(A卷答案)2011年第二学期高数
2011年考研数学二真题及答案解析
x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3
f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记 为曲线 l
2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
高数1(机电)
三、求解下列各题（每小题6分，共48分）
得分
评卷人
1、求 2、求 3、 ，求
4、设 由方程 所确定，求 5、求由参数方程 所确定的函数的导数 。
6、求 7、求 8、求
四、应用题（7分）
得分
评卷人
求由曲线 所围成的平面图形的面积；该图形绕 轴旋转所得的旋转体的体积。
五、证明题（每小题5分，共10分）
得分
评卷人
1、证明： 时，
2、证明：方程 在 至少有一个根。
补充：
1、求微分方程 的通解；
2、求微分方程 的通解；
3、求微分方程 的通解。
9、函数 在区间 内是（）
A、单调增加且凸B、单调增加且凹C、单调减少且凸D、单调减少且凹
10、函数 在 处连续，则常数 （）
A、0B、2C、1D、
得分
评卷人
二、填空题（每小题3分，共15分）
1、 _________；2、 ______________；3、
重庆理工大学考试试卷
2010～2011学年第2学期
班级学号姓名考试科目高等数学1(机电)A闭卷共2页
····································密························封························线································
学生答题不得超过此线
4、已知 是曲线 的拐点，则常数 是（）
A. B. C. D.
5、 是函数 的( )
A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点
6、下列积分中，积分值为零的是( )
高数A(二)A卷参考答案
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、 ，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程： ，变量分离可得：
两边积分可得： 是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设 为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又 即 为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为 得 所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
华北电力大学(北京)《高等数学》2010-2011学年第二学期期末试卷
华北电力大学 2010-2011 高数 B （2） 期末试题一、 填空（共 10 分，每小题 2 分）1.设u = ln，则 div (gradu ) = ________； 2.已知 (x + ay )dy ydx 为某个函数的全微分，则a = _____；3.设有界闭区域Ω 由平面 x + y + z +1 = 0, x + y + z + 2 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 围成， 比 较积分大小：∫ln(x + y + z + 3)3 dv ____ ∫(x + y + z )2 dv ； Ω Ω 4.设 y 1(x ) 是方程 y ' +P (x )y = f 1(x ) 的一个解， y 2 (x ) 是方程 y ' +P (x )y = f 2 (x ) 的一 个解，则 y 1(x ) + y 2 (x ) 是方程__________ 的解；5.写出 y '' − 3y ' − 4y = sin x + x 3e − x 的特解形式 y * = _______ .二、计算下列三重积分（共 10 分，每小题 5 分）1.计算I = ∫ e |z |dv , Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1；Ωy 2 = 2z 面z = 8 围成的立体. 三、计算下列曲线积分（共 10 分，每小题 5 分）2 2求它的质量；2.求积分I = (e x sin y − b (x + y ))dx + (e x cos y − ax )dy ， 其中 a , b 为正常数， L 为从点 A (2a , 0) 沿曲线 y = 到点 O (0, 0) 的弧. 四、计算下列曲面积分（共 10 分，每小题 5 分）1.计算I = (x ++)dS ，其中 ∑ 为平面 z +4x +2y = 4 在第一卦限内的部分；2.计算I = axdydz + zdxdy1 ， 其中 ∑ 为下半球面z = − 的上侧， a 为Σ(x 2 + y 2 + z 2 )2大于 0 的常数.五、解下列微分方程（共 10 分，每小题 5 分）1.求方程 xy ' = y (1+ ln y − ln x ) 的通解；2.求方程 y ' = 的通解. 2x − y六、解下列各题（共 10 分，每小题 5 分）x cos y + cos x 2.求方程 x 2y '' +4xy ' +2y = 0 的通解.七、解下列各题（共 15 分）1.求方程 y ' = y sin x − sin y 满足初始条件 y (0) = 1 的特解；(x + y ) 1 Σ1.某种物质沿曲线L : x = t , y = t 2 , z = t 2(0 ≤ t ≤ 1) 分布，其线密度为 ∝= ， 2.计算I =∫(x 2 + y 2 )dv ，其中 Ω 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平 Ω x = 01. （5 分）讨论 p , q 满足什么条件时，方程 y '' + py ' + qy = 0 的所有解都有界；2. （10 分）求微分方程 y '' +4y ' +3y = e ax 的通解.八、解下列各题（共 10 分，每小题 5 分）1.设 y = f (x ) 是方程 y '' − e x y ' +4y = 0 的一个解， 若 f (x 0 ) > 0, f ' (x 0 ) = 0，证明 f (x ) 在点 x 0 处取极大值；2.