1.1.1集合的概念【解析版】

1.1.1集合的概念
1．下列说法正确的是( )
A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B ．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等
C ．不超过20的非负数组成一个集合
D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：A 项中元素不确定；B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D 项中方程的解分别是x 1＝1，x 2＝x 3＝－1，由互异性知，构成的集合中有2个元素．
2．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )
A ．3.14
B ．－5 C.37 D.7 解析：因为7是实数，但不是有理数，故选D.
3．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )
A ．2个元素
B ．3个元素
C ．4个元素
D ．5个元素
解析：法1：因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种
形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．
法2：令x ＝2，则题中实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含有2个元素．
4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的，且2∈A ，则实数m 的值为( )
A ．2
B ．3
C．0或3 D．0,2,3均可
解析：因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2.当m＝2时，m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去．当m2－3m＋2＝2时，m＝0或m＝3，由集合中的互异性知m＝3.故选B.
5.已知A={x|x≤2√3,x∈R}，a=√14，b=2√2，则( )
A．a∈A且b∉A B．a∉A且b∈A
C．a∈A且b∈A D．a∉A且b∉A
解析：∵A={x|x≤2√3，x∈R}，a=√14，b=2√2,
由√14>2√3，可得a∉A；由2√2<2√3，可得b∈A,
故选B．
6．已知集合A中的元素都是自然数，满足a∈A且4－a∈A的有且只有2个元素的集合A的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：若a＝0∈N，则4－a＝4∈N，符合题意；
若a＝1∈N，则4－a＝3∈N，符合题意；
若a＝2∈N，则4－a＝2∈N，不合题意；
若a＝3∈N，则4－a＝1∈N，符合题意；
若a＝4∈N，则4－a＝0∈N，符合题意；
当a>4且a∈N时，均不符合题意．
综上，集合A的个数是2，故选C.
7．集合A={2,0,1,7}，B={x|x2−2∈A,x−2∉A}，则集合B中的所有元素之积（）A．36 B．54
C．72 D．108
解析：当x2−2=2时，x=2或x=−2；
又2−2=0∈A，−2−2=−4∉A,∴2∉B，−2∈B；
当x2−2=0时，x=√2或x=−√2，
又√2−2∉A，−2−2=−4∉A,∴√2∈B，−√2∈B；
当x2−2=1时，x=√3或x=−√3,∴√3∈B，−√3∈B；
当x2−2=7时，x=3或x=−3，
又3−2=1∈A，−3−2=−5∉A,∴−3∈B，3∉B，
∴B={−2,√2,−√2,√3,−√3,−3}。

又−2×√2×(−√2)×√3×(−√3)×(−3)=36．
故选A．
8．若集合A={x|ax2+ax−1=0}只有一个元素，则a=（）
A．-4 B．0
C．4 D．0或-4
解析：由题意得ax2+ax−1=0只有一个实根，所以{a≠0
Δ=0,{a≠0
a2+4a=0
,a=−4，
9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝.
解析：∵x 2∈A ，∴x 2＝1，或x 2＝0，或x 2＝x .∴x ＝±1，或x ＝0.当x ＝0，或x ＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴x ＝－1.
10．设集合A ={1,2,4}，集合B ={x|x =a +b,a ∈A,b ∈A }，则集合B 中有____个元素．
【解析】由题意，x 可能为1+1，1+2,1+4,2+2，2+4,4+4，即2,3,4,5,6,8.所以B={2，3，4，5，6，8}；共有6个元素。

11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为 . 解析：由题意，知t ∈N 且t ＝－x 2＋1≤1，故t ＝0或1.
12．方程组{x +y =0x 2−4=0
的解组成的集合为_________. 解析：由x 2−4=0，解得x =2或x =−2，代入x +y =0，可解得{
x =2y =−2 或{x =−2y =2 ， 所以方程组{x +y =0x 2−4=0
的解组成的集合为{(2,−2),(−2,2)}， 故答案为{(2,−2),(−2,2)}. 13．设x ，y ，z 是非零实数，若a ＝x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz |xyz |
，则以a 的值为元素的集合中元素的个数是 .
解析：当x ，y ，z 都是正数时，a ＝4；当x ，y ，z 都是负数时，a ＝－4；当x ，y ，z 中有1个是正数，另2个是负数或有2个是正数，另1个是负数时，a ＝0.所以以a 的值为元素的集合中有3个元素．
14．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
解析：由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则(){,|02x y x ≤≤且01}y ≤≤. 故答案为(){,|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.
15．已知集合A={1,2，3}，B={1,m}，若3−m∈A，则非零实数m的数值是______．解析：由题意，若3−m=2,则m=1,此时B集合不符合元素互异性，故m≠1;
若3−m=1,则m=2,符合题意；若3−m=3,则m=0,不符合题意.故答案为2。

16．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1. 17.若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值.
，又2a1+≥1，
解析：∵{}
2
33,21a1
a a
－－－，
∈+
∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，
解得a＝0，或a＝－1，
当a＝0时，2
--+＝{－3，－1,1}，满足集合中元素的互异性；
a a a
{3,21,1}
当a＝－1时，2
--+＝{－4，－3,2}，满足集合中元素的互异性；
a a a
{3,21,1}
∴a＝0或－1.
18．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－3是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
解：(1)因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，
则a－3＝－5，或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
19．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且a
b∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解：①数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32
＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2
＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． ②数集Q ，R 是“闭集”．
由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，
即a ±b ，ab ，a b
(b ≠0)仍是有理数， 所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．
20.设A 是由一些实数构成的集合，若a ∈A ，则11－a
∈A ，且1∉A . (1)若3∈A ，求集合A ；
(2)证明：若a ∈A ，则1－1a
∈A ； (3)集合A 能否只有一个元素？若能，求出集合A ；若不能，说明理由．
解：(1)∵3∈A ，∴11－3＝－12
∈A ， ∴11－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝23∈A ， ∴1
1－23＝3∈A ，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12，23. (2)证明：∵a ∈A ，∴
11－a ∈A ， ∴11－11－a
＝1－a －a ＝1－1a ∈A .
(3)不能．理由：假设集合A只有一个元素，记A＝{a}，则a＝1
1－a，即
a2－a＋1＝0有且只有一个实数解．
∵Δ＝(－1)2－4＝－3<0，∴a2－a＋1＝0无实数解．
这与a2－a＋1＝0有且只有一个实数解相矛盾，
∴假设不成立，即集合A不能只有一个元素．。