一些涉及黎曼Zeta函数的无穷级数
黎曼假设题目
黎曼假设是关于黎曼Zeta函数的数学难题，其题目大致如下：黎曼Zeta函数被定义为以下复数全纯函数（complex holomorphic function）：请注意，这个Zeta函数的定义只对实部大于1的复数有效，这是为了确保数列的收敛性。
然而，通常当我们谈论黎曼Zeta函数时，我们指的是解析延拓黎曼Zeta函数，它的域是所有的复数，除了1（这是一个简单极点）。
因此，我们可以把上述定义看作是给出了限定在半平面Re(s) > 1的黎曼ζ函数的表达式。
欧拉表明，这个函数在素数上有一个无限的乘积展开式：这里用ℙ表示素数的集合。
这种关系贯穿了整个理论，并将zeta函数的解析性质与素数的分布联系起来（在这种情况下被视为自然数的有序子集）。
这使得黎曼zeta函数理论就像数论和复分析之间的交集。
如需更多黎曼假设相关的题目，可以查阅各大数学论坛或数学竞赛网站，那里有很多关于黎曼假设的题目可供练习。
关于黎曼Zeta函数的若干性质及其在复平面上的积分表示
+
8
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+
8）的一致收敛性•首先，因为
$ > 1,则正项级数！ 8 卫1 收敛，而 n = 1 n〒
Inn / 1 1 / n(1+)/2
1mn(&+)/2罟=11工
n&8
n$ n&8 n($+1)/2
0,
所以正项级数！8
我想知道黎曼猜想是否真的解决了?另外黎曼猜想跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系?据统计在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的?这表明黎曼猜想及其推广形式一旦被证明对数学的影响将是十分巨大的一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联这在数学中可以说是绝无仅有的?更令人们惊讶的是黎曼猜想还与量子力学和弦论等也有深刻的联系?也难怪当阿蒂亚爵士宣称他证明了黎曼猜想时会引起如此大的轰动?令人们唏嘘的是阿蒂亚爵士于2019年1月11日去世他生前留下的关于黎曼猜想的最后一篇手稿1尽管没有获得主流数学家的认可但依然将名垂青史因为它再一次激起了人们讨论和研究黎曼猜想的热情与激情相信在众多数学家的不懈努力下黎曼猜想问题终将被完全解决下转第23页?3?付成君等
1黎曼Zeta函数的定义
我们知道，“ p级数”
! —— 二 1 =1’ $----1--- 1---1---- ----- $---1---- -----
台"
2 3!
"
当! > 1时收敛，当! " 1发散(卩二1时为调和级数)，由此可见，哪怕! > 0有多小，正项级数！O 1
关于黎曼zeta-函数及一类偏微分方程整函数解的值分布
关于黎曼zeta-函数及一类偏微分方程整函数解的值分布二十世纪二十年代,芬兰数学家R. Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数,并以此创立了Nevanlinna理论,成为二十世纪最伟大的数学成就之一.它不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础,并且对其他许多数学分支的交叉和融合产生了重要的影响.R. Nevanlinna利用他所创立的亚纯函数值分布理论,研究了确定一个亚纯函数所需要得条件,得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理,从此拉开了亚纯函数唯一性理论研究的序幕.半个多世纪以来,国外数学家 F. Gross, M. Ozawa, G. Frank, E. Mues, N. Steinmetz, H. Ueda, G. Gundersen 及我国数学家熊庆来,杨乐等在唯一性理论方面取得了一系列令人瞩目的成果.