东北三省三校2020届高三第一次联合模拟考试理科数学
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
【附加15套高考模拟试卷】东北三校(哈尔滨师大附中等)2020高三第一次联合考试数学(理)试题含答案
东北三校（哈尔滨师大附中等）2020高三第一次联合考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面斜坐标系xOy 中，45xOy ∠=︒，点P 的斜坐标定义为“若0102OP x e y e =+u u u v(其中12,e e 分别为与斜坐标系的x 轴、y 轴同方向的单位向量)，则点P 的坐标为()00,x y ”.若()11,0F -，()21,0F ，且动点(),M x y 满足12MF MF =u u u u v u u u u v，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为( )A．0x -= B．0x += C0y -= D0y +=2．已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)1,e -+∞C ．[]32ln 2,-+∞ D ．[]32ln3,-+∞3．已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ） A ．2B．C ．6D．4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若||8AB =，则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为( ) A ．2B ．4C ．8D ．165．若函数()2sin(2)cos (0)2f x x x πθθ=+⋅<<的图象过点(0,2)，则（ ）A ．点(,0)4π是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]6．设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时，()22()x f x x b b =++为常数，则(1)f -= A ．-3B ．-1C ．1D ．37．设直线0x y a -+=与圆222420x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则a =（ ）A ．-1或1B ．1或5C ．-1或3D ．3或58．已知()()sin f x A B ωϕ=++ (0,0,)2A πωϕ>><部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是（ ）A ．5,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭ 9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()121,223n n na S a n S =-++=≥，则下面选项为等差数列的是（ ） A ．{}1n S +B ．{}1n S -C ．11nS ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭ D ．11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭ 10．已知||()2x f x x =g ，3(log 5)a f =，31(log )2b f =，(3)c f ln =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是( )． A ．3[,0]?4-B ．(－∞，34-]∪[0，＋∞) C ．33[,]- D ．2[,0]3-12．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析
D.VS
第 H 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分 ，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力． 假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池 充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号，充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
）＝
I ri
斗
一 lx-21,xξ［1,3)
／工 ← 1\
\2f（丁），巾，＋∞）
’ 则函数
f(x ）的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j＼ln(2,--x）以1的图象
在区间［-5,7］上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列｛a＂｝的通项公式为ι ＝ 2η十2，将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点，
E是AB 的中点．
C I ）证明：DE／／平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一 点，且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为 ，求二面角F BAi A的余 A
弦值．
D
C1
19.（本小题满分12分） 为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽 取了100万个样本，调查 了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症状：人睡困 难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据l：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C症状人数为6. 5万，其中 含 AB 症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1 万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状 同时出现0.5万人； 数据2：同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人 数为73万人．
东北三省四市2020届高三数学第一次模拟试题 理(含解析)
