStack(Stack *S){S->top=-1;}int Push(Stack *S,ElemType x){if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1){printf("\n Stack is full!");return 0;}S->top++;S->data[S->top]=x;return 1;}int Empty(Stack *S){return (S->top==-1);}int Pop(Stack *S,ElemType *x){if(Empty(S)){printf("\n Stack is free!");return 0;}*x=S->data[S->top];S->top--;return 1;}void conversion(int N){int e;Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));InitStack(S); while(N){Push(S,N%2);N=N/2;}while(!Empty(S)){Pop(S,&e);printf("%d ",e);}}void main(){ int n;printf("请输入待转换的值n：\n");scanf ("%d",&n);conversion(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
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离散数学（第五版）清华大学出版社第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p: 2是无理数，p为真命题。
（2）p:5能被2整除，p为假命题。
（6）p→ｑ。
其中，p:2是素数，q：三角形有三条边。
由于p与q都是真命题，因而p→ｑ为假命题。
（7）p→ｑ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p为假命题，q为真命题，因而p→ｑ为假命题。
（8）p:2000年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
1（10）p：小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定，是确定的。
（12）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数。
由于q是假命题，所以，q为假命题，p∨q为真命题。
（13）p∨q，其中，p:4是偶数，q:4是奇数，由于q是假命题，所以，p∨q 为假命题。
（14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。
（15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。
这是真命题。
分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。
1．3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为（1）p→ｑ（2）p→?q（3）?p→ｑ（4）?p→?q（5）p?q（6）p??q（7）?p→ｑ（8）?p??q以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。
分析本题要求读者记住p→ｑ及p?q的真值情况。
p→ｑ为假当且仅当p为真,q为假,而p?q为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2）p→ｒ，其中，p同（1），r：明天为3号。
在这里，当p为真时，r一定为假，p→ｒ为假，当p为假时，无论r为真还是为假，p→ｒ为真。
21．5 （1）p∧q，其中，p：2是偶数，q：2是素数。
此命题为真命题。
（2）p∧q，其中，p：小王聪明，q：小王用功（3）p∧q，其中，p：天气冷，q：老王来了（4）p∧q，其中，p：他吃饭，q：他看电视（5）p∧q，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（6）p→ｑ，其中，p，q的含义同（5）（7）p→ｑ，其中，p，q的含义同（5）（8）?p??q，其中，p：经一事，q：长一智分析1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。
在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。
例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。
在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭，q：他一边看电视。
2°后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。
p→ｑ所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。
例如，“因为p，所以q”，“只要p，仅当q”“只有q才p”“除非q，否则?p”“没有q，就没有p”等都表就q”“ｐ达了q是p的必要条件，因而都符号化为p→ｑ或?p??q的蕴含式。
在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为p→ｑ，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为q→ｐ。
在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。
1．6 （1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。
分析1°（1）中公式含3个命题变项，因而它应该有23=8个赋值：000，3001，…，111题中指派p, q为0, r为1，于是就是考查001是该公式p∧(q∧r)的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。
2°在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有24=16个赋值：0000，0001，…，1111。
现在考查0011是它的成假赋值。
1.7 （1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。
一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。
（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。
真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重言式。
p∨q∨rp→(p∨q∨r)p q r0 0 0 0 10 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 11 0 0 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1等值演算法p→(p∨q∨r)??p∨(p∨p∨r) （蕴含等值式）?(?p∨p)∨p∨r （结合律）?1∨q∨r （排中律）? 1 （零律）4由最后一步可知，（1）为重言式。
（2）用等值演算法判（2）为重言式。
(p→?p)→?p?(?p∨?)→?p （蕴含等值式）??p∨?p （等幂律）? p∨?p （蕴含等值式）?1 （排中律）（3）用等值演算法判（3）为矛盾式?(p→q)∧q??(p?∨q)∧q （蕴含等值式）? p∨?q∧q （德·摩根律）? p∨(?q∧q) （结合律）? p∧0 （矛盾律）?0 （零律）由最后一步可知，（3）为矛盾式。
（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。
真值表法p q ?p ?p→qq→?p(?p→q)→(q→?p)0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 11 0 0 1 1 11 1 0 1 0 0由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。
主析取范式法(?p→q)→(q→?p)?(p∨q)→(?q∨?p)5??(p∨q)∨(?q∨?p)?(?p∨?q)∨?q∨?p??p∨?q?(?p∧1)∨(1∧?q)?(?p∧(?q∨q)∨((?p∨p)∧?q)?(?p∧?q)∨(?p∨q)∨(?p∧?q)∨(p∨?q)?(?p∧?q)∨(?p∨q)∨(?p∧?q)?m0∨m1∨m2.在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。
其余各式的类型，请读者自己验证。
分析 1 真值表法判断公式的类别是万能。
公式A为重言式当且仅当A的o真值表的最后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的最后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表最后一列至少有一个1，又至少有一个0。
真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。
2o 用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。
例如，对（6）用等值演算判断它的类型。
(p∧?p)?q?0?q （矛盾律）?(p→q)∧(q→0) （等价等值式）?(?0∨q)∧(?q∨0) （蕴含等值式）?(1∨q)∧?q （同一律）?1∧?q （零律）6??q （同一律）到最后一步已将公式化得很简单。
由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。
用主析取范式判断公式的类型也是万能的。
A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。
当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。
用主合取范式判断公式的类型也是万能的。
A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项，此时记A的主合取范式为1；A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含2n个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。
1.8 （1）从左边开始演算(p∧q)∨(p∧?q)? p∧(q∨?q)（分配律）?p∧1 （排中律）?p.（同一律）（2）从右边开始演算p→(q∧r)??p∨(q∧r) （蕴含等值式）?(?p∨q)∧(?p∨r)（分配律）?(p→q)∧(p→r).（蕴含等值式）（3）从左边开始演算?(p?q)7?((p→q)∧(q→p))??((?p∨q)∨(?p∨q))??((?p∧q)∨(?p∧)∨(q∧?q)∨(p∧q))??((?p∧?q)∨(p∧q))?(p∨q)∧?(p∧q).请读者填上每步所用的基本等值式。
本题也可以从右边开始演算(p∨q)∧?(p∧q)???((p∨q)∧?(p∧q)??(?(p∨q)∨??(p∧q))??((?p∨?q)∨(p∧q))??((?p∧q)∧(?p∨q)∧(?q∨p)∧(?q∨q))??(1∧p∨q)∧(?q∨p)∧1??((p→q)∧(q→p))??(p?q).读者填上每步所用的基本的等值式。
1.9 （1）?((p∧q)→p)??(?(p∧q)∨p （蕴含等值式）??(?(p∧q)∨p) （德·摩根律）? p∧q∧?p （结合律、交换律）?(p∧?p)∧q （矛盾式）?0. （零律）8由最后一步可知该公式为矛盾式。
（2）((p→q)∧(q→p))→(p?q)??(?(p∧q)∨p) （蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。