2019届合肥新高三7月调研性数学检测理科数学(解析版)
安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理科试题(解析版)
1.已知 R 是实数集，集合 A = {-1,0,1}， B = {x 2 x - 1 ≥ 0}，则 A ( B )= （B. {1}C. ⎢ ,1⎥D. -∞, ⎪ 镲x 铪镲x 铪2.已知 i 是实数集，复数 z 满足 z + z ⋅ i = 3 + i ，则复数 z 的共轭复数为（合肥市 2019 高三第三次教学质量检测数学试题（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .R）A. {-1,0}⎡ 1 ⎤⎣ 2 ⎦ ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 的补集再与集合 A 进行交集运算。
【详解】禳 1 B = 睚 | x ? 镲 2禳1 \ C B = 睚 | x < R 镲2即 A ? (C RB){- 1,0}故选 A 。
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。
．． ）A. 1+ 2i【答案】C【解析】【分析】B. 1- 2iC. 2 + iD. 2 - i将 z + z ⋅ i = 3 + i 化为 z = 3 + i 1 + i，对其进行化简得到 z = 2 - i ，利用共轭复数的性质得到 z = 2 + i 。
【详解】 z + z ⋅ i = 3 + i 可化 z =3 + i1 + iz = 3 + i 【详解】输入 x = -1 ， y = ⨯ (-1)+ 1 = .3 74 4 3 19 74 16 16(3 + i )(1- i) 4 - 2i = = =2- i1+ i (1+ i )(1- i) 2∴ z 的共轭复数为 z = 2 + i故选 C 。
【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。
3.执行如图所示 程序框图，若输入 x = -1 ，则输出的 y = （）的A.1 4B.3 4C.7 16D.19 16【答案】D【解析】【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案1 33 ， | x - y |= -1 - = < 1 不成立， x = ；4 4 41 3 19 19 y = ⨯ + 1 = ， | x - y |= - = < 1 成立，跳出循环，输出 y = .故选 D.4 4 16 16【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是A. 149C.20D. 7⎪ 1⎪⎩ 6 2⎪⎪ 1 9 ⎪d = 2 . ⎪9a 12继续下一次循环，还是跳出循环.4.已知 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，若 a 1 + a 2 + a 3 = 4 ， S 6 = 10 ，则 a 3 = （）9 B.163【答案】A【解析】【分析】列出关于 a 1,d 的方程组并解出，即可求得 a 3的值.【详解】设等差数列{a n}的公差为 d .⎧a + a + a = 3a + 3d = 4, 2 3 1 由题意得 ⎨ 6 ⨯ 5 S = 6a + d = 10, 1解得 ⎨ ⎩ 9⎧ 10a = ,所以 a = a + 2d = 1431.故选 A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和. a 1,d 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于 a 1,d 的方程组来求 a 1,d .5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量 x （万件） 1416 18 2022单位成本 y （元/件）1073若根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y = -1.15x + 28.1，则 a 的值等于（ ）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6【详解】 x = 14 +16 +18 +20 +22 6.若直线 y = k (x + 1)与不等式组 ⎨3x - y ≤ 3 表示的平面区域有公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）⎪2x + y ≥ 2 ˆ ˆx ，y ˆ ˆˆ画出不等式组 ⎨3x - y ≤ 3 表示的平面区域，直线 y = k (x + 1)过定点 A(-1,0) ，数形结合得出 0 ＃k ⎪2x + y ≥ 2【答案】B【解析】【分析】求出 x ， y 将其代入线性回归方程 y = -1.15x + 28.1，即可得出 a 的值。
合肥市2019届高三调研性检测数学试题-理科含答案
合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合{}12M x x =-<<，{}13N x x =≤≤，则M N =(A)(]1,3- (B)(]1,2- (C)[)1,2 (D)(]2,3 (2)已知复数122iz i-=-(i 为虚数单位)，则||z = (A)15 (B)35 (C)45(D)1(3)右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3.若从右图内随机取一点，则该点取自阴影区域的概率为(A)23 (B)89(C)1213 (D)2425(4)已知实数x y ，满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的取值范围是(A)26 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (B)20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (C)[)6 -+∞，(D)[)0 +∞， (5)已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)C x y r r -+-=>相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r =(A)2 (B)2 (C)22 (D)4(6)执行右面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是 (A)4?i < (B)5?i < (C)6?i < (D)7?i <(7)已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为(A)310 (B)310- (C)35(D)35-(8)已知双曲线2222:1(00)x y M a b a b-=>>，的焦距为4，两条渐近线的夹角为60o ，则双曲线M 的标准方程是(A)2213x y -= (B)2213x y -=或2213y x -=(C)221124x y -= (D)221124x y -=或221412x y -=(9)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于(A)488π+ (B)484π+ (C)648π+ (D)644π+(10)若将函数()()()2cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为(A)()2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (B)() 2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，(C)()11 844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (D)()11 484k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，(11)已知函数()2cos x x f x e e x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的是(A)()()212f a f a +≥ (B)()()212f a f a +≤ (C)()()211f a f a +≥+ (D)()()21f a f a +≤ (12)在ABC ∆中，90o CAB ∠=，1AC =，3AB =.将ABC ∆绕BC 旋转至另一位置P (点A 转到点P )，如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点. 若32AE =，则AB 与平面ADE 所成角的正弦值是(A)38 (B)36 (C)34(D)33第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上相应的位置.(13)若a 与b 的夹角为135o ，1a =，2b =，则a b +=__________.(14)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a = .(15)将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在33⨯方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种.(16)已知()241x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，，(其中0a <，e 为自然对数的底数)，若()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是___________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3234 a a a a +，，成等差数列，532a =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .(18)(本小题满分12分)已知：在ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，所对的边长，()0cos cos a bA C A+=+.(Ⅰ)判断ABC ∆的形状；(Ⅱ)若6C π=，62c =-，求ABC ∆的面积.(19)(本小题满分12分)统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月与2016年7月相比.=100%⨯数数环长数本期－上期比增率上期，=100%⨯数数长数本期－同期同比增率同期.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：序号x 12345678时间2017年 1月 2017年 2月 2017年 3月 2017年 4月 2017年 5月 2017年 6月 2017年 7月 2017年8月消费者信心指数y107.2108.6 108.4 109.2 112.6 111 113.4 112 910111213141516172017年 9月 2017年 10月 2017年 11月 2017年 12月 2018年 1月 2018年 2月 2018年 3月 2018年 4月 2018年 5月 113.3114.6114.7118.6123.9121.3122.6122.3124(Ⅰ)(ⅰ)求该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)； (ⅱ)除2017年1月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？(Ⅱ)由以上数据可判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，写出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+(ˆˆa b ，保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数，参考数据与公式：17118068i i i x y =≈∑，17211785ii x==∑，9115x y =≈，，1221ˆni i i ni i x y n x yx nx b ==--∑=∑)(20)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.