高等数学试卷 含答案 下册
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数11z x y x y =++-的定义域为 （2）已知函数arctany z x =，则zx ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ） A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交（2）设是由方程2222xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.2dx dy +C.22dx dy +D.2dx dy - （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()xy dvΩ+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12 D. 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂得分阅卷人3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)xf x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面22z x y =+与上半球面222z x y =--所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数24x y z -=的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则Lyds =⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()xax b xe + C.2()x ax b ce ++ D.2()x ax b cxe ++（4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.A. 2B. 1C. 122三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧得分阅卷人得分高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰ .5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃（C ）无穷 （D ）振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
(完整word版)高等数学下册试卷及答案
高等数学（下册）考试试卷（一）、填空题（每小题 3分，共计24分）1、 z=<log a (x 2 y 2)(a 0)的定义域为 D = 重积分ln(x 2 y 2 )dxdy 的符号为|x| |y| 1皿八 皿…、…, x （t ）4、设曲线L 的参数方程表示为y （t ）5、设曲面习2-入一y 9介于z(x 2的和为n 1n(n 1)二、选择题（每小题 2分，共计16分）1、二元函数z f （x, y ）在（x 0,y 0）处可微的充分条件是（f (x, y)在(X o ,y o )处连续;3、由曲线 y ln x 及直线x y e 1,1所围图形的面积用二重积分表示6、微分方程 dy dxy taM 的通解为 x x7、方程y（4）4y0的通解为(C) z f x (x 0,y °) x f y (x 0,y °) y 当 v( x)2 ( y)2 。
时，是无穷小;(D) 12、设uz f x (x 0,y °) hmy 0(x)2yf(-) xf(Y),其中x f y （x 0,y 。
）y （y ）2f 具有一阶连续导数,0。
2mU则x22y —U 等于（(A)xy x y; (B) x；(C) y ;x (D)0 。
y3、设 ：2x22y z 1, z0,则三重积分IzdV 等于（ ）f x （x ，y ） , f y （x, y ）在（X 0, y o ）的某邻域内存在;2、x ）,则弧长元素ds分的外侧，则1)ds (B)(A) 4o 2do 2d1r 3sin cos dr ;(A)方程xy 2y x 2y 0是三阶微分方程；(B)方程y — x — ysin x 是一阶微分方程；dx dx(C) 方程(x 2 2xy 3)dx (y 2 3x 2y 2)dy 。
是全微分方程; (D)方程 曳 1x 宣是伯努利方程。
dx 2 x7、已知曲线y y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线 2x y 6 0平行，而y(x)(B)典 °d ；「2sin dr ；2 (C) d1 3 .r sincos dr ； (D)1 3.r sincos dr 。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
高等数学下册试题及参考答案
高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}，||=5)1(20222=-++.2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}.解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}.3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k .4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有21112)1(211)1(1221cos 2222222121=++⋅-++⨯-+⨯+⨯=⋅⋅=n n n n α，因此，所求夹角321arccos πα==．5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有⎩⎨⎧=+-=+020D B A D A解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程01=-+y x6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D ).A ．3B ．4C ．5D ． 27．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A ).A ．3B ．5C ．4D ． 28．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B ). A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -=9．微分方程323y y ='的一个特解是( B).A ．13+=x yB ．()32+=x yC ．()2C x y +=D ． ()31x C y +=10．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解(C).A ．0=+'y yB ．02=+'y yC ．0=+y y nD ． x y y cos =+'' 11．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的(A)，其中1C ，2C 为任意常数. A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对12．