东北三省四市2020届高三数学第一次模拟试题理（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，表示复数的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】将整理为，可得对应的点为，由此得到结果.【详解】对应的点为：对应的点在第一象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数运算和复数的几何意义，属于基础题.3.下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化简函数，利用对称性的特点进行验证即可.【详解】，当时，，故A适合题意，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的对称性，考查三角函数的恒等变换，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 720【答案】B【解析】【分析】直接模拟程序框图运行.【详解】由题得p=1,1＜4，k=2,p=2,2＜4,k=3,p=6,3＜4，k=4,p=24,4=4,p=24.故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，结合求得结果.【详解】由等差数列性质可知：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.6.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】B【解析】【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.【详解】当时，若，可得又，可知本题正确选项：【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.7.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量，年，某企业连续年累计研发投入达亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这年间的研发投入（单位：十亿元）用如图中的折现图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 年至年研发投入占营收比增量相比年至年增量大B. 年至年研发投入增量相比年至年增量小C. 该企业连续年研发投入逐年增加D. 该企业连续年来研发投入占营收比逐年增加【答案】D【解析】【分析】根据折线图和条形图依次判断各个选项，从而得到结果.【详解】选项：年至年研发投入占营收比增量达2%；年至年增量不到，由此可知正确；选项：年至年研发投入增量为；年至年研发投入增量为，可知正确；选项：根据图表，可知研发投入绝对量每年都在增加，正确；选项：年至年研发投入占营收比由降到，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查统计图标中的折线图和条形图，属于基础题.8.已知是两个单位向量，且夹角为，则与数量积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用数量积的运算法则，结合二次函数的图像与性质即可得到结果.【详解】∵是两个单位向量，且夹角为，∴当t=时，的最小值为：故选：A【点睛】本题考查数量积的最值问题，考查数量积的运算法则，考查二次函数的最值，考查计算能力与转化思想，属于基础题.9.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵。
2020届东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学)高三上期第一次联合模拟考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。
2020东北三省三校一模联考数学(理)试题
东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ）A ．()22i + B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数()()()()21102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2020年三校第一次联合模拟考试理科数学试题 参考答案 一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2分3年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁） 6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X0 1 2 P3821 3815 382 10 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴2 分 又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 xyz∴ 21,cos λλ+-<n m n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
2020年东北三省四市教研联合体高考(理科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．124．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．305．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．407．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．39．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，则A ∩（∁U B）＝（）A．{2，5，7}B．{3，5，7}C．{3}D．{5，7}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，5，7}，B＝{1，2，4，6}，∴∁U B＝{3，5，7}，∴A∩（∁U B）＝{3，5，7}．故选：B．2．已知复数，则z的虚部为（）A．﹣1B．.﹣i C．.1D．.i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵＝，∴z的虚部为﹣1．故选：A．3．2019年某国迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为径，个位数字为叶）．若甲队得分的中位数是86，乙对得分的平均数是88，则x+y＝（）A．170B．10C．172D．12【分析】由茎叶图中的数据，求出甲队得分的中位数和乙队得分的平均数，再计算x+y 的值．解：由茎叶图知，若甲队得分的中位数是86，则x＝6；乙队得分的平均数是×（78+82+80+y+89+91+93+97）＝88，解得y＝6；所以x+y＝6+6＝12．故选：D．4．（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为（）A．5B．10C．20D．30【分析】写出二项式（1+x）5的通项，分别求出含x2的项与含x的项，再由多项式乘多项式求解．解：（1+x）5的展开式的通项为T r+1＝x r．取r＝2，得T3＝x2，取r＝1，得T2＝x．∴（1+2x）（1+x）5的展开式中x2的系数为+2＝20．故选：C．5．《算数书》竹筒与上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍．其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算器体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式相当于圆锥体积公式中的圆周率近似取为（）A．B．C．D．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，写出底面周长L，写出圆锥体积，代入近似公式即可求出π的近似值．