三角恒等变换-知识点+例题+练习
专题45 三角恒等变换知识点与典型例题(原卷版)
专题45 三角恒等变换知识点与典型例题（原卷版）同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示) 1．已知tan 2α=， 求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.2．已知α是第二象限，且1tan 3α=-，计算： （1）sin()25cos sin()πααπα+--； （2）2sin cos()cos .απαα++1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+3．计算sin 72cos18sin18cos72+ 4．化简，求值： （1）已知3tan 4α=，求tan()4πα+的值； （2）sin 20sin 40cos20cos40︒︒-︒︒.5．已知1tan 3α=-，cos β=，,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦παπ，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ. （1）求tan β的值；（2）求tan()αβ+的值，并求出αβ+的值. 6．计算:(1)sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒；(2)()()()()sin 54cos 36cos 54sin 36x x x x ︒-︒++︒-︒+. 7．求值：()()()()cos 27cos 18sin 27sin 18x x x x ︒︒︒︒+-++-. 8．求下列各式的值.（1）22cos 22.5sin 22.5︒︒-； （2）cos70sin80sin70sin10︒︒︒︒+. 9．求下列各式的值.（1）cos80cos20sin80sin 20︒︒︒︒+； （2）cos10cos20sin10sin20︒︒︒︒-. 10．化简下列各式（1）()()()()cos 27cos 33sin 27sin 33αααα︒︒︒︒+--+- （2）()()()()sin 15cos 15cos 15sin 15αααα︒︒︒︒-++-+ 11．求值：（1）cos80cos20sin100sin 20︒︒︒︒⋅+； （2）cos160cos25sin 20sin 25︒︒︒︒+⋅； （3）()()sin75cos75sin75cos75︒︒︒︒+⋅-.12．已知tan 2x =，tan 5y =，求tan()x y +，tan()x y -．(7) sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan baϕϕϕ===，该法也叫合一变形).7，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a b b a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒=，3215tan -=︒, 3275tan +=︒, (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-13．化简：（1cos x x +； （2cos )x x -.14．已知函数()cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间π,π6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.”2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=, （3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=15．已知4sin 5α,且α是第二象限角. (1)求sin 2α的值;(2)求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 16．已知1tan 23α=，求tan α的值. 17．求下列函数的最小正周期 (1)2cos2x y =; (2)22sin y x =.18．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值.19．已知函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，()cos 2b x x =，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期. （2）若,04x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求()f x 的值域.20．已知函数()2cos cos 1x x x f x =+，x ∈R . （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域.走进高考一、单选题1．（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．53B ．23 C ．13D ．592．（2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ） 已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2B ．–1C ．1D ．23．（2018年全国卷理数全国卷II ）若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2π C ．34π D ．π4．（2018年全国卷Ⅲ） 若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-5．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos (−α)=，则sin 2α=A ．B ．C ．−D ．−6．（2016年全国理科数学新课标3卷）若 ，则（ ）A ．B ．C ．1D ．7．（2019年全国卷（理科）新课标Ⅱ） 已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B ．55 C ．33D ．2558．（2014年全国理科数学新课标Ⅰ）设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=9．(2015新课标全国Ⅰ理科)o o o o sin 20cos10cos160sin10-= A ．32- B ．32C ．12-D ．12二、填空题10（2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ） 关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 11．（2018年全国理科数学新课标I 卷）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．12．（2018年全国理科数学新课标2卷）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．13．（2016年全国理科数学新课标3卷） 函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到．14．（2014年全国理科数学全国Ⅱ卷）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.。
三角恒等变换知识点和例题
3 答案： π 3
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球的体积、表面积公式
4 3 V R 3 S 4R 2
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1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ C ）
A.72π B.48π
C.30π
D.24π
答案：9
27
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4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球 半径的一半，且 AB BC CA 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
设球半径为 R ， 则
2 3 2 3 O A = × ×2 = . 3 2 3
棱台（圆台）的体积公式
1 V (S SS S)h， 3 其中 S , S 分别为上、下底面面积，h为棱台
（圆台）的高．
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1 63 2
1.（2012·新课标全国卷）如图所示：
网格纸上小正方形的边长为1，
粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（ B ）
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正方体和长方体的展开图与其表面积的关系
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棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
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h
A.6
C.12
B.9
D.18
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高中 简单的三角恒等变换 知识点+例题
教学内容
1．公式的常见变形
（1）tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
（2）sin2α＝ ；cos2α＝ ；sinαcosα＝ sin 2α.