(Ⅰ)求证：平面ACG ⊥平面BCE ；(Ⅱ)若3AB BC =，求二面角B CA G --的余弦值.(21)(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)经过点M(2，1)，且离心率32e =.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设A 、B 分别是椭圆C 的上顶点与右顶点，点P 是椭圆C 在第三象限内的一点，直线AP 、BP 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，求四边形AMNB 的面积.(22)(本小题满分12分)已知()()21axx f x e +=(其中a R ∈，e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若12x x ，分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+.合肥市2019届高三调研性检测数学试题(理科)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 答案CDCABCBBDAAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)1 (14)256 (15)24 (16))2⎡-⎣，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得233452()32a a a a a +=+⎧⎨=⎩，，，即2311141232.a q a q a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∵0n a >，∴0q >，解得12,2.q a =⎧⎨=⎩∴2n n a =. ……………………5分(Ⅱ)由已知得，21222(1)log log log 2n n n n S a a a +=+++=， ∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1111122122311n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦.…………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)()00cos cos cos cos cos cos a b a ba Ab B A C A B A+=⇒+=⇒=+-，∴sin2sin2A B =.∵A B ，是ABC ∆的内角，∴A B =，或2A B π+=，∴ABC ∆为等腰三角形或直角三角形. ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)及6C π=知，ABC ∆为等腰三角形，a b =.根据余弦定理2222cos a b ab C c +-=，得(223843a =-，解得24a =，∴2a =，∴ABC ∆的面积111sin 221222S ab C ==⨯⨯⨯=. ……………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)该地区2018年5月份消费者信心指数的同比增长率为124112.6100%10%112.6-⨯≈；(ⅱ)由已知环比增长率为负数，即本期数＜上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的环比增长率为负数. ……………………5分(Ⅱ)由已知计算得：17117221ˆ 1.16i ii ii x yn xy bxn x ==-=≈-⋅∑∑，ˆˆ104.56ay bx =-=，∴线性回归方程为ˆ 1.16104.56yx =+. 当18x =时，ˆ125.4y=，即预测该地区2018年6月份消费者信心指数约为125.4. ……………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥. 在菱形ABEF 中，60ABE ∠=，可知ABE ∆为等边三角形，G 为BE 中点，∴AG BE ⊥.∵BE CB B =，∴AG ⊥平面BCE .∵AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG AF AD ，，两两垂直，以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.设2AB =，则233BC =，()()()230 0 03 0 03131 03A G C B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，. 设()m x y z =，，为平面ABC 的法向量，由00m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3023303x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取()1 3 0m =，，，同理可求平面ACG 的法向量()0 2 3n =，，， ∴2321cos 727m n m n m n⋅===⨯，，即二面角B CA G --的余弦值等于217.……………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)由椭圆的离心率为32得，32c a =，∴2a b =. 又∵椭圆C 经过点(2，1)，∴224114b b+=，解得22b =，∴椭圆C 的方程为22182x y+=. ……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，A (0 2，)，B (22 0，).设()00P x y ，，则 直线002:2y AP y x x -=+ ，从而002 02x M y ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，； 直线00:(22)22y BP y x x =--，从而00220 22y N x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭，. ∴四边形AMNB 的面积00002221122222222y x S AN BM x y ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()222000000000000022244428282224222x y x y x y x y x y x y xy+-++--+==--+--.∵2200182x y +=，∴00000000844282842224x y x y S x y x y +--+==--+. …………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)⑴当0a =时，()()21f x x =+，()f x 的单调增区间是(1)-+∞，，单调减区间是(1)-∞-，；⑵当0a ≠时，()()211axa x x a f x e ⎡⎤⎛⎫-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=.①当0a <时，由()0f x '>解得1x >-或21x a <-；由()0f x '<解得211x a-<<-，∴()f x 的单调增区间是2 1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，和(1)-+∞，，单调减区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，； ②当0a >时，由()0f x '>解得211x a-<<-；由()0f x '<解得21x a >-或1x <-，∴()f x 的单调增区间是21 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，单调减区间是(1)-∞-，和21a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.………5分(Ⅱ)由已知和(Ⅰ)得，当0a >时满足题意，此时121x a=-，21x =-.()()1212f x f x x x +>+22422a e a a-⇔>-22422a e a a -⇔>-2220a e a a -⇔+->.令()222a g a e a a -=+-(0a >)，则()2221a g a e a -'=+-.令()2221a h a e a -=+-(0a >)，则()2220a h a e -'=+>恒成立， ∴()2221a h a e a -=+-(0a >)在(0 )+∞，上单调递增.∵()222132823212110102084422h h e e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-<=->-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，， ∴030 8a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，使()00h a =，即()020212 a e a -=-*.从而，当0(0)a a ∈，时，()0g a '<；当0()a a ∈+∞，时，()0g a '>，∴()g a 在0(0)a ，上单调递减，在0( )a +∞，上单调递增，∴()022000()2a g a g a e a a -≥=+-，将 (*)式代入得2000()()31g a g a a a ≥=-+.∵20031y a a =-+在30 8⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，∴2200331313108864a a ⎛⎫-+>-⋅+=> ⎪⎝⎭，∴0()()0g a g a ≥> ，即2220a e a a --+>，∴1212()()f x f x x x +>+. ……………………12分合肥市2019届高三调研性检测数学试题(文科)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDCDCDBABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)3 (14)2或-1 (15)(] 1-∞，(16)163π三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由36a =，420S =得11262310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12,2.d a =⎧⎨=⎩∴2n a n =. …………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()()2212n n n S n n +==+，从而()111111n S n n n n ==-++， ∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………10分(18)(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知得 cos cos 2cos a C c A b B +=，由正弦定理得 sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=， 即()sin 2sin cos A C B B +=.∵A C B π+=-，∴()sin sin A C B +=，∴sin 2sin cos B B B =. 由于sin 0B >，∴1cos 2B =. ∵B ∈(0π，)，∴3B π=. ………………………5分(Ⅱ)由3ABC S B ∆=得1sin 32ac B B =， 由(Ⅰ)知，3B π=，代入上式得2ac =.