第五章 解析延拓 多值函数与黎曼面

数学物理方法
证明：
( z 1) t
0

( z 1) 1 t
e dt t z d (et )
0 t z 0 0

t e
其中用到：
z t 0
e d (t ) z t z 1et dt z( z )
z t lim(t z e t ) lim t 0 t t e
数学物理方法
3.将 Γ 函数进行解析延拓 设 f1 ( z ) ( z ) ，定义域 D1 为： Re z 0
解析元素 : D1, f1 ( z) D1, ( z)
( z 1) 由递推公式： f 2 ( z ) ( z ) z 右边成立的条件： Re( z 1) 0, z 0 D2 : Re z 1, z 0
1 1 ( x) ( x 1) ( x 2) ( x 2) (0,1) ( x 2) x x( x 1)
有定义，这样可以得到 ( x)
x (2, 1) ……
1 ( x n) 设 x (n, n 1)，定义 ( x) x( x 1) ( x n 1) 1 1 注：由 ( x) ( x 1) 及 (1) 1得到 (0) (1) x 0 数学物理方法
1 i (0 2 k ) 2
w z e
(k 0,1, 2 )
数学物理方法
当 k 0,2,4 时:w0 e 当 k 1,3,5 时:w1 e 点： w0 , w1。
i
0
2
0 0 2 e
i
1 i (0 2 ) 2
1
2
e
D1 和 D2 的重叠区域 D12：就是 D1 在 D1 中：
f1 ( z ) f 2 ( z ) f 2 ( z ) 是 f1 ( z ) 在 D2 中的解析延拓
( z 1) 解析元素 D2 , z
数学物理方法
( z 2) 同理：解析元素 D3 , D3 :{Re z 2, z 0, z 1} … z ( z 1)
1 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己 1 z 的有效范围 ( f1 ( z ) : D1 , f 2 ( z ) : D2 ) ，同时也有公共的有效范围
（两圆重叠部分 D12 ） 。当然常常不能得到这样一个在函数的 全部解析区域内都有效的统一表达式，而是需要用解析延拓 的方法推出分别在不同区域中有效的表达式。
数学物理方法
（1）z 从某一给定的 z ei0 出发，对应的 w从 w0 出发。令 z 沿逆时针方向环绕原点 ( z 0) 转一圈回到原处时， 它的辐角 由 0 变为0 2 1，而 w 由 w0 变为 w1 ，即 w 从一个单值分 支变到另一个单值分支。继续令 z 沿逆时针方向绕 z 0 转一 圈， z 再次回到原处，它的辐角由0 2 1变为0 4 ， 而 w由 w1 变为 w0 。这样再转第三圈：辐解为0 6 ，而 w由
i
0
2
2 1 4
可见，Z 平面上的一个点： z ei ，对应着 W 平面的两个
w( z) 是一个多值函数，且称 w0与w1为w z 的两个单值分
支，每一个分支是一个单值函数。 造成根式函数 w z 多值的原因：z 的辐角的多值性
( 0 2k ) 。
考察 z 的连续变化：在复平面上可用一条曲线来描述 z 的变化过程。
数学物理方法
例：对于多值函数 f ( z ) 的积分 f ( z )dz ，必须确定 z 与 f ( z ) 之 间的这种对应关系和这种关系的变化。否则积分无意义，至 少不确定。
一、根式函数 最简单的根式函数： w z 1.多值性：令 z ei , arg z 2k 0 2k (k 0,1,2 ) ——无限多个辐角（注意： z 0, ）
0
1 得递推公式 ( x 1) x( x) ( x) ( x 1) x
数学物理方法
递推公式本来是在 x>0 的情况下推导出来的，通常又用它把 Γ函数向 x<0 的区域延拓。 1 设 x (1,0)， 定义 ( x) ( x 1) ( x 1) (0,1) ( x 1)按 x （1）式有定义，这样可以得到 ( x ) x (1,0) 又设 x (2, 1)，定义
1 ( z 1) 1 z
在圆外，级数是发散的。
数学物理方法
1 1 在圆内一点 z i 的泰勒展开： f1 ( z ) 1 z 2 i k (k ) i ( ) f1 (z ) i 2 ( z )k 2 f2 ( z) （1） i k 1 k! 2 k 0 k 0 (1 ) 2 1 i 5 (1 i / 2) k 但此级数的收敛半径为： R lim 1 R 1 2 2 (1 i / 2) k 1
x
数学物理方法
1 1 1 1 1 f2 ( z) i 1 q i i i i i R 1 z 1 1 z 1 1 (z ) O 2 x 2 2 1 2 2 2 i 1 2
1
iy 1 2
可见 f1 ( z ) 和 f 2 ( z ) 这两个解析函数只是同一个解析函数
D1 和 D2 的重叠区域 f1 ( z ) f 2 ( z ) ， 所以 f 2 ( z ) 就是 f1 ( z ) 在 D2 中
的解析延拓。 2.在 D2 内任取一点 b2 ，将 f 2 ( z ) 在 b2 的邻域展开成泰勒级数
f3 ( z )
k 0