设函数 f (x ) 可导，且满足f 2 (t )dt = x 2f (x ) − f (1) ，求 f (x ) . 九、解下列各题（共 15 分）1. （5 分）求l R ，其中 L :x 2 + y 2 = R 2 正向；2.（10 分） 求曲面Σ : z = x 2 + y 2 +1在点 (1, 0, 2) 处的切平面与曲面 S :z = x 2 + y 2 所 围立体的体积.答案一、 1. ； 2. a = 0； 3.<； 4. y ' + P (x )y = f 1(x ) + f 2 (x )；5. y * = C 1 sin x + C 2 cos x + (ax 3 + bx 2 + cx + d )xe − x .二、 1. 2π； 2. 1024π . 3三、 1. 5 − 1； 2.+ 2a 2b .12 2四、 1. 2(a +1)πa 23五、 1. ln | ln y |= ln | x | +C ； 2. x = Ce 2y + y + 1 . x 2 4x x 七、 1.仅当 p = 0,q > 0 时方程所有的解都有界；2. a = −1 时通解为 y = C 1e −3x + C 2e − x + x e − x ； a = −3 时通解为 y = C 1e −3x + C 2e −x − x e −3x ； a ≠ −1且 a ≠ −3 时通解为 y = C 1e −3x + C 2e − x +八、 1.证明略； 2.y = . + Cx 九、 1.0； 2.π . 2 2 2ax a + 4a + 3 . 1 x + y + z 1 23x 六、 1. −x sin y − y cos x = C ； 2. y = C 1 + . 21； 2. − .。
2011级高数B(I)A套重庆工商大学期末真题试卷【高等数学1】
2011级高数B （I ）A 套－、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）1．011lim(sin sin )__________x x x x x→+=. 2．当a = 时，1(1),0(),0x x x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续.3．若)(x f 在0x 处可微，则___________)(lim 0=→x f x x . 4．设(3)2,f '=则0(32)(3)lim t f t f t →--= . 5．函数3223y x x =-的极大值为 .6．1cos sin x dx x x +=+⎰ .二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）1． 设,0()tan 31,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点2．0x →时，2x 是1cos x -的（ ）无穷小.A.等价B. 同阶但不等价C.高阶D.低阶3．在区间[1,1]-上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（ ）.A. 21y x =+B.sin x y x =C. ln(1)y x =+D.||y x = 4．曲线32611y x x =-+在[0，2]上一段是（ ）.A.上升，凹B.上升，凸C.下降，凹D.下降，凸三、计算题（本大题共8小题，每小题7分，共计56分）1.求极限11lim().1ln x x x x+→-- 2.求极限1sin 0lim(13)x x x →+.3.设arcsin2x y x =+dy . 4. 设22(ln )(sin )y f x x f x =+，求dy dx ，其中()f u 可微. 5.求曲线1x y xy e ++=在(0,0)处的切线方程.6.设2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩，求22dy d y dx dx 以及. 7. 计算不定积分⎰.8．计算不定积分2arctan x xdx ⎰四、应用题（8分）将长为a 的铁丝分成两段，一段围成正方形，一段围成圆形，问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小.五、证明题（6分）设)(x f 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()0f f ξξξ'+=.。
2011年高考试题数学文(全国2卷)以及答案
2011年一般高等学校招生全国一致考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水署名笔将自己的姓名、准考据号填写清楚，并贴好条形码。
请仔细批准条形码上的准考据号、姓名和科目。
2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动， 用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，在试题卷上．．．．．作答无效．．．．。
3．第Ⅰ卷共l2小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
一、选择题（1）设会合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U C =⋂（M N ）（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4（2）函数2(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）设向量a,b 知足|a|=|b|=1,则2a b +=（A 2 （B 3 （C 5 （D 7（4）若变量x ，y 知足拘束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3（5）下边四个条件中，使a>b 建立的充足而不用要的条件是(A) 1a b >+(B) 1a b >-(C) a 2> b 2 (D) a 3> b 3(6) 设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S k +2-S k =24，则k =(A)8 (B)7 (C) 6 (D) 5（7）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9(8) 已知直二面角α- l –β，点A ∈α，AC ⊥l ,C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l,DAB =2，AC =BD =1，则CD =（A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不一样选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种(10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C =(A)4 (B)42 (C)8 (D)82(12)已知平面α截一球面得圆M ， 过圆心M 且与α成060，二面角的平面β截该球面得圆N.