由余弦定理得222222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-=，∴()2339a c ac +=+=，∴3a c +=，∴ABC ∆的周长为33………………………12分(19)(本小题满分12分)(Ⅰ)(ⅰ)月销售额在[14 16)，内的频率为()120.030.120.180.070.020.020.12-⨯+++++=； (ⅱ)若70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标.根据频率分布直方图知，[)12 14，和[)14 16，两组频率之和为0.18，月销售额目标应定为0.12162170.24+⨯=(万元)； ………………………5分(Ⅱ)根据直方图可知，销售额为[)22 24，和[]24 26，的频率之和为0.08， 由500.084⨯=可知待选的推销员一共有4人，设这4人分别为1212A A B B ，，，，则4人依次有以下不同的选择：121112A A A B A B ，，；2122A B A B ，；12B B ，一共有6种不同的情况，每一种结果都是等可能的，而4人来自同一组的情况有2种，∴选定的推销员来自同一个小组的概率是2163P ==. ………………………12分(20)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，DA AB ⊥，平面ABCD 平面ABEF AB =，∴DA ⊥平面ABEF ，∴DA EG ⊥.在菱形ABEF 中，60AFE ∠=︒，可知AEF ∆为等边三角形，G 为AF中点，∴AF EG ⊥. ∵DA AF A =， ∴EG ⊥平面DAF . ……………………5分(Ⅱ)如图，取AB 的中点为H ，连接EH ，易证EH AB ⊥.由面面垂直的性质可知，EH ⊥平面ABCD ，由(Ⅰ)知，EG ⊥平面DAF ，∴()1339363322BCE ADF E ABCD E ADF V V V ---=+=⨯⨯+=. ……………………12分(21)(本小题满分12分)(Ⅰ)由椭圆的离心率为32得，32c a =，∴2a b =.又∵椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)经过点13 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴2231144b b+=，解得21b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………………5分(Ⅱ)设点()()000020 10P x y x y -<<-<<，，.由(Ⅰ)知，()()0 12 0A B ，，，， ∴直线AP 的方程为0011y y x x -=+. 令0y =得，001M xx y =-. 直线BP 的方程为()0022y y x x =--.令0x =得，0022N yy x =-. ∴00000222122y x y AN x x --=-=--，0000022211x x y BM y y --=-=--， ∴()()()200000000002222222121x y x y x y AN BM x y x y ------⋅=⋅=----()220000000000000000004224448442222x y x y x y x y x y x y x y x y x y --+++--+===--+--+，是一个确定的定值.…………………12分(22)(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()()2322ln 13f x x x ax =--，∴()24ln 2f x x x ax '=-.由()126f a '=-=-，解得3a =. ………………………5分(Ⅱ)∵12x x ≠，不妨设12x x >，()()()()()()()121212112212202022f x f x f x f x x x f x x f x x x x -+<⇔-+-<⇔+<+-.设()()2g x f x x =+，则()g x 在()1+∞，单调递减，∴()0g x '≤在()1+∞，恒成立. 由(Ⅰ)知，()24ln 2f x x x ax '=-，()24ln 22g x x x ax '=-+，HGFED CB A∴22ln 1x a x x≥+在()1+∞，恒成立. 令()22ln 1x h x x x=+，则()()32ln 1x x x h x x --'=， 令()ln 1F x x x x =--，()ln F x x '=-，∴当()1 x ∈+∞，时，()0F x '<，即()F x 在()1+∞，单调递减，且()()10F x F <=， ∴()0h x '<在()1+∞，恒成立， ∴()h x 在()1+∞，单调递减，且()()11h x h <=， ∴1a ≥． ……………………12分。
2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)含答案解析
2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x ∈R |x 2﹣4x ＜0}，集合N={0，4}，则M ∪N=（ ） A ．[0，4] B ．[0，4） C ．（0，4] D ．（0，4）2．设i 为虚数单位，复数z=，则z 的共轭复数=（ ） A ．﹣1﹣3i B ．1﹣3i C ．﹣1+3iD ．1+3i3．在正项等比数列{a n }中，a 1008•a 1009=，则lga 1+lga 2+…+lga 2019=（ ）A ．2019B ．2019C ．﹣2019D ．﹣20194．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（ ）A ．﹣=1 B ．﹣=1C ．﹣=1D ．﹣=15．直线m ：x +（a 2﹣1）y +1=0，直线n ：x +（2﹣2a ）y ﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m 、n 关于原点对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m ，n 分别为204，85，则输出的m=（ ）A ．2B ．7C ．34D ．857．若等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，若∀n ∈N *，都有S n ≤S 10，则（ ） A ．∀n ∈N *，都有a n ＜a n ﹣1 B ．a 9•a 10＞0 C ．S 2＞S 17 D ．S 19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0]C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125π C．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++1+…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN 面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4]B．[0，4）C．（0，4]D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2019=（）A．2019 B．2019 C．﹣2019 D．﹣2019【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2019=a2•a2019=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2019=a2•a2019=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2019=lg（a1a2•…•a2019•a2019）==﹣2019．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）B．a9•a10＞0A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0]C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．==26﹣r．分别令=1，=3，【分析】（2+）6的展开式中，T r+1进而得出．==26﹣r．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125π C．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=±2．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=（3n﹣1）﹣2n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN 面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），∴S△PMN=2，当MN与坐标轴垂直时，S△PMN∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF ∽△POC ，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r ，由△PDF ∽△POC ，可得半径为5，由切割线定理可得，PD •PC=PB •PA •解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD 的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC 、OE ，则∠COE=2∠CDE ，∵=，∴∠AOC=∠AOE ，∴∠AOC=∠CDE ，∴∠COP=∠PDF ，∵∠P=∠P ，∴△PDF ∽△POC∴=，∴PF •PO=PD •PC ，由割线定理可得PC •PD=PA •PB ，∴PF •PO=PA •PB ．（2）设圆的半径为r ，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF ∽△POC ，可得=， 即有PD •OC=PO •DF ，即4r=（2+r ），解得r=5． 由切割线定理可得，PD •PC=PB •PA •即为4（4+CD ）=2（2+2r ），即有CD=r ﹣3=5﹣3=2，则弦CD 的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C ：（α为参数），直线l ：（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 的极坐标方程，直线l 的普通方程；（2）点A 在曲线C 上，B 点在直线l 上，求A ，B 两点间距离|AB |的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．2019年10月4日。
