2017年高考数学试题分类汇编F单元 平面向量
浅议数学高考中的平面向量问题_以近几年江苏高考题为例_陆修群
A→B + A→C = （ a + b，－ 4） ． ∵ | A→B + A→C | = 5， ∴ （ a + b） 2 + 16 = 25，∴ a + b = ± 3． 当 a + b = 3 时， A→B·A→C = ab + 3 = a（ 3 － a） + 3
的研究
例 1 （ 2016 年江苏高 考 题） 如 图 1，在
ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两
个三等分点，B→A·C→A = 4，B→F·C→F = － 1，则B→E
·C→E 的值是
．
解法 1 向量基底法： B→A·C→A
( ) ( ) = 1 B→C － A→D · － 1 B→C － A→D
高中数学教与学 ○解题研究○
2018 年
浅议数学高考中的平面向量问题
———以近几年江苏高考题为例
陆修群
（ 江苏省如东县丰利中学，226408）
纵观近几年的江苏高考数学试卷，试题的
难度和题型基本趋与平稳，平面向量这一知识
点成了高考考查的热点． 经过对这几年高考中
平面向量考题的分析，我们不难发现考题基本
－ a2
= － 1，
解得 b2
+ c2
=
45 8
，a2
=
13 ． 8
所以B→E·C→E
=
4b2 9
+ 4c2 9
－
a2
=
7 8
．
在封闭图形中，研究向量的数量积，最重
全国通用2017届高考数学一轮总复习5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标表示课件理
A 突破方法B
方法1 关于平面向量的线性运算
平面向量基本定理的实质是向量的线性表示,即向量的分解.代数形式下,充分利用向量的 加法、减法、数乘运算;几何形式下,充分利用平面几何的一些定理来实现.
N C 例1 (2015四川绵阳一诊,14)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且1 = ,BN与CM相交
理数
§5.1 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理及坐标表示
A 知识清单B
一、向量的基本概念
1.单位向量
模为1个单位长度的向量叫做单位向量,常用e表示,其他的表示方法:i,
j,k, x , y,
,(cos θ,sin θ)等.
x2y2 x2y2
2.平行(共线)向量
方向相同或相反的非零向量a、b叫做 平行向量 ,也叫做 共线向量 ,记作a∥b.规定0与任 一向量平行.
3.相等向量
长度相等且 方向相同 的向量叫做相等向量,记作a=b.
4.相反向量
长度相等且 方向相反 的向量叫做相反向量.a的相反向量为-a.
有-(-a)=a.规定:0的相反向量是0. 二、向量的线性运算 1.向量的加法 法则:三角形法则或平行四边形法则. 交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法 向量减法:a与b的相反向量相加叫做a与b的差,记作a-b=a+(-b). 法则:三角形法则或平行四边形法则. 注意:等式|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)的几何意义:平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边 的平方和. 3.实数与向量的乘积 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ< 0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa的方向是任意的. 结合律:λ(μa)=(λμ)a;第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入2 文
第二节 平面向量的数量积及其应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°2.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形,AB →＝(1,－2), AD →＝(2,1),则AD →·AC →＝( )A.5B.4C.3D.2 3.(2015·陕西，8)对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．|a ·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 24.(2015·重庆，7)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.5π65.(2015·福建，7)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A.－32 B.－53 C.53 D.326.(2015·湖南，9)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．97.(2014·安徽，10)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3B.π3C.π6D ．08.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27 ]D ．[7－1，7＋1]9.(2014·山东，7)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m＝( ) A.2 3 B. 3 C.0D.－ 310.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.511.(2016·新课标全国Ⅰ，13)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 12.(2016·山东，13)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4).若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________.13.(2016·北京，9)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________. 14.(2015·湖北，11)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.15.(2015·浙江，13)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.16.(2015·江苏，14)设向量a k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos k π6，sin k π6＋cos k π6(k ＝0,1,2，…，12)，则∑k ＝011(a k ·a k＋1)的值为________．17.(2015·天津，13)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．18．(2014·重庆，12)已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.19.(2014·四川，14)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝______.20.(2014·陕西，18)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2，3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·晋冀豫三省一调)已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C.2 5D.102.(2016·江西赣州摸底)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π).若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( ) A.1 B.－1 C. 3D.223.(2016·山西质量监测)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，CA →在CB →方向上的投影为( ) A.－3 B.－ 3 C. 3D.34.(2015·唐山一中高三期中)若a ，b ，c 均为单位向量，a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是( ) A.2 B. 3 C. 2D.15.(2015·山西大学附中月考)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求θ的值.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.答案 A2.解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 答案 A3.解析 对于A ，由|a ·b |＝||a ||b | cos 〈a ，b 〉|≤|a ||b |恒成立； 对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立； 对于C 、D 容易判断恒成立．故选B. 答案 B4.解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0， 即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos〈a ，b 〉＝0，即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0， 所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为23π.答案 C5.解析 c ＝a ＋k b ＝(1，2)＋k (1，1)＝(1＋k ，2＋k )，∵b ⊥c ，∴b ·c ＝(1，1)·(1＋k ，2＋k )＝1＋k ＋2＋k ＝3＋2k ＝0， ∴k ＝－32，故选A.答案 A6.解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ， ∴线段AC 为圆的直径， 故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0).设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )， ∴PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )，|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37， ∴当x ＝－1时，此式有最大值49＝7，故选B. 答案 B7.解析 设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 答案 B8.解析 设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1，OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， 故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值为（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝7＋1，最小值为（3－1）2＋（0＋3）2－1＝7－1， 故取值范围为[7－1，7＋1]． 答案 D9.