函数黎曼可积性
黎曼可积的周期函数的性质
即
kf x c kf x T * c .
所以kf x c也是集M上以T *为周期的周期函数. 现假设T *不是kf x c的最小正周期, 则必存在T ' 0 T ' T * 是kf x c的周期,
则有
kf x T ' c kf x c ,
有界,它在每个 i 上存在上、下确界：
M i sup f x , mi inf f x , i 1,2,, n.
x i x i
4
作和
S T M i xi , sT mi xi ,
i 1 i 1 n n
分别称为 f x 关于分割 T 的上和与下和. 定义 2.4.2 定理 2.4.1 设 i M i mi ,称为 f x 在 i 上振幅. 对任给的 0 ,总存在相应的一个分割 T ,使
设 T1 为区间 kT, k 1T 的任意分割,有 T1 x0 , x1 ,, xn , 对 i xi1 , xi , i 1,, n . T1 maxxi , xi xi xi1 ,
1in
由于
lim
T1 0
f i xi lim
黎曼可积的周期函数的性质
高远
摘要: 函数一直都在数学研究领域扮演着重要角色,而周期函数与黎曼可积函数又是函 数中两类特殊的函数，掌握这两类函数的定义、性质与判别方法是十分重要的.在本文中就 先介绍了周期函数的定义与判定方法， 之后又介绍了黎曼可积函数的定义与判定方法， 并对 其中较难理解的判定方法给予了证明.最后，主要就是来研究黎曼可积的周期函数的性质， 并相应的给与了详细证明. 关键词: 周期函数 黎曼可积 性质
黎曼积分的定义及其性质
黎曼积分的定义及其性质积分是高等数学中重要的概念之一，是函数的一种重要的数值描述方式。
而黎曼积分，指的是对于有界函数在区间上的积分，它是一种基本的积分形式。
黎曼积分的定义在数学上，黎曼积分指的是对于有界函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分，积分的结果为定积分，具有如下形式：$$\int_a^b f(x) dx$$其中，$a$和$b$是积分的区间，$f(x)$为在该区间上的函数。
定义中的“有界”是必须的，因为积分需要在有限的时间内得出结果。
如果函数无界，那么积分就可能无法完成。
在计算黎曼积分时，我们将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x_i=b-a/n$，函数在每个小区间$i$上的值为$f(x_i)$。
然后将每个小区间上的函数值乘以其对应长度$\Delta x_i$，再将所有小区间的积分结果累加起来。
这样的计算方式可以用如下公式表示：$$\int_a^b f(x) dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i$$其中，$x_i=a+ i(b-a)/n$为每个小区间的中心点。
黎曼积分的性质黎曼积分在数学上具有如下的性质：1.可加性：如果$f(x)$在区间$[a,b]$上可积且$g(x)$在该区间上也可积，那么$f(x)+g(x)$也在$[a,b]$上可积，并满足：$$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx$$2.线性性：如果$c$是一个实数，那么$c f(x)$在$[a,b]$上的积分也是可积的：$$\int_{a}^{b} c f(x) dx= c \int_{a}^{b} f(x) dx$$3.绝对值的不等式：对于任意$x\in[a,b]$，有$|f(x)|\leq M$，其中$M$是常数，那么$f(x)$在$[a,b]$上可积，并且：$$\left| \int_a^bf(x)dx\right|\leq M |b-a|$$4.单调性：如果在区间$[a,b]$上有$f(x)\leq g(x)$，那么$f(x)$在该区间上积分值不大于$g(x)$在该区间上的积分值：$$\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx$$5.反演公式：如果在区间$[a,b]$上$f(x)$的积分值为$0$，那么在该区间上，$f(x)$为0。
有界函数黎曼可积的充要条件
下证充分性。
设∆xi′′ 是使得ωi < ε的那些部分区间的长度，∑i′′ 表示这些区间长度求和，以Ω表示f (x)表
示f (x)在[a, b]上的幅度，于是
∑n
∑
∑
∑
∑
ωi∆xi = ωi′ ∆xi′ + ωi′′ ∆xi′′ < Ω ∆xi′ + ε ∆xi′′ < Ωσ + ε(b − a)
使得相应的振幅满足 ∑n ωi△xi < ϵ
i=1
证明：必要性是显然的，下面证充分性。
设∀ϵ > 0，存在一种划分P ′，使得相应的振幅满足
∑p ωi′ △x′i
<
ϵ 3
i=1
即 S(P ′) − S(P ′) < ϵ 3
取 对任意一个满足
δ
=
min(△x′1,
△x′2,
.
