最新2000年全国高中数学联赛试题和详细解析
2000年全国高中数学联赛试题及解答
B
x
C
2000 年全国高中数学联赛
通渭一中
刘黎明
|5(5x－3y+2)+2| ． 5 34 ∵5x－3y+2 为整数， 故|5(5x－3y+2)+2|≥ 2． 且当 x=y=－1 时即可取到 2． 选 B． π π 6．设 ω=cos +isin ，则以 ， 3， 7， 9 为根的方程是( ) 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0 (C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0 解：ω5+1=0，故 ， 3， 7， 9 都是方程 x5+1=0 的根． x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选 B． = 二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________. π 解：2000° =180° ×12－160° ．故填－20° 或－ ． 9 n 2．设 an 是(3 x) 的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，…)， 32 33 3n 则n→∞ lim ( + +…+ ))=________. a2 a3 an 3k 2· 32 18 n－2 2 解：an=3 Cn．∴ = k －2 = ，故填 18． ak 3 n(n－1) n(n－1) 3．等比数列 a+log23，a+log43，a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)－(a+log83) log43－ log83 1 1 解：q= = = = = ．填 ． a+log23 a+log43 (a+log23)－(a+log43) log23－ log43 3 3 2 2 x y 4．在椭圆 2+ 2=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上 y a b B 5－1 方的端点为 B.若该椭圆的离心率是 ，则∠ABF=_________. 2 O F 5－1 5+1 5+3 解： c= a， ∴|AF|= a． |BF|=a， |AB|2=|AO|2+|OB|2= a2． 2 2 2 故有|AF|2=|AB |2+|BF|2．即∠ABF=90° ．填 90° ． 5－1 2 或由 b2=a2－c2= a =ac，得解． 2 A 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 a，则 H 这个球的体积是________. O 3 B 解：取球心 O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE= a， G 2 E C 6 6 3 AG= a，AO= a，BG= a，AB∶AO=BG∶OH． 3 4 3 AO· BG 2 4 2 2 OH= = a．V= πr3= πa3．填 πa3． ． AB 4 3 24 24 6．如果：(1)a，b，c，d 都属于{1，2，3，4}；(2)a b，bc，cd，da； (3)a 是 a，b，c，d 中的最小值，
2000年全国高中数学联赛试卷及详细解析
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 （ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2． 设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 （ ） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3． 已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（ ） 6． 设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
(详细解析)2000年高考(全国旧课程)数学试题及答案(文科)
2000年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合{}{}|101,|||5A x x Z x B x x Z x =∈-≤≤-=∈≤且且，则A B 中的元素个数是A ．11B ．10C ．16D ．15 【答案】C【解析】由题设可得{}{}|101,|55A x x B x x =-≤≤-=-≤≤，所以A B 中有11个元素，即10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5----------．2．在复平面内，把复数3对应的向量按顺时针方向旋转3π，所得向量对应的复数是A ．B ．-C 3iD ．3 【答案】B【解析】所求复数为1(3)sin()](3)()332i ππ-+-==-．3，这个长方体对角线的长是A ．B ．C ．6D ．6 【答案】D【解析】设长、宽和高分别为,,a b c ，则ab bc ac =abc =，∴1,a b c ===l ==．4．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是 A ．若,αβ是第一象限角，则βαcos cos > B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则βαcos cos > D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ> 【答案】D【解析】用特殊值法：取60,30αβ=︒=︒，A 不正确；取120,150αβ=︒=︒，B 不正确； 取210,240αβ=︒=︒，C 不正确；D 正确．5．函数cos y x x =-的部分图像是【答案】D【解析】函数cos y x x =-是奇函数，A 、C 错误；且当(0,)2x π∈时，0y <．6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于A ．800~900元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~2800元 【答案】C【解析】当月工资为1300元时，所得税为25元；1500元时，所得税为252045+=元，所以选C ．7．