2 多元函数的极限和连续性定理
多元函数的极限与连续
多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。
本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。
一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。
需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。
二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。
换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。
相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。
一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。
具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。
三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。
只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。
2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。
【2019年整理】多元函数的极限与连续
z
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
当x0 y0 2k (k 0,1,)时, f (x, y)间断.
例3 证明
f
(x,
y)
x2 y x4 y2
0
x4 y2 0 x4 y2 0
在点(0,0)处沿此点的每条射线
x t cos, y t sin ,0 t
连续,
即lim f (t cos,t sin ) f (0,0). t 0
要证
例2 设
f
(
x,
y)
exy 1, x y
1,
讨论 f(x, y)的连续性.
sin
x x
sin y
y
,
x y x y x y
解 当x y时, f (x, y)连续. 下面讨论在直线x y上的情形.
在直线x y上任取一点(x , y ), 00
f (x, y)在直线x y上任一点沿x y连续.
一切多元初等函数在定义区域内连续
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号; 几何意义 • 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
二元函数的极限与连续
定义 3：设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有 (x, y)
f (x0, y0 ) ，则称函数 z
f (x, y) 在
y y0
点 p0 (x0 , y0 ) 处连续。
定义 4：如果函数z f ( x, y)在区域 D 上每一点
都连续，则称它在区域 D 上连续。
f (x, y) A
x x0
y y0
2021/6/16
3
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 limf (x, y); xx0 yy0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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例1
求
lim x0
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
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例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
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例6 讨论函数
f(x,y)x2xyy2, x2y2 0
0,
x2y2 0
在P(x,y)趋向于(0,0)时极限是否存在.
解 取 ykx
lim
x0
x
2
大学四年级多元函数的极限与连续性
大学四年级多元函数的极限与连续性在大学数学的学习过程中，多元函数是一个重要的概念。
多元函数的极限与连续性是其中一项重要的内容，它们对于理解和应用多元函数具有重要的意义。
一、多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数的取值会趋向于某一确定值。
与一元函数的极限类似，多元函数的极限同样可以通过数列的极限定义来进行讨论。
具体而言，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就说函数在这个特定点有极限。
在研究多元函数的极限时，还需要考虑自变量趋于无穷大时的情况。
对于这种情况，我们需要更加精确地定义多元函数的收敛性。
常用的方法是使用ε-δ语言描述，即当自变量中至少有一个趋向于无穷大时，函数的极限可以通过引进新的变量来描述。
这样，当自变量趋于无穷大时，函数值的极限就可以用引进的新变量来表示。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指在函数定义域内，任意一点的极限与函数值是相等的。
与一元函数的连续性类似，多元函数的连续性也可以用ε-δ语言来进行描述。
具体而言，对于函数定义域内的任意一点，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量与目标点的距离小于δ 时，函数值与极限值的差的绝对值小于ε，那么我们就称函数在这个特定点连续。
如果一个多元函数在其定义域内的每一个点都连续，那么我们就说这个函数是连续的。
连续函数在数学分析和应用中有着重要的地位，它们具有许多良好的性质，例如介值定理和最值定理等。
三、多元函数的极限与连续性的应用多元函数的极限与连续性在数学科学和实际问题中有着广泛的应用。
首先，在微积分中，多元函数的极限与连续性是理解和应用导数和积分的基础。
通过研究多元函数的极限，我们可以得到导数的定义和性质，并进一步研究微分方程和曲线积分等应用问题。
其次，在物理学和工程学中，多元函数的极限与连续性也具有重要的应用价值。
例如，研究物体在空气中的运动轨迹时，我们需要借助多元函数的极限与连续性来建立运动方程，并进一步求解问题。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
高数第九章
x 0 0 6 2 f (0 x , 0) f (0, 0) lim x 0 0, f x (0, 0) lim x 0 x 0 x x 03 y 0 6 2 f (0, 0 y ) f (0, 0) 0 y lim f y (0, 0) y 0 lim 0. y0 y y (4) lim f ( x , y )不存在, f ( x , y )在o(0,0)处不可微.
lim f ( x , y ) lim f ( x , y ), lim f ( x , y )不存在.