.
.
,
△x′p,
3(p
−
ϵ 1)(M
λ→0 i=1
充要条件二
定理二：有界函数f (x)在[a, b]可积的充分必要条件是，对任意的划分，当
时，有下面的结果
λ = max (∆x) → 0
1≤i≤n
∑n lim ωi∆xi = 0
λ→0 i=1
2
证明： 先证明必要性。 由定理一可知，若有界函数f (x)在[a, b]上可积，则对于任意的划分P ，有
+[S(P ′′) − S(P )]
<
ϵ
+0+
ϵ
ϵ +0&#定理1，可知f (x)在[a, b]上可积。
充要条件四
定理四： 有界函数f (x)在[a, b]上可积的充分必要条件是，对于任意给定ε > 0，σ > 0，存在δ > 0，使得
测度与黎曼积分的关系
测度与黎曼积分的关系
测度论和黎曼积分是数学分析中重要的概念，它们之间有着密
切的关系。
首先，让我们从测度论的角度来看。
在测度论中，我们考虑的
是可测空间上的测度，即对集合赋予“大小”的概念。
测度论建立
了对集合大小的一种抽象理论，使得我们可以对更一般的集合进行
测量。
在这个框架下，黎曼可积性是一个特殊的测度性质。
具体来说，如果一个函数在有限区间上有界且仅在有限个点处有第一类间
断点，那么它是黎曼可积的。
这意味着黎曼可积性可以被看作是测
度论中集合“大小”的一个特定应用，即对函数在区间上的“大小”进行测量。
另一方面，从黎曼积分的角度来看，黎曼积分是一种对函数在
有限区间上的积分运算。
它可以被看作是对函数在给定区间上的加
权平均值，其中权重由区间的长度决定。
而测度论则提供了对一般
集合的“大小”进行测量的工具，从而为黎曼积分的推广提供了理
论基础。
实际上，Lebesgue 积分就是基于测度论的推广，它克服了
黎曼积分在处理某些特殊函数类别时的局限性，使得更多类型的函
数都可以进行积分运算。
因此，测度论和黎曼积分之间的关系可以被理解为，测度论提供了一种更一般的集合“大小”概念，而黎曼积分则是在特定区间上对函数数值的加权平均运算。
黎曼积分可以被看作是测度论的一个特例，而测度论为积分理论的发展提供了更一般的框架和理论工具。
这种关系揭示了数学分析中不同概念之间的内在联系，为我们理解和应用这些概念提供了更深入的思考和理论基础。
黎曼可积的必要条件
黎曼可积的必要条件在数学中，黎曼积分是一种广泛应用的积分方法。
然而，黎曼积分的使用必须满足一定的条件，否则积分的结果可能是不正确的。
本文将讨论黎曼可积的必要条件，以便更好地理解黎曼积分的应用。
1. 黎曼积分的定义首先，我们需要了解黎曼积分的定义。
黎曼积分是将一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$上分成若干个小区间，然后将每个小区间内的函数值乘以该小区间的长度，最后将这些结果相加得到的一个数值。
具体来说，设$P={x_0,x_1,cdots,x_n}$是$[a,b]$的一个分割，其中$a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$，则$f(x)$在$P$上的黎曼和为：$$S(P,f)=sum_{i=1}^n f(xi_i)(x_i-x_{i-1})$$其中$xi_iin[x_{i-1},x_i]$是$[x_{i-1},x_i]$上的任意一点。
如果当分割$P$的任意一种方式下，当其对应的黎曼和$S(P,f)$的极限存在，且与分割方式无关，则称$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，其黎曼积分值为：$$int_a^b f(x)dx=lim_{|Delta|rightarrow 0}S(P,f)$$ 其中$|Delta|$表示分割$P$的最大长度。
2. 黎曼可积的必要条件了解了黎曼积分的定义后，我们来讨论黎曼可积的必要条件。
根据黎曼积分的定义，我们可以发现，当分割的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，黎曼和趋近于黎曼积分值。