y y ='满足2|0==x y 的特解是( B).A ．1+=x e yB ．xe y 2= C ．22x e y ⋅= D ． x e y ⋅=3 13．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( C ). A ．x a y sin *= B ．x a y cos *⋅= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 14．下列微分方程中，( A )是二阶常系数齐次线性微分方程. A ．02=-''y y B ．032=+'-''y y x y C ．045=-''x y D ． 012=+'-''y y15．微分方程0=-'y y 满足初始条件()10=y 的特解为( A ). A ．x e B ．1-x e C ．1+x e D ． x e -216．在下列函数中，能够是微分方程0=+''y y 的解的函数是( C ). A ．1=y B ．x y = C ．x y sin = D ． x e y =17．过点()3,1且切线斜率为x 2的曲线方程()x y y =应满足的关系是( C ). A ．x y 2=' B ．x y 2='' C ．x y 2='，()31=y D ． x y 2=''，()31=y 18．下列微分方程中，可分离变量的是( B ). A ．e x y dx dy =+ B ．()()y b a x k dx dy--=(k ,a ,b 是常数) C ．x y dxdy=-sin D ． x e y xy y ⋅=+'219．方程02=-'y y 的通解是( C ).A ．x y sin =B ．x e y 24⋅=C ．x e C y 2⋅=D ．x e y =20．微分方程0=+xdy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A ). A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 21．微分方程01=⋅-y xdx dy 的通解是=y ( B ). A ．xC B ．Cx C ．C x +1D ． C x +22．微分方程0=+'y y 的解为( B ).A ．x eB ．x e -C ．x x e e -+D ． x e -23．下列函数中，为微分方程0=+ydy xdx 的通解是( B ).A ．C y x =+B ．C y x =+22 C ．0=+y CxD ． 02=+y Cx 24．微分方程02=-dx ydy 的通解为( A ).A ．C x y =-2B ．C x y =- C ．C x y +=D ．C x y +-= 25．微分方程xdx ydy sin cos =的通解是( D ). A ．C y x =+cos sin B ．C x y =-sin cos C ．C y x =-sin cos D ． C y x =+sin cos 26．x e y -=''的通解为=y ( C ).A ．x e --B ．x e -C ．21C x C e x ++-D ．21C x C e x ++-- 27．按照微分方程通解定义，x y sin =''的通解是( A ). A ．21sin C x C x ++- B ．21sin C C x ++- C ．21sin C x C x ++ D ． 21sin C C x ++一、单项选择题2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 （ D )(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4．对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). CA. 若0lim (,)x xy y f x y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处z x ∂∂和zy∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微;D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22z y ∂∂.6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-r r ，则a b =rr g （ A ） (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 25．已知三点M （1，2，1），A （2，1，1），B （2，1，2） ，则→→•AB MA = （ C ） (A) -1； (B) 1； (C) 0 ； (D) 2；6．已知三点M （0，1，1），A （2，2，1），B （2，1，3） ，则||→→+AB MA =（ B ）(A);2-(B) ;(C)2; (D)-2;7．设D 为园域222x y ax +≤ (0)a >, 化积分(,)DF x y d σ⎰⎰为二次积分的正确方法是_________. DA. 20(,)aa adx f x y dy -⎰⎰B. 202(,)adx f x y dy ⎰C. 2cos 0(cos ,sin )a a ad f d θθρθρθρρ-⎰⎰D. 2cos 202(cos ,sin )a d f d πθπθρθρθρρ-⎰⎰8．设3ln 10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰, 改变积分次序, 则______.I = BA. ln30(,)y e dy f x y dx ⎰⎰ B. ln330(,)y e dy f x y dx ⎰⎰C. ln330(,)dy f x y dx ⎰⎰D. 3ln 1(,)x dy f x y dx ⎰⎰9． 二次积分cos 20(cos ,sin )d f d πθθρθρθρρ⎰⎰可以写成___________. DA. 1(,)dy f x y dx ⎰⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰C. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D. 1(,)dx f x y dy ⎰10． 设Ω是由曲面222x y z +=及2z =所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分(,,)I f x y z dx dy dz Ω=⎰⎰⎰表示为三次积分，________.I = CA ． 22120(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθ⎰⎰⎰B. 22220(cos ,sin ,)d d f z dz ρπθρρθρθρ⎰⎰⎰C ． 22222(cos ,sin ,)d d f z dz πρθρρθρθρ⎰⎰⎰D ． 222(cos ,sin ,)d d f z dz πθρρθρθρ⎰⎰⎰11．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d y c a x L ≤≤=,:， 则()=⎰Ldx y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c（C ） 0 （D ） d12．