解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L＝2πr，＝，∴π＝，即π＝．即π的近似值为．故选：C．6．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，则S8＝（）A．56B．72C．88D．40【分析】设公差为d，且d不为0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．解：公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即有（2+2d）2＝2（2+8d），解得d＝2（0舍去），则S8＝8a1+28d＝16+56＝72，故选：B．7．下列说法正确的是（）A．命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x＞0，2x＞sin x”B．若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ则α∥βC．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）＝0.4，则P（ξ＞0）＝0.8D．设x是实数，“x＜0”是“”的充分不必要条件【分析】在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x ≤0，2x＞sin x”；在B中，α与β相交或平行；在C中，P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”．解：在A中，由特称命题的否定可知：命题“∃x0≤0，2x0≤sin x0”的否定形式是“∀x≤0，2x＞sin x”，故A错误；在B中，若平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，如右图的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∥平面BCC1B1；平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面BCC1B1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1．故B错误；在C中，∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），∴正态曲线关于x＝1对称，∵P（0＜ξ＜1）＝0.4，∴P（1＜ξ＜2）＝0.4，∴P（ξ＞2）＝0.5﹣0.4＝0.1，∴P（ξ＞0）＝0.4+0.4+0.1＝0.9，故C错误；在D中，设x是实数，则“x＜0”⇒“”，“”⇒“x＜0或x＞1”，∴“x＜0”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：D．8．已知双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．3【分析】依题意可得c＝2，DF2＝＝．求得a，即可得则双曲线的离心率．解：∵双曲线的右焦点与圆M：（x﹣2）2+y2＝5的圆心重合，∴c＝2，∵圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则圆心（2，0）到渐近线距离DF2＝又DF2＝．∴b＝，a＝则双曲线的离心率为．故选：A．9．已知A（x A，y A）是圆心为坐标原点O，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB交圆于点B（x B，y B），则2y A+y B的最大值为（）A．3B．2C．D．【分析】设A（cosθ，sinθ），则由任意角的三角函数的定义可得B（，），故2y A+y B＝2sinθ+，再利用两角和与差的三角函数公式及辅助角公式化简即可求得y A+y B的最大值．解：设A（cosθ，sinθ），则B（，），∴2y A+y B＝2sinθ+＝2sinθ+sinθcos+cosθsin＝＝＝，∴2y A+y B的最大值为，故选：C．10．从集合{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣2，﹣1，2，3，4}中随机选取一个数记为n，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在y轴上的双曲线的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得方程表示双曲线共有N＝3×3+4×2＝17种情况．方程表示焦点在y轴上的双曲线共有N0＝3×3＝9种情况．利用条件概率公式即可求解．解：若方程表示双曲线，则mn＜0，共有N＝3×3+4×2＝17种情况．若方程表示焦点在y轴上的双曲线则m＜0．n＞0，共有N0＝3×3＝9种情况．则概率为p＝．故选：A．11．已知函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣2af（x）+3a＝0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．（3，4）D．（3，4]【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2﹣2at+3a，作f（x）的图象如下，设g（t））＝t2﹣2at+3a的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需g（t）＝t2﹣2at+3a在（2，4）有两不等实根或者其中一根为4，另一根在（2，4）内，故或，解得3＜a＜或a＝．即实数a的取值范围是：（3，]．故选：B．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n]上的最大值为，且数列{a n}的前n项和为S n．若对于任意正整数n不等式k（S n+1）≥2n﹣9恒成立，则实数k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．C．D．【分析】由函数的周期变化知，最大值也成周期变化，求出数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，得到前n项和为S n的表达式，进而求解结论．解：当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，则f max（x）＝1．又∵设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，∴a1＝1，又∵f（x+2）＝2f（x），则f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为f（x）在[2n﹣4，2n﹣2）上的最大值的2；∴a n＝2a n﹣1，数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列；∴数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1；∴k（S n+1）≥2n﹣9恒成立⇒k≥＝恒成立；记{}为数列{b n}，∵﹣＝；当n≤5时，﹣＞0，即数列{b n}递增；当n＞5时，﹣＜0，即数列{b n}递减；且b5＝＝，b6＝＝＞；∴数列{b n}的最大值为：．故实数k的取值范围为：[，+∞）．故选：C．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分.13．