第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
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高数同济§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
在求解过程中，需要充分利用已知 的函数性质和定理，如连续函数的 运算性质、中值定理等。
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
连续函数的运算与初等函数的连续性
x)
u0
.
定理4 若 u (x) 在点 x0 连续，且 (x0 ) u0 , 而
函数 y = f (u) 在点 u u0 处连续，则复合函数 y f (x)
在点 x0 连续 .
例1
求 lim
x2 9 .
x3 x 3
解
lim
x2 9
x2 9 lim
x0
∵ (1 2x) (1 2x) e 解
3 sin x
1 2x
sinx
x
6
1
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
1
∴ lim(1 2x) e e 3 sin x
lim
x0
6
x sin
x
ln(12
x
)
2
x
6
x0
说明 函数 u(x)v(x) (u(x) 0 , u(x)不恒等于1) 既不是
lim
1
u(x)
1
1 u( x)1v( x)
u ( x)1
elimu( x)1v( x)
说明 在求解此类极限时，先计算 limu(x) 1v(x),
再对极限值取指数 e 即可.
1
例6 求 lim(x 2ex ) x1 . x0
解 因为 所以
lim(x 2ex ) 2 ,
定理3
若
lim
xx0
(x)
(
x0
)
,
u
(x)
,
而函数 y f (u)
在点 u u0 处连续，则有
连续函数的运算及初等函数的连续性
例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的， 因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y
连续函数的运算与初等函数的连续性
y sin x arcsin x 上连续单调递增， π 例如, 例如 y = sin x在 − 2 −1 O 1 πx 其反函数 y = arcsin x 在[−1, 1]上也连续 2
单调递增.
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又如, 又如
在
上连续 在
y 1
y = ex
y = ln x
单调 递增, 其反函数 上也连续单调递增.
O
1
x
y
1
O
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
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+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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三、连续函数的运算法则
1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商 (分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如 在其定义域内连续 2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. (递减) (递减)
x→x0
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 不存在; 存在 , 但
lim f (x) ≠ f (x0)
这样的点 称为间断点 . 间断点
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间断点分类: 第一类间断点: 间断点分类: 第一类间断点
及 若 若 均存在 , 称
x0为可去间断点 . 可去间断点
称 x0 为跳跃间断点 . 跳跃间断点 第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 ,
x→x0
一切初等函数 在定义区间内 连续
lim f ( x) = f lim x = f ( x0 )
x→x0
(
)
例2 求 解：原式
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单调递增.
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又如, 又如
在
上连续 在
y 1
y = ex
y = ln x
单调 递增, 其反函数 上也连续单调递增.
O
1
x
y
1
O
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
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+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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三、连续函数的运算法则
1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商 (分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如 在其定义域内连续 2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. (递减) (递减)
x→x0
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 不存在; 存在 , 但
lim f (x) ≠ f (x0)
这样的点 称为间断点 . 间断点
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间断点分类: 第一类间断点: 间断点分类: 第一类间断点
及 若 若 均存在 , 称
x0为可去间断点 . 可去间断点
称 x0 为跳跃间断点 . 跳跃间断点 第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 ,
x→x0
一切初等函数 在定义区间内 连续
lim f ( x) = f lim x = f ( x0 )
x→x0
(
)
例2 求 解：原式
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高等数学1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
在(0, )内连续 (均在其定义域内连续 )
三、初等函数的连续性
定理6 一切初等函数 在其定义区间内 都是连续的. 定义区间 是指包含在定义域内的区间. 注意 1.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内 不一定连续; 例如,
y x 2 ( x 1)3 , D : x
0, 及 x 1,
在 x0 也连续
例如, sin x ,cos x在 ( , ) 连续
故 tan x , cot x , sec x ,
在定义域内也连续
csc x
即 三角函数 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性 定理2 单调连续的函数 有单调连续的反函数. 例如, y sin x在[
, ]上 单调增加且连续 2 2 故 y arcsin x 在[1,1]上也是 单调增加且连续
u a
0
A.
定理3 若 lim g ( x )
x x0
a , u g ( x ), f ( u)在a 连续
u a
则有 lim f [ g ( x )] lim
x x0
f ( u) f (a) f [ lim g ( x )] x x
0
意义
1.极限符号可以与函数符号互换;
1 x0 0, u在x0 连续 u( x0 ) x0
y sin u 在 ( , ) 连续
1 1 sin(u) 在 连续 y sin 在x0 连续 x x0 1 在 ( , 0) (0, ) 内 连续 y sin
x
三、初等函数的连续性
定理5 基本初等函数在其定义域内 连续. 1. 三角函数 在其定义域内是连续的.
高数同济§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性
x
y sin u 在(, )内连续,
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
2021/4/5
8
下页
例例44
讨论函数 y sin 1 x
的连续性
解解 函数 y sin 1 是由 ysin u 及 u 1 复合而成的
x
x
sin u 当-<u<+时是连续的
1 当<x<0 和 0<x<时是连续的 x
❖定理2
如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数xf 1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例例22
由于
ysin
x
在区间[
2
,
2
]
上单调增加且连续
所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的
同样 y=arccos x 在区间[-1 1]上是连续的
1,
g(x) 1 x2
f ( x) 0,
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1 1,
x0 x0 x0
f [g( x)]在(,)上处处连续
g[
f
(
x)]
1
sgn
x
2
2, 1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,) 上处处连续
x 0是它的可去间断点
2021/4/5
21
x)
x
log
a
e
1 ln a
特别地
2021/4/5
ln(1 x)
lim
1.