f 2( k ) (b2 ) ( z b2 ) k k!
考察∞点的情况：
1 1 令 t ，则 w ，当 t 绕 t 0 转一圈（相当于 z 绕∞点转一 z t
圈）时， w的值不会还原，可见 z 是 w z 的另一支点。
数学物理方法
2.将多个单值分支分开的方法： 在根式函数的两个支点之间作割缝，并规定： z 在连续变化 的过程中不能跨越割缝。
设给定解析元素{D1 , f1 ( z )}，现采用幂级数方法将 f1 ( z ) 解析延拓。
数学物理方法
1.在 D1 内任取一点 b1 ， 将 f1 ( z ) 在 b1 的邻域展开成泰勒级 数 f2 ( z)
k 0
f1( k ) (b1 ) ( z b1 ) k k!
设级数的收敛区域为 D2 。如果 D2 超出了 D1 的范围。由于在
定义：解析元素——区域与解析函数的组合 {D1 , f1 ( z )}{D2 , f 2 ( z )}
数学物理方法
2.应用 （1）已知在某区域中定义的解析函数，用解析延拓的 方法扩大其定义域和解析范围。 （2）已知数学问题的解是某区域D内（除个别奇点外） 的解析函数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表 达式推算出解在D的其他子区域中的表达式。 三、解析延拓的幂级数方法
解析元素的全体构成一个完全的解析函数 F(z)
定义域：除 z=0,-1,-2…以外的全平面（见下图） 五、Γ函数常用公式：见 P104-105
数学物理方法
第二节 多值函数及其黎曼面
前面：单值复变函数，现在：多值复变函数 多值函数 w y( z) ： 对于自变量 z 的每一个值，一般有两个或者两个以上的函 数值 w 与之对应。 多值函数有：根式函数、对数函数、反三角函数… 关心的问题： 自变量 z 与函数值 w 的对应关系，特别是当 z 连续变化 时这种对应关系可能的变化。
w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支。
数学物理方法
定义——支点： 对于每一个特定的多值函数， 都存在一些特殊的点。 当 z环 绕该点转一圈回到原处时，w( z ) 的值将由一个单值分支变到 另一个单值分支。这些特殊的点就称为多值函数的支点。 显然： z 0是w z 的一个支点。
第五章
解析延拓
多值函数与黎曼面
函数
第一节 解析延拓
解析延拓：将解析函数定义域加以扩大
一、解析延拓的一个例子 幂级数：1 z z 2

在以 z 0 为圆心的单位圆内代表一个
解析函数，令为 f1 ( z ) ，即
f1 ( z ) z 1 z z
k 2 k 0
数学物理方法
设级数的收敛区域为 D3。如果 D3 超出了 D2 的范围。由于 在 D2 和 D3 的重叠区域 f3(z)=f2(z)，所以 f3(z)就是 f2(z)在 D3 中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析元素
Dn , fn ( z)(n 2,3
) 。一个解析元素D1 , f1 ( z )的全部解析
( x) t x 1et dt ( x 0)
0
（ 1）
说明： （i）Γ(x)是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函 数的一种重要表达式， 这种表达式特别适于求函数的渐近表 示，或作解析延拓； （ⅱ） （1）式右边的积分的条件是 x>0，因此（1）式只定 义了 x>0 的Γ函数。对 ( x 1) et t x dt 进行分部积分，可
故相应的收敛圆 D2 跨出原来的收敛圆 D1 之外，而级数（1） 在收敛圆内 D2 代表解析函数 f 2 ( z ) ，于是称 f 2 ( z ) 为 f1 ( z ) 在 D2 内的解析延拓。
数学物理方法
i k i i 2 z (z ) (z ) 1 2 2 2 f2 ( z) i k 1 i i 2 i 3 k 0 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 对于 i i 2 z (z ) 1 2 2 1 i i i 2 1 (1 ) (1 ) y 2 2 2 i k 1 (z ) R 2 O i k 1 i (1 ) z 2 2 1 又 q i k i (z ) 1 2 2 i k (1 ) 2