若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (c)11π (D)13π第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水署名笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，而后贴好条形码。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3x答案：A2. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。
A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(e^x) + CD. x^e + C答案：A5. 微分方程dy/dx = y/x的通解是（）。
A. y = CxB. y = Cx^2C. y = C/xD. y = Cx^(-1)答案：C6. 函数f(x)=ln(x)的二阶导数是（）。
A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：A7. 函数f(x)=x^2-4x+4的极值点是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=0D. x=4答案：A8. 函数f(x)=x^3-3x+1的拐点是（）。
A. x=1B. x=-1C. x=0D. x=2答案：A9. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B10. 函数f(x)=x^3的泰勒展开式在x=0处的前三项是（）。
A. 1+3x+3x^2B. 1+x+x^2C. 1+3x+3x^3D. 1+x+x^3答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^4-4x^2+4的极小值点是x=______。
答案：±√22. 函数f(x)=x^2-6x+8的零点是x=______。
答案：2和43. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C4. 函数f(x)=x^3的二阶导数是______。
答案：6x5. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
2011年河南专升本高数真题+答案解析
2011年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题 （每小题2 分，共60 分） 1．函数()ln(2)2f x x x =-+的定义域是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)-+∞C ．(2,2)-D ．(0,2)【答案】C【解析】202220x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故函数()f x 的定义域是(2,2)-．2．设2(1)22f x x x +=++，则()f x =（ ）A ．2xB ．21x +C ．256x x -+D ．232x x -+【答案】B【解析】22(1)22(1)1f x x x x +=++=++，故()f x =21x +．3．设函数()f x 在R 上为奇函数，()g x 在R 上为偶函数，则下列函数必为奇函数的是（ ）A ．()()f x g x ⋅B ．[]()f g xC ．[]()g f xD ．()()f x g x +【答案】A【解析】由于奇函数与偶函数的乘积为奇函数，故()()f x g x ⋅为奇函数．4．01lim sinx x x→=（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在【答案】C【解析】当0x →时，x 无穷小量，1sin 1x ≤，1sin x为有界函数，由于无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，故01lim sin0x x x→=．5．设()1f x '=，则0(2)(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．4B ．5C ．2D ．1【答案】B 【解析】000(2)(3)(2)()(3)()lim2lim 3lim 5()523h h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h→→→+--+---'=+==-．6．当0x →时，下列无穷小量与x 不等价的是（ ）A ．2x x -B ．321x e x --C ．2ln(1)x x+D ．sin(sin )x x +【答案】D 【解析】000sin(sin )sin 1cos limlim lim 21x x x x x x x xx x →→→+++===，故sin(sin )x x +与x 不等价．7．11,0()10,0x x f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，则0x =是()f x 的（ ）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．连续点D ．第二类间断点【答案】B 【解析】11lim 01x xe +→=+，101lim 11x xe -→=+，()f x 在0x =处的左、右极限存在但不相等，故0x =是()f x 的跳跃间断点．8．