解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2， 两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意． 答案 B10.解析 因为|a ＋b |＝10， 所以|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a·b ＋b 2＝10. ① 又因为|a －b|＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6. ② 由①－②得4a·b ＝4， 即a·b ＝1，故选A. 答案 A11.解析 由题意，得a ·b ＝0⇒x ＋2(x ＋1)＝0⇒x ＝－23.答案 －2312.解析 ∵a ⊥(t a ＋b )，∴t a 2＋a ·b ＝0，又∵a 2＝2，a ·b ＝10，∴2t ＋10＝0， ∴t ＝－5. 答案 －513.解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝1×3＋1×312＋（3）2·12＋（3）2＝234＝32， 所以θ＝π6.答案 π614.解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9. 答案 915.解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0， 所以b ⊥(e 1－e 2)，所以b 与e 1的夹角为30°， 所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝233.答案 23316.解析 ∵a k ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6， ∴a k ·a k ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos k π6，sink π6＋cosk π6·⎝⎛⎭⎪⎫cosk ＋16π，sin k ＋16π＋cos k ＋16π ＝cosk π6·cosk ＋16π＋⎝⎛⎭⎪⎫sink π6＋cosk π6·⎝⎛⎭⎪⎫sink ＋16π＋cos k ＋16π ＝32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π. 故1111100k k k k a a +==⋅=∑∑⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π6＋12cos 2k ＋16π＋sin 2k ＋16π ＝32110k =∑cos π6＋12110k =∑cos 2k ＋16π＋110k =∑sin 2k ＋16π. 由11k =∑cos 2k ＋16π＝0，11k =∑sin 2k ＋16π＝0，得∑k ＝011 a k ·a k ＋1＝32cos π6×12＝9 3.答案 9 317.解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， ∴CD ＝1.AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×1×cos 60°＋23×16×cos 120°＝2918. 答案 291818.解析 因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， 又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a·b ＝|a|·|b|·cos 60°＝210×10×12＝10.答案 1019.解析 由已知可以得到c ＝(m ＋4，2m ＋2)，且cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉， 所以c·a |c|·|a|＝c ·b|c|·|b|，即m ＋4＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×12＋22＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）（m ＋4）2＋（2m ＋2）2×42＋22， 即5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案 220.解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减得，m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1， 故m －n 的最大值为1.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ， 所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2， 所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.答案 B2.解析 设a 与b 的夹角为θ，由|a ·b |＝|a ||b |，得|cos θ|＝1， 所以向量a 与b 共线，则sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x . 又x ∈(0，π)，所以2cos x ＝2sin x ，即tan x ＝1. 答案 A3.解析 由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →， ∴四边形OBAC 为平行四边形.又|OA →|＝|AB →|，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形. ∴∠ACB ＝π6，∴三角形OAB 为正三角形. ∵外接圆的半径为2，∴CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝ 3.故选C.答案 C4.解析 由c ·c ＝(x a ＋y b )·(x a ＋y b )＝x 2＋y 2－xy ＝1，得(x ＋y )2－1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，故(x ＋y )max ＝2. 答案 A5.解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5， 从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4， 即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4，所以θ＝π2或θ＝3π4.。
高考数学复习知识点专题讲解25---平面向量高考选择填空压轴题专练(培优版)
，∴
t
=
1 4
(1−
m)
，
解
得
m
=
3 7
，∴
4
1 2
(1
−
t
)
=
m
t
=
1 7
OM
=
1 7
OA +
3 OB 7
，设 OM
=
xOE
+
yOF
=
xλOA +
yµOB
，则
xλ
yµ
= =
1 7 3 7
7x ，即 7 y
= =
1 λ 3 µ
，
即
1 λ
+
3 µ
=
7
，故
λ
+
µ
=
1 7
(λ
+
µ )
1 λ
=
2 λ
,
PF PD
=
λ
λ +
2
,故选
A.
uuur uuur 7．由点 P 向圆 O ：x2 + y2 = 2 引两条切线，切点为 A ，B ，则 PA⋅ PB 的最小值是（ ）
A． 4 2-6
B． 2 2 − 3
C． 3 − 2 2
D． 6 − 4 2
【答案】A
【解析】
设
OP = x
，
则
PA2 = x 2 − 2
P(x , y) ,
uuur 由已知 AP
=
1 ，得 ( x
−
2)2
+
y2
=
1 ，又
uuuur PM
=
uuuur MC
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入2 理
第二节 平面向量的数量积及其应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·四川，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23342.(2016·山东，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－943.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°4.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6 D.85.(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2 B.－34a 2 C.34a 2 D.32a 26.(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →7.(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A.20B. 15C.9D.68.(2015·福建，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.219.(2015·重庆，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D.π10.(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 211.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.512.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2213.(2014·天津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71214.(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.15.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.16.(2015·浙江，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.17.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.18.(2014·北京，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.19.(2014·江西，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.20.(2014·湖北，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.21.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西四校联考)△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1,若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32C.3D.－322.(2015·宁夏银川一中三模)已知正三角形ABC 的边长是3,D 是BC 上的点,BD ＝1,则AD →·BC →＝( )A.－92B.－32C.152D.523.(2016·辽宁大连模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π34.(2016·广东三门模拟)若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( )A.|2a |＞|2a ＋b |B.|2a |＜|2a ＋b |C.