若曲线f（x）＝ae x﹣lnx（其中常数a≠0）在点（1，f（x））处的切线的斜率为1，则a＝．【分析】根据斜率即为切点处的导数，先求出x＝1处的导数，令其等于1，即可解方程求出a的值．解：∴f′（1）＝ae﹣1＝1∴．故答案为：．14．若函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象．则g（x）在区间上的最小值为．【分析】先由辅助角公式化简函数f（x）得，再由图象变换法则可得，最后由给定区间结合三角函数的图象及性质求得最小值．解：，函数f（x）向左平移个单位得到函数，∵，∴，∴，即g（x）在区间上的最小值为．故答案为：．15．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O．剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球的体积为8π．【分析】翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，由此能求出以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积．解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥O﹣ACD，如图，取CD中点E，连结AE，作OF⊥平面ABC，交AE于F，则F是△ACD的重心，由题意知AE＝＝2，AF＝＝，OF＝＝，设G为四面体的外接球的球心、球半径为R，则G在直线OF上，且OG＝AG＝R，∴由AG2＝AF2+GF2，得：R2＝（）2+（﹣R）2，解得R＝，∴以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的外接球表面积为V＝πR3＝8π．故答案为：8π．16．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，如图AB是过F1且垂直于长轴的弦，则△ABF2的内切圆方程是．【分析】设△ABF2内切圆的半径为r，由椭圆的方程分析可得a、b、c的值，由勾股定理分析可得|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝2，解可得|AF1|与|AF2|的值，计算可得△ABF2的周长与面积，由内切圆的性质计算可得内切圆半径，进一步求得圆心坐标，则答案可求．解：设△ABF2内切圆的半径为r，椭圆的方程为，其中a＝，b＝，c＝，则|F1F2|＝2c＝4，AB与x轴垂直，则有|AF2|2﹣|AF1|2＝16，|AF1|+|AF2|＝2a＝，解得：|AF1|＝，|AF2|＝，△ABF2的周长l＝|AF2|+|BF2|+|AB|＝，其面积S＝×|AB|×|F1F2|＝，由内切圆的性质可知，有r×＝，解得r＝．∴圆心横坐标为﹣2+，即圆心坐标为（，0），则△ABF2的内切圆方程是，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．在△ABC中，M是BC边上一点，．（1）求sin B；（2）若，求MC．【分析】（1）由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和，设α，β分别为已知角，所以B角用已知角表示，再由题意可得α，β的正弦值，余弦值，由两角差的正弦公式展开可得B的正弦值．（2）由向量的关系，可得线段MC，MB的关系，由（1）及由正弦定理可得AM的值，再由余弦定理可得MC的值．解：（1）由题意可得设∠BAM＝α，∠AMC＝β，由题意可得sinα＝sin45°＝，cosα＝，B＝β﹣α，cosβ＝，所以sinβ＝，所以sin B＝sin（β﹣α）＝sinβcosα﹣cosβsinα＝﹣＝；（2）因为＝，设MC＝x，BM＝2x，在△ABM中，由正弦定理可得＝，所以＝，所以AM＝x，因为AC2＝AM2+MC2﹣2AM•MC•cosβ，所以42＝x2+x2﹣2x，解得MC＝x＝4，所以MC的值为4．18．某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数，以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”．（1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，根据频率分布直方图解决下面的问题．组别分组频数频率频率/组距1[60，70）2[70，80）3[80，90）4[90，100]（ⅰ）估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（ⅱ）若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．分数【分析】（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，利用古典概型能求出从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表，由频率分布表作出频率分布直方图，由此能估计所有员工的平均分数．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），由此能求出X的分布列和数学期望．解：（1）从这20人中任取3人，设恰有1人成绩“优秀”为事件A，则从这20人中任取3人，恰有1人成绩“优秀”的概率：P（A）＝＝．（2）（ⅰ）根据这20人的分数补全频率分布表：组别分组频数频率频率/组距1[60，70）20.10.012[70，80）60.30.033[80，90）80.40.044[90，100]40.20.02由频率分布表作出频率分布直方图：估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）为：65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2＝82．（ⅱ）从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，），P（X＝0）＝（）3＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝（）3＝，∴X的分布列为：X0123P∵X～B（3，），∴数学期望E（X）＝3×＝．19．已知函数C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P（1，t）（t＞0）作两条倾斜角互补的直线分别C交于M，N两点．（1）证明：直线MN的斜率是﹣1；（2）若8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，求直线MN的方程．【分析】（1）易求P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP ＝0，利用斜率公式代入化简得y1+y2＝﹣4，所以＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，所以，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，由题意可知|MN|2＝8|MF||NF|，即，将直线l与抛物线C联立，利用韦达定理代入上式得：m2﹣2m+1＝0，故m＝1，从而得到直线l的方程．