2019安徽高三诊断A卷理数及答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试诊断卷数学(理科)·A卷本套试题根据《课程标准》，遵循《2019年高考考试大纲》和《2019年高考考试大纲说明》，以能力测试为导向，以主干知识为载体，体现了“常规中考能力，基础中显功底”的命题理念．具体特点如下：1．重视对中学数学基础知识，基本技能和基本方法的考查．试题设置贴近教材，体现对“三基”的考查，试卷对中学数学主干知识和热点进行了重点考查，如：函数、导数及其应用、三角函数、立体几何、数列等内容在试题中占有较大比例．2．重视能力、思想方法的考查，提高应用意识．试题以基础知识为载体，以考查数学能力、核心数学思想为重点，并突出考查了应用意识和综合运用所学知识解决问题的能力．如：4题、8题、10题、12题、16题、19题、20题、21题．1．参考答案 B◎命题立意 本题主要考查分式不等式的解法以及集合的并集运算，考查数学运算能力．◎思路点拨 因为P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－x x －1>0＝{x |1<x <3}，所以P ∪Q ＝{x |0≤x <3}．故选B.,命题探究)本题通过分式不等式的求解考查了集合的并集运算，集合的概念、集合的基本运算是近年高考考查的重点和热点，预计2019年高考对集合的考查仍将以集合运算的形式出现．⎝⎛,意，6⎝⎛⎭⎫1－12n <60×⎝⎛⎭⎫12n －1，即1－12n <10×⎝⎛⎭⎫12n －1，所以2n <21，解得n ≤4，所以n 的最大值是4.,命题探究)等比数列是高考考查的重点之一，难度不大，预计2019年高考也会出现考查等比数列的定义、性质、通项公式、求和公式的题目．4．参考答案 D◎命题立意 本题主要考查三视图的识别和空间图形表面积的计算，考查空间想象能力． ◎思路点拨 由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去二分之一的圆柱后所得到的，所以该几何体的表面积S ＝2×2×5－π×12＋π×1×2＝20＋π.故选D.,2,6．参考答案 B◎命题立意 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查运算求解能力和逻辑推理能力． ◎思路点拨 设F (c ，0)，M (0，±b )，渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0.依题意，得|bc |b 2＋a 2＝3|ab |b 2＋a 2，即c ＝3a ，所以c2＝9a 2，即a 2＋b 2＝9a 2，所以b a ＝22，所以渐近线方程为y ＝±22x .故选B.,解题方法)近年高考题中，频频出现双曲线的题目，多涉及双曲线的定义、渐近线、离心率，难度中等偏易．解决双曲线简单性质的问题，要紧紧抓住三个量a ，b ，c ，依据题设条件找出它们之间的关系，再结合c 2＝a 2＋b 2即可解决问题．,◎命题立意 本题考查空间几何体的侧面积，考查运算求解能力和空间想象能力． ◎思路点拨 依题意O 是正三角形ABC 的中心，设AB ＝a ，分析计算易得0<a <23，则AO ＝33a .在Rt △AOA 1中，A 1O ＝r ＝2，则AA 1＝r 2－AO 2＝4－a 23，所以正三棱柱ABC－A 1B 1C 1侧面积S ＝3a ·AA 1＝3a4－a 23＝3－a 43＋4a 2＝3－13（a 2－6）2＋12，当a 2＝6，即a ＝6时，S 取得最大值，最大值为6 3.,解题方法)本题涉及球和三棱柱的组合体，关键是构造直角三角形，求出侧棱长，再利用配方法求最值．9．参考答案 A◎命题立意 本题主要考查线性规划中已知最优解求参数的问题，考查数形结合思想以及运算求解能力．,小正周期为2，所以选项A 错；当x ＝12时，g (x )没有取得最值，所以选项B 错；因为g (x )＋g ⎝⎛⎭⎫32－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4＋1＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32－x π＋π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫7π4－πx ＋2＝2，所以函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫34，1对称；由g ⎝⎛⎭⎫54＝0，g ⎝⎛⎭⎫94＝2，知g ⎝⎛⎭⎫54<g ⎝⎛⎭⎫94，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫54，94上不单调递减．故选C.,命题探究)高考对三角函数的图象和性质的考查一般有两种方式：一是以图象的方式考查函数的解析式；二是以解析式的方式考查图象的平移、对称、最值和单调性等性质．预计2019年也会以类似的方式考查三角函数的图象和性质．,解，考查数形结合思想的运用和综合求解能力．◎思路点拨因为函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，f(x)过点(1，0)，函数F(x)＝f(x)－k(x－1)有5个零点，即方程f(x)－k(x－1)＝0有5个实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝k(x－1)有5个交点．因为直线y＝k(x－1)过点(1，0)，只需直线y＝k(x－1)与f(x)＝x2－4x＋6(x>1)的图象有2个交点即可．将y＝k(x－1)代入y＝x2－4x＋6(x>1)，整理得x2－(4＋k)x＋6＋k＝0.结合图像知，令Δ>0，即(4＋k)2－4(6＋k)2>0，解得k>23－2.故选C.13．参考答案－30◎命题立意本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力．◎思路点拨令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.令x＝0，得a0＝25＝32，又a5＝C55·20·(－1)5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝1－a0－a5＝－30.,命题探究)二项式定理是高考常考的内容之一，一般以两种方式呈现：一是求某项的系数；二是已,15．参考答案1 6◎命题立意本题主要考查平面图形面积的计算，几何概型概率的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力．◎思路点拨因为△DEF是正三角形，可得△GHI是正三角形，依据拿破仑定理，△ABC是正三角形，且△ABC≌△DEF.设AB＝3，则阴影部分的六个小三角形都是边长为1的正三角形，而△GHI的边长为6.所以所求概率P＝6×34×1234×62＝16.,解题方法)高考对几何概型的考查主要是考查面积型．关键是弄清事件Ω构成的平面区域和事件A 发生时构成的平面区域．,◎思路点拨 (Ⅰ)由S △ABC ＝33，得12bc sin A ＝33，(1分)即12bc sin 60°＝33，得bc ＝12.(2分) 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－bc ＝13，(3分) 所以(b －c )2＝13－bc ＝1，所以b －c ＝1或b －c ＝－1.(4分) (Ⅱ)因为A ＝60°，所以B ＋C ＝120°，所以C ＝120°－B .(5分)1tan B ＋1tan C ＝cos B sin B ＋cos C sin C ＝sin （B ＋C ）sin B sin C ＝sin Asin B sin （120°－B ）＝32·1sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝32·134sin 2B ＋1－cos 2B 4＝332sin 2B －cos 2B 2＋12＝3sin （2B －30°）＋12.(8分),所以EM2＋MB2＝BE2，所以MB⊥EM.(2分)又因为BC⊥CD，即MB⊥MD，EM∩MD＝M，EM⊂平面DEM，MD⊂平面DEM，所以MB⊥平面DEM.(4分)因为MB⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面DEM.(5分)(Ⅱ)依题意知EB，ED，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系．可得E(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(0，0，1)，M(1，0，1)，(6分),到直线的距离，异面直线所成的角，二面角等．预计2019年仍将会以多面体为载体考查空间想象能力和运算求解能力．19．◎命题立意 本题主要考查非线性回归方程以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数据处理能力、转化与化归思想以及运算求解能力．◎思路点拨 (Ⅰ)对y ＝kx a 两边同时取自然对数，得ln y ＝a ln x ＋ln k ，(1分) 由X i ＝ln x i ，Y i ＝ln y i ，得Y i ＝aX i ＋ln k ，(2分) 所以a ^＝错误!＝错误!＝0.5，(3分) ln k ＝2.26－2.52×0.5＝1，得k ＝e ，(4分)所以y 关于x 的回归方程为y ＝e x 12.(5分),近几年高考卷中的概率统计题都是实际应用题，特点是题干长，图表多，不易理解．因此要仔细阅读题目，提取有效信息，抓住要点，结合题意和相关概念，以达到理解题意，解决问题的目的．预计2019年仍将会出现与实际问题相结合的题目．20．◎命题立意 本题主要考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理能力、运算求解能力、综合处理问题的能力．◎思路点拨 (Ⅰ)依题意直线l 方程为y ＝x －1，代入椭圆方程，整理得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，(2分)依题意，a 2a 2＋b 2＝35，即2a 2＝3b 2.(3分)又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，b 2＝2， 的标准方程为x 23＋y 22＝由2|MN|＝|AB|，得2|－m ＋1|1＋k 2＝21＋k 2·18k 2＋62＋3k 2， ②(11分)将①代入②得3（1＋k 2）1＋k 2·（2＋3k 2）＝1＋k 2·18k 2＋62＋3k 2，化简得18k 2＋6＝9，得k 2＝16，所以m ＝－12＋3k2＝－25， 即存在点M ⎝⎛⎭⎫0，－25使得以MA ，MB 为邻边的平行四边形为正方形．(12分) ,命题探究)近几年高考卷中解析几何题目主要是以椭圆或抛物线为载体，考查椭圆或抛物线的方程、性质，直线与圆锥曲线的位置关系，其中会涉及到最值、定值、定点、范围等．力争第(Ⅰ)问得满分，第(Ⅱ)问中会出现一元二次方程、根与系数的关系等，力争多得步骤分．预计2019由题意，a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＋2＋a ＝2， 解得a ＝－2e.(5分)(Ⅱ)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋2－2ex ，由直线l 恒在曲线y ＝f (x )上方可知方程kx ＋2＝－x ＋2－2e x (*)无实数解．(6分)当k ＝－1时，方程(*)无实数解．(7分) 当k ≠－1时，方程(*)变为－2k ＋1＝x e x ，(8分) 令g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(1＋x )e x .当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，(10分),◎思路点拨 (Ⅰ)由⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝－1＋22t两式相加得x ＋y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得ρcos θ＋ρsin θ＝0，(2分)整理得 θ＝34π，(4分)所以直线l 的极坐标方程为 θ＝34π(ρ∈R )．(5分)(Ⅱ)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝3π4，ρ2＋（6cos θ－2sin θ）ρ＋4＝0，得ρ2＋⎝⎛⎭⎫6cos 3π4－2sin 3π4ρ＋4＝0，(6分)即ρ2－42ρ＋4＝0.(7分)设A ⎛⎭⎫ρ1，3π4，B ⎛⎭⎫ρ2，3π4，则ρ1＋ρ2＝42，ρ1ρ2＝4，(8分),当x≤－1时，由f(x)≥－2x得6≥－2x，解得x≥－3，故－3≤x≤－1.所以不等式f(x)≥－2x的解集为[－3，1]∪[3，＋∞)．(5分)(Ⅱ)函数F(x)＝f(x)－ax有3个零点，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax有3个交点．(6分)作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax如图所示，(7分)由图可知，当a>k OA，a>k OB且a<0时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝ax有3个交点．(8分),。