设L 为y x 0面内直线段，其方程为d x c a y L ≤≤=,:，则()=⎰Ldy y x P ,（ C ）（A ） a （B ） c （C ） 0 （D ） d13．设有级数∑∞=1n nu,则0lim =∞→n n u 是级数收敛的（ D ）(A) 充分条件； (B) 充分必要条件； (C) 既不充分也不必要条件； (D) 必要条件;14．幂级数∑∞=1n nnx的收径半径R =（ D ）(A) 3 (B) 0 (C) 2 (D) 115．幂级数∑∞=11n n x n的收敛半径=R（ A ）(A) 1 (B) 0 (C) 2 (D) 316．若幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R ，则∑∞=+02n n nx a的收敛半径为（ A ）(A) R (B) 2R(C) R (D) 无法求得17. 若lim 0n n u →∞=, 则级数1n n u ∞=∑( ) DA. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D. 可能收敛也可能发散 18. 若1n n u ∞=∑为正项级数, 则( )A. 若lim 0n n u →∞=, 则1n n u ∞=∑收敛 B. 若1n n u ∞=∑收敛, 则21n n u ∞=∑收敛BC. 若21n n u ∞=∑, 则1n n u ∞=∑也收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散, 则lim 0n n u →∞≠19. 设幂级数1n n n C x ∞=∑在点3x =处收敛, 则该级数在点1x =-处( )AA. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不定 20. 级数1sin (0)!n nx x n ∞=≠∑, 则该级数( ) BA. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题（每题4分，共20分）1. a ∙b = （公式）答案∣a ∣∙∣b ∣cos(∧b a ,)2. a =(a x ，a y ，a z )，b=(b x ，b y ，z b z )则 a ·b = （计算） 答案a x b x +a y b y +a z b z3. .=⨯b a ρρ答案zy x z y xb b b a a a k j i ρρρ 4. ][c b a ρρρ= 答案xy z xy z xyza a ab b bc c c 5. 平面的点法式方程是 答案0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A6.设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 ((){}0,1,22≥>≤+x y y xy x )7.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f (()11,0=x f )8.()y x f ,在点()y x ,处可微分是()y x f ,在该点连续的 的条件，()y x f ,在点()y x ,处连续是()y x f ,在该点可微分的 的条件. (充分，必要)9.()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的 条件.(必要)10.在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程；②()()022=-++dy y x y dx x xy 方程的名称是 答案 可分离变量微分方程； ③xyy dx dy xln ⋅=方程的名称是 答案 齐次方程；④x x y y x sin 2+='方程的名称是 答案 一阶线性微分方程；⑤02=-'+''y y y 方程的名称是 答案 二阶常系数齐次线性微分方程.11. 在空间直角坐标系{O ;k j i ρρρ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]：M (a , b , c )关于xOy 平面的对称点坐标为(a , b , －c )，M (a , b , c )关于yOz 平面的对称点坐标为(－a , b , c )， M (a , b , c )关于xOz 平面的对称点坐标为(a ,－b , c )， M (a , b , c )关于x 轴平面的对称点坐标为(a ,－b ,－c )， M (a , b , c )关于y 轴的对称点的坐标为(－a , b ,－c )， M (a , b , c )关于z 轴的对称点的坐标为(－a ,－b , c ). 类似考虑P (2,－3，－1)即可.12.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？（1-=+ （2+=+（3=+ （4+=-（5-=-[解]：（1）b a ,=+；（2）b a ,+=+（3≥且b a ,-=+（4）b a ,+=-（5）b a ,≥=-13.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆（3）直线； （4）相距为2的两点二、填空题1．设22(,)sin (1)ln()f x y x y x y =+-+，则 =')1,0(x f ___1___.2．设()()()22ln 1cos ,y x y x y x f +-+=，则 )1,0('x f =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是()()⎰⎰⎰⎰=DDd d f dxdy y x f θρρθρθρsin ,cos ,4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f ϕρρϕρϕρ,sin ,cos ,,5．柱面坐标下的体积元素 z d d d dv θρρ=6．设积分区域222:D x y a +≤, 且9Ddxdy π=⎰⎰, 则a = 3 .7． 设D 由曲线sin ,a a ρθρ==所围成, 则Ddxdy =⎰⎰234a π 8． 设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2Ddxdy =⎰⎰6π9．设()y x f ,在[0， 1]上连续，如果()31=⎰dx x f ，则()()⎰⎰11dy y f x f dx =_____9________.10．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰11．设L 为连接(1, 0)与(0, 1)两点的直线段，则 ().___________=-⎰Lds y x 012．等比级数∑∞=1n naq )0(≠a 当 1q < 时，等比级数∑∞=1n n aq 收敛.13．当__1ρ>__时，-p 级数∑∞=11n p n是收敛的.14．当_________时,级数()∑∞=--1111n p n n是绝对收敛的. 1ρ>15．若(,)f x y =则(2,1)_________.x f = 12,16．若23(,)(1)arccos 2y f x y xy x x=+-, 则(1,)_________.y f y = 23y17．