x0 y0 x0 y x3
x 0 y0
16
x3 y ,( x , y ) (0, 0) 6 2 例2 : 设 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0, 0) (3)求 f x (0, 0), f y (0, 0); (4)问f ( x , y )在点o(0, 0)处是否可微？
y y0
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 利用定义 f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
5
●求抽象的复合函数的偏导数-----链式法则 z z f (u, v ), u (t ), v (t ) 同路相乘， dz 异路相加. f1 ( t ) f 2 ( t ). u v dt 单路全导, t t 叉路偏导. z f ( x, y, v ), v ( x, y ) z z f f v z f f v x y v f 2 f 3 v f 3 v y , . f1 ,, x y y v y x x v x
4
二、多元函数微分法
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与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.
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§2. 多元函数的极限和连续性
二元函数的图形通常是一张曲面.
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§2. 多元函数的极限和连续性
arcsin( 3 x y ) 例2 求 f ( x , y ) 的定义域． 2 x y
M M0
则称f ( M )在M 0点连续.
f 在M 0点连续 如果 >0, >0,当r ( M , M 0 ) 时, 恒有 f (M ) f (M0 )
x3 y3 , ( x , y ) (0,0) 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0,0)
在M 0是否有定义无关紧要）.如果 >0, >0, 当0 r ( M , M 0 ) 时, 恒有 f (M ) A
0, 0,当0
x x 0 y y0
2Leabharlann 2 时，恒有 f x , y A . 0, 0,当 x x0 , y y0 时且
§2. 多元函数的极限和连续性
一、平面点集
定义: 设E是平面点集, R是实数集, f 是一个规律, 如果
对E中的每一点 x , y , 通过规律f , 在R中存在唯一 一个实数u和此对应, 我们就称f 是定义在E 上的 一个二元函数, 它在 x , y 的函数值是u, 并记此值为 f x , y , 即u f x , y .
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§2. 多元函数的极限和连续性
其中
2 u x y lim sin u 1, sin( x y ) lim u0 2
2 x0 y0
x y
u
x2 y 1 0 x x 0, 2 2 x y 2
sin( x 2 y ) lim 2 0. 2 x 0 x y y 0
(1)定义中M M0的方式是任意的； 说明：
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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§2. 多元函数的极限和连续性
M M0
lim f M A M以任何点列继任何方式
y kx
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
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§2. 多元函数的极限和连续性
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ， 若
极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在．
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§2. 多元函数的极限和连续性
三、二元函数的连续性 定义 : 设f ( M )在M 0有定义，并且 lim f ( M ) f ( M 0 ),
f ( x) x
x0 x0 x x0
lim f ( x ) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
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§2. 多元函数的极限和连续性
定义： 设f (M ) f ( x , y )在点M 0 ( x0 , y0 )附近有定义（而
点集 E ---定义域， x、y ---自变量，u ---因变量.
W {u u f ( x, y ),( x, y ) E } --- 值域.
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§2. 多元函数的极限和连续性
例1 z x y ,
2 2
f ( x, y) x 5 y 4都是二元函数.
§2. 多元函数的极限和连续性
回忆一元函数的极限. 设 y f x .
所谓 lim f ( x ) A, 表示 x x
0
y A f ( x) 0
x0
当 x 不论是从 x0的左边
还是从x0的右边无限接 近于 x0 时 , 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
x x0
y = f ( x)
趋于M 0时，f ( M )的极限都是A.
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
x x0 y y0
2
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2
0时，恒有 f x , y A .
§2. 多元函数的极限和连续性
对A的任意 邻域O A, , 总存在M 0点的 领域 O M 0 , ,当M O M 0 , \ M 0 时， 恒有f M O A, .
2 2
解: 要使函数有定义,必须
2 2 3 x y 1 2 x y 0
2 x 2 y 2 4 2 x y
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
二、二元函数的极限
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§2. 多元函数的极限和连续性
x3 y 例4 证明 lim 6 不存在． 2 x 0 x y y 0
证
3 y kx , 取
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 lim 6 , 2 2 2 6 x 0 x y x 0 x k x 1 k 3 y0