|2b |＜|a ＋2b |D.|2b |＞|a ＋2b |5.(2015·河南洛阳模拟)已知向量OB →＝(2，0)，向量OC →＝(2，2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π12 6.(2015·广东实验中学测试)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0且AB→|AB →|·AC→|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形7.(2016·福建漳州模拟)已知a ·b ＝0，|a ＋b |＝t |a |，若a ＋b 与a －b 的夹角为2π3，则t的值为________.8.(2016·山东实验中学二模)如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →.(1)利用NM →∥MP →，把y 用x 表示出来(即求y ＝f (x )的解析式)；(2)设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足S n ＝f (S n －1)(n ≥2且n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.9.(2016·四川雅安模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，a ＞b ，求a ，b 的值.10.(2015·四川乐山模拟)已知向量a ，b 满足：|a |＝13，|b |＝1，|a －5b |≤12，则b 在a 上的投影的取值范围是________.11.(2015·泰州市高三期末)在梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，|BC →|＝6，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足AP →＋BP →＋4DP →＝0，DA →·CB →＝|DA →|·|DP →|，Q 为边AD 上的一个动点，则|PQ →|的最小值为________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.B [由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ， 同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494， 当θ＝23π时，| |2取得最大值494.故选B.2. B [∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]3.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]4.D [由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]5.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]6.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.] 7.C [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]8.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]9.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]10.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]11.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,①同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ①－②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]12.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]13.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]14.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]15.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF→＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.] 16.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 17.解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.18. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]19.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]20.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]21.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.A [△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处,因此△ABC 是直角三角形,且∠A ＝π2.又因为|OA →|＝|CA →|,∴∠C ＝π3,∠B ＝π6,∴AB ＝3,AC ＝1,故BA →在BC →方向上的投影|BA →|cosπ6＝32.] 2.B [由余弦定理得：AD 2＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，∴AD ＝7， ∴cos ∠ADB ＝1＋7－92×1×7＝－714，∴AD →·BC →＝7×3×cos ∠ADB ＝37×⎝ ⎛⎭⎪⎫－714＝－32.故选B.]3.D [由|a ＋b |＝|a －b |可知a ⊥b ,设AB →＝b ,AD →＝a ,作矩形ABCD ，可知AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .设AC 与BD 的交点为O ，结合题意可知OA ＝OD ＝AD ，∴∠AOD ＝π3，∴∠DOC ＝2π3， 又向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角，故所求夹角为2π3，故选D.]4.D [因为|a ＋b |＝|b |，则|a ＋b |2＝|b |2，即a 2＋2a ·b ＝0，所以a ·b ＜0，因为|a＋2b |2－|2b |2＝a 2＋4a ·b ＜0，故选D.]5.B [由题知点A 在以C (2，2)为圆心，2为半径的圆上，设OD ,OE 为圆的切线,在△COD 中,OC ＝22,CD ＝2,∠CDO ＝π2,所以∠COD ＝π6,又因为∠COB ＝π4，所以当A 在D 处时，则OA →与OB →夹角最小为π4－π6＝π12，当A 在E 处时，则OA →与OB →夹角最大为π4＋π6＝5π12，∴OA →与OB →夹角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12，∴故答案为B.]6.D [设∠BAC 的角平分线为AD ，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|＝λAD →.由已知得AD ⊥BC ，∴△ABC 为等腰三角形.又cos A ＝12，∴A ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，故选D.]7.2 [∵a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝|a －b |，又|a ＋b |＝t |a |，∴a 2＋b 2＝t 2a 2，t >0， ∴b 2＝(t 2－1)a 2，t >1，由向量夹角公式得：cos 2π3＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2t 2a 2＝2－t2t2＝-12， 解得t ＝2或t ＝－2(舍去).] 8.解 (1)∵OP →＝AB →＝OB →－OA →， ∴MP →＝OP →－OM →＝－(1＋x )OA →＋OB →， ∵NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →，NM →∥MP →， ∴x －y (1＋x )＝0，∴y ＝xx ＋1(x >0).即函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝x1＋x(x >0). (2)当n ≥2时，由S n ＝f (S n －1)＝S n －1S n －1＋1得1S n －1S n －1＝1，又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项和公差都为1的等差数列，则1S n ＝n ，即S n ＝1n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －n 2， n ＝1时，a 1＝1不满足上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，1n －n2，n ≥2.9.解(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x ·cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z .得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，(k ∈Z ).(2)由(1)知f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32，结合c ＝1，ab ＝23，可得a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，∴⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，又a ＞b ，∴a ＝2，b ＝ 3.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤513，1 [由已知得|a -5b |2≤144,又|a |＝13,|b |＝1，所以169-10a ·b ＋25≤144,所以a ·b ≥5,所以b 在a 上的投影|b |·cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a |≥513，又cos 〈a ,b 〉≤1，所以b 在a 上的投影取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤513，1.] 11.423[取AB 的中点E ，连接PE ，∵AB →＝2DC →，AB →＝2EB →，∴DC →＝EB →，∴四边形DEBC 为平行四边形，∴DE →＝CB →，∵AP →＋BP →＝－2PE →，AP →＋BP →＋4DP →＝0，∴PE →＝2DP →.∵|BC →|＝6.∴|DP →|＝2，|PE →|＝4，设∠ADP ＝θ，∵DA →·CB →＝|DA →|·|DP →|， ∴DA →·CB →＝|DA →||CB →|cos θ＝|DA →|·|DP →|，∴cos θ＝13，∴sin θ＝223，当PQ →⊥AD →时，|PQ →|最小，∴|PQ →|＝|DP →|sin θ＝2×223＝423，故答案为：423.]。