设x y u z =, 则_________.du = ln ln x y xy z y xdx x zdy dz z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭18．设ln xz y=, 则22__________.z x ∂=∂ ln 2ln (ln 1)xy y y x -19. 积分2220y x dx e dy -⎰⎰的值等于_________. 41(1)2e --,20.设D 为园域222x y a +≤, 若()228Dx y dxdy π+=⎰⎰, 则_______.a = 221.设2I dxdydz Ω=⎰⎰⎰, 其中2222:,0x y z a z Ω++≤≥, 则_______.I =343a π三、是非题（每题4分，共20分）1. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( ⅹ )2. sin lim1x xx→∞=. ( ⅹ )3. 22lim33x x x →∞-=-+. (ⅹ )4. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. (ⅹ )5. 0xy =是指数函数. ( ⅹ )6. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. (ⅹ )7. 23log 3log 21⋅=. (√ )8. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. (√ ) 9. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ ) 10. 指数函数是基本初等函数. (√ )11.0x →=. ( √ ) 12. 函数3234y x x =++为基本初等函数. (√ )13.111a a x dx x C a +=++⎰. ( ⅹ ) 14. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( ⅹ ) 15. sin x 与x 是等价无穷小量. (ⅹ ) 16. 1xe -与x 为等价无穷小量. ( ⅹ )17. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( ⅹ )18. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( ⅹ )19. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. (√ )20. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. (√ )21. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. (√ )22. 偶函数与奇函数的乘积为奇函数. (√ ) 23. 奇函数与奇函数的乘积为偶函数. ( √ )24. 若函数()f x 为奇函数, 那么一定成立()00f =. (√ ) 25. 若函数()f x 为偶函数, 那么一定成立()00f '=. ( ⅹ )26. ()()sin cos x x π'+=. (ⅹ )27. sin cos sin 2x x x =. (ⅹ ) 28. ()xxa a '=. (ⅹ )29. ()sin sin x x x π+=. ( ⅹ )30. 单调函数一定存在最大值与最小值. ( ⅹ ) 31. 单调函数一定存在反函数. (√ )32. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称. ( √ )33. 若定义域为[]0,1 的函数()f x 存在反函数, 那么()f x 在区间[]0,1 上单调. ( √ )34. 221lim 212n n x n →∞+=+. (√ )35. 对于任意的,a b R +∈, 恒有a b +≥ √ )36. 函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )37. 若函数()f x 在其定义域内处处有切线, 那么该函数在其定义域内处处可导. (ⅹ ) 38. 空集是任意初等函数的定义域的真子集. (ⅹ )39.sinii x +∞=∑为初等函数. (ⅹ )40. 对于任意的x R ∈, 恒有1x +≥ ⅹ ) 41. 左右导数处处存在的函数, 一定处处可导. ( ⅹ )下列题（1．×；2．×；3． √；4．×；5．√）1．任意微分方程都有通解.( × )2．微分方程的通解中包含了它所有的解.(× )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解.( √ ) 4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解.(×) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数).(√ ) 下列是非题（1．×；2．√；3．√；4．×；5．×）1．可分离变量微分方程不都是全微分方程.( )2．若()x y 1，()x y 2都是()()x Q y x P y =+'的特解，且()x y 1与()x y 2线性无关，则通解可表为()()()()[]x y x y C x y x y 211-+=.( )3．函数x x e e y 21λλ+=是微分方程()02121=+'+-''y y y λλλλ的解.( ) 4．曲线在点()y x ,处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是C x y +='2(C 是任意常数).( )5．微分方程y x e y -='2，满足初始条件0|0==x y 的特解为1212+=xy e e .( ) 是非题（1．×；2．√；）1．只要给出n 阶线性微分方程的n 个特解，就能写出其通解.2．已知二阶线性齐次方程()()0=⋅+'⋅+''y x Q y x P y 的一个非零解y ，即可 四、计算证明题（每题10分，共40分）1、判断积数收敛性∑∞=-1!2)1(2n n nn 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2．ydy x xdy ydx 2=-解：两边同除以2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x y d+-=221即c y x y =+221 3．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u xy= 则dxduxu dx dy += 即dx duxu dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解.4．()01=-+xdy ydx xy解：0=+-xydx xdy ydxxdx yxdyydx -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221 即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解.5．求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x+=-.6.求.解7．求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x xe C eC y 231+=- 8.