若1a b >>，()1lg lg ,lg 22a b P Q a b R +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则 A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q << 【答案】B【解析】方法一：()11lg lg 22a b +>=lg 2a b +⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1lg lg 2a b +，所以B 正确． 方法二：特殊值法：取100,10a b ==，即可得答案．8．已知两条直线12:,:0l y x l ax y =-=，其中a 为实数．当这两条直线的夹角在(0,)12π内变动时，a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(3C ．((1,3)3D ． 【答案】C【解析】直线1l 的倾斜角为4π，设2l 的倾斜角为θ，则412412ππππθ-<<+，且4πθ≠，即64ππθ<<或43ππθ<<，所以a 的取值范围是(1,3)．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 A ．122ππ+ B ．144ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，则高2h r π=，2222(2)12(2)2S r r S r πππππ++==全侧．10．过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．y =B ．y =C ．x y 33=D ．x y 33-= 【答案】C【解析】圆的标准方程为22(2)1x y ++=，设直线的方程为0kx y -=，由题设条件可得1=，解得k =，由于切点在第三象限，所以k =，所求切线x y 33=．11．过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是,p q ，则qp 11+等于 A ．2a B ．12a C ．4a D ．4a【答案】C【解析】特殊值法．作PQ y ⊥轴，即将14y a =代入抛物线方程得12x a=±， ∴114a p q+=．12．如图，OA 是圆锥底面中心A 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为 A ．321B ．21 C ．21 D ．421【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，上半部分由共底的两个圆锥构成，过A 向轴作垂线AC ，垂足为C ，2cos ,cos cos OA r CA OA r θθθ===，∴2211(cos )3V r h πθ=，原圆锥的体积为2241122cos 33V r h V r h ππθ===，解得cos θ=．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）． 【答案】252【解析】不同的出场安排共有3237252A A =．14．椭圆22194x y +=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．【答案】( 【解析】方法一：（向量法）设(,)P x y ，由题设120PF PF ⋅<，即(,)(,)0x c y x c y +⋅-<，2220x c y -+<，又由22194x y +=得22449x y =-，代入2220x c y -+<并化简得 225419x c <-=，解得x <<． 方法二：（圆锥曲线性质）设(,)P x y ，∵3,2a b ==，∴c =133PF x =+，23PF x =-，当12F PF ∠为钝角时，2221212PF PF F F +<，解得x <<．15．设{}n a 是首项为1的正项数列，且2211(1)0(1,2,3,...)n n n n n a na a a n +++-+==，则它的通项公式是n a = ． 【答案】n1【解析】条件化为11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，∵0n a >∴1(1)0n n n a na ++-=，即11n n a na n +=+，累成得1n a n =．16．如图，,E F 分别为正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正 方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都． 填上）【答案】②③【解析】投到前后和上下两个面上的射影是图形②；投到左右两个面上的射影是图形③．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数cos ,y x x x R +∈．（Ⅰ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（Ⅱ）该函数的图像可由sin ()y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解】本小题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．（Ⅰ）cos 2(sin coscos sin )66y x x x x ππ=+=+2sin()6x π=+，x R ∈． ——3分y 取得最大值必须且只需2,62x k k Z πππ+=+∈，即2,3x k k Z ππ=+∈．所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为2,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭|． ——6分 （Ⅱ）变换的步骤是：（ⅰ）把函数sin y x =的图像向左平移6π，得到函数sin()6y x π=+的图像；—9分（ⅱ）令所得到的图像上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数2sin()6y x π=+的图像；经过这样的变换就得到函数cos y x x =+的图像． ——12分18．（本小题满分12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T ． 【解】本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力，满分12分．设等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)2n S na n n d =+-． ∵7157,75S S ==，∴ ⎩⎨⎧=+=+.7510515,721711d a d a ——6分即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a ——8分解得12,1a d =-=． ∴()()12121211-+-=-+=n d n a n S n ， ∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列{nS n }是等差数列，其首项为2-，公差为21，∴ n n T n 49412-=． ——12分19．