四种命题间的相互关系

1.1.2 四种命题

1． 1.3 四种命题间的相互关系

学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一四种命题的概念

思考 1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

思考 2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？

答案有．

梳理

思考 1 命题与其逆命题之间是什么关系？

答案互逆．

思考 2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理(1) 四种命题间的关系

(2)四种命题间的真假关系

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

知识点三逆否证法

思考由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明方法叫做逆否证法．

譬如，求证：“若m>0 ，则方程x1 2＋x－m＝0 有实根”为真命题．

证明把要证的命题视为原命题，则它的逆否命题为：

“若方程x2＋x－m＝0 无实根，则m≤0.”

21 若方程x ＋x－m＝0 无实根，则Δ＝4m＋1<0，所以m< －4<0. 所以命题“若方程x2＋x－m＝0 无实根，则m≤0”为真．所以“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题．

逆命题：若 a 的平方根不等于0，则 a 是正数．

否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方根等于0.

逆否命题：若a的平方根等于0，则 a 不是正数．

类型一四种命题的写法

例 1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1) 正数的平方根不等于0；

2

(2) 当x＝2 时，x2＋x－6＝0；

(3)对顶角相等．

解(1)原命题：若 a 是正数，则 a 的平方根不等于0.

(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.

逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.

否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0. 逆否命题：若x2＋x－6≠ 0，则x≠2.

(3) 原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．

反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．

跟踪训练 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．

解(1) 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．类型二等价命题的应用

例 2 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞ )上的增函数，a，b∈R ，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

证明方法一原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0 ，则f(a)＋f(b)< f(－a)＋f(－b)”．

若a＋b<0，则a<－b，b<－ a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞ )上是增函数，∴f(a)

∴原命题为真命题．

方法二假设a＋b<0，则a<－b，b<－ a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞ ）上是增函数，

∴f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）．

∴ f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b）．

这与已知条件f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

反思与感悟因原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．

跟踪训练 2 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明“ 若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠ 2b＋1” 的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a

＋1＝0” ．∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.

∴命题“ 若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

类型三反证法的应用

π π π

例 3 若a、b、 c 均为实数，且a＝x2－2y＋2，b＝y2－2z＋3，c＝z2－2x＋6.求证：a、b、c 中至少有一个大于0.

证明（反证法）假设a、b、c 都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.

而a＋b＋c

＝x2－2y＋2π＋y2－2z＋3π＋z2－2x＋6π

236

＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3.

∵π－3＞0，且（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2≥0

∴ a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0 矛盾，

因此a、b、 c 中至少有一个大于0.

反思与感悟（1）求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明．用反证法证明命题的一般步骤：① 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③ 由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确．（2）常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：

证：AD<23BC.

1．命题若“ a?A，则b∈B”的否命题是( )

A ．若a?A，则b?B

B ．若a∈A，则b?B