利用数学模型解题——大角夹半角
夹半角模型及应用
夹半角模型及应用
方法与技巧：
夹半角问题是通过旋转对除半角外剩余的角进行拼凑，从而产生一组旋转全等和一组轴对称全等来解决。
在实际解题过程中，添加辅助线的方式与截长补短相同。
强化练习：
模型1：90°角夹45°角
1、如图：正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以A 为顶点作∠EAF=45°，交CD 于点F ． 求证：①EF = BE+DF ②AE 平分∠BEF
2、如图：正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以A 为顶点作∠EAF=45°，交CD 于点F ． 求证：①EF = BE-DF ②∠AFD+∠AFE=180°
F
A
C
B
D E
45
F
E
D
C B A
模型2: 120°角夹60°角
3、如图：四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=120°，E 、F 分别是AB ，AD 上的点，∠ECF=∠A=60°． 求证：①BE+DF=EF ②点C 在∠BAD 的平分线上
模型3: 2a °角夹a °角
4、如图，在四边形ABCD 中， AB ＝AD ，∠B+∠D＝180°， E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且2∠EAF ＝∠BAD， 求证: ①BE+DF=EF ②CE 平分∠BEF
F
E D
C
B
A。
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)【范本模板】
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1。
掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2。
掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题.4。
通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
小结：（1）正方形与矩形,菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】:作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2—1）， ∴AG=BM=2（2—1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =,则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得:222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2。
掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3。
正确运用正方形的性质解题。
4。
通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。
知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全.小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2)正方形的性质:①正方形对边平行.②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ,使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知:GM=BM ．而BM=BD-DM=22-2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2-1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得:222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例3。
利用数学模型解题——大角夹半角(共7张PPT)
1. 理解图形中大角与半角的含义
2. 通过思考，交流讨论总结找出模型特征， 固化思路，快速作答
学法指导：
1、自主学习例1，总结出此类型题的图形 特征并找出解决办法
2、尝试应用你在例1中积累的经验，解决 问题
一、学习过程：
自主学习（抽象模型）
例1、如图①，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且有 ∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF
M’谢谢！Fra bibliotek思路分析： 1、求两条线段的和等于一条线段，通常我们会
怎样思考？
2、 ∠BAE与∠DAF，你能把它们拼在一起么
？拼图后有没有全等三角形？
A
●
●
×
3、你能体会图中的大角与半角的含义么？ 你还能找到图形的哪些特点？
F’
模型特征:
1 、组成大角的两条线段相等。 2、大角与半角具有公共顶点。
方法小结：
1、旋转某个图形使大角的等线段重合在一起。
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，G F=6，BM= ，求AG，MN的长 32
M’
M
N
三、达标测评（固化思路，轻松求解）
• 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三 角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使
二特、征合 并作找探出究解其：决（办模法两型应边用）分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求
△AMN的周长 特征并找出解决办法
2、尝试应用你在例1中积累的经验，解决 （3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，G ，DH之间的数量关系，并说明理由． 2、利用全等三角形进行求解。 （1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC， 是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A （3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，G 逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND 1、求两条线段的和等于一条线段，通常我们会怎样思考？ 2、大角与半角具有公共顶点。 3、你能体会图中的大角与半角的含义么？你还能找到图形的哪些特点？ 特征并找出解决办法 三、达标测评（固化思路，轻松求解）
第8讲 夹半角模型(word版)
数学故事古典密码术大家经常见到的藏头诗实际是一种加密术，它通过坐标变换的方式隐藏了秘密，这个例子虽然很简单，但它反映出了加密术的本质－－变换坐标系。
加密术最早应用于古代战争，当时是靠士兵随身携带的信件来传递情报，但总是免不了被敌方俘虏，从而使情报落入敌手，这对作战部队而言可是生死悠关的大事。
传说当时的凯撒大帝有一个能加密的办法，就在写命令前做一个对应表：明码：A B C D E F．．．．W X Y Z密码：D E F G H I．．．．Z A B C如果他想写BABY，就用EDEB来表示。
当大将收到了EDEB这个密码后，向前推3个字母，就得到了明文。
这个对应表的移位数是3，当然别的数也可以，作战前由凯撒定好后通知大将们。
这种加密方式其实就是把坐标系横移了3格，这种方法非常简单，但同时也很容易被敌方猜到，敌人从1到25推25次，得到25组新编码，必有一种编码是真实的情报内容，把这组编码区别出来非常容易，因为其它24组都是毫无意义的字母组合，只有这一组是有意义的句子，找个识字的人就可以看得出来。
凯撒该怎么办呢？有个聪明人帮他出了个主意，对应表不按字母顺序写，而是搞个乱乎的。
例如A对Q，B对F，随便配对，只要保证26个明密码对里，每个都出现一次就行了。
每次出征前，凯撒都会临时搞个非常乱乎的明密码对应表，然后发给大将。
这招很不错，敌人即使截获了密文，由于不知道明密码对应表，也很难破译出来，这其实也是坐标系的一种变换，这种方法被后人称为“单表系统”。