解：（1）∵点P在抛物线C：y2＝4x上，∴t＝2，∴P（1，2），设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可知，k MP+k NP＝0，∴，∴，∴，∴y1+y2＝﹣4，∴＝＝﹣1；（2）由（1）可设直线l的方程为：y＝﹣x+m，∴，|MF|＝x1+1，|NF|＝x2+1，∵8|MF|，|MN|，|NF|成等比数列，∴|MN|2＝8|MF||NF|，∴，即①，将直线l与抛物线C联立，可得：x2﹣（2m+4）x+m2＝0，∴△＝（2m+4）2﹣4m2＝16m+16＞0，∴m＞﹣1，且x1+x2＝2m+4，，代入①式得：（2m+4）2﹣8m2﹣4（2m+4）﹣4＝0，化简得：m2﹣2m+1＝0，∴m＝1，满足m＞﹣1，∴直线l的方程为：y＝﹣x+1．20．如图，在直角△AOB中，OA＝OB＝2，△AOC通过△AOB以直线OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°），点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且．（1）证明：OM⊥平面AOB；（2）当直线MD与平面AOB所成的角取最大值时，求二面角B﹣CD﹣O的正弦值．【分析】（1）△OBM中，由余弦定理可得：OM．再利用勾股定理对逆定理可得：OM ⊥OB．由题意可知：OA⊥平面OBC，进而得出结论；（2）由（1）可得：OM⊥平面AOB．OD是斜线MD在平面OAB的射影．∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．可得点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．分别求出平面OCD的法向量为，平面CDB的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：△OBM中，由余弦定理可得：OM2＝22+﹣2×2××cos30°＝，解得OM＝．∴OM2+OB2＝MB2．∴OM⊥OB．由题意可知：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，∴OA⊥OM．又OB∩OA＝O，∴OM⊥平面AOB．（2）解：由（1）可得：OM⊥平面AOB．∴OD是斜线MD在平面OAB的射影．∴∠ODM是直线MD与平面AOB所成的角，取取最大值时，OD⊥AB，垂足为D．∴点D为线段AB的中点．建立如图所示对空间直角坐标系．O（0，0，0），B（0，2，0），D（0，1，1），C（，﹣1，0），＝（，﹣1，0），＝（0，1，1），设平面OCD的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，∴x﹣y＝0，y+z＝0，取＝（1，，﹣），同理可得平面CDB的法向量＝（，1，1）．∴cos＜，＞＝＝．∴二面角B﹣CD﹣O的正弦值为．21．已知函数是f（x）的导数．（1）当a＝1时，令h（x）＝f'（x）﹣x+lnx，h'（x）为h（x）的导数，证明：h'（x）在区间存在唯一的极小值点；（2）已知函数在上单调递减，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入后，先求出函数h（x）的解析式，然后对其求导，结合导数与单调性及极值的关系可证；（2）结合函数单调性与导数的关系及函数的性质，零点判定定理进行求解即可．解：（1）a＝1时，h（x）＝lnx﹣sin x，x＞0，，令g（x）＝，则，当x时，g′（x）单调递增，且g′（1）＜0，＞0，故g′（x）在（0，）上有唯一的零点，设为a，当x∈（0，a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）在（0，）上有唯一的极小值点即h′（x）在（0，）上有唯一的极小值点，（2）设k（x）＝x﹣sin x，x≥0，k′（x）＝1﹣cos x≥0，所以k（x）在（0，+∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝0，即x≥sin x，从而sin2x≤2x，因为在上单调递减，所以m（x）＝2ax﹣sin2x﹣≤0在上恒成立，令p（x）＝m′（x）＝2a﹣2cos2x﹣4x2，则p′（x）＝4sin2x﹣8x＝4sin2x﹣4×（2x）≤0，所以m′（x）在上单调递减，m′（x）max＝2a﹣2，当a≤1时，m′（x）≤0，m（x）在上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，符合题意；当a＞1时，m′（x）在上单调递减，且m′（0）＝2a﹣2＞0，所以一定存在，当0≤x＜x0时，m′（x）＞0即m（x）在[0，x0）上单调递增，m（x0）＞m（0）＝0与题意不符合，舍去．故a的范围（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分，请考生在22/23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，点Q（m，n）满足．（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，求动点Q的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）点A、B分别是曲线C上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值．【分析】（Ⅰ）推导出x2+y2＝1（x≠﹣1），，从而＝1，（m≠﹣2），由此能求出动点Q的轨迹C的极坐标方程．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，由此能求出．解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（t为参数）．点p（x0，y0）在曲线C上，∴x2+y2＝（）2+（）2＝1，∵∈（﹣1，1]，∴x≠﹣1，∴x2+y2＝1（x≠﹣1），∵点Q（m，n）满足．∴，∴＝1，（m≠﹣2），∴动点Q的轨迹C的极坐标方程为：3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ＝12．（﹣π＜θ＜π）．（Ⅱ）ρ2＝，设A（ρ1，θ1），B（），＝，＝＝，∴＝+＝+＝．[选修4-5不等式选将]23．已知关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解．（1）求实数m的最大值t；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝t．证明a3b+b3c+c3a≥3abc【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，可得函数的最大值，再分类讨论即可求出m 的取值范围，可得t的值；（2）要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，根据基本不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|x+1|﹣|x﹣3|＝，∴当m≥3时，f（x）的最大值为4，关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥|m﹣2|+m有解等价于f（x）max＝4≥|m﹣2|+m，当m≥2时，上述不等式转化为4≥m﹣2+m，解得2≤m≤3，当m＜2时，上述不等式转化为4≥﹣m+2+m，解得m＜2，综上所述m的取值范围为m≤3，故实数m的最大值t＝3；证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝3，要证a3b+b3c+c3a≥3abc，只要证++≥3，∵+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2+2+2＝2（a+b+c），∴++≥3，那么a3b+b3c+c3a≥3abc．。