近二十年来,仪洪勋教授一直致力于这方面的研究,做出了一系列富有创造性的研究成果,引起了国内外许多知名数学家的关注,有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展.本文主要包括作者得到的关于Riemann zeta-函数的唯一性问题及一类偏微分方程的整函数解的值分布性质研究的几个结果.论文的结构如下安排.第一章,我们简单介绍Nevanlinna唯一性理论的主要概念、基本结果和一些常用的符号.第二章,我们研究了相关Riemann zeta-函数的唯一性问题,应用ζ的值分布性质得到了一个唯一性定理,改进了Bao Qin Li[8]的结果,回答了C杨重骏教授在[41]中所提的问题,并指出定理中的条件是严格的.定理主要结果有：定理1.设a,b,c∈C∪{∞}为扩充复平面上两两互异的点,若C上的亚纯函数f与黎曼zeta-函数ζ分担a,bCM和cIM(除去有穷多个例外值),那么f=ζ.定理2.设a,b ∈C∪{∞}为扩充复平面上非零的点,若C上的亚纯函数f与黎曼zeta-函数(分担a,bCM和0IM(除去可能存在的例外值,且例外值集合的增长级小于1),那么f=ζ.第三章,我们研究了下述的偏微分方程给出了此方程具有整函数解的充分必要条件,并研究了此整函数解得增长性与其Taylor系数之间的关系,得到了一个Lindelof-Pringsheim平行定理,推广了扈培础与杨重骏教授在[51]中的结果.主要定理有：定理3.偏微分方程(1)在C2上有一个整函数解u=f(t,z),当且仅当u=f(t,z)具有如下的级数展开且满足其中Tn(t)=cos(n arccost)为第一类Chebyshev多项式.定理4.设f(t,z)为偏微分方程(1)的整函数解,或由(2)(3)式所定义的整函数,则f(t,z)的增长级有进一步,若0<λ=ord(f)<∞,则f的增长型σ=typ(f)满足第四章,我们定义了方程(1)整函数解的极大项μ(r)和中心指标v(r),建立了此类两个变量的整函数上的Wiman-valiron理论.主要定理有：定理5.设f(t,z)为方程(1)的整函数解,或由(2)(3)式所定义的整函数,则其增长级ord(f)满足进一步,若ord(f)<∞,则第五章,对方程(1)的整函数解,我们给出了其无Picard例外值的条件,并得到了两个唯一性定理.主要定理有：定理6.设f(t,z)为偏微分方程(1)的整函数解,或由(2)(3)式所定义的整函数,且其增长级ord(f)<∞,若满足下列条件之一(i)ord(f)=0或者ord(f)为非整数；(ii)ord(‘f)为正整数λ,且存在整数j≥0满足则f：C2→C为满映射.定理7.设f(t,z),g(t,z)为偏微分方程(1)的超越整函数解,且增长级ord(f)<∞,ord(g)<∞.若f,9满足其中q=max{[ord(f)],[ord(g)]】,且存在一个复数a≠f(0,0)使得f与g分担a CM,则f=g.定理8.设f(t,z)为偏微分方程(1)的非常数亚纯解且ord(f)<∞,g(t,z)为C2上的有穷级非常数亚纯函数.若f与g分担0,1,∞CM,那么g必定为f的分式线性变换,满足下列四种情形之一：(a)g=f;(b)gf=1;(c)gf=f+g;(d)存在一个常数b≠1和一个多项式β使得。
zeta法 -回复
zeta法-回复什么是zeta法？Zeta法是一种数学工具，用于计算无穷级数的和。
它是由数学家数学家劳伦斯·埃尔南德斯·齐龙（Laurent Schwartz）于20世纪50年代提出的。
Zeta法是基于黎曼Zeta函数（又称黎曼zeta函数）的性质和特点，通过一系列步骤将无穷级数的和计算出来。
黎曼zeta函数是专门用于研究无穷级数的数学函数，它的定义如下：ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + ...其中s是复数。
当s的实部大于1时，这个级数收敛，而当s的实部小于等于1时，这个级数发散。
那么，如果我们想要计算这个级数的和，即黎曼zeta函数的值，我们可以使用Zeta法。
第一步是定义实值函数，将复数s拆分为实部和虚部：s = σ+ it其中σ和t是实数。