专题09 平面向量【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(解析版)
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题09平面向量一、选择题1．(2022年全国乙卷理科·第3题)已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=，则a b ⋅= ()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 解析：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2022年全国乙卷理科·第3题2．(2022新高考全国II 卷·第4题)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =( )A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C解析：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =． 故选C ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2022新高考全国II 卷·第4题3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =( )A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +【答案】B 解析：因点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=-，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+． 故选：B ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理【题目来源】2022新高考全国I 卷·第3题4．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范用是 ( )A ．()2,6-B ．(6,2)-C ．(2,4)-D ．(4,6)-【答案】A解析：AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，故选：A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年新高考I 卷(山东卷)·第7题5．(2020新高考II 卷(海南卷)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB =( )A ．2CD CA +B ．2CD CA -C ．2CD CA - D ．2CD CA +【答案】C解析：()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-= 【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\向量的线性运算 【题目来源】2020新高考II 卷(海南卷)·第3题6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6题7．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴()22131BC t =+-=，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第3题8．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅，所以,3a b π=．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的垂直问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第7题9．(2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512510.618-≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】 答案：B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．【题目栏目】平面向量\线段的定比分点问题【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅲ卷理科·第4题10．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第4题11．(2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + c d ab 头顶咽喉肚脐足底【答案】A解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅲ(理)·第6题12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( )A ．B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+3252A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC ∆225BD AB AD =+=1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△1125125225CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=25251,2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()25251,2sin ,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线(即)与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线的距离相等，均为而此时点到直线251551sin 5λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2552cos 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++25sin ϕ=5cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =22125BD =+1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△55CE =P FH DB λμ+A BD C BD 55A FH 2525256522r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，655325AFAB ==λμ+3P λμ+AG x AB y AD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 5()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离， ，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤21514z -≤+13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =22125BD +=BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C 255P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0022552155x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0151cos 25x μθ==+02155y λθ==(其中，) 当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法2225151552552()())552sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+++=++≤5sin 5ϕ=25cos 5ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP ()0,3OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),,3PO PA x y x y⋅=--⋅--222233324PO PA x y y x y ⎛⎫⋅=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-∵，∴由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题 14．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( ) A ．30︒ B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A. 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．82PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PAPO PA AOPA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题16．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则( )A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算【题目栏目】平面向量\平面向量的基本定理 【题目来源】2015高考数学新课标1理科·第7题17．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a -，则a b=( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：(1)平面向量的模；(2)平面向量的数量积 难度：B备注：常考题【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标2理科·第3题 二、多选题18．(2021年新高考Ⅲ卷·第10题)已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则 ( )A ．12OP OP =B ．12AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC106⋅解析:A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-，故12||||OP OP =，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+22cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin αβαββαββαβ=--- cos cos2sin sin 2cos(2)αβαβαβ=-=+，错误；故选AC ．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年新高考Ⅲ卷·第10题 三、填空题19．