很多年过去了，有人发现了这种加密方法的漏洞，因为英文字母的出现次数是不同的，例如E出现的次数最多，甚至可以搞出个频次表来，如果一件密文中R出现的次数最多，那这个R会不会就是E呢？这个猜想很合理，即使代表的不是E，那它代表的也应是明文中出现次数较多的字母。
按照这种思路试试吧，My God，密码解开了。
现在又轮到加密方纠结了，他们想，破解方是在拿明密文中字母出现的频次做文章，如果我们能把频次的区别消除掉，他们不就没办法了吗？道理虽然很好，但怎样才能消除这种频次的差别呢，毕竟明文中字母的频次就是不一样，这本身没法改变啊。
大角夹半角
第三讲大角夹半角1、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CBDC、（或它们的延长线）于点M、N。
当∠MAN=45°绕点A旋转到B M=DN时（如图1），易证BM+DN=MN。
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。
12、已知四边形ABCD 中，A B A D ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图1） A B CDE FM N（图2）A B CDE FM N（图3）A BCDE F MN如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E 、F 分别是BC 、CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ，使DG ＝BE ．连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是 EF ＝BE ＋DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离？11. 如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则A MN ∆的周长为 ；在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-2，0)，点B(0,2)，点E，点F分别为OA，OB的中点。
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角夹半角模型
一、解答题(共1道，每道100分)
1.（2010重庆改编）等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：当M、N 分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
（I）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_____________；此时___________；
（II）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则
Q=_________（用、L表示）．。
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1。
掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想.5。
通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点.知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结）。
正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。
正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:（1）正方形与矩形，菱形,平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。
②正方形四边相等.③正方形四个角都是直角.④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD,垂足为M ． 由题意可知∠ADG=GDM, 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而BM=BD —DM=22—2=2（2—1)， ∴AG=BM=2（2—1)．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积？【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+． 可得：222110(10)4x x =++． 故6x =．216256ABCD S ==．例 3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ,AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME,△ADF ≌△AMF 即可． 理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF,AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,且45EAF ︒∠=,试说明EF BE DF =+. 【解析】：将△ADF 旋转到△ABC ，则△ADF ≌△ABG∴AF=AG ，∠ADF=∠BAG,DF=BG∵∠EAF=45°且四边形是正方形， ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°∴△AEF ≌△AEG （SAS ） ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF例5。
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二、合作探究：（模型应用）
（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC， CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数． （2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N 是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A 逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND ，DH之间的数量关系，并说明理由． （3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，G F=6，BM= 3 2 ，求AG，MN的长
M’
M
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三、达标测评（固化思路，轻松求解）
• 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等 腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个 60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N， 连接MN，求△AMN的周长
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利用数学模型解题—大角夹半角
郸城一高附中 杨静
学习目标：
1. 理解图形中大角与半角的含义
2. 通过思考，交流讨论总结找出模型特征， 固化思路，快速作答
学法指导：
1、自主学习例1，总结出此类型题的图形 特征并找出解决办法 2、尝试应用你在例1中积累的经验，解决 问题
一、学习过程：
自主学习（抽象模型） 例1、如图①，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且有∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF
思路分析： 1、求两条线段的和等于一条线段， 通常我们会怎样思考？ 2、 ∠BAE与∠DAF，你能把它们拼在 一起么？拼图后有没有全等三角形？
A
● ● ×ຫໍສະໝຸດ 3、你能体会图中的大角与半角的含 义么？你还能找到图形的哪些特点？
F’
模型特征:
1 、组成大角的两条线段相等。 2、大角与半角具有公共顶点。
方法小结：