通过如此定义可以将黎曼zeta函数转化为两个实变量的函数。
第二步是做变量替换，将无穷级数改写为积分形式。
这一步利用了Gamma 函数。
Gamma函数是如下定义的：Γ(x) = ∫[0,∞] t^(x-1) * e^(-t) dt然后，我们将黎曼zeta函数改写为积分形式：ζ(s) = 1^(-s) + 2^(-s) + 3^(-s) + 4^(-s) + ...= ∫[1,∞] x^(-s) dx第三步是利用解析延拓，将积分限从实数范围∞拓展到复数范围。
通过解析延拓，我们可以获得更广阔的计算范围，并计算黎曼zeta函数在其他复数点上的值。
第四步是计算积分。
我们可以通过数值方法或解析方法计算积分。
数值方法可以使用数值积分技术，例如梯形法则或辛普森法则。
解析方法则需要利用复数的性质和公式进行计算。
最后一步是根据计算结果，得到黎曼zeta函数在特定复数点上的值。
通过这个值，我们可以了解无穷级数的和。
综上所述，Zeta法是一种用于计算无穷级数和的数学工具，基于黎曼Zeta 函数的性质和特点。
黎曼zeta函数的一些简单性质
黎曼zeta函数的一些简单性质
黎曼ζ函数也叫Riemann Zeta函数，是一个数论函数。
它的定
义式为：ζ(s) = ∑n=1∞1/ns，其中s是一个复数参数。
黎曼ζ函
数有许多有趣的性质，它们构成了当今数学研究的重要组成部分。
首先，黎曼ζ函数在实数轴上独特的特性是它联系了一些整数
概念，这也是数论的主要内容。
例如，ζ(2)的值是π2/6，ζ(3)的值是1/120，并且ζ(4)的值是π4/90。
这些值都与具有重要数学意义的整数相关，有助于开发出各种定理和公式。
其次，黎曼ζ函数也有定义域的差异。
当s > 1时，ζ函数是
定义在实数轴上的函数；当|s| ≤ 1时，ζ函数被认为是定义在复数
平面上的函数。
这样，在不同领域中，我们可以更好地理解它。
此外，黎曼ζ函数也与隐式定理有关。
它是第一个利用数论推
理出超现实数的数学函数。
实践中，它可以帮助人们证明有关超越数
的隐式定理，同时也能让抽象的概念变得更加具体。
最后，黎曼ζ函数可以用于求解数学难题。
它也有助于解决著
名的Goldbach问题，即任何大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
此外，它还常常被用于各类数论计算，以解决更多的数学问题。
总的来说，黎曼ζ函数具有多种有趣的性质，使它成为当今研
究具有特殊地位的数论学系的重要组成部分。
直观地来看，它关联着
一些重要的整数概念，对于定理的推导有着重要的作用，而且可以用
来求解诸如隐式定理和Goldbach问题等复杂数学难题。
黎曼zeta和伽马函数
黎曼zeta和伽马函数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼zeta函数和伽马函数是数学中的两个重要函数。
黎曼zeta函数是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，而伽马函数则是由瑞士数学家欧拉在18世纪首次引入。
这两个函数在数学分析、复变函数论和数论等多个领域中都有广泛的应用。
黎曼zeta函数最初是为了研究素数分布而引入的。
它的定义是通过级数来表达的，即黎曼zeta函数的值可以通过对正整数的倒数进行求和得到。
然而，黎曼函数的定义不仅限于正整数，它可以通过解析延拓的方法得到更广泛的定义域。
黎曼zeta函数的性质非常丰富，它与素数的分布、调和级数、Γ函数等之间有着密切的联系。
伽马函数是一种特殊的复变函数，定义为一个无穷积分。
它具有一些重要的性质，包括对复数域上所有值的定义、互补性质和解析延拓。
伽马函数在各种数学问题中都有广泛的应用，包括概率论、数论、复变函数论以及物理学中的量子力学和场论等。
黎曼zeta函数与伽马函数之间存在着密切的关系。
它们之间的联系可以通过黎曼函数和伽马函数的定义以及它们的函数等式互补性质来描述。