x0
x
12
下页
例 证明
y sin u 在(, )内连续,
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
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例例44
讨论函数 y sin 1 x
的连续性
解解 函数 y sin 1 是由 ysin u 及 u 1 复合而成的
x
x
sin u 当-<u<+时是连续的
1 当<x<0 和 0<x<时是连续的 x
❖定理2
如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数xf 1(y)在区间Iy{y|yf(x) xIx}上也是单 调增加(或减少)且连续的
例例22
由于
ysin
x
在区间[
2
,
2
]
上单调增加且连续
所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的
同样 y=arccos x 在区间[-1 1]上是连续的
1,
g(x) 1 x2
f ( x) 0,
f [g( x)] sgn(1 x2 ) 1 1,
x0 x0 x0
f [g( x)]在(,)上处处连续
g[
f
(
x)]
1
sgn
x
2
2, 1,
x0 x0
g[ f ( x)]在(,0) (0,) 上处处连续
x 0是它的可去间断点
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21
x)
x
log
a
e
1 ln a
特别地
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ln(1 x)
lim
1.
x0
x
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例 证明
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。
㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。
说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。
∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。
2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。
（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。
类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。
总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。
定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。
连续函数运算法则和初等函数连续性
指数函数和对数函数的连续性
指数函数
$f(x) = a^x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0$，有 $f(x_0) = a^{x_0}$， 因此，指数函数在定义域内是连续的。
VS
对数函数
$f(x) = log_a x$，其中 $a > 0, a neq 1$。 对于任意 $x_0 > 0$，有 $f(x_0) = log_a x_0$，因此，对数函数在定义域内也是连 续的。
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续 。
连续函数的性质
局部性质
如果函数在某点连续，则在该点 附近具有局部性质，如局部有界 性、局部单调性等。
整体性质
如果函数在区间上连续，则在整 个区间上具有整体性质，如整体 有界性、整体单调性等。
连续函数的图像
01
连续函数的图像是连续的曲线或 折线，没有间断点。
应用
可以用来证明一些不等式和求解方程的近似解。
开区间上连续函数的不动点定理
不动点定理
应用
如果函数在闭区间上连续，且在该区间内存 在一个不动点，即函数值等于该点的函数值， 则在该区间内至少存在一个不动点。
可以用来证明一些数学问题，如解方程的近 似解和求解优化问题等。
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THANKS
05
初等函数在开区间上的连续性
开区间上连续函数的性质
极限性质
如果函数在某点的极限存在，则该点是函数 的连续点。
局部性质
如果函数在某点的左右极限相等，则该点是 函数的连续点。
增减性
如果函数在某区间内单调增加或单调减少， 则该区间内函数是连续的。
开区间上连续函数的介值定理
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第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例例33
求..
解第令九节ax –连1续= 函t，数则的x运=算lo与ga初(1等+ 函t) ,数当的连x续0性时，
3
lliimm t例例0 ，44于求求是axxx00
((11 1
lim lliimm lim 例例22x求求 0
1
x0 x0
xxlloo2ggaa1((xx11
x) x)
. .
x0
1 x2 1 1 x2 1 x 1 x2 1
解
x
0 0.
limx0 lim lim x0
lo1ga (x12x1) x
2
x0
1
log a (1 x) x
log a e 1 .
三、初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续
一切初等函数在定义区间内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例例11
求 求
lliixmm0
x0
1 x2 1 xx2
1 1
. .
x
解
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
连续。 ( 利用极限的四则运算法则证明)
例如,
都在(- , + ) 连续，
在其定义域内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
x0 连续，且 g(x0) = u0 ，而函数 y = f (u) 在 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [g(x)] 在 x = x0 连续.
证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
例如,
是由连续函数链
复合而成 , 因此
x R* 在 x R * 上连续 .
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
22xx))ssiin3nxx
..
lliimmlim lim 例例 解第55x求x求九00节(xx1x连00 2续xaa)函xsxi3nx数bb33xx的x运 cc0xx算(11x1x与((aa2初x)等0021,,x函bbs6inx数x 00的,,cc 连 00续)) ..性
lilmim elim. 由此解可 得xa0x(1a1x2~xlx)bn321xlxan.asc6in.xxx
例如, y sin x 在
上单调增加且连续，其反函数
y arcsin x 在[-1, 1]上也单调增加且连续.
y
π 2
-1
y sin x
O 1π
x
2
y arcsin x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
又如, y = ex 在(- , + )上单调递增且连续，其反函
数 y = ln x 在(0 , + )上也单调递增且连续.
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性 定理2 如果函数 y = f (x) 在区间 Ix 上单调增加(或单
调减少)且连续，那么它的反函数 x = f -1(y) 也在对应的 区间 Iy = { y | y = f (x) , x Ix } 上单调增加(或单调减少) 且连续.
证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
lim f [g (x)] lim f (u) f (u0 ) ,
x x0
uu0
或
lim f [g (x)] f [lim g (x)] .
x x0
x x0
证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成，U ( x0 ) D f g . 若函数 u = g(x) 在 x =
1 x
6
x0
1
a
x
b
x 3
c
x
1
3 x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
作业： P66 习题1-9 3.(1)(3)(5) 4.(1)(2)(5)
y
y = ex
1
O1
x
y = ln x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
2. 复合函数的连续性
定理3 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成，U ( x0 ) D f g . 若 lim g ( x) u0 , 而 x x0
函数 y = f (u) 在 u = u0 连续， 则