初等函数及其连续性
函数的连续性
第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。
首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。
如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。
它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。
可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。
这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。
下面我们就专门来讨论这种概念。
一、函数的连续性1. 预备知识改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。
改变量也叫增量。
注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到2u 。
②u ∆可正可负。
③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。
2. 函数()y f x =在0x x =定义1 当自变量x 在点0x 的改变量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0lim x y ∆→∆则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条件是()()00lim x x f x f x →=。
证明 由定义1，()()()()()000000lim 0lim lim lim 0lim .x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔⎡⎣⇔-=⇔=由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。
3. 函数()y f x =在点0x 连续的要求⑴()f x 在点0x 有意义，即有确定的函数值()0f x ； ⑵()0lim x x f x →存在；⑶极限值=函数值，即()()00lim x x f x f x →=。
初等函数的运算与性质
初等函数的运算与性质初等函数是数学中的重要概念，是指可以由有限次的加减乘除和函数复合得到的函数。
初等函数的运算与性质是数学中的基础知识，对于我们理解更高级的数学理论和应用具有重要意义。
本文将分别介绍初等函数的四则运算和函数复合运算，并讨论一些基本性质。
1. 初等函数的四则运算初等函数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算可以通过函数表达式的运算规则来实现。
例如，对于两个初等函数f(x)和g(x)，它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)、积f(x)g(x)和商f(x)/g(x)也都是初等函数。
在进行四则运算时，需要注意一些特殊情况。
例如，在除法运算中，要排除分母为零的情况，否则结果将无定义。
另外，在乘法和除法运算中，初等函数与常数的运算也是允许的，例如f(x)·a和f(x)/a，其中a是一个常数。
初等函数的四则运算满足基本的运算规律，例如交换律、结合律和分配律，这些规律使得初等函数的运算更加简洁和方便。
2. 初等函数的函数复合运算初等函数的函数复合运算是指将一个函数作为另一个函数的自变量，并用复合函数的形式表示。
例如，对于初等函数f(x)和g(x)，它们的复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))，其中g(x)作为f(x)的自变量，或者f(x)作为g(x)的自变量。
函数复合运算可以通过将内层函数的输出作为外层函数的输入来实现。
对于初等函数的函数复合运算，其结果往往也是一个初等函数，因为复合运算不会改变初等函数的基本特性。
函数复合运算的顺序非常重要，不同的顺序可能得到不同的结果。
因此，在进行函数复合运算时，我们需要注意函数的顺序以及括号的运用。
括号的使用可以清楚地表示函数复合的顺序，避免产生歧义。
3. 初等函数的基本性质初等函数具有许多基本性质，这些性质对于我们理解和应用初等函数具有重要意义。
首先，初等函数在其定义域内是连续的。
这意味着初等函数在定义域内的任意两个点之间都存在无限接近于它们的函数值，或者说函数没有间断点。
第4章-函数的连续性-4-3 初等函数的连续性
§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
定理4.10
设 a 0, a 1, 、 为任意实数, 则有 a a a ， (a ) a .
证 当 , 是有理数时, 这是我们熟知的结果. 先设 a 1, 由定义，
a x sup{a r | r 为有理数}.
定理4.11
x y a (a 0 , a 1) 在 R上是连续的. 指数函数
证 我们仍旧先假设 a 1 . 首先证明指数函数在
x lim a 1 f (0). x 0 处连续, 即 x 0
这是因为对于任意的正数 (0 1) , 取
min{loga (1 ), | log a (1 ) |},
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解 因为 ln(1 x ) 是初等函数, 所以在 x 0处连续, cos x 从而 ln(1 x ) ln(1 0) lim 0. x 0 cos x cos0
数学分析 第四章 函数的连续性
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
例4 据理说明
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
推论1
对数函数 y loga x (a 0, a 1) 在定义域 (0, ) 上是连续的.