黎曼zeta函数和伽马函数的关系在数学研究和应用中有着重要的意义，它们共同为数学家提供了一种更深入地理解数论、复变函数和解析数论等数学分支的方法。
综上所述，本文将主要介绍黎曼zeta函数和伽马函数的定义、性质以及它们之间的关系。
通过对它们的深入研究和应用，我们可以更好地理解数论和复变函数论等数学领域中的一些重要问题。
文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构主要分为四个部分：引言、黎曼zeta函数、伽马函数和黎曼zeta函数与伽马函数的关系。
每个部分包含若干小节，分别介绍相应的内容。
引言部分（Introduction）主要介绍本文要讨论的主题，即黎曼zeta 函数和伽马函数。
在概述（Overview）部分，简要介绍黎曼zeta函数和伽马函数的定义与性质，引起读者对这两个函数的兴趣。
接着，在文章结构（Structure of the Article）部分，详细介绍文章的组织结构和每个部分的内容，使读者对全文有一个清晰的了解。
用最简单的方式解释黎曼猜想（三），黎曼ζ函数的解析延拓与零点
用最简单的方式解释黎曼猜想（三），黎曼ζ函数的解析延拓与零点我们已经开始接近黎曼猜想，回顾一下前两篇的内容：用最简单的方式解释黎曼猜想（一），理解素数定理用最简单的方式解释黎曼猜想（二），黎曼ζ函数，素数之门的金钥匙我们已经知道，如果s是某个大于1的数，那么zeta函数如下：或者用求和符号表示：我已经展示了，通过应用一个过程（非常像埃拉托色尼的筛选法），它是如何等价于：整理得：因此有：•欧拉乘积公式到目前为止，一切都很顺利。
但什么是非平凡零点？函数的零点是什么？zeta函数的零点是什么？它们什么时候是“非平凡”的？我们继续！先忘记黎曼zeta函数，考虑下面的函数：这个函数收敛吗？为了对这个函数有个直观的感受，我们先看一个例子。
拿一个标有四分之一、八分之一、十六分之一……的普通尺子。
用铅笔尖指着尺子上的第一个标记，零。
把铅笔向右移1（单位）。
铅笔尖在“1”的标记上，总共移动了1个单位，如下图1：•图1现在，把笔尖向右移动0.5个单位，如图2：•图2继续把笔尖向右移动1/4，1/8，1/16，1/32，1/64。
现在，你的笔尖在图3的位置：•图3笔尖移动的距离是：容易算出的结果是：显然，如果能像这样继续下去，每次减半距离，会越来越接近2，但永远也到不了2（可以无限接近）。
我们可以把这个事实表示成：假设笔尖先向右移动一个单位，再向左移动0.5个单位，再向右移动1/4个单位，再向左移动1/8个单位……，如图4：•图4因为从数学的角度来看向左移动等于向右负移动，这就等于：结果是43/64。
如果继续加、减无穷项，就会得到：如果是1/3呢？如果你自己动手去移动，不难发现，移动总距离不超过3/2，也就是：同理可以知道：回到函数S（x），计算S（x）函数值如下：画出函数图如下：在-1的左边和1的右边，函数没有值，也就是这个函数的定义域是[-1,1]。
但我可以换个方式表达函数，如下：看出什么了吗？右边括号里的内容不就是S（x）吗？也就是说：把最右边的一项移到等号左边：也就是：因此：也就是：对吗？某种程度上是。
一些涉及黎曼Zeta函数的无穷级数
=( s
+ 1) ζ
(s
+1, a
−
t)
(11)
DOI: 10.12677/pm.2019.98123
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理论数学
马玮，及万会
5)
∞
∑
k =2
(
(
k
s)k
−2
)!ζ
(s
+
k, a) t k −2
=( s
+ 1) ( s
+
2)ζ
(s
+
2, a
−t)
(12)
证明 实指数 s 的二项式展开式为
(1+ x)s = ∑∞ s (s −1) (s − k +1)xk
∑ 7)
∞
( ) ( ) n=1
−1 n−1 ζ
2n x2n = nπ2n
ln sinh x − ln x ， x ≤ π
(7)
证明
1)
根据余切函数定义文[6]；
cot
x
=1 − x
∞
2∑
n =1
( −1)n −1
22n B2n
(2n)!