(2022年全国甲卷理科·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a =，3b =，则()2a b b +⋅=_________． 【答案】11解析：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a =，3b =，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=． 故答案为：11．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2022年全国甲卷理科·第13题20．(2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题)已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．【答案】92-解析:由已知可得()()()22222920a b ca b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=，因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．故答案为：92-．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用【题目来源】2021年新高考全国Ⅲ卷·第15题21．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2021年高考全国乙卷理科·第14题22．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第14题23．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b ==所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 【题目栏目】平面向量\平面向量的综合应用 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14题24．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________． 【答案】22解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =． 2． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题25．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的夹角问题 【题目来源】2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题26．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ． 【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b + 所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算【题目来源】2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题27．(2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题)已知向量,的夹角为,,,则__________． 【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行a b 60︒2a =1b =2a b +=23222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +23()2,0a =13,22b ⎛= ⎝⎭()((22,033a b +=+=()2223323a b +=+=解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的模长问题 【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅲ卷理科·第13题28．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ．【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-．【题目栏目】平面向量\平面向量的坐标运算 【题目来源】2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第13题29．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线．【题目栏目】平面向量\平面向量的概念与线性运算\平面向量的共线问题【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第13题30．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______． 【答案】 解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想 难度:B备注:高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2014高考数学课标1理科·第15题31．(2013高考数学新课标2理科·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD⋅＝________．1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：(1)5．1．2向量的线性运算；(2)5．3．1平面向量的数量积运算 难度： A备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标2理科·第13题32．(2013高考数学新课标1理科·第13题)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____． 【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1)5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点【题目栏目】平面向量\平面向量的数量积\平面向量的数量积运算 【题目来源】2013高考数学新课标1理科·第13题。
全国通用2017届高考数学一轮总复习第五章平面向量解三角形5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本
式特征,应学会利用这一点来构造函数或方程,以便用函数或方程的思想解题.
例3 (2015广东六校联考(三))已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),| B C|=2|
A C|,则向量 O的B 坐标是
.
解析 由点C是线段AB上一点,| B C|=2| A|,得C =B-2C .设A点C B为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2),即
一向量平行.
3.相等向量
长度相等且 方向相同 的向量叫做相等向量,记作a=b.
4.相反向量
长度相等且 方向相反 的向量叫做相反向量.a的相反向量为-a.
有-(-a)=a.规定:0的相反向量是0. 二、向量的线性运算 1.向量的加法 法则:三角形法则或平行四边形法则. 交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法 向量减法:a与b的相反向量相加叫做a与b的差,记作a-b=a+(-b). 法则:三角形法则或平行四边形法则. 注意:等式|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)的几何意义:平行四边形两条对角线的平方和等于它的四条边 的平方和. 3.实数与向量的乘积 实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa.规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ< 0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa的方向是任意的. 结合律:λ(μa)=(λμ)a;第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
+n (m,n∈R),则
AD
m 的值是
.
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第五章平面向量、数系的扩充与复数的引入3文
1.(2016 •新课标全国I,A. —3C.22.(2016 •新课标全国n,A. —1 + 2iC.3 + 2i3.(2016 -新课标全国川,A.14.(2016 -四川,A.0C.2i5.(2016 -北京,A.iC. —i6.(2016 -山东,A.1 + iC. —1 + i7. (2015 •福建,等于()A.3 , —2C.3 , —38. (2015 •湖北,A.iC.1 第三节数系的扩充与复数的引入A组三年高考真题(2016〜2014年)1)设i2)设(1 + 2i)( a+ i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )B. —2D.32)设复数z满足z+ i = 3—i，则z=(B.1 —2iD.3 —2i2)若z= 4+ 3i，则 =()为虚数单位，则复数1 + 2i2)复数=( ) 2)若复数z = 1——7，其中B. —1D.4—5 5(1 + i) 2=(B.2D.2 + 2iB.1 + iD.1 —i为虚数单位，则B.1 —iD. —1—i1)若(1 + i) + (2 —3i) = a+ b i( a, b€ R, iB.3,2D. —1,4是虚数单位)，则a, b的值分别1)i为虚数单位，i 607=(B.D.9. (2015 •新课标全国I, 3)已知复数z满足(z —1)i = 1 + i，则z =( )C.3 + iA.1 + iC. — 1 + iA. — i C. — 1A. — 2-iB.C.2 — iD.2 2 + a i 10. (2015 •新课标全国n, 2)若a 为实数，且 = 3 + i ，则a =( )A. — 4B.C.3D.4 11. (2015 •山东, z 2)若复数z 满足1—y = i ，其中i 为虚数单位，则 A.1 — i B.1 C. — 1 — iD. 12. (2015 •安徽, 1)设i 是虚数单位，则复数(1 — i)(1 + 2i)=( A.3 + 3i B. —1 + 3i13. (2015 •湖南,2“ (1— i )1)已知z 1 + i(i 为虚数单位), 则复数 z =()14. (2014 •安徽, 1)设i 是虚数单位, 复数2i +市=(15. (2014 •新课标全国I,则 I z | =( 1 A. B.¥D.216. (2014 •新课标全国n, A.1 + 2i B. — 1 + 2i C.1 — 2iD. — 1 —2i17. (2014 •福建，2)复数(3 + 2i)i 等于() A. — 2— 3i B. — 2+ 3i C.2 — 3i D.2 + 3i 18. (2014 •湖北，2)i 为虚数单位,=(D.B.1 D.B.i D.11.（2016 •四川宜宾第一次适应性测试 ）若复数z =B. T o C 迈C. 2 2.