（3）1＋cosα＝2cos2 ；1－cosα＝2sin2 ；
（1）求f( )的值；
（2）设α，β∈[0， ]，f(3α＋ )＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解(1)由题设知：
f( )＝2sin( － )＝2sin ＝ .
(2)由题设知： ＝f(3α＋ )＝2sinα，
＝f(3β＋2π)＝2sin(β＋ )＝2cosβ，
即sinα＝ ，cosβ＝ ，
又α，β∈[0， ]，∴cosα＝ ，sinβ＝ ，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
11．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于_________.
答案
解析原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
12．定义运算 ＝ad－bc，若cosα＝ ， ＝ ，0<β<α< ，则β等于______.
答案
解析 方法一因为y＝ ＝ ，
所以令k＝ .又x∈ ，
所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点
P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．
又kmin＝tan 60°＝ ，所以函数y＝ 的最小值为 .
方法二y＝ ＝ ＝ ＝ tanx＋ .
∵x∈(0， )，∴tanx>0.
∴ tanx＋ ≥2 ＝ .(当tanx＝ ，即x＝ 时取等号)
三角恒等变换(知识、题型、训练及答案)
三角恒等变换知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan α. 3.辅助角公式函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ).（其中，ab =ϕtan ）注意：1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础自检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.792.若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.453.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.4.sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.题型解析题型一 三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【训练1】 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β)B.sin αC.cos(α＋2β)D.cos α题型二 三角函数式的求值【例2】(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.(2)若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝14，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.【训练2】 (1)已知x ∈(0，π)，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22πx ＝sin 2x ，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)已知α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πα＝－23，则cos α＝________.题型三 三角变换的简单应用【例3】 △ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量.(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B 2的最大值.【训练3】已知函数f (x )＝3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ时，f (x )≥－12.答案诊 断 自 测1.A2.D3.34.22【例1】 (1)sin(α＋γ) (2)cos α 【训练1】 D 【例2】(1)6 (2)－78 (3)－3π4【训练2】(1)A (2)15－26【例3】解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A－cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2， 所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值， 此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立.。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
简单的三角恒等变换习题
简单的三角恒等变换一、知识清单1．;__________2sin =α2．______;_________________________________2cos ===α3．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k ,k 4______________2tan ππαα 4．.________________sin =α25．.________________cos =α2二、同步练习1.求证（1）cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. （2） αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a（3）2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x （4）4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ（5）在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．2.化简求值（1）θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α（3）已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.求tan α及sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．3.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值，并指出此时x 的值.4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5.若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．±173 B ．－173 C.13 D.1736.已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7.已知函数 f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；② f (x )的最小正周期是2π；③ f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④ f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，其中为真命题的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④8.若函数 f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 9.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 10.已知函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求的单调递增区间11.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.12.(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P在弧AB上, 点Q在OA上, 点M、N在OB上, 设∠BOP＝, 平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角.13.（本小题满分10分）已知函数，求：（I）的最小正周期；（Ⅱ）的最大值与最小值，以及相应的.。
数学课程三角恒等变换练习题及答案
数学课程三角恒等变换练习题及答案1. 练习题1.1 简单练习题1. 计算下列三角函数值，并化简为有理数：(1) sin 30°(2) cos 45°(3) tan 60°2. 利用三角恒等变换证明以下等式：(1) sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 1 + tan^2 x = sec^2 x3. 使用三角恒等变换求解以下方程：(1) sin 2x = 0.5(2) cos 2x - sin 2x = 01.2 提高练习题1. 利用三角恒等变换化简下列表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x2. 解下列方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0(2) tan^2 x + sec x = 22. 答案2.1 简单练习题答案1.(1) sin 30° = 1/2(2) cos 45° = 1/√2(3) tan 60° = √32. 证明以下等式：(1) 三角恒等变换：sin^2 x + cos^2 x = 1证明：根据三角恒等变换公式 sin^2 x + cos^2 x = 1代入 sin x = cos (90° - x)，可得：cos^2 (90° - x) + cos^2 x = 1sin^2 x + cos^2 x = 1(2) 三角恒等变换：1 + tan^2 x = sec^2 x证明：根据三角恒等变换公式 1 + tan^2 x = sec^2 x代入 tan x = sin x / cos x，可得：1 + (sin x / cos x)^2 = (1 / cos x)^21 + sin^2 x / cos^2 x = 1 / cos^2 x(cos^2 x + sin^2 x) / cos^2 x = 1 / cos^2 x1 / cos^2 x = 1 / cos^2 x2.2 提高练习题答案1. 化简以下表达式：(1) cos x + sin x + 1 - cos x= sin x + 1(2) cot^2 x + 1 - csc^2 x= (cos^2 x / sin^2 x) + 1 - (1 / sin^2 x)= (cos^2 x + sin^2 x) / sin^2 x= 1 / sin^2 x2. 解以下方程：(1) 2 sin^2 x - 3 cos x - 1 = 0首先，利用三角恒等变换将方程中的 cos x 表示为 sin x：2 (1 - cos^2 x) - 3 cos x - 1 = 02 - 2 cos^2 x -3 cos x - 1 = 0-2 cos^2 x - 3 cos x + 1 = 0然后，令 t = cos x，将方程转化为关于 t 的二次方程：-2 t^2 - 3 t + 1 = 0解这个二次方程可得 t = -1 或 t = 1/2。