证明()()()222220,0,limy x y x y x y x -+→极限不存在8)因为()1lim222220=-+=→y x y x y x yx x ,()0lim2222220=-+=→y x y x y x xy x 所以极限不存在9.证明()()4220,0,lim y x xy y x +→极限不存在9)设y 2=kx ，1lim 242202+=+=→k ky x xy kyx y 不等于定值，极限不存在 10.计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.解: 画出区域D .可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][x Ddx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xx Dydy xdx xydy dx d xy σ.11．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .12. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：y 2dx=-(x+1)dy2ydydy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c13. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解：1=∂∂y M ，xN∂∂=1 . 则xN y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程.凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =-+233114． 0)4()3(2=---dy x y dx x y解：1=∂∂y M ，1=∂∂xN. 则xN y M ∂∂=∂∂ . 所以此方程为恰当方程. 凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-23215. 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→. 解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .16. 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z, 7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz . 17. 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2. 解 y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy xz =∂∂, 2336yx z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .18. 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z. 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以22yx x x z +=∂∂, 22y x yy z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂, 222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 19. 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy x z 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .20. 函数z =3x 2+4y 2在点(0, 0)处有极小值.当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z >0. 因此z =0是函数的极小值. 21.函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值.当(x , y )=(0, 0)时, z =0, 而当(x , y )≠(0, 0)时, z <0. 因此z =0是函数的极大值. 22. 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC 的面积.解 根据向量积的定义, 可知三角形ABC 的面积→→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆.由于→AB =(2, 2, 2), →AC =(1, 2, 4), 因此→→421222kj i =⨯AC AB =4i -6j +2k .于是 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S .23. 设有点A (1, 2, 3)和B (2, -1, 4), 求线段AB 的垂直平分面的方程.解 由题意知道, 所求的平面就是与A 和B 等距离的点的几何轨迹. 设M (x , y , z )为所求平面上的任一点, 则有|AM |=|BM |,即 222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x . 等式两边平方, 然后化简得2x -6y +2z -7=0.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以这个方程就是所求平面的方程.24. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.25.求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为 By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有 -3B -C =0,或 C =-3B .将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为 y -3z =0. 26.求直线L 1:13411+=-=-z y x 和L 2:1222-=-+=z y x 的夹角. 解 两直线的方向向量分别为s 1 = (1, -4, 1)和s 2 = (2, -2, -1). 设两直线的夹角为ϕ , 则2221)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222==-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ ,所以4πϕ=.例1 求幂级数)1( 32)1(13211⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-+-=--∞=-∑n x x x x n x n n n nn 的收敛半径与收敛域.解 因为1111lim ||lim 1=+==∞→+∞→nn a an n n n ρ,所以收敛半径为11==ρR .