（2016 •长春市质检三）设复数z = 1 + i （i 为虚数单位），则Z + z 2A.1 + i C. — 1 — i3. （2016 •江西九校联考）若复数（1 + mi ）（3 + i ）（i 是虚数单位，m 是实数）是纯虚数，则复数m + 2i苜的模等于（）A.2A.1B. —1C.iD. —i19. (2014 • 广东， 2）已知复数z 满足（3 — 4i ） z 一 25,则 z - ( )A. — 3— 4iB. — 3+ 4iC.3 — 4iD.3 + 4i20. (2014 • 陕西， 3）已知复数z = 2— i ，贝U z • "z 的值为（ ）A.5B.5C.3D.321. (2014 • 山东， 1)已知 a , b € R , i 是虚数单位•若 a + i = 2— b i ，则(a + b i) 2=(A.3 — 4iB.3 + 4iC.4 — 3iD.4+ 3i22. (2014 •重庆，1）实部为一2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限23. (2015 •北京， 9）复数i （1 + i ）的实部为 • 24. (2015 •重庆， 11）复数（1 + 2i ）i 的实部为 •25. (2015 •江苏，3)设复数z 满足z = 3+ 4i(i 是虚数单位），则z 的模为- 1 — 2i26. (2015 • 天津， 9）i 是虚数单位，计算2+i-的结果为27. (2014 • 浙江， 11）已知i 是虚数单位，计算 1 — i 2—一 ,,2 — 2i1 +28. (2014 四12)复数...一 .(2016 〜2015 年)纭，则|z | =（B.1 — i D. — 1 + iA.1D.3B.34. （2015 •湖南十二校联考）复数1+#i 2（i是虚数单位）的共轭复数为（等于合案精析B.2 — ^2 2D.—-——3i2 25.（2015 •郑州模拟）设i是虚数单位，复数占对应的点在（A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.（2015 •四川省统考）设复数z=—1 —i（i 为虚数单位），z的共轭复数为A. —1 —B. —2 + i2iC. —1 + 2iD.1 + 2i7.（2015 •潍坊一模）若复数z满足z（1 + i）=2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（A.(1 , 1)B.(1，—1)C.( —D.( —1,—1)1, 1)8.（2015 •河南六市联考）已知复数z满足（1 + i）z = 1 + 3i（i 是虚数单位），则|z| =A组三年高考真题(2016〜2014年)1.解析•/ (1 + 2i)( a+ i) = a—2+ (2a+ 1)i ,••• a —2= 2a + 1,解得a=—3,故选A.答案A2.解析由z + i = 3 —i，得z= 3 —2i ,• z = 3 + 2i，故选 C.答案C&丄l z 4 33.解析z = 4+ 3i , | z| = 5, = —~i.| z| 5 5答案D代-2+ T i C.2+*2 2 24. 解析(1 + i) = 1 + i + 2i = 1 — 1 + 2i = 2i. 答案C”，1 + 2i (1 + 2i )( 2 + i ) 5i 5. 解析 ~2—~ = ( 2— i )( 2+ i )= y =i.答案A2 (1 + i )—,6. 解析 T z = —( 1 + i )= 1 + i ,••• z = 1 — i ，故选 B.答案B7. 解析(1 + i) + (2 — 3i) = 3— 2i = a + b i , • a = 3, b =— 2，故选 A. 答案A8. 解析 方法一 i 607= i 4X 151+3= i 3=— i.故选 B..608. 4 X 152方法二 i 6°7= == -=— i.故选 B.ii i答案B9. 解析 由(z — 1)i = 1 + i ，两边同乘以一i ，则有z — 1 = 1 — i ，所以z = 2 — i. 答案C2+ a i10. 解析 由〒+厂=3+ i ，得 2+ a i = (3 + i)(1 + i) = 2+ 4i ,即 a i = 4i因为a 为实数，所以a = 4.故选D.答案D 11.解析z肓=i ，• z = K 1 —i)=i — i 2 = 1 + i ,• z = 1 — i.答案A12.解析 (1 —i)(1 + 2i) =1 + 2i — i 2—2i = 1+ i + 2 = 3+ i ，故选 C.答案C13.解析2(1 —i )z 1+i 知，z=2(1 —i )= —1 —i.故选D.1 + i答案D14.解析+ i(1 —i) = 1. 答案D15.解析1—i1i+T+ i= (1 + i )•( 1—i ) + i= ~2则| z| = (1) 2+( 2)乞宁，选 B.答案B2 16. 解析苦=(=))(舄=-1 + 2i ，故选B. 答案B17. 解析 复数 z = (3 + 2i)i =- 2+ 3i ，故选 B. 答案B18. 解析吕 2=-2- = - 1，选 B.答案B答案D20. 解析•/ z = 2— i ,, ,2 ^2 “2 ■ z • z = | z | = 2 + 1 = 5.答案A21. 解析 由 a + i = 2— b i 可得 a = 2, b =— 1,2 2则(a + b i) = (2 — i) = 3—4i. 答案A22.解析实部为—2,虚部为1的复数为—2 + i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选 B.答案B23. 解析 i(1 + i) = i + i 2=— 1 + i ，实部为—1. 答案—124. 解析(1 + 2i)i = i + 2i 2 =— 2+ i ，其实部为—2. 答案—225. 解析•/ z = 3+ 4i , .| z | 2= |3 + 4i| = 5,即 |z | = .5.答案.519.解析 由(3 — 4i) z = 25? z =253— 4i 25 (3+ 4i ) (3 — 4i )( 3+ 4i )=3+ 4i ，选 D.26.解析1 —2i 2+i (1 — 2i ) i(2 + i ) i(1 — 2i ) i —1 + 2i答案—i27.解析1 — i 1 — i2 —(1+ i ) 2i(1 — i ) i —2答案 28.解析 2— 2i 1+ i(2— 2i )( 1 — i ) (1 + i )( 1 — i )22+ 2i — 4i1— i 2—4i=—2i.答案—2i2B 组 两年模拟精选(2016〜2015年)(2 — i )( 1 — i ) 1 — 3i 1 3.「z= (1 + i )( 1 — i ) =丁 = 2 — 2i ，|z| =2卜(1 + i) 2= 1 — i + 2i = 1 + i.答案A3. 解析 因为(1 + ni)(3 + i) = 3 —耐(3耐1)i 是纯虚数, 所以3— m ^ 0且3m ^ 1工0,得 m= 3,答案D答案D答案A 6.解析••• z = — 1 + i , I = = — 1 + 2i.答案C所以z 对应的点的坐标是(1 , 1). 答案A8.解析 z =冒,|z | = |「=1 + i | | 11 + i 1答案 2答案C2.解析 2i 7.解析由 z(1 +i) = 2i ，可得 z =亓 i (1+ i ) 2i (1 — i )(1 — i )2 + 2i丁 = 1 +i ，1.解析.2 2''z +z = 1+ i故复数的模为1—i4.解析5.解析 由 1+T 得(1+ i )( 1 — i ) 1 + i兀，其对应的点在第一象限.故选A.2= 2.|1 + il — .2由题意知, —1 + #i ，其共轭复数为—。
专题09 平面向量(原卷版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅=．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．54．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．18．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．19．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B 1717C 55D 25511．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．4512．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．215．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+ ．若a b ⊥ ，则m =．16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =PA PD ⋅的最大值为（）A ．122B ．1222+C ．12D ．2220．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠=，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b ==，用,a b表示AE =；若13BF BC = ，则AE AF ⋅的最大值为．。
三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入3 文
第三节 数系的扩充与复数的引入A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，2)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A.－3 B.－2 C.2D.32.(2016·新课标全国Ⅱ，2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( ) A.－1＋2i B.1－2i C.3＋2iD.3－2i3.(2016·新课标全国Ⅲ，2)若z ＝4＋3i ，则z－|z |＝( )A.1B.－1C.45＋35i D.45－35i 4.(2016·四川，1)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A.0 B.2 C.2iD.2＋2i5.(2016·北京，2)复数1＋2i2－i ＝( )A.iB.1＋iC.－iD.1－i 6.(2016·山东，2)若复数z ＝21－i，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i7.(2015·福建，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( )A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4 8.(2015·湖北，1)i 为虚数单位，i 607＝( )A.iB.－iC.1D.－19.(2015·新课标全国Ⅰ，3)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i10.(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A.－4B.－3C.3D.411.(2015·山东，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A.1－i B.1＋i C.－1－i D.－1＋i12.(2015·安徽，1)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( ) A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i13.(2015·湖南，1)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i 14.(2014·安徽，1)设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i＝( ) A.