x2n−1 ， B2n 是贝努里数。
将贝努里数 B2n 代入余切表达式，得到关于系数为黎曼 zeta 函数 ζ (2n) 的级数表达式(1)。
k =0
k!
=1+ s x + s (s −1) x2 + + s (s −1)(s − 2)
1!
2!
k!
(s − k +1) xk +
当 s < 0 为负实数，即 −s > 0 ，利用升阶乘符号
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∞ k =1
cos (kx)
k 2n+1
，
n
≥
0
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理论数学
马玮，及万会
2. 主要结果与证明
命题 1 设 x < π ，则黎曼 zeta 函数 ζ (2n) 的级数封闭型和式
∑ 1)
∞ζ
n =1
(2n) x2n−1
π2n
=
1 2x
− 1 cot x ， 2
∑ 7)
∞
( ) ( ) n=1
−1 n−1 ζ
2n x2n = nπ2n
ln sinh x − ln x ， x ≤ π
(7)
证明
1)
根据余切函数定义文[6]；
cot
x
=1 − x
∞
2∑
n =1
( −1)n −1
22n B2n
(2n)!
x2n−1 ， B2n 是贝努里数。
将贝努里数 B2n 代入余切表达式，得到关于系数为黎曼 zeta 函数 ζ (2n) 的级数表达式(1)。
1 x2 ln x − 1 x2 − 1 x2 ln sin x + x2 ln 2sin x
2
42
(4)
+
1 2
xCl2
(2x)
+
1 4
Cl3
(2x)
−
1 4
ζ
(3)
5)
∑∞ ζ (2n) x2n+3
=
n=1 n (2n + 3) π2n
1 3
x3
ln
x
−
1 9
x3
−
1 3
x3
ln
sin
x
+
1 2
cos 2nx − 1 ∞ = n3 2 n 1
1 n3
=
x2
ln
2 sin
x
+
xCl2
(2x)
+
1 2
Cl3
(2x)
−
1ζ 2
(3)
将其代入上式，(4)成立。 5) (2) 式两端乘以 x2 ，再关于 x 积分
( ) ∑∞ ζ (2n) x2n+3 =
n=1 n (2n + 3) π2n
x
∫ t2 ln t − t2 ln sin t d=t
摘要 用积分基本恒等式给出涉及黎曼 ζ (2n) 函数级数与赫尔维茨zeta函数级数。所给出级数是封闭形的。最 后给出关于 ζ (2n) 函数与赫尔维茨zeta函数级数的数值级数。
*通讯作者。
文章引用: 马玮, 及万会. 一些涉及黎曼 Zeta 函数的无穷级数[J]. 理论数学, 2019, 9(8): 969-979. DOI: 10.12677/pm.2019.98123
Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(8), 969-979 Published Online October 2019 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2019.98123
式。
7) (6)式两端关于 x 积分得(7)式。命题 1 证毕。
下面讨论赫尔维茨 zeta 函数级数封闭形和式。
命题 2 设 t < a ，则含有升阶乘 ( s)k 的赫尔维茨 zeta 函数级数封闭形和式
1)
∞
∑
(
s
) k
ζ
(s + k,a)tk
=ζ
(s, a − t ) ，( t
<
a
)
(8)
k=0 k !
1!
2!
k!
=1+ −s x + s (s +1) x2 +
(−1)k s (s +1)(s + 2)
+
(s + k −1) xk +
1!
2!
k!