当x =1时, 幂级数成为∑∞=--111)1(n n n, 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n, 是发散的. 因此, 收敛域为(-1, 1].例2 求幂级数∑∞=0!1n n x n!1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ, 所以收敛半径为R =+∞, 从而收敛域为(-∞, +∞).例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径.解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为R =0, 即级数仅在x =0处收敛. 例5 计算⎰+L dy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧.解: 因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立,所以在整个xOy 面内, 积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.⎰⎰⎰+++=+AB OA L dy x xydx dy x xydx dy x xydx 2222221112==⎰dy .讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向, 问022=+-⎰L y x ydxxdy 是否一定成立？提示:这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点(0, 0)不连续.因为当x 2+y 2≠0时,yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以如果(0, 0)不在L 所围成的区域内, 则结论成立, 而当(0, 0)在L 所围成的区域内时, 结论未必成立.例6 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P =xy 2, Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy xdx xy y x u 2022022y x ydy xydy x yy==+=⎰⎰.。
高等数学下考试题库(含答案)
精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（ ）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （ ）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（ ） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（ ）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为 （ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。
高等数学下册试题及答案解析知识讲解
高等数学下册试题及答案解析高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y 的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim 2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
高等数学(下册)试题及详细解答
高等数学2一．填空题(每小题3分，本大题满分30分)1．已知(1,2,3)a =，(3,2,1)b = ，则a b ⨯= (4,8,4)--.2．yOz 面上的抛物线21z y =-绕z 轴旋转一周所得曲面方程为221z x y =--.3．(,)(0,2)lim x y →=18. 4．对函数yz x =利用近似计算公式d z z ∆≈，则 2.02(1.04)≈ 1.08.5．曲线2211x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩上点(2,3,5)处的切线方程为35244y z x ---==.6．将下列函数展开成(1)x -的幂级数：13x =-101(1)2n n n x ∞+=-∑，(13x -<<). 7．微分方程xy y e -'+=的通解为y =()x e x C -+.8．微分方程690y y y '''-+=的通解为y =312()xC C x e +.9．设2x f xy '=，2y f x '=，则(1,2)(0,0)f f -=2.10．已知L 为球面2222x y z R ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周，则2d Ly s =⎰323R π.二．解答下列各题(每小题8分，本大题满分16分)1．已知(,)z f x y =是由方程2sin z z x y +=确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.解：令2(,,)sin F x y z z z x y =+-，则2x F xy =-，cos 1z F z =+， 2cos 1x z z F xyx F z ∂=-=∂+， 。
（5分）2222(cos 1)2(sin )(cos 1)x z y z xy z z x z ∂+-⋅-⋅=∂+ 22232(cos 1)4sin (cos 1)y z x y z z ++=+. 。
（8分） 2．求函数2(,)624ln f x y x y xy y =+--的极值.解：解方程组2204620x yf x y f x y '=-=⎧⎪⎨'=--=⎪⎩， 得驻点(1,1)，(2,2). 。
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高等数学II 试题
一、填空题（每小题3分，共计15分）
1．设(,)z f x y =由方程xz
xy yz e -+=确定，则 z
x ∂=
∂ 。
2．函数
23
2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。
3．L 为圆周224x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 2
2= 。
4．已知曲线23
,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则
点P 的坐标为 或 。
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为
210()01x f x x x -<≤⎧=⎨
<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分120
1(,)x
I dx f x y dy
-=⎰⎰
的积分顺序。
2．计算二重积分D
，其中D 是由y 轴及圆周
22
(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。
3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域，试将三重
积分
222()I f x y z dxdydz
Ω
=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分。