（本小题满分12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且1C CB ∠=1C CD BCD ∠=∠．（Ⅰ）证明：1C C BD ⊥； （Ⅱ）当1CC CD的值为多少时，能使1AC ⊥平面1C BD ？请给出证明．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．（Ⅰ）证明：连结11,AC AC ，AC 和BD 交于O ，连结1C O ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴,AC BD BD CD ⊥=． 又∵1111,BCC DCC C C C C ∠=∠=， ∴11C BC C DC ∆≅∆，∴11C B C D =， ∵ DO OB =，∴ 1C O BD ⊥， ——3分 但1,AC BD ACC O O ⊥=，∴BD ⊥平面1AC ，又1CC ⊂平面1AC ，∴1CC BD ⊥． ——6分 （Ⅱ）当11CDCC =时，能使1AC ⊥平面1C BD ． 证明一：∵11CDCC =，∴1BC CD C C ==， 又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．∴ 三棱锥1C C BD -是正三棱锥． ——9分 设1AC 与1C O 相交于G ．∵11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，∴1:2:1C G GO =． 又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线，∴ 点G 是正三角形1C BD 的中心，∴ CG ⊥平面1C BD ．即1AC ⊥平面1C BD ． ——12分 证明二：由（Ⅰ）知，BD ⊥平面1AC ，∵1AC ⊂平面1AC ，∴1BD AC ⊥． ——9分 当11CDCC =时，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同1BD AC ⊥的证法可得11BC AC ⊥， 又1BD BC B =，∴1AC ⊥平面1C BD ． ——12分20．（本小题满分12分）设函数()f x ax =，其中0>a ．（Ⅰ）解不等式()1f x ≤；（Ⅱ）证明：当1a ≥时，函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调函数．【解】小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．（Ⅰ）不等式()1f x ≤1ax ≤+，由此得11ax ≤+，即0ax ≥，其中常数0>a ．所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥.02)1(,02a x a x ——3分所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2201a x x a ⎧⎫≤≤⎨⎬-⎩⎭|； 当1a ≥时，所给不等式的解集为{}0x x ≥|． ——6分（Ⅱ）证明：在区间),0[+∞上任取12,x x ，使得12x x <．22121212()()()()f x f x a x x a x x -=-=-12()x x a =-． ——9分1<，且1a≥，a-<，又12x x<，∴12()()0f x f x->，即12()()f x f x>．所以，当1a≥时，函数()f x在区间),0[+∞上是单调递减函数．——12分21．（本小题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t=；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t=；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天）【解】本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为3000200,()2300,200300;t tf tt t-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为21()(150)100,0300200g t t t =-+≤≤． ——4分 （Ⅱ）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =- 即2211175020020022()17102520030020022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩，， ——6分当0200t ≤≤时，配方整理得21()(50)100200h t t =--+， 所以，当50t =时，()h t 取得区间[0,200]上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得21()(350)100200h t t =--+ 所以，当300t =时，()h t 取得区间[200,300]上的最大值87.5． ——10分综上，由10087.5>可知，()h t 在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时50t =，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分22．（本小题满分14分）已知梯形ABCD 中2AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点．求双曲线离心率e 的取值范围．【解】本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．因为双曲线经过点,C D ，且以,A B 为焦点，由双曲线的对称性知,C D 关于y 轴对称． ——2分 依题意，记(,0),(,),(,0)2cA c C hB c -，其中12c AB =为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h h y E 198********=+⨯+=． ——5分 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a c e =． 由点,C E 在双曲线上，将点,C E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 2222222211,44964 1.361361c h a b c h a b ⎧⋅-=⎪⎪⎨⎪⋅-⋅=⎪⎩ ——10分 由①式得1412222-⋅=a c bh ，代入②式得922=a c ． 所以，离心率322==a c e ． ——14分。
