黎曼可积的周期函数的性质
即
kf x c kf x T * c .
所以kf x c也是集M上以T *为周期的周期函数. 现假设T *不是kf x c的最小正周期, 则必存在T ' 0 T ' T * 是kf x c的周期,
则有
kf x T ' c kf x c ,
有界,它在每个 i 上存在上、下确界：
M i sup f x , mi inf f x , i 1,2,, n.
x i x i
4
作和
S T M i xi , sT mi xi ,
i 1 i 1 n n
分别称为 f x 关于分割 T 的上和与下和. 定义 2.4.2 定理 2.4.1 设 i M i mi ,称为 f x 在 i 上振幅. 对任给的 0 ,总存在相应的一个分割 T ,使
设 T1 为区间 kT, k 1T 的任意分割,有 T1 x0 , x1 ,, xn , 对 i xi1 , xi , i 1,, n . T1 maxxi , xi xi xi1 ,
1in
由于
lim
T1 0
f i xi lim
黎曼可积的周期函数的性质
高远
摘要: 函数一直都在数学研究领域扮演着重要角色,而周期函数与黎曼可积函数又是函 数中两类特殊的函数，掌握这两类函数的定义、性质与判别方法是十分重要的.在本文中就 先介绍了周期函数的定义与判定方法， 之后又介绍了黎曼可积函数的定义与判定方法， 并对 其中较难理解的判定方法给予了证明.最后，主要就是来研究黎曼可积的周期函数的性质， 并相应的给与了详细证明. 关键词: 周期函数 黎曼可积 性质
所以, f g x 是 M 1 上的周期函数. 定理 2.2.3 周期,若 设 f1 x , f 2 x 都是集合 M 上的周期函数. T1 , T2 分别是它们的
T1 Q ,则它们的和、 差、 积也是 M 上的周期函数, T1 与 T2 的公倍数为它 T2
们的周期.
2
证 设 T T1q T2 p ,其中 p, q 1 , 则有
记 f x 在小区间 ' b ' , b上的振幅为 ' ,则
' ' M m
2M m
2
.
因为 f x 在 a, b ' 上连续, 知 f x 在 a, b ' 上可积 , 存在对 a, b ' 的 某个分割 T ' 1 , 2 ,, n1 ,使得
T a x a
*
* b (ax b T ) M ,
且
T* f ax b T * f ax b , f a x b a
3
所以,
T* 是 f ax b 的周期. a T* 是 f ax b 的最小正周期. a
T1 , T2 ,…, Tn 分别是它们的周期，若 T1 , T2 ,…, Tn 中任意两个之比都是有理数 ,
则此 n 个函数之和、差、积也是 M 上的周期函数. 定理 2.2.4 设 f1 x sin a1 x , f 2 x cos a2 x ,则 f1 x 与 f 2 x 之和、差、积
i M i mi sup f x ' f x ''
x ' , x '' i
ba
,
从而导致
x
i T
i
ba
x
T
i
.
所以证得 f x 在 a, b 可积. 定理 2.2.4 若 f x 是区间 a, b 上只有有限个间断点的有界函数,则 f x 在
2 2.1
预备知识 周期函数的定义 对于函数 y f x , 如果存在一个不为零的常数 T , 使得当 x 取定义域的每
一个值时, 都有 f x T f x 成立 ,那就把函数 y f x 叫做周期函数 ,不为零 的常数 T 叫做函数的周期，如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数
数,且当 x M 1 时, g x M ,则复合函数 f g x 是 M 1 的周期函数. 证 设 T 是 u g x 的周期,则有 x T M 1 , g ( x T ) g ( x) . 所以
f g x T f g x ,
a1 Q. a2
是周期函数的充要条件是 定理 2.2.5
设 f x 是集合 M 上以 T * 为最小正周期的周期函数,则
f ax b 是集合 x ax b M 上的以
T* 证 先证 是 f ax b 的周期. a
T* 为最小正周期的周期函数. a
因为 T * 是 f x 的周期,所以 x T * M , 所以
a, b 可积.
5
证
不失一般性,这里只证明 f x 在 a, b 上仅有一个间断点的情形，并假设
该间断点即为端点 b . 任给 0 , 取 ' 满足 0 '
2M m
, 且 ' b a , 其中 M 与 m 分别为
f x 在 a, b 上的上确界与下确界.
x T x T1q x T 2p M ,
且
f1 x T f 2 x T f1 x T1q f 2 x T2 p f1 x f 2 x .
所以 f1 x f 2 x 是以 T1 和 T2 的公倍数 T 为周期的周期函数. 同理可证, f1 x f 2 x 也是以 T 为周期的周期函数. 推论 2.1 若 f1 x , f 2 x ,…, f n x 是集合 M 上的有限个周期函数，
S T sT ,
则函数 f x 在 a, b 上可积. 定理 2.4.2 对任给的 0 ,总存在相应的一个分割 T ,使得
x
i T
i
,
则函数 f x 在 a, b 上可积. 定理 2.4.3 证 若 f x 是 a, b 上连续函数,则 f x 在 a, b 可积.