sin y x =的三阶导数是（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -【答案】D【解析】(sin )cos x x '=，(sin )(cos )sin x x x '''==-，(sin )(sin )cos x x x ''''=-=-．9．设[]1,1x ∈-，则arcsin arccos x x +=（ ）A ．2π B ．4π C ．0 D ．1【答案】A【解析】22(arcsin arccos )011x x x x '+=--，故arcsin arccos x x +为常数，令22x =，可得arcsin arccos 442x x πππ+=+=．10． 若0()0f x '=，0()0f x ''>，则下述表述正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的极大值点 B ．0x 是()f x 的极小值点C ．0x 不是()f x 的极值点D ．无法确定0x 是否为()f x 的极值点【答案】B【解析】由极值的判定条件可知，0x 是()f x 的极小值点．11．方程1arcsin y x=所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线【答案】A【解析】函数的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，而1limarcsin0x x →∞=，故1arcsin y x=仅有水平渐近线． 12．1211dx x -=⎰（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．以上都不对【答案】D 【解析】10101122211011111dx dx dx x x x x x---=+=---⎰⎰⎰，积分值不存在，故选D ．13．方程sin 10x x +-=在区间(0,1)内根的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】令()sin 1f x x x =+-，()cos 1f x x '=+，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，又 (0)10f =-<，(1)sin10f =>，故sin 10x x +-=在区间(0,1)内只有一个根．14．设()f x 是cos x 的一个原函数，则()df x =⎰（ ）A ．sin x C +B ．sin xC -+C ．cos x C -+D ．cos x C +【答案】A【解析】由于()f x 是cos x 的一个原函数，故1()sin f x x C =+，()df x =⎰sin x C +．15．设2cos ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x （ ）A ．为正常数B ．为负常数C ． 恒为零D ．不为常数【答案】C 【解析】2cos cos 2cos cos ()sin 0x t tx x x xxF x e tdt e e e ππ++==-=-+=⎰．16．b txd te dt dx =⎰（ ）A ．x xe -B ．x xeC ．b x e e -D ．b x be xe -【答案】A 【解析】b txd te dt dx =⎰x xe -．17．由曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴所围成的区域的面积为（ ）A ．0B ．2C 2D ．π【答案】B【解析】0sin cos 2xdx xππ=-=⎰．18． 关于二阶常微分方程的通解，下列说法正确的是（ ） A ．一定含有两个任意常数 B ．通解包含所有解C ．一个方程只有一个通解D ．以上说法都不对【答案】A【解析】微分方程的解中所含任意常数相互独立，且个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解，由通解的定义可得A 正确．19．微分方程3y y x '+=的通解是（ ） A ．221x y x Ce =++ B ．1x y xe Cx =+-C ．139x y x Ce =++D ．31139x y x Ce -=+-【答案】D【解析】通解为3331139dx dxx y e xe dx C x Ce --⎛⎫⎰⎰=+=+- ⎪⎝⎭⎰，C 为任意常数．20．已知向量=++a i j k ，则垂直于a 且垂直于y 轴的向量是（ ）A ．-+i j kB ．--i j kC ．+i kD ．-i k【答案】【解析】设y 轴方向向量(0,1,0)=j ，而111()010⨯==--i j ka j i k ，与a ，j 都垂直的向量是()l =-c i k ，故选D ．21．对任意两向量a ，b ，下列等式不恒成立的是（ ） A ．+=+a b b a B ．⋅=⋅a b b aC ．⨯=⨯a b b aD ．()()2222⋅+⨯=⋅a b a b a b【答案】C【解析】由向量积运算法则可知⨯=-⨯a b b a ，故选C ．22．直线110x y z ==-与平面2x y z +-=的位置关系是（ ）A ．平行B ．直线在平面内C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】A【解析】(1,1,0)(1,1,1)0-⋅-=，得直线的方向向量与平面的法向量垂直，在直线上取一点(0,0,0)，该点不在平面2x y z +-=上，故直线与平面平行．23．20limsin x y yxy →→的值为（ ）A ．0B ．1C ．12D ．不存在【答案】C 【解析】2220011limlim lim sin 2x x x y y y y xy xy x →→→→→===．24．函数(,)f x y 在00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在是(,)f x y 在该点处连续的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分亦非必要条件【答案】D【解析】两个偏导数存在与连续没有关系，故选D ．25．函数ln 1x z y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点(1,1)处的全微分(1,1)dz=（ ）A ．0B ．1()2dx dy -C ．dx dy -D ．