－i B.i C.－1 D.1 15.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D.216.(2014·新课标全国Ⅱ，2)1＋3i1－i ＝( )A.1＋2iB.－1＋2iC.1－2iD.－1－2i17.(2014·福建，2)复数(3＋2i)i 等于( ) A.－2－3i B.－2＋3i C.2－3iD.2＋3i 18.(2014·湖北，2)i 为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A.1B.－1C.iD.－i 19.(2014·广东，2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A.－3－4i B.－3＋4i C.3－4iD.3＋4i20.(2014·陕西，3)已知复数z ＝2－i ，则z ·z 的值为( )A.5B. 5C.3D. 321.(2014·山东，1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( ) A.3－4i B.3＋4i C.4－3i D.4＋3i22.(2014·重庆，1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 23.(2015·北京，9)复数i(1＋i)的实部为________． 24.(2015·重庆，11)复数(1＋2i)i 的实部为________．25.(2015·江苏，3)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 26.(2015·天津，9)i 是虚数单位，计算1－2i2＋i 的结果为________．27.(2014·浙江，11)已知i 是虚数单位，计算1－i ＋2＝______.28.(2014·四川，12)复数2－2i1＋i＝________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川宜宾第一次适应性测试)若复数z ＝2－i1＋i ，则|z |＝( )A.1B.10C.102D.3 2.(2016·长春市质检三)设复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则2z＋z 2＝( )A.1＋iB.1－iC.－1－iD.－1＋i3.(2016·江西九校联考)若复数(1＋m i)(3＋i)(i 是虚数单位，m 是实数)是纯虚数，则复数m ＋2i1－i 的模等于( )A.2B.3C.132D.2624.(2015·湖南十二校联考)复数⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2(i 是虚数单位)的共轭复数为( )A.－12＋32iB.12－32iC.12＋32i D.－12－32i5.(2015·郑州模拟)设i 是虚数单位，复数i1＋i 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(2015·四川省统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则2－z－z等于( ) A.－1－2i B.－2＋i C.－1＋2iD.1＋2i7.(2015·潍坊一模)若复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) A.(1，1) B.(1，－1) C.(－1，1)D.(－1，－1)8.(2015·河南六市联考)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A. 答案 A2.解析 由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，∴z －＝3＋2i ，故选C. 答案 C3.解析 z ＝4＋3i ，|z |＝5，z －|z |＝45－35i. 答案 D4.解析 (1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i. 答案 C5.解析 1＋2i 2－i ＝（1＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5i5＝i.答案 A6.解析 ∵z ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ，∴z －＝1－i ，故选B.答案 B7.解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ，∴a ＝3，b ＝－2，故选A. 答案 A8.解析 方法一 i 607＝i4×151＋3＝i 3＝－i.故选B.方法二 i 607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i.故选B.答案 B9.解析 由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i. 答案C10.解析 由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D. 答案 D 11.解析 ∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i. 答案A12.解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C. 答案 C13.解析 由（1－i ）2z ＝1＋i 知，z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i.故选D.答案 D14.解析 i 3＋2i 1＋i ＝－i ＋i(1－i)＝1.答案 D15.解析 11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝（12）2＋（12）2＝22，选B. 答案 B16.解析 1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋2i ，故选B.答案 B17.解析 复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B. 答案 B18.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1，选B.答案 B19.解析 由(3－4i)z ＝25⇒z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i ，选D.答案 D20.解析 ∵z ＝2－i ， ∴z ·z ＝|z |2＝22＋12＝5. 答案 A21.解析 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1， 则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 答案 A22.解析 实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B. 答案 B23.解析 i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，实部为－1. 答案 －124.解析 (1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，其实部为－2. 答案 －225.解析 ∵z 2＝3＋4i ，∴|z |2＝|3＋4i|＝5，即|z |＝ 5. 答案 526.解析 1－2i 2＋i ＝（1－2i ）i （2＋i ）i ＝（1－2i ）i－1＋2i ＝－i.答案 －i27.解析 1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝－1－i2. 答案 －1－i228.解析 2－2i 1＋i ＝（2－2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2－4i 1－i 2＝－4i2＝－2i. 答案 －2iB 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 z ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 2＝12－32i ，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝102.答案 C2.解析 ∵z ＝1＋i ，∴2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i. 答案 A3.解析 因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数， 所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，故复数m ＋2i1－i 的模为|3＋2i 1－i |＝|3＋2i||1－i|＝32＋2212＋（－1）2＝262，选择D. 答案 D4.解析 由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 2＝14－34＋32i ＝－12＋32i ，其共轭复数为－12－32i.答案 D5.解析 由i 1＋i 得i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i2，其对应的点在第一象限.故选A.答案 A6.解析 ∵z ＝－1－i ，∴z －＝－1＋i ，2－z －z ＝2＋1－i－1－i＝－1＋2i.答案 C7.解析 由z (1＋i)＝2i ，可得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i ，所以z 对应的点的坐标是(1，1). 答案 A8.解析 z ＝1＋3i 1＋i ，|z |＝|1＋3i 1＋i |＝|1＋3i||1＋i|＝22＝ 2.答案 2。
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F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 11．F2[2017·山东卷] 已知向量a ＝(2,6),b ＝(－1,λ)．若a ∥b ,则λ＝________． 11．－3 [解析] 由a ∥b 得2λ－(－1)×6＝0,解得λ＝－3.12．F2、F3[2017·北京卷] 已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上,点A 的坐标为(－2,0),O 为原点,则AO →·AP →的最大值为________．12．6 [解析] 设P (x 1,y 1)．因为AO →＝(2,0),AP →＝(x 1＋2,y 1),所以AO →·AP →＝2(x 1＋2)＝2x 1＋4.由题意可知－1≤x 1≤1,所以2≤2x 1＋4≤6,故AO →·AP →的最大值为6.12．F2、F3[2017·江苏卷] 如图1-3,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tan α＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R ),则m ＋n ＝________.图1-312．3 [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝7，sin 2α＋cos 2α＝1，α∈[0，π]，解得cos α＝210,即cos α＝OA →·OC →|OA →|·|OC →|＝OA →·（mOA →＋nOB →）2＝m ＋nOA →·OB →2＝210.①又OB →与OC →的夹角为45°,所以22＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝mOB →·OA →＋n 2.