设 f x 是增函数 , 且 f a f b , 对 a, b 上的任一分割 T , 由 f x 的增
性, f x 在 T 所属的小区间 i 上的振幅为
i f xi f xi 1 .
于是有
x f x f x
由于 f x 在 a, b 上连续,因此在 a, b 上一致连续.这就是说,任给 0 ,
存在 0 ,对 a, b 中任意两点 x ' , x '' ,只要 x ' x '' ,便有
f x ' f x ' '
ba
.
所以, 只要对 a, b 所作的分割 T 满足 T , 在 T 所属的任一小区间 i 上 , 就能使得振幅满足
f x 的最小正周期.
2.2 周期函数的判定方法 定理 2.2.1 若 f x 是在集 M 上以 T * 为最小正周期的周期函数,则
1
kf x ck 0 也是以 T * 为最小正周期的周期函数.
证 所以
f x T * f x ,
因为 T * 是 f x 的周期,
f x
i 1 i
n
i
J ,
则称函数 f x 在区间 a, b 上可积或黎曼可积.数 J 称为在 a, b 上的定积分或黎 曼积分,记作
b J f x dx . a
其中, f x 称为被积函数, x 称为积分变量, a, b 称为积分区间. a , b 分别称为 这个定积分的下限和上限. 2.4 黎曼可积的判定方法 定义 2.4.1 设 T i i 1,2,, n为对 a, b 的任意分割,由 f x 在 a, b 上
即
k f x T ' f x 0 .
所以 T ' 是 f x 的周期，这与 T * 是 f x 的周期矛盾. 综上, T * 是 kf x ck 0 的最小正周期. 定理 2.2.2 设 f u 是定义在集 M 上的函数, u g x 是集 M 1 上的周期函
T* ) 是 f ax b 的周期,则 f a x T ' b f ax b , a
再证
假设存在 T ' (0 T ' 即
f ax b aT ' f ax b ,
因当 x 取遍 x x M , ax b M 的各数时, ax b 就取遍 M 上所有的数, 所以 aT ' 是 f x 的周期,这与 T * 是 f x 的最小正周期矛盾. 2.3 黎曼可积的定义 设 f x 是定义在 a, b 上的一个函数 , J 是一个确定的实数 , 若对任给的正 数 ,总存在某一正数 ,使得对 a, b 的任意分割 T ,以及在其上任选的点集 i , 只要 T ,就有
Leabharlann xi T'
i
2
.
令 n ' ,则 T 1 , 2 ,, n 是对 a, b 的一个分割,对于 T ,有
x x
i i i T T'
i
' '
黎曼积分与勒贝格积分
（一）黎曼积分的定义
1．黎曼积分是建立在黎曼和的基础上的，因此简单说明黎曼和的概念。
区间[a,b]上有定义的实值函数f，关于取样分割 ， 黎曼和定义为和式中的每一项是子区间长度 在 处的函数值的乘积。直观地说，就是以标记点到轴的距离为高，以分割的子区间的长的矩形的面积。
2．黎曼积分：有了黎曼和得定义，我们不难想象，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限，当分割越来越细的时候，[ ]中的函数值才会与接近,矩形面积的和与“曲线下方的面积差也会越来越小。总结起来，也就是分割，取界点，做积，求和，取极限。
2. 测度 可测集
设集E ，偌对任意集X ，都有
X= (X )+ (X )
则称集E是可测集，这时把称为集E的测度,为mE。
3. 勒贝格积分：
（1）非负简单函数的积分：设E为中的一个可测集，mE<+ ,f在E上几乎处处有界, { }，(i=1,2… …m.)为E的一个分化，（i≠j）,而且可测， ， 。上和为 ,下和为 。下积分： { ，任一个分划D }，上积分 { ，任一个分划D}。若 = ，则称f在E上勒贝格积分存在，记为 。若 ＜+∞,则称f在E上勒贝格可积。
本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。
黎曼积分是数学分析中的重要内容，勒贝格积分是实变函数论中的主要内容。就可积函数的范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛。这两种积分既有密切的联系，又有本质的区别。若函数在上黎曼可积，则它必在上勒贝格可积，且有相同的积分值，但勒贝格可积不一定黎曼可积。在教材及参考书中，有关黎曼积分与勒贝格积分的区别的内容讲的很少，也缺乏条理性和系统性，而由黎曼积分过渡到勒贝格积分，理解起来也有一定的困难。本文将从积分的定义，可积函数的连续性，积分的可加性，积分极限定理，牛顿—莱布尼兹公式五个方面进行分析比较，指出黎曼积分与勒贝格积分的区别。为便于叙述，我们只考虑上有界函数的积分。
连续函数可积
连续函数可积连续函数可积是数学分析中的一个重要概念。
在数学中，函数可积性是研究函数在一定区间上的积分是否存在的问题。
而连续函数是一种在整个定义域上都保持连续性的函数。
那么，连续函数可积的概念就是指在一定区间上连续的函数是否具有可积性。
我们来了解一下连续函数的概念。
连续函数是指在其定义域上的每一个点上都保持连续性的函数。
也就是说，当自变量的取值在一个小的邻域内变化时，函数值也会在一个小的邻域内变化，没有突变或跳跃的现象。
而连续函数可积则是指在一定区间上的连续函数是否存在积分。
在数学分析中，我们使用定积分来研究函数的可积性。
定积分是求一个函数在一个区间上的面积的问题。