11dx dy x y y-+【答案】B【解析】1111z x x y x y y∂=⋅=∂++，2211z x xxy y y xy y ⎛⎫∂=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭+，(1,1)1122dzdx dy =-，故选B ．26．设11220yI dy x y dx -=⎰，则交换积分次序后（ ） A ．11220xI dx x y dy -=⎰B ．112203yI x y dy -=⎰C ．2112203x I dx x y dy -=⎰⎰D ．2112203x I dx x y dy +=⎰⎰【答案】C【解析】201010101y x y x x y ≤≤⎧≤≤⎧⎪⎨⎨≤≤-≤≤-⎪⎩⎩，交换积分次序后为21122003x I dx x y dy -=⎰⎰．27．设L 为三个顶点分别为(1,0)A -，(0,0)O 和(0,1)B 的三角形区域的边界，L 的方向为顺时针方向，则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】 【解析】28．设(,)0,114D x y x y π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，则cos(2)Dy xy dxdy =⎰⎰（ ）A ．12-B ．0C ．14D ．12【答案】B【解析】111411111cos(2)cos(2)sin cos 0222Dy yy xy dxdy dy y xy dx dy ππππ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰．29．若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散，则下列表述必正确的是（ ）A ．1()n n n a b ∞=+∑发散B ．1n n n a b ∞=∑发散C ．1()n n n a b ∞=+∑发散D ．221()n n n a b ∞=+∑发散【答案】C【解析】1n n a ∞=∑发散，则1n n a ∞=∑发散，n n n a b a +≥，由正项级数的比较判别法可知，1()nn n ab ∞=+∑发散．30．若级数1(2)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，则此级数在4x =处（ ）A ．发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性不能确定【答案】C【解析】级数1(2)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，由阿贝尔定理知，对于所有满足24x -<的点x ，即26x -<<，幂级数1(2)n n n a x ∞=-∑绝对收敛，故此级数在4x =处绝对收敛．二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 31．10lim(1)xx x →-=________．【答案】1e -【解析】[]11(1)100lim(1)lim 1()xxx x x x e ⋅---→→-=+-=．32．设()f x 为奇函数，则0()3f x '=时，0()f x '-=________． 【答案】3【解析】由于()f x 为奇函数，故()f x '为偶函数，故0()f x '-=0()3f x '=．33．曲线ln y x =上点(1,0)处的切线方程为________． 【答案】1y x =- 【解析】11x y ='=，故切线方程为01y x -=-，即1y x =-．34．1(1)dx x x =-⎰________．【答案】1lnx C x-+【解析】1111ln 1ln ln (1)1x dx dx dx x x C C x x x x x-=-=--+=+--⎰⎰⎰．35． 以2212x x C e C xe --+为通解的二阶常系数齐次线性方程为________． 【答案】440y y y '''++=【解析】由题意可知，2r =-为二阶常系数齐次线性微分方程所对应的特征方程的二重根，满足特征方程2440r r ++=，故所求方程为440y y y '''++=．36．点(1,2,3)关于y 轴的对称点是________． 【答案】(1,2,3)--【解析】点(1,2,3)关于y 轴的对称点，即y 不变，x ，z 取其相反数，故对称点为(1,2,3)--．37．函数x y z e +=在点(0,0)处的全微分(0,0)dz =________．【答案】dx dy + 【解析】x y x y z zdz dx dy e dx e dy x y++∂∂=+=+∂∂，故(0,0)dz =dx dy +．38．由1x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =在1x =处导数为________． 【答案】12-【解析】方程两边同时关于x 求导得，10y y xy ''+++=，当1x =时，0y =，代入得1(1)2y '=-．39．函数22z x y =+在点(1,2)处沿从点(1,2)A 到(2,23)B +的方向的方向导数等于________．【答案】123+【解析】(1,2)2z x∂=∂，(1,2)4z y∂=∂，与(1,3)AB =同方向的单位向量为132⎛ ⎝⎭，故方向导数为(1,2)13241232z l∂=⋅+=+∂40．幂级数1nn x n∞=∑的收敛区间为________．【答案】(1,1)- 【解析】1lim lim 11n n n n a na n ρ+→∞→∞===+，11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．三、计算题 （每小题5 分，共50 分） 41．用夹逼准则求极限222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭． 【答案】1【解析】因为2221n n nn n n k n ≤≤+++，1,2,,k n =，所以2222211nk n n n n n n k n =≤≤+++∑， 又22lim 1n n n n →∞=+，22lim 11n n n →∞=+，由夹逼准则可知，222lim 112n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭．42．讨论函数321sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的可导性． 