2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2019年安徽省合肥市高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知R是实数集，集合A={-1，0，1}，B={x|2x-1≥0}，则A∩（∁R B）=（）A. B. C. {1} D. {-1，0}2.已知i是实数集，复数z满足z+z•i=3+i，则复数z的共轭复数为（）A. 1+2iB. 1-2iC. 2+iD. 2-i3.执行如图所示的程序框图，若输入x=-1，则输出的y=（）A.B.C.D.4.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3=4，S6=10，则a3=（）A. B. C. D.5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如表：产量x（万件）1416182022单位成本y（元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则a的值等于（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 66.若直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是（）A. （-∞，1]B. [0，2]C. [-2，1]D. （-2，2]7.为了得到函数y=sin x的图象，只需将函数的图象（）A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位D. 横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位8.若a，b是从集合{﹣1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素，则使得函数f（x）＝x5a+x b是奇函数的概率为（）A. B. C. D.9.已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A. 2或10B. 4或8C.D.10.已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，抛物线C上动点A，B满足，若A，B的准线上的射影分别为M，N且△MFN的面积为5，则|AB|=（）A. B. C. D.11.若存在两个正实数x，y使得等式x（1+ln x）=x ln y -ay成立（其中ln x，ln y是以e为底的对数），则实数a的取值范围是（）A. （0，]B. （0，]C. （-∞，]D. （-∞，]12.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知，，若，则k=______．14.在的展开式中，x4的系数为______．15.已知函数，若对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则cos（a1-a2）=______．16.如图是数学家Ger min alDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离|O1O2|=8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，a n=2a n-1+2n-1（n≥2），数列{b n}满足b n=a n+2n+3．（Ⅰ）求证数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取4位居民参加一次阅读交流活动，记这4位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.已知：在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P-AG-C的余弦值．20.已知直线l经过椭圆的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M、N，|MN|2=4|AB|，求证：直线m 与直线l的交点P在定直线上．21.已知函数f（x）=x2-ax lnx+a+1（e为自然对数的底数）（Ⅰ）试讨论函数f（x）的导函数y=f'（x）的极值；（Ⅱ）若∀x∈[1，e]（e为自然对数的底数），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x=t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．23.设f（x）=3|x-1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2=k，求证：+≥．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：因为，所以∁R B={x|x＜}．又A={-1，0，1}，所以A∩（∁R B）={-1，0}．故选：D．先解不等式得出集合B，再求B的补集，最后与A求交集．本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握．利用集合补集和交集的定义是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数运算，对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，属于基础题．将z+z•i=3+i化为，对其进行化简得到z，利用共轭复数的性质得到.【解答】解：z+z•i=3+i可化为z====2-i∴z的共轭复数为=2+i.故选C．3.答案：D解析：解：输入x=-1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案．本题考查循环结构程序框图的输出结果．当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环．4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．列出关于a1，d的方程组并解出，即可求得a3的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3=4，S6=10，∴3a1+3d=4，6a1+d=10，联立解得：a1=，d=∴．故选：A．5.答案：B解析：解：由标准数据，计算=×（14+16+18+20+22）=18，=×（12+10+7+a+3）=；由点（，）在线性回归方程=-1.15x+28.1上，∴=-1.15×18+28.1，则32+a=7.4×5，解得a=5．故选：B．求出，将其代入线性回归方程=-1.15x+28.1中，即可得出a的值．本题考查了样本中心点（，）在线性回归方程上的应用问题，是基础题．6.答案：B解析：【分析】画出不等式组表示的平面区域，直线y=k（x+1）过定点A（-1，0），数形结合得出k＞0，求出k AC，得出实数k的取值范围．对于求斜率的范围的线性规划，过定点作直线与不等式组表示的平面的区域有公共点，从而确定斜率的范围．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如下图所示直线y=k（x+1）过定点A（-1，0），直线y=k（x+1）与不等式组表示的平面区域有公共点则k＞0，k AC==2，∴k∈[0，2]．故选：B．7.答案：A解析：解：将函数的图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，可得y=sin（x+）的图象；再把它的图象再向右平移个单位，可得y=sin x的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，对于古典概型求概率：可用事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数之比得出事件A的概率．考查运算求解能力，是基础题．利用古典概型概率公式即可得出函数f（x）=x5a+x b是奇函数的概率．【解答】解：从集合{-1，1，2，3，4}中随机选取的两个不同元素共有 =20种，要使得函数f（x）=x5a+x b是奇函数，必须a，b都为奇数共有=6 种，则函数f（x）=x5a+x b是奇函数的概率为P==．故选：B．9.答案：B解析：解：由可得．在△MCN中，CM=CN=2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a=4或8．故选：B．由圆的性质可得出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a的值．本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离．在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便．10.答案：D解析：解：过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），则MN=y1-y2．∵S△MFN=5，∴，即（y1-y2）p=10，①∵，∴，即，∴y1=-4y2，②∵AF=AM=，，∴，③联立①②③解得y1=4，y2=-1，p=2．∴|AB|=．故选：D．过点A作x轴的垂线，垂足为C，交NB的延长线于点D．设A（，y1），B（，y2），分别利用△MFN的面积为5，及抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数与方程，考查函数的单调性，属于中档题.对x（1+ln x）=x ln y-ay进行变形，将求a的取值范围转化为求f（t）=-t-t lnt的值域，利用导数即可得出实数a的取值范围．【解答】解：x（1+ln x）=x ln y-ay可化为a=，令，则t＞0，f（t）=-t-t lnt，∵f′（t）=-2-ln t，∴函数f（t）在区间上单调递增，在区间上单调递减．即==,则a∈．故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于较难题.菱形ABCD中，∠DAB=60°，△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折过程中，点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线上，三棱锥的高最大时，平面ABD⊥平面BCD．【解答】解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为△AEC过A点的高；所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，AD=DC=1，AE=，EC′=，AC′=|cos∠ADC′|=||=，所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为，故选：B．13.答案：8解析：【分析】本题考查了平面向量共线定理的坐标表示与运算问题，是基础题．由向量平行的坐标运算即可得出．【解答】解：+2=（9，2+2k），3-=（-1，6-k）；∵（+2）∥（3-），∴9（6-k）-（-1）（2+2k）=0，解得k=8．故答案为8．14.答案：-解析：解：通项公式T k+1=（x3）8-k（-）k=（-）k x24-4k，由题意可知24-4k=4，解得k=5则x4的系数为（-）5=-，故答案为：-．由二项式展开的通项公式确定k的值，即可得到x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出r，代回通项即可．15.答案：-解析：解：∵=2cos[+（x-）]cos（x-）+sin x=cos2x+sin x=-2sin2x+sin x+1，∵sin x∈[-1，1]，∴f（x）∈（-2，），对任意实数x，恒有f（a1）≤f（x）≤f（a2），则f（a1）=-2，f（a2）=，即sin a1=-1，sin a2=，cos a1=0，∴cos（a1-a2）=cos a1cos a2+sin a1sin a2=0+=-．对f（x）进行化简得到f（x）=-2sin2x+sin x+1，根据正弦函数和二次函数的单调性得到f（a1）=-2，f（a2）=，进而确定sin a1=-1，sin a2=，cos a1=0，利用两角差的余弦公式得到cos（a1-a2）．