对于连续函数来说，如果其定义域上的每一个点都满足某种性质，即函数在该点的左极限和右极限都存在，那么该函数就是可积的。
这种性质被称为黎曼可积性。
黎曼可积性的概念是由19世纪的数学家黎曼提出的，他通过将区间划分成无穷多个小区间，并在每个小区间上取一个代表点来逼近函数的值，进而定义了黎曼积分的概念。
对于连续函数来说，黎曼积分可以通过求和的方式来计算，并且可以证明，如果函数在一个区间上连续，则该函数在该区间上是可积的。
连续函数可积的概念在实际问题中有着广泛的应用。
在物理学、经济学等领域中，很多问题都可以通过求解连续函数的积分来得到解决。
例如，在物理学中，我们可以通过求解连续函数的积分来计算物体的质量、速度、加速度等。
在经济学中，我们可以通过求解连续函数的积分来计算收益、成本、利润等。
然而，并不是所有的连续函数都是可积的。
在数学中，存在一些特殊的函数，它们在一定区间上的连续性并不能保证其可积性。
这些函数被称为不可积函数。
例如，狄利克雷函数就是一个在任何区间上都不可积的函数。
这些不可积函数的存在使得连续函数可积的问题变得更加复杂和有趣。
总结起来，连续函数可积是指在一定区间上连续的函数是否具有积分的性质。
连续函数可积的概念是数学分析中的一个重要概念，它可以通过定积分来进行研究。
勒贝格积分与黎曼积分的比较
Lebesgue积分与Riemann积分的比较欧阳学文1000449 陈佳龙 1003908 王珏 1000194 杜腾飞整个空间。
这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。
为更好地说明L积分与R积分的异同，我们有必要将R积分的定义在此描述。
R积分是这样定义的：.如果当时，和数不管分割如何取法，也不管如何取法，都有共同的极限，即则称此极限为函数从到的黎曼积分，记作，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L积分的定义是先从有界函数的L积分着手，即定义有限可测集E的一个分划D，进而定义于D相关的小和数与大和数。
最后定义有界函数的上下勒贝格积分。
若上下积分相等，则称函数勒贝格可积。
就本文所列举的的两种定义而言，其中第一种定义模式仿照了黎曼积分的定义，而第二种以测度为基础，先定义简单函数的积分，进而定义一般函数的积分，此种方式也适用于一般测度空间上的积分。
在后面的相关论述中我们将主要选取第二种方式。
定义1：设勒贝格可测集E的勒贝格测度有限().设是E上有界可测函数()。
任取分点令任取若当时，和存在极限A，则称A 是在E上的勒贝格积分，简称L积分，记为由此可以看出与黎曼积分不同勒贝格积分是划分值域而不是划分定义域来求和的。
显然与黎曼函数不同，由于黎曼积分要求小区间的长度而勒贝格积分要求定义域的测度，故对定义在定义在多维有界可测集上的广义实函数这样定义其积分就显得自然流畅,而黎曼积分只能对“ 标准”的实函数定义积分。
第二种定义方式是基于勒贝格测度论与勒贝格函数论，先定义有界可测集上简单函数的勒贝格积分，进而定义一般可测函数的L积分，最后定义无限可测集上的可测函数的勒贝格积分。
此种定义，借助测度的性质及勒贝格可测函数的性质，对勒贝格积分性质的讨论自然流畅。
定义2.1 有界可测集E上简单函数L积分定义为，设E 上简单函数有表示其中等为互不相交的可测集，称和为简单函数在E上的积分，并记为有时可以简写成。
Riemann-Lebesgue引理及其应用
目录Riemann-Lebesgue引理及其应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1.Riemann-Lebesgue引理 (2)型式1 (2)型式2 (2)2.Riemann-Lebesgue引理的证明 (2)2.1Riemann和 (2)2.2 贝塞尔（Bessel）不等式 (4)2.3 Weierstrass逼近定理 (4)2.4 Fourier级数 (5)2.5 无界函数 (6)3.Riemann-Lebesgue引理在分析中的应用 (7)3.1 Riemann-Lebesgue引理在数学分析中的应用 (8)3.2 Riemann-Lebesgue引理在泛函分析中的应用 (13)参考文献 (15)１Riemann-Lebesgue引理及其应用数学计算机科学学院摘要鉴于Riemann-Lebesgue引理在近代分析中扮演着极为重要的角色，本篇论文从Riemann-Lebesgue引理谈起,论文的第一部分着重介绍Riemann-Lebesgue引理的两种型式及其等价形式；第二部分给出该引理的五种证明方法，并说明其在数学思维上的重要性；第三部分则介绍了Riemann-Lebesgue 引理在分析（数学分析和泛函分析）中的若干应用。
关键词Fourier级数；Riemann-Lebesgue引理；收敛定理；弱收敛The Riemann- Lebesgue Lemma and Its Applications ,Academy of Mathematics and Computer ScienceAbstract In view of the Riemann- Lebesgue lemma plays a very important role in modern analysis, this paper from the Riemann- Lebesgue lemma about the first part of the thesis focuses on two types of equivalent form of the Riemann-Lebesgue lemma; the second part of the five kinds of proof of the lemma is given, and its importance in mathematical thinking; the third part introduces the Riemann-the Lebesgue lemma in the analysis (mathematical analysis and functional analysis).Key words Fourier Series；Riemann-Lebesgue Lemma；Covergence Theorem；Weak Covergence.