【答案】【解析】3222001sin()(0)1(0)limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x →→→-'====-，故函数()f x 在0x =处可导．43．求不定积分21xx e dx e +⎰．【答案】arctan x e C +【解析】()22arctan 11x xx x x e de dx e C e e ==+++⎰⎰．第 11 页 共 13 页44．求定积分10x xe dx ⎰．【答案】1【解析】11110(1)1x x xx xe dx xde xe e dx e e ==-=--=⎰⎰⎰．45．求微分方程32x y y y e '''++=的通解．【答案】21216x x x y C e C e e --=++，其中12,C C 为任意常数【解析】特征方程为2320r r ++=，解得11r =-，22r =-，1λ=不是特征方程的根， 可设x y ke =为方程的一个特解，代入得16k =， 故方程的通解为21216x x x y C e C e e --=++，其中12,C C 为任意常数．46．设2(,)z x y x ϕ=+，且ϕ具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂．【答案】11212x ϕϕ''''+ 【解析】122zx xϕϕ∂''=+∂，211212z x x y ϕϕ∂''''=+∂∂．47．求曲面:3z e z xy ∑-+=在点0(2,1,0)M 处的切平面方程． 【答案】240x y +-=【解析】令(,,)3z F x y z e z xy =-+-，则(2,1,0)1F x∂=∂，(2,1,0)2F y∂=∂，(2,1,0)0F z∂=∂，从而所求切平面的方程为(2)2(1)0x y -+-=，即240x y +-=．48．计算二重积分x y De d σ+⎰⎰，其中D 是由直线1x y +=和两条坐标轴所围成的闭区域．【答案】1【解析】{}(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故第 12 页 共 13 页111100()()1xx yx y x x De d dx e dy e e dx ex e σ-++==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰．49．计算(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)A )到点(1,1,4)B 的直线段．【答案】3【解析】L 的参数方程为1x =，1y =，13(01)z t t =+≤≤，故1(1)33Lxdx ydy x y dz dt +++-==⎰⎰．50．将21()f x x =展开为(1)x +的幂级数． 【答案】11()(1)n n f x n x ∞-==+∑，(2,0)x ∈-【解析】011(1)1(1)n n x x x ∞=-==-+-+∑，(2,0)x ∈-，故1200111()(1)(1)(1)n n n n n n f x x x n x x x ∞∞∞-===''⎡⎤⎛⎫'⎡⎤==-=--+=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑∑，(2,0)x ∈-．四、应用题 （每小题6 分，共 12 分）51．求点(0,1)P 到抛物线2y x =上点的距离的平方的最小值． 【答案】34【解析】2222213(1)124d x y y y y ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，故所求最小值为34．52．求几何体22444x y z ++≤的体积． 【答案】325π 【解析】令{}22(,)4D x y x y =+≤，则几何体22444x y z ++≤的体积为第 13 页 共 13 页222224224400032212124445Dx y r V d d dr r dr πσθππ+=-=-=-=⎰⎰⎰．五、证明题 （8分）52．设函数()f x ，()g x 均在区间[],a b 上连续，()()f a g b =，()()f b g a =，且()()f a f b ≠．证明：存在一点(,)a b ξ∈，使()()f g ξξ=．【解析】令()()()F x f x g x =-，则函数()F x 也在区间[],a b 上连续，且()()()F a f a g a =-，()()()F b f b g b =-．由于()()f a f b ≠，所以()()f a f b <或()()f a f b >， 当()()f a f b <时，()()()()()0F a f a g a f a f b =-=-<，()()()()()0F b f b g b f b f a =-=->， 于是由连续函数的零点定理知存在(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()()f g ξξ=． 类似地可证()()f a f b >时结论也成立．。
安徽大学高数A(二)期末试卷答案
安徽大学 2009—2010 学年第二学期 《高等数学 A（二）、B（二）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
题号 一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
学号
姓名
专业
一、填空题（本大题共五小题，每小题 2 分，共 10 分）
1．点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离为
.
2．极限
f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处取极小值的充分条件的是
（）
A.
fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
(
x0
,
y0fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
18．将 f (x) = 1 展开为 (x + 2) 的幂级数，并求该幂级数的收敛域. 1+ 2x
四、应用题（本大题共 8 分）
19. 在椭圆 x2 + 4 y2 = 4 上求一点，使该点到直线 2x + 3y −12 = 0 的距离最短.