ln x 在定义域 (0, )上 幂函数 y x e 也是连续的. 例1 设 lim u( x ) a 0 , lim v ( x ) b. 证明
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
连续函数的运算及初等函数的连续性
例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的， 因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y
连续函数的运算和初等函数的连续性
定理 20.2. （反函数的连续性）连续严格单调递增（减）函数的反函数也是连 续严格单调递增（减）的。 证明：设 y = f (x) 为区间 I 上的连续严格单调递增函数。由定理 5.1（反函数 存在定理）反函数 x = f -1( y) 存在，并且也是严格单调递增的。不妨假设 I = (a,b) ， y0 = f (x0) ，下面证明反函数 x = f -1( y) 在点 y0 = f (x0) 处连续。任取正
|f (u) − f (u0 )|<ε ，当 u ∈U (u0;δ1) 时。
（20.2）
此外，由已知 limx→x0 g(x) = u0 ，故存在正数δ > 0 ，使得 |g(x) − u0|<δ1 ， 当 x ∈U o (x0；δ ) 时。
（20.3）
由（20.2），（20.3）可知，当 x ∈U o(x0；δ ) 时，有（20.1）成立。最后，若
（II）因为基本初等函数在其定义区间内均为连续的，于是基本初等函数经 过有限次四则运算及复合得到的函数在定义区间内仍然连续，于是，初等函 数在基定义区间内连续。
下面的例子告诉我们使用上述定理 20.3 及注记 20.3（II）能较容易地证明函 数的连续性及极限问题。
例子 20.1：设函数 f (x) 与 g(x) 均在[a,b]上连续，证明函数 h(x) = max{ f (x), g(x)}， s(x) = min{ f (x), g(x)} 在 [a, b] 上连续。 证明：注意到函数 m(u) =| u | 是 (−∞,+∞) 上的连续函数。故由定理 20.3 可知 m( f (x) − g(x)) =| f (x) − g(x) |在[a,b]上连续。于是，所述结果可由下列表达式得 到
基本初等函数在定义域内连续
基本初等函数在定义域内连续一、引言连续性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某个区间内的平滑性和无间断性。
本文将介绍基本初等函数在定义域内连续的概念和性质，并通过例子来加深理解。
二、基本初等函数的定义基本初等函数是指由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常用的初等函数经过有限次的代数运算和复合构成的函数。
在定义域内，基本初等函数具有一定的连续性。
2.1常数函数常数函数指的是函数的函数值恒为常数的函数，如f(x)=a。
常数函数在整个定义域内都是连续的。
2.2幂函数幂函数指的是函数的函数值是自变量的幂的函数，如f(x)=x^n，其中n为整数。
幂函数在整个定义域内都是连续的。
2.3指数函数指数函数指的是函数的函数值是底数为正数的指数的函数，如f(x)=a^x，其中a为正数且不等于1。
指数函数在整个定义域内都是连续的。
2.4对数函数对数函数指的是函数的函数值是以某个正数为底数的对数函数，如f(x)=l og_a(x)，其中a为正数且不等于1。
对数函数在定义域内都是连续的。
2.5三角函数三角函数分为正弦函数、余弦函数、正切函数等，如f(x)=si n(x)。
三角函数在整个定义域内都是连续的。
2.6反三角函数反三角函数指的是是三角函数的反函数，如f(x)=ar cs in(x)。
反三角函数在其定义域内都是连续的。
三、基本初等函数的连续性性质基本初等函数在定义域内具有以下连续性性质：1.两个连续函数的和（差）、积或商（除数不为零）仍然是连续函数。
2.连续函数的复合函数仍然是连续函数。
3.连续函数的相反数也是连续函数。
4.连续函数的倒数在除数非零的部分定义域内也是连续函数。
四、例题分析下面通过两个例题来加深对基本初等函数在定义域内连续的理解。
4.1例题一给定函数f(x)=2x+s i n(x)，求函数f(x)在定义域内的连续性。
解析：函数f(x)由两个基本初等函数的和构成，根据连续函数的性质1，函数f(x)在定义域内是连续的。
连续函数的四则运算
2. 估计方程 x3 6 x 2 0 的根的位置 . 解 设 f ( x) x3 6x 2, 则 f ( x) 在 (,) 内连续. 由于 f (3) 7 0, f (2) 6 0,
f (1) 7 0, f (0) 2 0, f (1) 3 0,
定理6 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值.
定理7 有界性定理 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界.
证 设函数 f ( x) 在[a,b]上连续, 于是存在 m 、 M ,使得 x [a,b],有 m f ( x) M , 取
K max{| m |,| M |} | f ( x) | K . 故函数 f ( x)在[a,b]上有界.
且连续;
对数函数 y loga x (a 0,a 1)在(0,)内单
调且连续;
y x a loga x y au , u loga x在(0,)
内连续.
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
初等函数的连续性
讨论 的不同值(均在其定义域内连续).
则复合函数 f [ ( x)]在点 x0 处也连续.
注意 定理4是定理3的特殊情况.
例如,
u
1 x
在
(,0)
(0,)内连续,
y sin u 在(,) 内连续,
y
sin
1 x
在
(,0)
(0,)
内连续.
例1
求 lim ln(1 x) .
x0
x
解
lim
ln(1
少有一个实根 .