１２1.Riemann-Lebesgue 引理鉴于Riemann-Lebesgue 引理在近代分析中扮演的极重要角色，关于该引理的发现过程我们在此略去，下面我们直接给出该引理的表述： Riemann-Lebesgue 引理： 若f 为可积函数，则：lim()cos 0,lim ()sin 0,n n f x nxdx f x nxdx ∏-∏→∞∏-∏→∞==⎫⎰⎬⎰⎭实际上，Riemann-Lebesgue 引理有如下两种表现: 型式1:(有界区间) 若])2,0([1∏∈L f 则：201lim()cos 2n f x nxdx ∏→±∞∏⎰=201lim()sin 02n f x nxdx ∏→±∞=∏⎰其等价形式，即表为复数之形式：lim ()n f x ∧→±∞=201lim()sin 02n f x nxdx ∏→±∞=∏⎰型式2：（无界区间） 若1()f L R ∈则：lim ()n f x Λ→±∞=1lim()02inxn f x e dx ∞--∞→±∞=∏⎰由积分之连续性我们可有结论()10()f L R f C R Λ∈⇒∈ ()0C R ：表示所有连续函数满足在无穷点为0之集合。
《实变函数论》课件
共轭内积和正交函数系
1
内积的概念和性质
实内积空间的定义和内积的基本性质。
2
共轭内积和正交函数
共轭内积的作用和正交函数的性质。
3
正交函数系的判定
判断一组函数是否为正交函数系的条件。
度量空间和完备空间的概念和定理
度量空间的概念
距离、度量、度量空间的 基本概念和性质。
完备空间的定义
完备空间的定义和完备空 间的常见例子。
完备空间的性质
完备空间的性质和完备性 的判定方法。
巴拿赫空间及其应用
巴拿赫空间的定义
泛函分析的应用
巴拿赫空间的定义和典型例子。
泛函分析在数学和物理领域中 的应用。
范数空间和巴拿赫空间
范数空间、巴拿赫空间之间的 关系和性质。
实变函数论
一、实变函数的概念和基本性质
连续函数及其性质
连续函数定义
函数连续的必要条件与充分条 件。
连续函数的常见性质
一致连续函数
闭区间上的连续函数一致连续， 最值和介值定理。
一致连续函数的定义和主要性 质。
变量的极限和连续性
1
函数的连续性
2
间断点的分类和连续函数的性质。
3
函数的极限
点极限、上极限、下极限的定义和性 质。
反常极限
无穷极限、无穷小量的定义和应用。
可积函数的概念和定理
可积函数的定义
黎曼可积函数与可积性的条件。
黎曼积分的性质
可积函数的性质，可积函数与连续函数的关系。
积分中值定理
黎曼积分中值定理的证明和应用。
点集上的函数
连通集与间断点
闭集与开集
连通集的性质和间断点的判定。 闭集、开集的定义和性质。
复合函数的黎曼可积性
｛ 厂 ｝ ＜Ｍ ， Ｆ ｛ ） ｛ （ Ｍ为常数 ， 且对 ［ ，］ ０ ６ 上任意分割 Ｔ ０＝ ， 。＜ ＜ ：＜… ＜
△ ＝ 一
一
＜ ＝６ 记 ．
ｌ，
△ ＝ ［ ｌ ］ｉ＝１２ … ，．凡 ， ， ，， ｎ ｒ ＝ ｉ ｛ ） ， ｎ ｝Ｍ ＝ｓＰ ） ， ＝Ｍ 凡 ． “｛ ｝０ ９ 一ｒ 则对
的作 用． 文提 出和证 明 了复合 函数黎 曼可积 的 两个充分 条件 ， 给 出 了应 用． 本 并 ［ 关键词 ］ 复合 函数 ； 曼可积 ； 续性 ； 黎 连 可导性 ［ 图分 类号 ］ ５ ． ［ 中 Ｏ１３ ３ 文献标识 码 ］ ［ Ａ 文章 编号 ］ ６ ３— ０ ２ ２ ０ ）４— ０ ６— ３ １７ ８ １ （ ０ ８ ０ ０ ２ ０
复合 函数 的相关 性质 在几何 学 、 理学 以及数 学 分 析等 学科 中都有 着 重要 的作用 ． 历 史 上 ， 物 在 人 们对 复合 函数的可 导性 、 微性 等研 究较 多 ， 对复 合 函数 的可 积 性研 究得 却 较 少． 可 但 随着 数学 本 身 以 及复合 函数性质 在其 他学科 中的应用 ， 要求 我们 对复 合 函数 的可积 性进行 进 一步 的研 究 ¨ 在研 究 。． 生入 学考试 中 ， 及复合 函数可积 性 的题 目也 越来越 受 到命 题者 的青 睐 ． 涉 在华 中师范 大学研 究 生入 学
存在某一分割 使∑∞ ｉ ． ， ＜
定理 １ 若 函 数 ）在 ［ ， ］上 黎 曼 可 积 ， （ ）是 一 个 具 有 连 续 导 数 的 函 数 ， 复 合 函数 ｎ６ Ｆｘ 则 （ ） ）在 ［ ， ］ 也黎曼 可积 ． ｏ６ 上
证明 因 为 Ｆ （ ）是 一 个 具 有 连 续 导 数 的 函 数 ， （ － 厂 ）在 ［ ，］上 黎 曼 可 积 ， 可 设 ｏｂ 故
11_黎曼积分的概念
m = lim ∑(ξi ,ηi )si =
λ→0
i=1
n
∫ (x, y) d s
L
非均匀分布时平面薄板质量问题
.... . .. .. . . . . .. . . .. .