②又易知cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝210×22－7210×22＝－35, 即OA →·OB →＝－35,代入①②可得⎩⎨⎧m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，即25m ＋25n ＝65,故m ＋n ＝3.F3 平面向量的数量积及应用12．F2、F3[2017·江苏卷] 如图1-3,在同一个平面内,向量OA →,OB →,OC →的模分别为1,1,2,OA →与OC →的夹角为α,且tan α＝7,OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ,n ∈R ),则m ＋n ＝________.图1-312．3 [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝7，sin 2α＋cos 2α＝1，α∈[0，π]，解得cos α＝210,即cos α＝OA →·OC →|OA →|·|OC →|＝OA →·（mOA →＋nOB →）2＝m ＋nOA →·OB →2＝210.①又OB →与OC →的夹角为45°,所以22＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝mOB →·OA →＋n 2.②又易知cos ∠AOB ＝cos(α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°＝210×22－7210×22＝－35, 即OA →·OB →＝－35,代入①②可得⎩⎨⎧m －35n ＝15，－35m ＋n ＝1，即25m ＋25n ＝65,故m ＋n ＝3.13．H3、F3[2017·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A (－12,0),B (0,6),点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20,则点P 的横坐标的取值范围是________．13．[－52,1] [解析] 设P (x ,y )．因为P A →·PB →≤20,所以(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20,化简得(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.又x 2＋y 2＝50,所以12x －6y ＋30≤0,故点P 的轨迹为劣弧CE ,由图可知,点P 的横坐标的取值范围为[x D ,x C ]．联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y ,得x 2＋4x －5＝0,解得x ＝－5或x ＝1,即x C ＝1,又因为x D ＝－52,所以点P 的横坐标的取值范围是[－52,1]．13．F3[2017·全国卷Ⅰ] 已知向量a ＝(－1,2),b ＝(m ,1)．若向量a ＋b 与a 垂直,则m ＝________.13．7 [解析] 由题得,a ＋b ＝(m －1,3),因为a ＋b 与a 垂直,即(a ＋b )·a ＝0,所以有－(m －1)＋3×2＝0,解得m ＝7.13．F3[2017·全国卷Ⅲ] 已知向量a ＝(－2,3),b ＝(3,m ),且a ⊥b ,则m ＝________. 13．2 [解析] ∵a ⊥b ,∴a ·b ＝－2×3＋3m ＝0,解得m ＝2. 7．A2、F3[2017·北京卷] 设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．A [解析] 若存在负数λ,使得m ＝λn ,则m ·n ＝λn ·n ＝λn 2<0成立；当“m ·n <0”时,m 与n 不一定共线,所以“存在负数λ,使得m ＝λn ”不一定成立．综上可知,“存在负数λ,使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件,故选A.12．F2、F3[2017·北京卷] 已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上,点A 的坐标为(－2,0),O 为原点,则AO →·AP →的最大值为________．12．6 [解析] 设P (x 1,y 1)．因为AO →＝(2,0),AP →＝(x 1＋2,y 1),所以AO →·AP →＝2(x 1＋2)＝2x 1＋4.由题意可知－1≤x 1≤1,所以2≤2x 1＋4≤6,故AO →·AP →的最大值为6.4．F3[2017·全国卷Ⅱ] 设非零向量a ,b 满足|a ＋b|＝|a －b|,则( ) A ．a ⊥b B ．|a|＝|b| C ．a ∥b D ．|a|>|b| 4．A [解析] 将|a ＋b|＝|a －b|两边平方,得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2,于是有a·b ＝0,所以a ⊥b.16．F3、C3[2017·江苏卷] 已知向量a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),x ∈[0,π]． (1)若a ∥b ,求x 的值； (2)记f (x )＝a·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 16．解：(1)因为a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),a ∥b , 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0,则sin x ＝0,与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾,故cos x ≠0, 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0,π],所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ,sin x )·(3,－3)＝ 3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0,π],所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6,从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是,当x ＋π6＝π6,即x ＝0时,f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π,即x ＝5π6时,f (x )取到最小值－2 3.17．C8、F3[2017·山东卷] 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b ＝3,AB →·AC →＝－6,S △ABC ＝3,求A 和a.17．解：因为AB →·AC →＝－6, 所以bc cos A ＝－6, 又S △ABC ＝3, 所以bc sin A ＝6,因此tan A ＝－1,又0<A<π,所以A ＝3π4.又b ＝3,所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A,得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29,所以a ＝29.F4 单元综合14．F4[2017·天津卷] 在△ABC 中,∠A ＝60°,AB ＝3,AC ＝2.若BD →＝2DC →,AE →＝λAC →－AB →(λ∈R ),且AD →·AE →＝－4,则λ的值为________．14.311 [解析] ∵AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3,AD →＝13AB →＋23AC →,∴AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4,解得λ＝311.1年模拟6. [2017·淮北月考]如图K191,在△OAB 中,C ,D 分别为AB ,OB 的中点,E 为OA 边上离点O 最近的四等分点,F 为AD ,CE 的交点．若OA →＝a ,OB →＝b ,则OF →＝( )图K191A. 25a ＋310bB. 25a ＋35bC. 15a ＋310b D. 35a ＋310b 6. A [解析] 设OF →＝λa ＋μb ,易知OC →＝12a ＋12b ,OE →＝14a .因为C ,F ,E 三点共线,所以OF →＝xOC →＋(1－x )OE →,即λa ＋μb ＝x 12a ＋12b ＋(1－x )14a ＝⎝⎛⎭⎫14＋14x a ＋x 2b ,由平面向量基本定理,得λ＝14＋14x ,μ＝12x ,消掉x ,得4λ－2μ＝1①. 又因为A ,F ,D 三点共线,所以OF →＝yOA →＋(1－y )OD →,即λa ＋μb ＝y a ＋(1－y )12b ,由平面向量基本定理,得λ＝y ,μ＝1－y2,消掉y ,得λ＋2μ＝1②.由①②解得λ＝25,μ＝310,所以OF →＝25a ＋310b .7．[2017·长沙一模]在矩形ABCD 中,AB ＝3,AD ＝2,P 为矩形内部(不包括边界)一点,且AP ＝1,若AP →＝xAB →＋yAD →,则3x ＋2y 的取值范围是________．7．(1,2] [解析] 因为P 为矩形内部(不包括边界)一点,所以x >0,y >0.由AP →＝xAB →＋yAD →,AP ＝1,得()3x 2＋()2y 2＝1,可设3x ＋2y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4,θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以3x ＋2y 的取值范围是(1,2]．4. 2017·景德镇月考已知向量a ＝(x ,－1),b ＝(y ,2),且a ⊥b ,则||a ＋b 的最小值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. D [解析] 由题意知xy －2＝0,a ＋b ＝()x ＋y ，1, 所以||a ＋b ＝()x ＋y 2＋1＝x 2＋y 2＋2xy ＋1≥4xy ＋1＝3,当且仅当x ＝y 时等号成立．10．[2017·合肥一模]若非零向量a ,b 满足||a ＝1,||b ＝2,且()a ＋b ⊥()3a －b ,则a 与b 的夹角的余弦值为________．10.14 [解析] 因为(a ＋b )·(3a －b )＝3||a 2＋2a ·b －||b 2＝0,所以a ·b ＝12＝1×2×cos 〈a ,b 〉,所以cos 〈a ,b 〉＝14.6．[2017·成都质检]已知两个平面向量a ,b 满足||a ＝1,||a －2b ＝21,且a 与b 的夹角为120°,则||b ＝________．6．2 [解析] ||a －2b ＝21⇒a 2－4a ·b ＋4b 2＝21⇒1＋2|b |＋4|b |2＝21⇒|b |＝2. 3．[2017·山西五校四联]在平面直角坐标系xOy 中,动点P 关于x 轴的对称点为Q ,且OP →·OQ →＝2,已知点A (－2,0),B (2,0),则(||P A →－||PB→)2( ) A ．为定值8 B ．为定值4 C ．为定值2 D ．不是定值3．A [解析] 设P ()x 0，y 0,则Q ()x 0，－y 0,所以OP →·OQ →＝()x 0，y 0·()x 0，－y 0＝2,即y 20＝x 20－2,得x 0≥2或x 0≤－2,故(||P A →－||PB →)2＝()2x 20＋4x 0＋2－2x 20－4x 0＋22＝ 2()||x 0＋1－||x 0－12＝2×22＝8.故选A.。