全国高中数学联赛试题
）．
8．设ａｎ是（3－ ）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则
＝_______．
9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83 的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为 F，右顶点为 A，短轴上方的端点为 B．若该椭
圆的离心率是
2
（A）y=sin|x|
（B）y=cos|x|
（C）y=|ctgx|
（D）y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是
（A）k=8 3
（B）0<k≤12
（C）2
（D）0＜ｋ≤12 或 k 8 3
5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000 的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，
4
ＢＣ的面积是（
）．
Ａ． ／3
Ｂ．3 ／2
Ｃ．3
Ｄ．6
4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一
元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（
）．
Ａ．无实根
Ｂ．有两个相等实根
Ｃ．有两个同号相异实根
Ｄ．有两个异号实根
5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5 的距离中的最小值是（
二．填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 1．arcsin(sin2000)=__________．
2．设 an 是(3
x)n 的展开式中 x 项的系数(n=2，3，4，…)，则 lim (32+33+…+ 3n ))=________. n→∞ a2 a3 an
2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
5 1 a ， ∴ 2
AF
5 1 a ． 2
BF a ， 由
AB AO BO
2 2
2
2
2
5 3 2 2 2 2 a ．故有 AF AB BF |AF|2=|AB|2+|BF|2．即 ABF 90 0 . 2
2
本题也可以由 b a c
5 1 2 a ac ，解得． 2
2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第 4 页 共 7 页
1 2
2
13 2b ． 最 小 值 为 2
a 0 矛盾．故舍．
⑶ 0 a b ．此时，最大值为 f ( a ) 2b ，最小值为 f (b) 2a ．
1 2 13 b 2 2 a ∴ 2 ．两式相减得 a b 4 ．解得 a 1, b 3 ． 1 13 a 2 2b 2 2
3 1 1 1 2 2 2
Sn 的最大值． (n 32) S n 1 n(n 1) n(n 1) ，得 f ( n) 2 (n 32)(n 1)(n 2) 1 1 =． 64 50 n 34 n
★解析：由题意得 S n
(当 n 8 时 f ( n) 取得最大值)． 2000*14、 （本题满分 20 分） 若函数 f ( x ) 求 a, b ． ★解析：⑴
∴ 符合条件的 a, b 有 1,3 或 17 ,
13 ． 4
x2 y2 2000*15、 （本题满分 20 分）已知 C 0 : x y 1 和 C1 : 2 2 1 ( a b 0 )．试问：当且仅当 a b
2 2
a, b 满足什么条件时，对 C1 上任意一点 P ，均存在以 P 为顶点，与 C 0 外切，与 C1 内接的平行四边
2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
42
故选 (B ). 填空题 (本题满分 54 分, 每小题 9 分) 7 . a rcsin ( sin 2000° ) = . 解 2000 ° = 180 ° × 11 + 20 ° = 11Π+
sin (11 Π+
中学数学 2000 年第 12 期
AO1 = 1 2 6 a = a. 3 3 2 2 2 2 由 OB = O 1O + O 1B = (O 1A - O B ) + O 1B a 2 - O 1B 2 = a2 2 2 a 3 2 3 3 2 6 6 a � OB + a = 1 2 a = 0, 3 6 4 a.
a3 an 1 1 1 1 1 ) = lim 18 (1 + + …+ n→∞ 2 2 3 n- 1 n 1 = lim 18 (1 ) = 18. n→∞ n 9 . 等比数列 a + lo g2 3, a + log 4 3, a + log8 3 的 公比是 . 解 设公比为 q , 由已知条件可知 a + log 4 3 a + log8 3 q = a + log 3 = a + log 3 , 2 4
(B )
3
形得直线A B 的斜率 k = 点, 故方程为 y =
x2 3 3 x +
3 3
, 又直线过A (3 3
1, 0)
. 代入 双曲线方程 3 ). 同理可得,
+ isin , 则 以 Ξ, Ξ3 , Ξ7 , Ξ9 5 5 为根的 方程是 ( ). (A ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 (B ) x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 = 0 (C ) x 4 - x 3 - x 2 + x + 1 = 0 (D) x 4 + x 3 + x 2 - x - 1 = 0 2Π 2Π 解 由 Ξ= cos + isin 知, Ξ, Ξ2 , Ξ3 , …, Ξ10 10 10 (= 1 ) 是 1 的 10 个 10 次方根 . (x - Ξ) (x - Ξ2 ) (x - Ξ3 ) … (x - Ξ10 ) = x 10 - 1. ① 又 Ξ2 , Ξ4 , Ξ6 , Ξ8 , Ξ10 是 1 的 5 个 5 次方根, 故 (x - Ξ2 ) (x - Ξ4 ) (x - Ξ6 ) (x - Ξ8 ) (x - Ξ10 ) = x5 - 1 . ② 6 .