D,
= ( x, y )
(i = 1, 2 , , n)
Di
σ i , (ξ i ,ηi ) ∈ Di
i m ≈ (ξ i ,ηi )σ i
非均匀分布时"直线段"质量问 题
= (x)
工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题.
y
A
O
a
.
xi 1 xi
..
.
B
x
分割: a = x0 < x1 < < xi 1 < xi < < xn 1 < xn = b
非均匀分布时"直线段"质量问 题 均匀分布时: 工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题. 质量=密度×长度
∫∫∫ f (x, y, z) d xd y d z
直角坐标系 三重积分 = R3
平面曲线 非均匀分布时"曲线段"质量问题
I = ∫ f ( X ) d = ∫ f (x, y) d s
L
I = ∫ f ( X ) d = ∫ f (x, y) d s
L
L 为封 闭曲线
对弧长的曲线积分
λ = max{σ i }
1≤ i ≤ n
均匀分布时: 质量=密度×面积
非均匀分布时平面薄板质量问题
.... . D .. .. . . . σ , (ξ ,η ) ∈ D . .. . . .. 在直角坐标系中, 用平行于坐标轴 )σ m ≈ (ξ ,η .
狄利克雷函数不黎曼可积证明
狄利克雷函数不黎曼可积证明
狄利克雷函数是一种特殊的数学函数，它在数学上有着重要的应用。
然而，在黎曼积分的意义下，狄利克雷函数是不可积的。
本文将从数学推导的角度，给出狄利克雷函数不黎曼可积的证明。
首先，我们需要知道什么是黎曼可积。
在实数轴上，黎曼积分就是求一个函数在一个区间内的面积。
如果一个函数在一个区间上的振幅有限，那么它就是黎曼可积的。
然而，狄利克雷函数在任何一个有限的区间上都无法满足这个条件。
狄利克雷函数的定义是：
D(x) = { 1, x ∈ Q(有理数)
{ 0, x Q(无理数)
我们可以证明，狄利克雷函数在任何一个有限的区间上都无法满足振幅有限的条件。
考虑一个区间[a,b]，并且假设a和b都是有理数。
我们可以找到两个数列{p_n}和{q_n}，它们的值分别为有理数和无理数，并且满足：
p_1 < p_2 < … < p_n < …
q_1 < q_2 < … < q_n < …
p_n → b, q_n → b (n→∞)
此时，我们可以证明在[a,b]上狄利克雷函数的振幅为1。
因为在[a,b]上，D(x)只有在有理数点上取到1，而p_n和q_n都是有理数和无理数的交替排列，所以在[a,b]上，D(x)的取值将不断地在1和0之间震荡。
因此，在任何一个有限的区间上，狄利克雷函数的振幅都无限大，即狄利克雷函数不黎曼可积。
综上所述，狄利克雷函数不黎曼可积的证明是基于对振幅的分析，它的结论对于狄利克雷函数的研究具有重要的指导意义。
浅谈黎曼积分与勒贝格积分
浅谈黎曼积分与勒贝格积分1 序言积分是整个分析数学中最基本的概念，我们已学过的积分有黎曼积分(简称R 积分)和勒贝格积分(简称L 积分)．黎曼积分产生于1854年，它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的．但对量子力学中的物理量与概率论中一般随机变量的数学期望是不够用的．而勒贝格积分是实变函数论的中心课题，由法国数学家勒贝格在20世纪初（1902年）提出来的．它是黎曼积分的推广与发展，是一种新型积分理论．它对于处理数学分析中的一些重要结果，如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿—莱布尼茨公式问题是相当灵活深刻与自然的．2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 积分定义首先我们从两种不同的分划来考察这两种积分．定义1)146145](1[-P 设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，区间[]b a ,作分划b x x x a T n =<<<= 10:，将[]b a ,分成几部分，在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ，1,,1,0-=n i 记1--=∆i i i x x x ，作和)()(11i i n i i x x f -=--=∑ξσ．令)m ax (1i i x x -=+λ．如果对区间任意的分划与i ξ的任意取法，当0→λ时，σ趋于有限的极限I ，则称它为()x f 在[]b a ,上的黎曼积分，记为：dx x f R I ba⎰=)()(．而勒贝格积分有如下定理： 定理1)135](2[P 设()x f 是[]b a ,上的有界可测函数，()≤≤x f c d ．对于[]d c ,的分法，d y y y c n =<<<= 10，令[](){},,,;,max 111i i i i i ni y x f y b a x x e y y y <≤∈=-=∆--≤≤任取[]i i i y y ,1-∈η，则ini iy b a me dm x f ∑⎰=→∆=1],[lim)(η (ime 表示ie 的测度)此定理说明，勒贝格积分也如同建立黎曼积分那样，通过分划、近似求和、取极限三步来得到，但与黎曼积分不同之点是“分法”的不同．勒贝格积分是对函数值域[]d c ,进行分划．在集合[](){}i i i y x f y b a x x e <≤∈=-1,,;上，函数值()x f 变化不大，近似于()x f ，从而保证了极限i iy me ∑→∆ηlim的存在．而黎曼积分则是对定义区间[]b a ,的分划b x x x a n =<<<= 10，{}i ni x x ∆=∆≤≤1max ，取[]i i i x x ,1-∈ξ，此时，无论x∆怎样小，即分法无论怎样“细”，()x f 在[]i i x x ,1-上的变化可能是很大的．于是极限()ini ix xf ∆∑=→∆1limξ就有可能不存在，即黎曼不可积．因此有界可测函数虽然在[]b a ,上的勒贝格积分存在，但黎曼积分就不一定存在了．实质上，黎曼积分是将定义区间[]b a ,分成小区间[]i i x x ,1-，而勒贝格积分是将定义区间[]b a ,分成小的可测集i e ，()x f 虽在某个小的区间[]i i x x ,1-上可能变化很大，而在每个小集合i e 上可能变化很小．