4．设曲线积分[()]()x
L
f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连
续导数，且(0)1f =，求()f x 。
5．求微分方程2x
y y y e -'''-+=的通解。
三、(10分)计算曲面积分
2
y dzdx zdxdy
∑
+⎰⎰，其中∑是球面
2224(0)x y z z ++=≥的上侧。
四、(10分)计算三重积分
()x y z dxdydz
Ω
++⎰⎰⎰，其中Ω由22
z x y =+与1
z =围成的区域。
五、(10分)求22
1z x y =++在1y x =-下的极值。
六、(10分)求有抛物面22
1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
七、(10分)求幂级数113n n
n x n -∞
=∑的收敛区间与和函数。
高等数学II 试题解答
一、填空题（每小题3分，共计15分）
1．设(,)z f x y =由方程xz
xy yz e -+=确定，则 z x ∂=∂xz xz
xe y ze
y --++-。
2．函数
23
2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =(4,0,-12) 的方向导数最大。
3．L 为圆周2
2
4x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+L ds
y x 22=8π。
4．已知曲线23
,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则
点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)
3927--。
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为
210()01x f x x x -<≤⎧=⎨
<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）
6．设) ,(y x f
连续，交换二次积分
120
1(,)x
I dx f x y dy
-=⎰⎰
的积分顺序。
解：
120
11
2
20
10
(,)(,)(,)x
y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx
--==+⎰⎰
⎰⎰⎰
7
．计算二重积分
D
，其中D 是由y 轴及圆周
22
(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。
解：
2sin 220
16
9D
d r dr π
θ
θ==
⎰⎰
8．设Ω
是由球面z =
与锥面z =围成的区域，试将三重
积分
222()I f x y z dxdydz
Ω
=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分。
解：
()
()
dr
r r f d d dxdydz
z y x f I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=Ω
40
1
2220
222sin π
π
φφθ
9．设曲线积分[()]()x
L
f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连
续导数，且(0)1f =，求()f x 。
解：[()]x
P f x e y =-，()Q f x =-。
由[()]()x L f x e ydx f x dy
--⎰与路径无关，
得x y Q P ''=，即()()0x f x f x e '+-=。
解微分方程x y y e '+=，得其通解
12x x y ce e -=+。
又(0)1f =，得21=c 。
故x
x e e x f 21
21)(+=-
10． 求微分方程2x
y y y e -'''-+=的通解。
解：20y y y '''-+=的通解为12()x
y c c x e =+。
设原方程的一个特解*x
y ce -=，代入原方程，得
1
4c =。
其通解为
121
()4x x
y c c x e e -=++
三、(10分)计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰
，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧。
解：补上
22
1:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
1
1
2
22..............2(21)0............................................3216160.........................333y dzdx zdxdy y dzdx zdxdy y dzdx zdxdy y dxdydz ydxdydz dxdydz
ππ
∑
∑+∑∑Ω
Ω
Ω
+=+-+=+-=+=+
=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性
分
分分
四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中Ω由22
z x y =+与1
z =围成的区域。
解：
2211
()...........................200.. (83)
r
x y z dxdydz
xdxdydz ydxdydz zdxdydz zdxdydz d rdr zdz ππ
θΩ
Ω
Ω
Ω
Ω
++=++=++==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对称性
分
分
五、(10分)求22
1z x y =++在1y x =-下的极值。
解：
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令420z x '=-=，得
12x =。
40z ''=>，1
2x =为极小值点。
故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)
22，极小值为32。
六、(10分)求有抛物面22
1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
解：
22
1 (0)z x y z =-->的面积为
2211
21
.............4............................2x y S dS d π
θ∑+≤==
==
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰分
分
分
平面0z =部分的面积为π。
故立体的表面积为π
+。
七、(10分)求幂级数113n n
n x n -∞
=∑的收敛区间与和函数。
解：收敛区间为[3,3)-。
设11()3n n n x s x n -∞
==∑，
1111
(())()333n n n n
n n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑。
故⎪⎩⎪⎨
⎧=≠--=0
31
0)
3ln(1
3ln )(x x x x x x s 。