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷） 第 5 页 共 6 页
_________.
2. 设 f (x, y) = x y ，则 lim f (x, y) =_____________ .
xy +1−1
(x, y)→(0,0)
∫ ∫ 3. 累次积分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页 共 4 页
广东海洋大学2010 — 2011 学年第二学期
《高 等 数 学》试题
一、填空题 .（每小题3分，共27分）
1.二元函数 2241yxz的定义域是}4),({22yxyx
2.设向量)1,2,1(a，)2,1,1(b，则ba= (-5,-1,3)
3.过点（1，1，1）且以)11,4,1(n为法线向量的平面方程为
06114zyx
4.将yoz坐标面上的抛物线zy22绕z轴旋转所成的曲面方程是:
zyx222
5.极限2222001sin)(limyxyxyx 0
6.设函数)ln(xyz，则yz= y1
7.曲线32,1,tztytx在点(1,0,1)处的切线方程是：
31121zyx
8.改变累次积分I=101),(ydxyxfdy的次序为I = 100),(xdyyxfdx
9.微分方程xyy2的通解是 2xce
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设函数3)()(xadttfx，则)(x（ D ）
（A）)(xf （B）)(3xf （C）)(32xfx （D）)(332xfx
2. 设函数yxzsin2，则yxz2等于（ B ）
(A) yxcos2 (B) yxcos2 (C) x2 (D) ycos
3．直线11121zyx与平面1zyx的位置关系是（ B ）
（A）垂直 （B）平行 （C）夹角为4 （D）夹角为4
第 2 页 共 4 页
4．设D是第二象限内的一个有界区域，而且10y，记
DyxdI1，
DxdyI
2
2
，DxdyI213，
则321,,III之间的大小顺序为（ C ）
（A）321III （B）312III （C）213III （D）123III
5．微分方程0lnyyyx是（ A ）
（A）变量分离方程 （B）齐次方程
（C）一阶齐次线性微分方程 （D）一阶非齐次线性微分方程
三．计算由两条抛物线xy2，2xy所围成的图形的面积。（7分）
解：两条抛物线的交点为：(0,0)及(1,1).
A=31)332()(10323102xxdxxx
四．求直线4321zyxzyx的点向式方程与参数方程 .(7分)
解：在直线上任取一点),,(000zyx,取10x ,063020000zyzy
得：2,000zy.所求点的坐标为)2,0,1(,
取直线的方向向量3,1,21,1,1skjikji34312111,
所以直线的点向式方程为： ,321041zyx
令102,413xyzt则所求参数方程: .3241tztytx
五．计算下列各题 （每小题6分，共18分）
1.设vuzln 而yxvxyu, 求xz yz
解： vuyvxz)(lnyxxyyxy)ln(
第 3 页 共 4 页
)1()(lnvuxvyzyxxyyxx)ln(
2.设),(yxzz是由方程0222zezyx所确定的隐函数,求xz.
分）（所以分）则解：622223(2,2,2),,(222zexezxxZezzFyyFxxFezyxzyxFzzzz
3.求函数32yxz当01.0,02.0,1,2yxyx时的全微分。
解：因为23322322dd2d3d23zxyxyxxyyxyxxyy
所以当2x，1y，0.02x，0.01y时全微分为
d4120.080.120.2zxy
.
六. 计算下列二重积分（每小题6分，共12分）
1.计算I=dxyD2 其中D是由直线轴和xxxy2,所围成的闭区域.
解：dxyD22002dyydxxx
1532dx3
1
2
0
4
x
2.计算I=Dydx122，其中D是圆域：222ayx
解：I=Dydx122200rd1darrθ
ara220
七．求解下列微分方程 （每小题7分，共14分）
（1）求微分方程xeyyx满足初值条件eyx1的特解 .
第 4 页 共 4 页
解：原方程变为：xeyxyx1，xexQxxPx)(,1)(
通解为：)()(ln11cdxeecdxexeeyxxdxxxdxx
)(1cexx
把eyx1代入通解，得：C = 0
则所求微分方程的特解为：xexy1
（2）求微分方程0258yyy的通解 .
解：微分方程对应的特征方程为：02582rr
特征根为：ir342,1
则所求微分方程的通解为：)3sin3cos(214xcxceyx