2.1 函数的可积范围勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类广泛．勒贝格积分比较完整地扩充了黎曼积分，比较系统地克服了黎曼积分的某些缺陷．定理2)147](1[P 定义在有限区间上的函数若为R 可积，则必为L 可积，且积分值相等．（这说明勒贝格可积函数集是黎曼可积函数集的推广）．另外一方面，勒贝格可积却不一定黎曼可积．例1 函数()⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x x D ,1,0在[]10，上有界但不是R 可积的，却是L 可积的． 证 显然[]1,0,1)(∈≤x x D ．对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，1)(11=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，0)(1=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多少小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即)(x D 在[]10，上R 不可积．可见黎曼可积函数类受到一定条件的限制． 而在L 积分定义下，此函数在[]10，上是勒贝格可积的，且 ()[]0)(1,0=⎰dm x D L ．可见勒贝格积分比黎曼积分的积分适应范围广．2.2 积分的可加性)101100](3[-P这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性．黎曼积分具有有限可加性，即若()n i E E E E i ni i ,,2,1,,1===，均为有限区间．(),j i E E j i ≠Φ= 则有()∑⎰⎰==ni E Eidx x f dx x f 1)(．但是黎曼积分不具有可数可加性．例如取 ()(],,2,1,1,11,1,11,1,0,1~=⎥⎦⎤⎝⎛+=⎥⎦⎤ ⎝⎛+===i i i E n E E x f i 则∞==1i iEE ， ni iEE 1~==， ()j i EE ji≠Φ= ，从而有1)(~+=⎰n ndx x f E， 1)()()()(211+=+++=⎰⎰⎰∑⎰=n ndx x f dx x f dx x f dx x f niE E E ni E ， 1)(=⎰dx x f E，=∑⎰∞=dx x f i E i1)( ++++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f nE E E )()()(21++-+--++-+-=1111113121211n n n n 1≠， 所以,)()(~1dx x f dx x f Eni E i⎰∑⎰==dx x f dx x f Ei E i⎰∑⎰≠∞=)()(1．对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷．我们有下面的定理做保证．定理3)101](3[P 设()x f 是有界可测集E 上的可积函数，∞=iiEE ，i E 等均可测且两两不相交，则有dm x f dm x f i E Ei∑⎰⎰∞==1)()(．对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解．我们知道，R 积分建立在具有有限可加性的测度之上，L 积分建立在具有可数可加性的L 测度之上，因此也就反映到了相应的积分上来了．2.3 可积函数的连续性连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数．比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的．非黎曼可积的函数的例子也是容易举出的．例如狄利克雷函数)(x D 就不是黎曼可积的．那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件．他将函数的可积性归结到了函数的内在性质——连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚．这个可积条件是：有界函数)(x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是)(x f 的不连续点集为零测度集．例如黎曼函数)(x R ⎪⎩⎪⎨⎧>==为无理数当为互质的整数）当x q p q q p x q ,0,,0(,1这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的．虽然在[]10，中有无穷多个有理点，而黎曼函数在[]10，上的不连续点有无穷多个，但这个函数在[]10，上仍然是黎曼可积的，且有⎰=100)(dx x R ，事实上，[]10，中的全体有理数组成一个零测度集．所以黎曼函数是黎曼可积的． 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质．设)(x f 是可测集)(∞<⊂mE R E 上的连续函数，则)(x f 在E 上勒贝格可积⇔)(x f 在E 上勒贝格可测．那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理．设)(x f 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对于任意0>δ，存在闭子集E E ⊂δ，使)(x f 在δE 上是连续函数，且δδ<-)(E E m ．从这个定理可以看出，在可测集E 上几乎处处有限的可测函数是基本连续的，或称为是近于连续的．因此勒贝格可积函数是近于连续的．对应于黎曼可积函数的情形，有0)(=-δE E m ．例如，在[]10，上定义的狄利克雷函数)(x D ： )(x D ⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x ,1,0显然)(x D 是有界函数，但)(x D 在[]10，上无处连续，所以在[]10，上)(x D 的所有不连续点组成的集合为[]1,0=E ，且01≠=mE ，所以)(x D 不是黎曼可积的，但)(x D 是简单函数，所以)(x D 是可测的，从而)(x D 是勒贝格可积的．