专题5.5 三角恒等变换(解析版)
专题5.5三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin αα2＋cos ；1－sin αα2－cos .（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin αsin α2±cos 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50︒︒-︒︒等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒=-+=-=故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αβ+=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αβαβαβααβα-+-=+-===-⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D3．已知,αβ均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，则()sin αβ-=（）A ．35B ．45C．3D ．23【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααββ+=+=，则2153sin 44β=，又,αβ均为锐角，所以sin β=cos β=所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.故选：B5．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC ．D ．±22【答案】D【解析】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin cos 122θθθ++=，即3sin 122θθ+=，故1sin cos 223θθ+=，所以sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 62πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭故选：D6．下面公式正确的是（）A ．3sin cos 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．2cos212cos θθ=-C ．3cos sin 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．cos()sin 2πθθ-=【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1θθ=-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 错误；对D ，cos()sin 2πθθ-=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为（）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【答案】B【解析】：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，所以()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()tan tan 41tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯.故选：B 8．设1cos1022a =-，22tan131tan 13b =+，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =︒=︒+︒=︒=︒，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b ︒︒︒===︒︒=︒︒+︒+︒，sin 25c =，因为函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()63πα+=-，则2cos(2)3πα-=（）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【答案】B 【解析】：因为sin()6πα+=2cos 2cos 263παππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣+⎭⎝⎦6cos 2πα⎪+⎛⎫=- ⎝⎭212n 6si πα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎭⎣+⎝⎦21123⎡⎤⎛⎢⎥=--=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 10．若11tan ,tan()72βαβ=+=，则tan =α（）A ．115B ．112C ．16D ．13【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72βαβ=+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αββααββαββ-+-+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D.11．已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C．3-D．3【答案】B【解析】：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cos sin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即13cos sin 122ααα⎫-+=⎪⎪⎝⎭3sin 12αα-=1cos 123πααα⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21213⎡⎤⎢⎥=--=⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，则()cos αβ-=（）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3cos 5α=-由5cos ,13ββ=-是第三象限角，可得12sin 13β=-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A13．若sin 25α=，()sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又∵sin 2,2,,,242πππααπα⎡⎤⎡⎤=∴∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴cos 25α==-.又∵35,,,224πππβπβα⎡⎤⎡⎤∈∴-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()cos βα-==，于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦5105102⎛⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦，则74αβπ+=.故选：B.14．)sin20tan50=（）A ．12B ．2C D ．1【答案】D【解析】原式()()()()sin20sin 50cos502sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos50cos 9050++===-2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααβαβ=+=<<<<，则角β的值为（）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【答案】A 【解析】∵0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，由1cos 7α=，()sin αβ+=，得sin α=11cos()14αβ+=±，若11cos()14αβ+=，则sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+1110714=-<，与sin 0β>矛盾，故舍去，若11cos()14αβ+=-，则cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111147147=-⨯+⨯12=，又(0,)2πβ∈，3πβ∴=.故选：A.16．若7171212ππα<<，且7cos 268πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．B ．CD ．14-【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得215sin 1216πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 122πα⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以15sin 124πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以5cos cos sin 1221212ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A17．已知sin cos αα-=0απ≤≤，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．34410-C ．D 【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=⎝⎭，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 45πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，即2sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0απ≤≤，所以3444πππα-≤-≤，所以044ππα<-≤，即42ππα<≤，所以22παπ<≤，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππααα⎛⎫-= ⎪⎝⎭23145252⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭故选：D18．若10,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ．C D ．