本题主要考查了三角函数的求值，本题的关键在于“变角”将cos（x+）变为cos[+（x-）]结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．16.答案：解析：解：如图，圆锥面与其内切球O1、O2分别相切与B，A，连接O1B，O2A，则O1B⊥AB，O2A⊥AB，过O1作O1D⊥O2A于D，连接O1F，O2E，EF交O1O2于点C．设圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β．在Rt△O1O2D中，DO2=3-1=2，O1D==2．∴cosα===．∵O1O2=8，CO2=8-O1C，∵△EO2C∽△FO1C，∴=，解得O1C=2．∴CF===．即cosβ==．则椭圆的离心率e===．故答案为：．利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为α，截面与轴的夹角为β的余弦值，即可得出椭圆离心率．本题考查了“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦cosβ与圆锥母线与轴的夹角的余弦cosα之比，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.答案：解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a1=1，故b1=6．当n≥2时，a n=2a n-1+2n-1，则b n=a n+2n+3=2a n-1+2n-1+2n+3=2[a n-1+2（n-1）+3]，∴b n=2b n-1，∴数列列{b n}是等比数列，首项为6，公比为2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=3×2n，∴a n=b n-2n-3=3×2n-2n-3，∴S n=3×（2+22+……+2n）-[5+7+……+（2n+3）]=3×-=3×2n+1-n2-4n-6．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（Ⅰ）利用等比数列的定义结合a1=1，a n=2a n-1+2n-1（n≥2），b n=a n+2n+3．得出数列{b n}是等比数列．（Ⅱ）数列{a n}是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和S n．18.答案：解：（Ⅰ）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读100 24 124不经常阅读50 26 76合计150 50 200则K2==≈5.546＞5.024，所以，有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区城镇居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率是，且x～B（4，），P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X0 1 2 3 4P∴E（X）==．解析：（Ⅰ）根据题意填写列联表，利用公式求出K2，比较K2与5.024的大小，即可得出有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，利用二项分布公式求出相应的概率，即可得出X 的分布列和期望．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：（Ⅰ）证明：取AD的中点为O，连结OP，OC，OB，设OB交AC于H，连结GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCD与四边形OBCD均为菱形∴OB⊥AC，OB∥CD，则CD⊥AC，∵△PAD为等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD．PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD，∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO，∴GH⊥CD．又∵GH∩AC=H，AC，GH⊂平面GAC，∴CD⊥平面GAC；（Ⅱ）解：取BC的中点为E，以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．设AD=4，则P（0，0，2），A（0，-2，0），C（，1，0），D（0，2，0），G（，，）．=（0，2，2），=（，，）．设平面PAG的一法向量=（x，y，z）．由，得，即．令z=1，则=（1，，1）．由（Ⅰ）可知，平面AGC的一个法向量．∴二面角P-AG-C的平面角θ的余弦值cosθ=．解析：（Ⅰ）分别证明CD⊥AC和GH⊥CD，即可得出CD⊥平面GAC；（Ⅱ）以O为空间坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．分别求出平面PAG、平面AGC的法向量、，利用cosθ=得出二面角P-AG-C的余弦值．本题考查线线、线面、面面垂直的判定定理，考查二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由已知，得，∴，∴b2=3，∴椭圆C的标准方程．（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，则直线m的斜率也不存在，这与直线m与直线l相交于点P矛盾，所以直线l的斜率存在．令l：y=k（x-1），（k≠0），m：y=-k（x+t），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），N（x N，y N）．将直线m的方程代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2tx+4（k2t2-3）=0，∴x M+x N=-，x M x N=，|MN|2=（1+k2）．同理|AB|==．由|MN|2=4|AB|得t=0，此时，△=64k4t2-16（3+4k2）（k2t2-3）＞0，∴直线m：y=-kx，∴，即点P的定直线x=上．解析：（Ⅰ）根据椭圆的性质及已知条件求出a，b，即可得出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设出直线l和直线m的直线方程，分别代入椭圆C的标准方程，利用弦长公式和韦达定理得出|MN|，|AB|，根据|MN|2=4|AB|确定l的值，联立直线l和直线m的方程得到点P的坐标，从而确定点P在定直线上．本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．g（x）=f'（x）=2x-a ln x-a，g'（x）=2-当a≤0时，g'（x）＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）单调递增，函数y=g（x）没有极值．当a＞0时，由g'（x）=0，得x=，函数y=g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．函数y=g（x）的极小值为，没有极大值．（Ⅱ）对∀x∈[1，e]，f（x）＞0恒成立，即对∀x∈[1，e]，x2-ax lnx+a+1＞0，∴对∀x∈[1，e]，x-a ln x+＞0．令h（x）=x-a ln x+，则h'（x）=1-=．①当a+1≤1，即a≤0时，对∀x∈[1，e]，h'（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=1-0+＞0，解得a＞-2，∴-2＜a≤0满足题意．②当a+1≥qe时，即a≥qe-1，对∀x∈[1，e]，h'（x）≤0，∴h（x）在[1，e]上单调递减，h（x）min=h（e）=e-a+＞0，解得a＜∴e-1满足题意．③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e-1时，对于x∈[1，a+1]，h'（x）＜0；对于x∈[a+1，e]，h'（x）＞0．∴h（x）在[1，a+1]上单调递减，在[a+1，e]上单调递增，∴．即1+-ln（a+1）＞0设H（a）=1+-ln（a+1），由于H（a）在（0，e-1）单调递减，∴H（a）＞1-＞0，即h（x）min=aH（a）＞0，∴0＜a＜e-1满足题意．综上①②③可得，a的取值范围为：．解析：（Ⅰ）由导数的求导法则得出g（x）=2x-a ln x-a，利用导数求极值的步骤得出极值．（Ⅱ）构造函数令，求导得到，利用导数求最值的方法对a的值进行分类讨论，即可得出实数a的取值范围．本题在求a的取值范围时，直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式从而求出参数的取值范围，属较难题．22.答案：解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2=4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）=4，可得ρ2+3（ρsinθ）2=4，则x2+y2+3y2=4，则曲线E的直角坐标方程为.（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t=2cosα，则B（2cosα，±sinα）,要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，-sinα）,∴==,∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[-1，1],当，即时，△AOB的面积取最大值．解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y可把曲线E的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）利用参数方程求出A，B的坐标，再求△AOB的面积及其最大值．本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=3|x-1|+|x+1|=，当x=1时，f（x）取得最小值，即k=f（1）=2；（2）证明：依题意，m2+4n2=2，则m2+4（n2+1）=6．所以==，当且仅当，即m2=2，n2=0时，等号成立．所以．解析：（1）将函数表示为分段函数，再求其最小值；（2）利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式．本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值．含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解．已知或pa+qb（m，n，p，q是正常数，a，b∈R+）的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值．。
安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学理试题(解析版)
合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题 (理科 )(考试时间： 120 分钟满分： 150 分 )第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.设复数 z 满足 z4i ，则 z 在复平面内的对应点位于1 iA. 第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限答案： A 考点 ：复数的运算及几何意义。
解析： z4i ＝ 4i (1 i ) 2 2i ，对应的点为（ 2,2），所以，在第一象限。
1 i 1 i 22.若集合 Ax20 ， Bx 1 x2，则ABx1xA. 2，2B. 1，1C.(-1 ， 1)D.(-1 ， 2)答案： C 考点 ：分式不等式，集合的运算。