通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出． 2.4 积分与极限的交换勒贝格积分较黎曼积分优越些．对于黎曼积分来说，积分求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分符号交换顺序．这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强．而对于勒贝格积分，我们有勒贝格控制收敛定理，勒维定理．从这两个定理出发，我们可以得到对于非负可测函数项级数是可以逐项积分的．对于勒贝格积分来说，要使积分号与极限号能换序，无须一致收敛那样强的条件，只需可测函数列{}n f 几乎处处收敛(或更弱一些依测度收敛) ，且有可积的控制函数)(x g 就行．用狄利克雷函数)(x D 来说明，把[]10，中的有理点依次排列为 n r r r ,,,21， 做函数)(x D n ：)(x D n {}⎩⎨⎧∈=.,0,,,,121其余情形若n r r r x则{}N n n x D ∈)(几乎处处收敛于)(x D ，)(x D n ≤)(x D 且)(x D n .,0N n ∈≥因此在L 积分意义下，有[][]⎰⎰==∞→1,01,0.0)()()(limdm x D L dm x D n n但)(x D 不是R 可积的，就谈不上上述极限等式成立的可能性．尽管在R 积分意义下， ⎰=10,0)()(dx x D R n .N n ∈定理4)141](1[p （勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下述条件：)(x f n 的极限存在，)(x f )(lim x f n n ∞→=，且有可积函数)(x g 使);)(()(N n E x x g x f n ∈∈≤，那么，f 可积且有dm x f dm x f En n E)(lim )(⎰⎰∞→=．例2)208](1[P 求极限⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n ．解 因为nx xn nx522sin 121+在[]1,0上连续，所以在[]1,0上R 可积．又因为 212121222252211sin 1-+=+≤+x xn nx x n nx nx x n nx ， []1,02121L x ∈≤-，0sin 1lim52221=+∞→nx xn nxn ，[]1,0∈x ． 由勒贝格控制收敛定理，得 ⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n=nxdm x n nx L n 5]1,0[22sin 1)(lim 21⎰+∞→=[]001,0=⎰dm ．定理5)138](3[P 设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下面的条件：;)()(021 ≤≤≤x f x f ),()(lim x f x f n n =∞→则)(x f n 的积分序列收敛于)(x f 的积分：.)(lim )(dm x f dm x f n n E∞→=⎰定理6)137](1[P 设)(x f ，)(x u n ，)(N n ∈均为可测集E 上的非负可测函数，且)()(1x u x f n n ∑∞==，则.)()(1dm x u dm x f n En E∑⎰⎰∞==勒维定理用起来特别方便，在R 积分论中没有任何类似结果可与之比拟，试看一个简单例子．例4)207](1[P 设)(x f 0≥为可测函数,令 {}⎩⎨⎧=,0),()(x f x f n ,)(,)(n x f n x f >≤则当)(x f 几乎处处有限时,有{}⎰⎰=∞→EnEn dm x f dm x f )()(lim．证 令{}n n x f x f )()(=，则)(x f n )(,0x f n ≥单调上升,且几乎处处收敛于)(x f , 据勒维定理即知⎰⎰=∞→EEn n dm x f dm x f )()(lim ．2.5 牛顿—莱布尼茨公式数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 dt t f a f b f ba)()()('⎰=-．在数学分析中通常在)(x f 有连续导数的假定下证明上述公式．或者将条件减弱些，但总要求)('x f 为R 可积才行．可是对L 积分情形，可以在)('x f 为L 可积的条件下进行讨论，并且由可积函数可引进一种绝对连续函数概念，后者几乎处处存在有限导数．看以下定理:在通常数学分析中，对微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(成立所给的条件是很严的；)(x f 在[]b a ,上连续，)()('x f x F =，[]b a x ,∈，即)(x F 是)(x f 的任一原函数．换言之有定理7)143](2[P 若)('x F 在[]b a ,上连续，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理的条件可减弱如下：定理8 若)(x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()()b a x x f x F ,,'∈=则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理9 若)(x f 在[]b a ,上可积(不一定连续)，且)()('x f x F =，[]b a x ,∈，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(而勒贝格积分中的牛顿-莱布尼茨公式成立的条件为:定理10)144](2[P 若)(x F 在[]b a ,上可微，且)('x F 有界，则)()('x f x F =勒贝格可积，且⎰-=baa Fb F dm x f L ).()()()(定理10告诉我们，对于具有有界导数的函数，牛顿—莱布尼茨公式成立．以上四个定理均给出牛顿—莱布尼茨公式成立的充分条件．那么什么是该公式成立的充要条件呢？我们叙述结果之前先给出定义２)145](2[P 设)(x f 定义在[]b a ,上，如果0,0>∃>∀δε，使得对于[]b a ,上任意有限个互不相交的开区间族{}),(i i a b ，当δ<-∑)(i iia b时，就有ε<-∑ii i a f b f )()(成立，则称)(x f 是[]b a ,上的一个绝对连续函数．