证 令 f (x) x3 4x2 1 ,
高等数学第七节初等函数连续
五、连续的应用举例
1.利用函数的连续性求极限
f(x)为初等函数 x0 定义区间
lim xx0
f
(x)
f (x0 )
例1 求 lim ln sin x
解
x 2
y ln sin x是初等函数, 是其定义域内一点，
2
lim lnsin x lnsin
x
2
0
2
2、求函数的连续区间
例2
求函数y
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
y
y f (x)
oa
2
y
M
B
C y f (x)
a
o
A
x1 1 2 3 x2 b x
1 b x m
定理 2 (介值定理)如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，m 与M 分别为 f (x)在闭区间[a,b]上的最小值与最大值，则对于 介于m与M 之间的任一实数c(m c M )，至少存在一点
(a b),使得 f ( ) c.
定理 2(零点定理) 如果函数 f (x)在闭区间[a,b]上连续，
且 f (a) 与 f (b) 异 号 ， 则 在 (a ,b )内 至 少 有 一 点 ， 使 得 f ( ) 0.
y
y f (x)
ao
1 2 3 b x
例5 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
初等函数的连续性
一、 基本初等函数在定义域内是连续的. 二、四则运算的连续性
定理 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
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初数研究期末专题论文教师一班105012013066 邱燕华初等函数及其连续性【摘要】：本文主要分为三部分。
第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。
关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理【正文】：一、初等函数1、初等函数的定义定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。
注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
2、初等函数的分类如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数[2]。
（如下图示）⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法（1）根据定义判定例1、判断下列函数是否为初等函数 ①122sin (1)x e y g x ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，②ylg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦ 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，122sin (1)x e y g x ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦是初等函数。
②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义,∴y=-2-cosx 不是初等函数。
③2lg ,1,1,lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数例2、判断下列函数是否为初等函数①1,0sgnx 0,01,0x x x >=-<⎧⎪⎨⎪⎩=符号函数 ，②{1x D(x)=0x ，为有理数狄利克雷函数，为无理数 ， ③1,x p q R(x)=0x 0x [0,1]p p q q =∈+=⎧⎪⎨⎪⎩当时（,q N ,为既约真分数）黎曼函数，当时，是内的无理数解：①②③均不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算或者复合得到的函数，所以，他们都不是初等函数。
通过例2的分析，我们发现这三个分段函数都是非初等函数。
那么分段函数是不是都不是初等函数？如果不是，又要如何判别呢？下面就利用Yanzu 引理来判别一个分段函数是否为初等函数。
（2）应用 YanZu 引理判断分段函数是否为[]2初等函数。
Ⅰ、YanZu 引理： 分段函数,00,0(),0x x x f x x x >==-<⎧⎨⎩为初等函数，即将绝对值函数f(x)=|x|是初等函数。
引理证明：,00,0()||,0x x x f x x x x >====-<⎧⎨⎩ 可以看成是2()f u u x ==的复合函数，,00,0(),0x x x f x x x >=∴=-<⎧⎨⎩是初等函数。
推论 1：设 f(x)为初等函数, 则 |f(x)| 也为初等函数.推论 2：由基本初等函数、绝对值函数经有限次四则运算和复合运算所得的函数都是初等函数。
Ⅱ、例题例3、判断下列函数是否为初等函数 ①{1,1()21,1x f x x x ≤=-> ，②{4,0()6,0x H x x -≥=<，③27,5()3,5227,2x x g x x x x --<-=-≤≤-+>-⎧⎨⎩ 分析：如果根据定义判断，大多数人都会觉得这三个分段函数既不是基本初等函数，也不是由基本初等函数经过有限次代数运算得到的函数，所以认为是非初等函数，其实不然, 运用绝对值的含义, 通过观察和不完全归纳法把分段函数化为一个由基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的解析表达式, 再应用 YanZu 引理推论 2进行判断解：①{1,1()21,1|1|,x f x x x x x x R ≤=->=+-∈ ，所以由Yanzu 引理可知，f(x)是初等函数。