解析：不等式x2≤ 0 ，等价于 ( x 2)( x 1) ≤ 0 且 x 1 0 ，解得 2 ≤ x 1 ，x 1即 A { x | 2 ≤ x 1} ，所以 A B( 1,1)．3．已知双曲线x 2y 21 ( a 0， b 0 )的一条渐近线方程为y 2x ，且经过点 P (6 ，4)，则双曲线的方a 2b 2程是A.x 2 y 2 1B.x 2 y 21x 2y 2 1 D. 2y 2 143234C.8x42答案： C 考点 ：双曲线的标准方程与性质。
解析：依题意可知b2, b2 ，故 x 2y 2 1，将 P(6,4)6 16 1，aaa 2 4a 2代入，得：4a 2a 2解得 a 22, b 2 8 ，所以双曲线的方程是x 2 y 2 1 ．284.在 ABC 中， BD1DC ，则 AD2A.1AB3ACB.2AB1ACC.1AB2ACD.1AB2AC4433 3 3 33答案： B 考点 ：平面向量的三角形法则。
解析： ADAB BDAB1BC AB 1 AC AB2AB1AC ．3 333AB D C5.下表是某电器销售公司2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类冰箱类小家电类其它类营业收入占比90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%-0.48% 3.82%0.86%则下列判断中不正确的是．．．A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低答案： B 考点：统计表格的阅读，比例的意义。
安徽省合肥市2019届高中高三第二次教学质量检测数学理试卷试题解析版本.docx
合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题 (理科 )(考试时间： 120 分钟满分： 150分 )第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 z 满足 z4i，则 z 在复平面内的对应点位于1iA. 第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限答案：A 考点：复数的运算及几何意义。
解析： z4i＝4i (1 i )2i ，对应的点为（2,2），所以，在第一象限。
11i22i2.若集合 A x x20 ， B x1x 2 ，则A B x1A.2，2B.1，1C.(-1 ， 1)D.(-1 ， 2)答案：C 考点：分式不等式，集合的运算。
解析：不等式x2≤ 0 ，等价于 ( x2)( x1) ≤ 0 且 x10 ，解得 2 ≤ x1，x1即 A{ x | 2 ≤ x1} ，所以 A B(1,1)．3．已知双曲线x2y2 1 ( a0， b0)的一条渐近线方程为y2x ，且经过点P (6，4)，则双曲线的方程是a2b2A. x2y21B. x2y21C. x2y21D. x2y2143234284答案：C 考点：双曲线的标准方程与性质。
解析：依题意可知b2, b2a ，故x2y21，将P(6,4) 代入，得：6161，a a 24a2a24a2解得 a22, b28 ，所以双曲线的方程是x2y21．284.在ABC 中， BD 1DC ，则AD 2A.1AB3AC B.2AB1AC C.1AB2AC D.1AB2A C 44333333答案：B 考点：平面向量的三角形法则。
解析： AD AB BD AB 1BC AB1AC AB2AB1AC ．3333AB D C5.下表是某电器销售公司2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确 的是．．．A. 该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低答案 ：B 考点 ：统计表格的阅读，比例的意义。
2019年合肥市高三教学质量检测理科数学试卷(含答案)
高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭三、解答题：17.(本小题满分12分)(I)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=.…………………………5分(II)由()13f α=可得1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin(2, 632πα<+=<∴ 2+,,62ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ cos 263πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分18.(本小题满分12分)(I)取CD 的中点M ，连结EM ，BM .由已知得BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥.∵2,AD AB BD ===，∴30,ADB ABD ∠=∠=︒∴90,ADC ∠=︒∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴EM ∥PD .又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD .∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M = ，∴平面BEM ∥平面PAD ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案D C C D A D D D C C B A高三数学试题（理科）答案 第2 页（共4页）∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (II)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO . 由对称性知，O 为BD 中点，且AC BD ⊥，BD PO ⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ,PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = .设平面PCD 的法向量为()2n x y z = ，，， 则n ⊥2,n ⊥2，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n . ∵)0,3,3(=，)1,3,0(=，∴⎩⎨⎧=+=+03033z y y x . 令3=y ，得3,1-=-=z x ，∴)3,3,1(2--=n∴1313131-=-==n n 设二面角B PD C --的大小为θ，则cos 13θ=. ………………………12分 19.(本小题满分12分) (I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；…………………………5分(II)由题意知，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分20.(本小题满分12分)(I)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2知，b c a ==，，则椭圆方程为222212x y b b+=.易求得)0A，则点在椭圆上，所以222212b b +=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22163x y +=. …………………………5分 (II)当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =1）知，M N ，，0OM ON OM ON ==⋅= ，，，∴ OM ON ⊥. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，高三数学试题（理科）答案 第3 页（共4页）()()1122M x y N x y ，，，，=，即()2221m k =+. 联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴ ()222124260k x kmx m +++-=，得122212204212621km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩. ∵()()1122 OM x y ON x y == ，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++， ∴ OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥.在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似，可得22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(I)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+. 令()11x h x e x =-+， 则()()2101x h x e x '=+>+，∴ 函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==.可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.……………………5分(II)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(I)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减； 当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴ 函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴ ()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+.高三数学试题（理科）答案 第4 页（共4页）max 2S =2312πθ=令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211x x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴ ()()max 01x ϕϕ==. ∴ 函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(I)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，则2=2cos ρρθ，∴ 222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴ 所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (II)设()B ρθ，，则=2cos ρθ,∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ 当 时， ………………………10分23.(本小题满分10分)(I)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10101>221>22x x x x x x+≥+<⎧⎧⎨⎨+----⎩⎩或13x ⇔>∴ 实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ………………………5分 (II)∵ 1a >，∴ 11a -<-，()()()(1)211(1)1112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩， ，-， ，， ，， 易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增，则()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ∴ 1112a -=，解得2a =. …………………………10分。
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11
所以r 2 ．
6．执行右面的程序框图，若输出的结果为 15，则判断框中的条件是（ ）
A．i 4?
B．i 5?