定理11)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()('b a x a F x F dm t F L xa∈-=⎰成立的充要条件是)(x F 在[]b a ,上绝对连续．进而可得定理12)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()(b a x a F x F dt t f R xa∈-=⎰成立的充要条件是：（1）)(x f 在[]b a ,上黎曼可积，（2）)(x F ∃，在[]b a ,上绝对连续，使得)()('x f x F =在[]b a ,上几乎处处成立．【附注】定理12的充要条件（2）可改为 (2'))(x F ∃在[]b a ,上满足莱布尼茨条件，使得)('x F )(x f =在[]b a ,上几乎处处成立．其中)(x F 满足莱布尼茨条件是指:,,,021x x c ∀>∃[]212121)()(,,x x c x F x F b a x x -<-⇒∈．由定理11, 定理12可知，)(x f 勒贝格可积是不定积分存在的充要条件；而黎曼可积与原函数存在之间并无必然的联系，即存在黎曼可积但无原函数的函数，也有原函数存在但黎曼不可积的函数．例5)7574](4[-P符号函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1;0,0;0,1)sgn(x x x x 在[]1,1-上是黎曼可积的，但函数)sgn(x 不存在原函数．例6函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1cos 21sin 2222x x x x x 存在原函数)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x xx 但)(x f 在[]1,1-上不是R 可积的，因为221cos 2xx 在[]1,1-上无界． 所以说勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越．3 总结综上所述，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且因为它所具有的独特的性质，解决了古典分析中许多解答不了的问题，使分析数学进入到现代分析时代．然而，随着函数论、概率论等各门学科的发展，也暴露出来勒贝格积分的局限性．数学的发展将是不可限量的．可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，积分的发展也会越来越完善．参考文献[1] 郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要[M]．高等教育出版社，2004 [2] 朱玉堦．实变函数简编[M]．高等教育出版社，1987[3] 潘学锋．浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系[J]．甘肃联合大学学报，2007，09 [4] 汪秀荣．从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展[J]．广西师院学报，1996，09 [5] 张良勇，董晓芳．浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J]．高等函授学报，2006，08 [6] 周成林．勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J]．新乡教育学报，2005，09 [7] 刘晓辉，刘文菡．勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J]．新余高专学报，2006，02 [8] Serge Lang ．Realand Function Analysis 3rd ed [M]．Spring-Verlag ，1997。
判断可积的三个条件
判断可积的三个条件在数学分析中，可积性是衡量一个函数是否能够被积分的重要指标。
在实际应用中，可积性是很重要的，因为它可以用来计算函数的面积，体积，概率等等。
可积性的研究是数学分析领域的基础理论之一。
在下面的文章中，我们将介绍判断一个函数是否可积的三个条件。
一、有界性在分析学中，如果一个函数在定义域上有界，则它是可积的。
这个条件也称为黎曼可积的充分条件之一。
所谓有界性，指的是函数的取值范围在一个确定的范围内，这个取值范围可以是有限的或无限的。
这个条件的意义在于，只有在函数取值有限的情况下，才能够保证函数的积分值也是有限的。
举个例子，如果一个函数 f (x) 在定义域 [a,b] 上有界，那么我们可以找到两个数M 和 m，使得M ≥ f (x) ≥ m 对于所有的x ∈ [a,b] 成立。
那么 f (x) 在 [a,b]上的积分值 I(f) 就可以用下面的公式来表示：I (f) = ∫a^b f (x) dx ≤ M (b - a)由于 M 和 m 都是有限的，因此 I(f) 也是有限的。
这就证明了有界性是判断一个函数是否可积的充分条件之一。
二、分段连续性所谓分段连续性，指的是函数的定义域可以分为有限个区间，在每个区间上函数是连续的，但在两个区间之间可能存在间断点。
对于一个分段连续的函数 f (x)，其在每个区间上的积分值可以通过黎曼积分来计算。
如果这些积分值都是有限的，则函数 f (x) 是可积的。
需要注意的是，分段连续性只是判断一个函数是否可积的必要条件之一，但并不是充分条件。
也就是说，如果一个函数是分段连续的，还需要满足其他条件才能够保证它是可积的。
三、可积性定理所谓达布可积性，指的是对于一个定义在区间 [a,b] 上的函数 f (x)，如果存在一个分割 {x0,x1,x2,...,xn}，使得满足：1、Δx = max (xi - xi-1) → 0 (i = 1,2,...,n)，即分割的区间越来越小；2、每个子区间 [xi-1, xi] 上的上积分和下积分之差越来越小，即：sup{U(f,P)} - inf{L(f,P)} → 0其中，U(f,P) 和 L(f,P) 分别表示在分割 P 下的上积分和下积分，sup 和 inf 分别表示上确界和下确界。