= ∑∞ (−1)k s (s +1) (s + k −1)xk = ∑∞ (−1)k (s)k xk
=k 0= k ! k 0
∑ ∫ ∞ ζ (2n) x2n+2
=
n=1 n (2n + 2) π2n
1 x2 ln x − 1 x2 − 1 x2 ln sin x + 1 x t2 cot tdt
2
42
20
DOI: 10.12677/pm.2019.98123
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理论数学
马玮，及万会
x
∫ t2 cot tdt 使用分步积分法，利用积分基本恒等式
k =0
k!
=1+ s x + s (s −1) x2 + + s (s −1)(s − 2)
1!
2!
k!
(s − k +1) xk +
当 s < 0 为负实数，即 −s > 0 ，利用升阶乘符号
(1+ x)−s =1+ −s x + −s (−s −1) x2 + + −s (−s −1)(−s − 2) (−s − k +1) xk +
( a,1)
=
ζ
(s)
，ζ
(s)
=
∑ 1
m −1
ζ
ms −1 j=1
s,
i m
ζ (s, a += n)
ζ
( s,
a)
−
n −1
∑
k =0
(k
1
+ a)s
(1.4) (1.5)
升阶乘符号= ：(λ )n
Γ= Γ(λ(λ+)n)
1, n = 0
λ (λ +1)
(λ + n −1), n ∈ N :1, 2,
2)
∞
∑
k =0
(
(
k
s+)1k )!ζ
(
s
+
k,
)a = tk+1
1 ζ (s −1, a − t )
s −1
(9)
3)
∞
∑
k =0
(
(
k
s)k
+2
)!ζ
(= s + k, a)tk+2
(
s
1
− 1) (
s
−
2)
ζ
(
s
−1,
a
−
t
)
(10)
4)
∞
∑
k =1
(
s
) k
ζ
(k −1)!
(s
+
k, a) tk−1
cos 2nt + 3 t ∞ = n 2 n 1
cos 2nt n3
x 0
∑ ∑ ∑ ∑ = 3 x2 ∞
= 2 n 1
sin 2nx − 3 ∞ = n2 4 n 1
s= inn24nx − x3 n∞1
cos 2nx + 3 x ∞ = n 2 n 1
cos 2nx n3
=
3 2
x2Cl2
(2x) −
x
<π
(1)
∑∞ ζ (2n) x2n
2)
n =1
= nπ2n
ln x − ln sin x
(2)
3)
∑∞ ζ (2n) x2n+1 n=1 n (2n +1) π2n
= −x + x ln
2sin x
+
1 2
Cl2
(
2
x
)
(3)
4)
∑∞ ζ (2n) x2n+2
=
n=1 n (2n + 2) π2n
Keywords
Integral Basic Identity, Riemann Zeta Function, Hurwitz Zeta Function
一些涉及黎曼Zeta函数的无穷级数
马 玮1，及万会2*
1宁夏吴忠中学，宁夏 吴忠 2宁夏民族职业技术学院，宁夏 吴忠
收稿日期：2019年10月4日；录用日期：2019年10月23日；发布日期：2019年10月30日
1
(2n −1)s
,R(s) >
,R 0, s
(s)
≠1
>
1
(1.1)
赫尔维茨函数(黎曼 zeta 函数 ζ (s) )推广定义
ζ
(s, a)
=
∑∞
1
n=0 (n + a)s
， Re(s)
>1， a
≠
0, −1, −2,
(1.2)
黎曼 zeta 函数的极限值[1]：
ζ (−1) =− 1 ， ζ (0) =
x2Cl2
(
2x
)
(5)
−
1 4
Cl4
(2x) +
1 3
x3
ln
2 sin
x
+
1 2
Cl3
(2x)
其中 Cl j (t )( j = 2,3, 4) 为 Clausen 函数
∑ 6)
∞ ( ) −1 n−1 ζ
n =1
(2n) x2n−1
π2n
= − 1 2x
+
1 coth x ， x 2
≤π
(6)
Some Infinite Series Involving the Riemann Zeta Function