【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0,022ππαβ<<-<<所以3,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则122cos 233βα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C 19．已知π43cos sin 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．45-B ．45C ．5-D ．5【答案】A【解析】由πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ππ3πcos cossin sin sin sin 6623αααααα⎛⎫++=+=-=⎪⎝⎭，所以，π4cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2πππ4cos cos πcos 3335ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.20．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A ．10B ．10C ．10-D ．222110【答案】C【解析】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．又2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 45πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，cos()cos cos cos cos sin sin 44444410ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 2cos 2)2sin(2)223f x x x x x x π=+=+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；(2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,26x ππ∈--时，22(,0)33x ππ+∈-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+︒-︒C ．cos 75︒︒D ．cos15︒︒【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos 12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒=-︒-︒︒C ：cos 754sin15230︒︒=︒︒=︒=D ：cos152sin(3015)2sin15︒︒=︒-︒=︒.故选：ABC23．已知函数2()sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则3m π≥【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x xf x x x π-⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 不正确；当2x m π-≤≤时，++366x m πππ-≤≤，因为()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，即11sin 622x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，所以sin 16x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以+62m ππ≥，解得3m π≥，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x ∈，时，()f x 的（）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π[0]2x ∈，时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤，所以()f x 的增区间为π06⎡⎤⎢⎣⎦，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【答案】ACD 【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +≤+≤+∈，得：π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ，即()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD 三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36⋅-⋅(2)sin7cos37cos(7)sin(37)⋅+-⋅-(3)ππcos sin 1212⋅(4)22ππsincos 88-【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)2-.【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900⋅-⋅=+==.(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37⋅+-⋅-=⋅-⋅1sin(737)sin(30)2=-=-=-.(3)ππ1π1cossin 1212264⋅==.(4)22πππsin cos cos 8842-=-=-.27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πββ<<=()sin αβ+的值.【答案】(1)34-(2)5-【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α=±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sin 3tan cos 4ααα==-(2)π0,cos 2ββ<<=，故sin β==；()34sin =sin cos cos sin 55αβαβαβ++==28．已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin 10βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.【答案】(1)证明见解析(2)3.4πβ=【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα⨯===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πβαπ<-<，且()sin 10βα-=所以()cos βα-==()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=-+-⎣⎦3247225105102⎛=⨯-+⨯ ⎝⎭又5224πππαβπα<+<<+<，所以3.4πβ=29．已知α，β为锐角，π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭，()11cos 14αβ+=-．(1)求cos α的值；(2)求角β．【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ336πα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭-，，又π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭所以π13cos 314α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以ππcos =cos +33αα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππ1cos cos sin sin =33337αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为α，β为锐角，所以0αβ<+<π，则()sin 0αβ+>，因为()11cos 14αβ+=-，所以()sin 14αβ+==．又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==，故()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111714=+=因为β为锐角，所以π3β=．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αβ，都是锐角，()3cos 5αβ+=，求sin β的值.【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a αααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 2a =.(2)因为αβ，都是锐角,所以0αβ<+<π，()4sin 5αβ+==，13sin cos 22a a =⇒=，()()()43sin cos c 0s 13si o 55n sin sin 221αβααβααββα-=-+=+-=+-=⨯⨯⎡⎤⎣⎦31．已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-；(3)()cos 22αβ+.【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αβαβαβαβαβαβαβ-+-+-++====++++++。
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两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )．3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )．4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15 B.14 C.13 D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 6.3tan 12°－34cos 212°－2sin 12°＝________.7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1． (2012·山东)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( ) A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分) 4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝_______.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝_________.6． 设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π实用标准文档文案大全 ＝1617，求cos(α＋β)的值．。