2018高考试题分类汇编——平面向量

2018高考试题分类汇编——平面向量
2018高考分类汇编 ——平面向量
1、【北京理】6．设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ；
解析：33-=+a b a b 等号两边分别平方得0⋅=a b 与⊥a b 等价，故选C. 考点：考查平面向量的数量积性质及充分必要条件的判定； 备注：高频考点.
2、【北京文】9.− ∉(,),(,)101==-a b m ，若()⊥-a ma b ，则
=
m ⎽⎽⎽⎽⎽⎽.
答案：1-
【解析】因为(,),(,),101a b m ==- 所以(,)(,)(,).011ma b m m m m -=--=+- 由()⊥-a ma b ()0a ma b ⋅-=， 所以()10a ma b m ⋅-=+=，解得.1m =-
【考点】本题考查向量的坐标运算，考查向量的垂直。

3、【1卷文7理6】6.在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A.
31
44
AB AC - B.
13
44
AB AC - C.
31
44
AB AC +
D.13
44
AB AC + 答案：A
解析：在ABC △中，AD
为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
()
11312244
EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-
=-+=-，故选A ．
4、【2卷理】4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【答案】B
【解析】2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．
5、【2卷文】4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
【答案】B 解析：向量
,a b
满足
1,1
a a
b =⋅=-，则
2
(22213
a a
b a a b ⋅-=-⋅=+=），故选B ．
6、【3卷文理】13．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．
12
解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又
()
1,c λ=，()//2c a b +
所以4210λ⨯-⨯=，解得12
λ=． 点评：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
7、【上海】8．在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、
(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 ． 答案：3- 解析：设
(0,),(0,2)
E m
F m +，则
(1,),(2,2)
AE m BF m ==-+，
2(2)
AE BF m m ⋅=-++
2222(1)3
m m m =+-=+-，最小值为3-．
解法2：
()()
2
AE BF AO OE BO OF AO BO AO OF OE BO OE OF OE OF ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅-
取EF 中点G ，则2
1
OE OF OG ⋅=-．显然2
OG
≥（当E F 、关
于原点对称）．
所以1OE OF ⋅-≥．则3AE BF ⋅-≥．
8、【天津理】8．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）
A ．2116
B ．32
C ．25
16
D ．3
【答案】A
【基本解法1】连接AC ，则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒
B
C
D
E
所以3BC CD ==(01)DE DC λλ=<<， 则
()()(
)()
(1)AE BE AD DE BC CE AD DC BC DC
λλ⋅=+⋅+=+⋅--
2
(1)AD BC DC BC DC
λλλ=⋅+⋅--
2
cos30cos 60(1)AD BC DC BC DC
λλλ=⋅︒+⋅︒--
2
2331213322416λλλ⎛
⎫=-+=-+
⎪⎝⎭，当14
λ=时，AE BE ⋅取得最小值，最小值为21
16．
【基本解法1】连接AC ，则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒，
所以3BC CD ==D 为坐标原点，,DA DC 所在方向为,x y 轴正方向
建立如图所示平面直角坐标系，过B 作BF x ⊥轴于点F
A
B
C
D
E F
y
B
C
D
E
则13cos 60,sin 602AF AB BF AB =︒==︒=，所以3
3,
22B ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
设(03)
DE λλ=<<
，则(1,0),(0,)A E λ，
2
2
3333321(1,),2222416AE BE λλλλλ⎛⎛⋅=-⋅--=-+=-+ ⎝⎭⎝⎭
，
当3
4λ=
时，AE BE ⋅取得最小值，最小值为21
16．
9、【天津文】8．在如图的平面图形中，已知
1,2,120OM ON MON ==∠=︒
，2,2BM MA CN NA ==，则BC OM ⋅的值
为（ ）
A ．15-
B ．9-
C ．6-
D ．0
A B
C
M
N
O
【答案】C
解析：)(333-=+-=+=)(33-==， 则6
33)(32
-=-⋅=⋅-=⋅OM
OM ON OM OM ON OM BC ．
10、【浙江卷】9．已知a b e ，
，是平面向量， e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2
430
b e b -⋅+=，则a b -的最小值是( )
A ．31
B ．
31
C ．2
D ．23 【答案】A
解析：解法1：（配方法）由2
430
b e b -⋅+=得2
2
441
b
e b e -⋅+=，
即()
2
21
b e -=，因此21b e -=．如图，OE e =，2OF e =，3
POE π
∠=，则向量b 的终点在以F 为圆心，1为半径的圆上，
而a 的终点A 在射线OP 上，a b AB -=，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小31
．
O
E
F
A
B P
D H
O
E
F
A
B
P D
解法2：（向量的直径圆式）由2
430
b e b -⋅+=，得
2
2
430b e b e -⋅+=，所以()()30b e b e -⋅-=，
如图，,3,OE e OH e OB b ===，则0EB EH ⋅=，即终点B 在以EH
为直径的圆上，以下同解法1． 解法3：（绝对值性质的应用）由2
430
b
e b -⋅+=，得
2
2
441b e b e -⋅+=，即()2
21b e -=，
因此21b e -=，而由图形得23a e -≤， 所以()()222231
a b a e b e a e b e -=------=
-≥，所以a b -的
31
．
解法4：（坐标法）设a b e ，，起点均为原点，设(1,0)e =，
(,)
b x y =，则a 的终点A 在射线
3(0)
y x x =>上，由
2
430b e b -⋅+=，得2
2430
x
y x +-+=，即2
2(2)
1
x y -+=，所以向
量b 的终点在圆
2
2
(2)1x y -+=上，a b -的最小值即为求圆上一点到射
线3(0)
y x x =>上一点的最小距离，
31
．
O
A
B
x
y。