2000年全国高中数学联赛试题
第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 【答】（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos3α,则3α的取值范围是 【答】（ ）(A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国高中数学联赛试题及答案
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 【答】（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 【答】（ ） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国高中数学联赛试题2
二○○二年全国高中数学联赛试卷（10月13日上午8:00-9:40）一、 选择题(本题满分36分，每小题6分) 1． 函数f(x)＝21log (x 2－2x －3)的单调递增区间是(A)（－∞,－1) (B)(－∞,1) (C)(1,＋∞) (D)(3,＋∞) 2． 若实数x,y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为(A)2 (B)1 (C)3 (D)2 3． 函数f(x)＝221xx x -- (A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数4． 直线34yx +＝1与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个5． 已知两个实数集合A ＝{a 1,a 2,…,a 100}与B ＝{b 1,b 2,…,b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100) 则这样的映射共有(A)50100C (B) 5099C (C) 49100C (D) 4999C6． 由曲线x 2＝4y, x 2＝-4y, x ＝4, x ＝-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 1，满足x 2＋y 2≤16, x 2＋(y -2)2≥4, x 2＋(y ＋2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则 (A)V 1＝21V 2 (B)V 1＝32V 2 (C)V 1＝V 2 (D)V 1＝2V 2 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7． 已知复数Z 1、Z 2满足|Z 1|＝2，|Z 2|＝3，若它们对应的向量的夹角为60︒, 则||||2121Z Z Z Z -+＝_____.8． 将二项式n xx )21(4+的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有_______个.9． 如图，点P 1、P 2、…、P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1、P i 、P j 、P k )(1<i<j<k ≤10)有_______个.10． 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)＝1且对任意x ∈R都有f(x ＋5)≥f(x)＋5 f(x ＋1)≤f(x)＋1 若g(x)＝f(x)＋1-x, 则g(2002)＝__________.11． 若log 4(x ＋2y)＋log 4(x -2y)＝1，则|x|-|y|的最小值是__________.12． 使不等式sin 2x ＋acosx ＋a 2≥1＋cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13． 已知点A(0,2)和抛物线y 2＝x ＋4上两点B 、C 使得AB⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．14． 如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，……．已知P 0所围成的图形是面积为1的正三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k ＝0,1,2,…）. 记S n 为曲线P n 所围成图形的面积． (1)求数列{S n }的通项公式； (2)求∞→n lim S n ．…………P 0 P 1 P 2 15． 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：P 8P P 9((1)当x∈R时，f(x-4)＝f(2-x), 且f(x)≥x;(2)当x∈(0,2)时, f(x)≤221⎪⎭⎫⎝⎛+x;(3)f(x)在R上的最小值为0；求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]，就有f(x＋t)≤x．二○○二年全国高中数学联赛加试试卷（10月13日上午10：00－12：00）考生注意：1、本试卷共三大题，全卷满分150分．2、卷面的第1页、第3页、第5页印有试题， 第2页、第4页、第6页是空白页，留作答题用．3、用圆珠笔或钢笔作答．4、解题书写不要超出装订线．一．（本题满分50分）如图，在△ABC 中，∠A ＝60︒, AB ＞AC, 点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H 点．点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM ＝CN ．求OHNHMH +的值．二．（本题满分50分）实数a,b,c 和正数λ使得f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1,x 2,x 3, 且满足 （1）x 2-x 1＝λ （2）x 3＞21(x 1＋x 2) 求339272λabc a -+的最大值．三．（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察A 1,A 2,…,A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些BC队员中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00?9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是【答】（ ）2． (A){2}(B){?1}(C){x |x ≤2}(D)∅3． 设sin ?＞0,cos ?＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是【答】（ ）4． (A)(2k ?+6π,2k ?+3π),k ?Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ?Z5．(C)(2k ?+65π,2k ?+?),k ?Z (D)(2k ?+4π,2k ?+3π) (2k ?+65π,2k ?+?),k ?Z6． 已知点A 为双曲线x 2?y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是【答】（ ） 7．(A)33(B)233(C)33(D)638． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ?q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2?2ax +c =0【答】（ ）9． (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根10． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 11． (A)17034(B)8534(C)201(D)301【答】（ ）12． 设5sin 5cos ππωi +=，则以?,?3,?7,?9为根的方程是【答】（ ）(A)x 4+x 3+x 2+x +1=0(B)x 4?x 3+x 2?x +1=0(C)x 4?x 3?x 2+x +1=0(D)x 4+x 3+x 2?x ?1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。