C．i 6?
D．i 7 ?
6．答案：C
解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是计算
i(i 1)
S 1 23i
的值，又S 15 ，
2
所以i 5 ，当i 1 6 时退出循环，结合选项
则该几何体的表面积等于（ ）
A．48 8
B．48 4
C．64 8
D．64 4
9．答案：D 解析：由三视图可知，该几何体是由一个半球和一个直四棱柱的组合体， 根据图中数据可知，表面积为
4 4 2 22 4 2 4 1 4 22 64 4 2
10．若将函数 f (x) cos2 x(1 cos x)(1 cos x) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函
，
2
12
1 1
∴
Sn
n(n 1)
2
n
n
1
，
1
1 1 1 1 1 2n
∴ Sn
的前n
项和Tn
2 1
2
2
3
n
n
1
n 1
.…………………10 分
18．(本小题满分 12 分)
a
b
已知：在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边长，
0.
cos( A C) cos A
2
2
连接BF ，则BF 平面 AED ，连接 AF ，则BAF 为 AB 与平面 ADE 所成的角，所以
1
BF sin BAF
2
3
AB 3 6
B P
F
D
A E
C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上相应的位置.
13．若a 与b 的夹角为135 ， a 1， b 2 ，则 a b __________.
数 y g(x) 的图象，则函数 y g(x) 的单调递减区间为（ ）
A．
2
k，k
(k
Z)
B． k，2
k
(k
Z)
1 1
C．
8
4
k， 4
k
(k
Z)
1 1
D． 4
k， 8
4
k
(k
Z)
10．答案：A
解析：因为 f (x) cos2 x(1 cos x)(1 cos x) cos2 x sin2 x 1 sin2 2x 1 1 cos 4x ，
（）
A． f (a2 1) ≥ f (2a)
B． f (a2 1) ≤ f (2a)
C． f (a2 1) ≥ f (a 1)
D． f (a2 1) ≤ f (a)
11．答案：A
解析： f (x) 是偶函数， f (x) ex ex 2 sin x ，且 f (0) 0 ，令h(x) f (x) ，则 h(x) ex ex 2 cos x ，当 x [0, ) 时，h(x) ex ex 2 cos x ≥ 0 恒成立， 所以 f (x) ex ex 2 sin x 在[0, ) 上单调递增，所以 f (x) ≥ 0 在 x [0, ) 上恒成立，所以 f (x) 在
5．已知直线l : x y 5 0 与圆C : (x 2)2 ( y 1)2 r2 (r 0) 相交所得的弦长为2 2 ，则圆C 的半径r
（）
A． 2
B．2
C．2 2
D．4
5．答案：B
2 1 5
解析：圆C 的圆心为(2,1) ，圆心到直线的距离d
2 ，又弦长为2 2 ，所以2 r2 d 2 2 2 ，
所以2 ≤ a 0 ，所以 f (x) 的大致图象如图所示，又 f (x) 的零点为 x1 0, x2 2 ，所以 f (t) 0 必有两个 零点，t1 2 和t2 0 ，而 x ≤ a 时，f (x)min a2 4 ，所以要使 y f (t) 的两个零点都存在，则a2 4 ≤ 2 ， 否则t1 2 这个零点就不存在，故a2 ≤ 2 ，所以 2 ≤ a 0
a2 b2
是（ ）
A． x2 y2 1 3
x2
B．
y2
1或 x2
y2
1
3
3
x2 y2 C． 1
12 4
x2 y2
x2 y2
D． 1或 1
12 4
4 12
8．答案：B
解析：依题意，a2 b2 4 ，因为两条渐近线的夹角为60 ，所以渐近线的倾斜角为30 与150 或60 与120 ，
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
已知等比数列{an}各项都是正数，其中a3，a2 a3，a4 成等差数列，a5 32 .
(Ⅰ)求数列{an } 的通项公式；
1 (Ⅱ)记数列{log2 an} 的前n 项和为Sn ，求数列 的前n 项和Tn .
Sn
(17)(本小题满分 10 分)
(Ⅰ)设等比数列an
的公比为
q
2(a2 ，由已知得
a3) a5
a3 32，
a4，
，即
2a1q a1q2
a1q4
a1q 32.
3，
∵ an
0 ，∴q
q 2, 0 ，解得
a1 2.
∴ an
2n .
……………………5 分
n(n 1)
(Ⅱ)由已知得，Sn log2 a1 log2 a2 log2 an
2
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及C 知，△ABC 为等腰三角形，a b .
6
根据余弦定理a2 b2 2ab cos C c2 ，得(2 3)a2 8 4 3 ，
解得a2 4 ，∴a 2 ，
1
1
1
∴△ABC 的面积S ab sin C 2 2 1.
C．
13
3．答案：C 解析：因为四个直角三角形全等，两条直角边的长分别为 2 和 3，
所以斜边长为 13 ，所以围成的大正方形的面积为 13，而每个
1 直角三角形的面积为 2 3 3 ，所以阴影区域的面积为 12，
2
12
所以从图中随机取一点，该点取自阴影区域的概率为 ．
13
x y≤0
4．已知实数 x，y 满足条件x y ≥ 0 ，则 z 2x y 的取值范围是（
A． (1,3]
B．(1, 2]
C．[1, 2)
D． (2, 3]
1．答案：C
解析：M N [1, 2)
1 2i
2．已知复数 z
(i 为虚数单位)，则 z （ ）
2i
1
3
4
A．
B．
C．
D．1
5
5
5
2．答案：D
1 2i 1 2i
解析： z
5 1．公式： z1 z2 z1 z2 ,
z1 z1
2i 2i 5
z2 z2
3．右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为 2 和 3.若从右图内随机取一
点，则该点取自阴影区域的概率为（ ）
2
A．
3
8
B．
9
12
2
3
A．
8
3
B．
6
3
C．
4
3
D．
3
12．答案：B
解析：因为D, E 分别是BC 和PC 的中点，所以DE // PB ，又CPB CAB 90 ，所以DE PC ，
1
3
又 AC 1, CE , AE ，所以 AE PC ，所以PC 平面 ADE ，如图，延长ED 至F ，使得EF PB ，
15．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3 3 方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不
同列，且不在3 3 方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种. 15．答案：24 解析：要想任意两颗棋子不在同一行、同一列，和同一条对角线上， 则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点，另两颗在对角顶点的两侧，如图所示， 由于正方形有四个顶点，故有四个不同的相对位置，又三颗棋子颜色不同，故不同的
b 当倾斜角为30 与150 时，可知
3 ，所以a
3, b 1，双曲线方程为 x2 y2 1；
a3
3
b 当倾斜角为60 与120 时，可知
3 ，所以a 1, b
3 ，双曲线方程为 x2 y2 1．
a
3
9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，
(Ⅰ)判断△ABC 的形状；
(Ⅱ)若C ，c 6 2 ，求△ABC 的面积．
6
a
b
a
b
18．解析：(Ⅰ)
0
0 a cos A b cos B ，∴sin 2 A sin 2B .
cos( A C) cos A
cos B cos A
∵ A，B 是△ABC 的内角，∴ A B ，或 A B ，
合肥市 2019 届高三调研性检测数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M {x | 1 x 2} ， N {x |1≤ x ≤ 3}，则M N （ ）