② {5||,04,0()6,04,0x x x x x H x x x -≠-≥==<-=⎧⎪⎨⎪⎩ ，所以可知H(x)不是初等函数 ③27,5()3,5227,2|2||5|,x x g x x x x x x x R --<-=-≤≤-+>-=+-+∈⎧⎨⎩()Y anzu g g x ∴是有两个绝对值函数经过减法得到的，由引理可知(x)是初等函数综上所述, 判断函数是否为初等函数时,除了直接根据定义，若可通过变形化为含基本初等函数、绝对值函数有限次四则运算或复合运算的一个表达式, 从而运用 YanZu 引理或推论, 也可以判断它是初等函数。
二、初等函数的连续性1、初等函数连续性的定义①点连续：设函数f(x)在0x 的某个邻域内有定义，如果0lim ()x x f x →存在，且00lim ()()x x f x f x →=，则称函数f(x)在0x 连续。
②区间连续：若函数在所定义的区间上每一点连续，那么称这个函数在所定义的区间是连续的。
根据点连续的定义，要使得函数在区间连续，则该区间必定是开区间，两端点的连续性考虑左端点有连续，右端点左连续。
2、初等函数连续性的判别方法（1）根据函数连续的定义进行判断例4、判断下列函数是否连续①sin y x =，②y =解：①,()sin sin sin lim 000x R f x x x x x x ∀∈==→ 都有定义，且 ()sin R f x x ∴=在上连续②y =y sin 1u x ==-复合而成的，又sin 1y u x =-都是基本初等函数，所以由初等函数的定义可知，y =是初等函数，其定义域为|2,0,1, 2...2D x x n n ππ⎧⎫==+=±±⎨⎬⎩⎭。
0,||22x x ππδδ∃<<∀∈-< ，只有2x π=使得y =有连续性的定义可知，y =2x π=处不连续。
类似可证y =D 内处处不连续。
通过上面两个例子，我们发现初等函数不一定都是连续的。
下面介绍的判断方法，是建立在初等函数都是连续的基础之上的，对于不连续的函数，需要具体情况具体分析，此处不做统一整理归纳。
（2）通过基本初等函数的连续性进行判断判断一个函数是否连续，如果每次都是对每一个具体的函数，根据定义去进行判断，那么验证过程太复杂，而且利用极限不容易验证。
行之有效的办法是，建立一些最简单而强有力的运算法则，之后在这些法则下只要借助几个最基本的、根据连续的定义证明了其连续性的初等函数，就可得出结论：“初等函数在其定义域上是连续的。
”[]3首先，很容易证明f(x)=c 和f(x)=x 在整个数轴上是连续的。
所以, 2()f x x x x ==⋅作为两个连续函数的乘积在整个数轴上是连续的。
同理可得，()n f x x = 也在整个数轴上连续。
于是每一个多项式1()niii f x a x ==∑ 在整个数轴上都是连续的，从而有理函数作为多项式的商是连续的。
无理函数()g x =作为()n f x x =的反函数，由于f(x)是单调的，所以g(x)也是连续的。
在定义了复合函数的连续性[4]后 ，代数函数在定义域内每一点都连续。
其次，对于三角函数()sin f x x = 是最基本的，根据定义证明其连续性后，由复合函数的连续性可知()cos sin()2f x x x π==+ 是连续的。
同理，tan ,cot ,sec ,csc x x x x 在其定义域内每一点都是连续的。
再根据反函数的连续性定理，反三角函数在其定义域内每一点也是连续的。
再次，根据定义证明了指数函数()x f x a = 的连续性后，其反函数log a x 也是连续的，而幂函数ln a a x x e =作为复合函数也是连续的。
综上所述，由于建立了连续函数的运算法则，我们只需要根据定义证明四个函数f(x)=c 、f(x)=x 、()sin f x x =、()xf x a =的连续性，就得到：一切基本初等函数在其定义域中都是连续的，而我们又知道，初等函数是基本初等函数四则运算、反函数和复合运算的结果，因此一切初等函数在其定义域内都是连续的。
三、初等函数在中学中的运用（1） 求实数a ，使方程2(15)60ax a x a +-+=的两根均大于1.解：设方程左边为f(x),①当a<0时，如图1所示，抛物线的图像开口向下，两根大于1的充要条件是01512(1)0a x a f ∆≥-=><⎧⎪⎨⎪⎩ ，容易求出次不等式的解集为a<-1/2 ②当a>0时，如图2所示，抛物线图像开口向上，两根均大于1的充要条件是01512(1)0a x a f ∆≥-=->>⎧⎪⎨⎪⎩ ，容易解出此不等式的解集是5a ≥+因此，满足题意的条件是{}1|52a a a ≥+<-（210<解：首先需满足330,1x x -≥≥即 。
令10,取f(x)=0,解得x1=13.x2=193(舍去)，即函数f(x)在区间（1,13）和（13,+∞）内确定符号。
因010- <0,所以当113x ≤< 时，有f(x)<0;又因x ＞13时，有f(x)>0,因此，原不等式解集为{}|113x x ≤<上面两个例子均为函数的连续性在中学中的具体运用。
【参考文献】：[1]《中学代数研究》 张奠宙，张广祥主编99P 初等函数的定义图2图1P初等函数的定义[2] 《中学代数研究》张奠宙，张广祥主编99[3]《初等函数判定方法》徐俊芳[4]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2000.76-85[5]《浅谈复合函数的连续性》刘德厚。