东北三省三校2020届高三数学第一次联合模拟考试试题理含解析
A。 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，得到点 也在函数图象上，函数 在 上为减函数，将不等式化为 ，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】根据题意, 为偶函数, 且经过点 ,则点 也在函数图象上，
【详解】不等式组 所表示的平面区域如图所示：
表示过可行域内的点 与
点 的直线的斜率的最大值，
由 ，解得 ，
这时 ，
故目标函数 的最大值是 。
故选D。
【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键,属于基础题.
11. 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ,若 ,且 的面积为 ,则 的最大值为( )
又当 时，不等式 恒成立，
则函数 在 上为减函数,
因为 ，所以
解得 或 .
故选：C
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型。
10.已知实数 ， 满足不等式组 ，目标函数 的最大值是（ ）
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值。
∴ ,∴ ,故选B。
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题。
2.设 : ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式,求出命题 ， 成立的解集，把 是 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数 的取值范围.
东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(简答)
2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。
2020届东北三省名校联考新高考第一次摸底考试数学(理)试题
2020届东北三省名校联考新高考第一次摸底考试理科数学 试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每题5分，共60分） 1．设全集U=R ，集合}{2A=|log 2,{|(3)(1)0}x x B x x x ≤=-+≥，则()U C B A =（ ） A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞-⋃C ．(]0,3D ．()0,32．00cos1522-的值为（ ）A B ．12 C ． D ．12-3. 已知3a e =，33log 5log 2b =-，c =a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．c b a >>4.已知,2sin cos R ααα∈-=，则tan(2)4πα-=（ ）A ．43 B ．7- C ．34- D ．175．要得到函数3sin2y x =的图象，可将函数3cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．沿x 轴向左平移8π个单位长度 B ．沿x 轴向右平移8π个单位长度 C ．沿x 轴向左平移4π个单位长度 D ．沿x 轴向右平移4π个单位长度6. 已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点3π（，0）和56π（，0）是其相邻的两个对称中心，且在区间233ππ（，）内单调递减，则ϕ=（ ）A ．3π B ．6π C ．3π- D ．6π- 7.若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18.已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349.在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （ ）A ．310B C D 10. 已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 2,84⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,164⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3ln 22,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122,4n e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11. ．已知()22ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,,x x x x ∀∈+∞≠，[]()()21122,3,2f x f x a m x x -∃∈<-，则m 的取值范围是（ ）A ．194m ≥-B ．m ≥C ．m ≥D ．m ≤12.若函数11()ln()2x x f x ee --=+-与()sin2xg x π=图像的交点为11)x y （，,22)x y （，，…，)m m x y （，，则1mi i x =∑（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 3270cos 250+的值等于_________14. 已经函数()()2(2)sin 13f x x x x x =+++-在[]4,2-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______15. 当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16. 关于函数2()ln f x x x=+,下列说法正确的是______（填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点 ；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点；（3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立 ；（4）对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>三、解答题（共70分）17. （10分）已知函数()2|1|||()f x x x a a =+--∈R ． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x ≤+的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值．18. （12分）设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。