因此，要使$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积，必须满足以下两个条件：（1）有限性：$f(x)$在$[a,b]$上有限。
这个条件比较显然，因为如果$f(x)$在$[a,b]$上无限大，则无法将其分割成若干个小区间进行计算。
例如，$int_0^1frac{1}{x}dx$就是一个不满足有限性的积分，因为在$x=0$处$f(x)$无限大。
（2）有界性：$f(x)$在$[a,b]$上有界。
黎曼函数的极限和间断点和可积性
为什么说在（0，1）中的每个有理点都是它的极大值点，每个无理点都是它的极小值点；该函数在每个有理点都不连续，在每个无理点都连续？
证明:
1)因为每个无理点都是最小值点，从而是极小值点
2)假设存在有理点x，x不是极大值点，则必有
任意小的a，R(x)在o(x,a)即x的邻域中找到点x0,使得
R(x0)>R(x).换句话说，绝对值任意小的a，存在整数r,s,使得(q/p-a)=r/s(s< p)根据分母比p小的有理数在一定的区间内只有优先个，不可能做到距离q/p 任意小，矛盾。
3)每个有理点不连续，是因为R(q/p)=1/p非0，而q/p的任意小的邻域必然包含无理点，函数值为0
4)无理点连续，是因为:任意一个无理点a，在a的任意小的邻域内含的有理点的分母必然极大。
（理由同2，小分母有理点具有区间有限性）
这个问题关键在于证明对于任意一个给定的无理数u,
那么对于任意一个给定的小正数e,存在一个u的领域(s,t)使得这个函数在此领域内取值都小于e。
我们取整数E>1/e,由于u是无理数，我们列出(0,1)中所有分母不超过E的有理数，由于是有限个，其中必然有两个h,g使得h<u<g,而且h和g之间没有分母不超过E的有理数。
于是我们取s=h,t=g,就可以知道u的领域(h,g)中所有点的这个函数的取值都不大于1/(E+1).
由此我们证明了函数在无理数点的连续性。
而证明所有有理数点都是极大值的方法完全类似
任何区间内分母不超过任意给定整数N的有理数（最简表示）都是有限的。
这个性质可以类似用来证明R（x）黎曼可��。
数学分析第五讲黎曼积分
数学分析第五讲黎曼积分首先介绍黎曼积分的定义。
设 f(x) 是定义在闭区间 [a, b] 上的有界函数。
将 [a, b]等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b- a) / n。
在每个小区间 [xᵢ₋₁, xᵢ] 上取一点ξᵢ，其中 x₀ = a，xₙ = b。
定义黎曼和 Sₙ = Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ 表示求和。
如果当 n 趋近于无穷大时，Sₙ 的极限存在，且与闭区间 [a, b] 上的任意一个选取的点无关，那么这个极限就是 f(x) 在 [a, b] 上的黎曼积分，记作∫[a, b] f(x) dx。
下面讨论黎曼积分的性质。
首先，黎曼积分具有线性性质。
即对于两个有界函数 f(x) 和 g(x)，以及任意的常数 a、b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
其次，当f(x) 在 [a, b] 上连续时，它是可积的。
这意味着连续函数是黎曼可积的。
此外，如果 f(x) 在 [a, b] 上只有有限个间断点，则它也是可积的。
最后一个性质是介值性质，即如果 [a, b] 上的一个函数 f(x) 与另一个函数 h(x) 在除有限个点外完全相同，那么 f(x) 在 [a, b] 上的可积性与 h(x) 是相同的。
接下来是计算黎曼积分的方法。
黎曼积分的计算方法有很多种，其中一种常用的方法是分割求和法。
将[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，在每个小区间上取代表点ξᵢ，然后计算黎曼和Sₙ=Σf(ξᵢ)Δx，其中Σ表示求和。
当n趋近于无穷大时，Sₙ的极限就是f(x)在[a,b]上的黎曼积分。
此外，还可以使用变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。
总结起来，黎曼积分是微积分中的核心概念之一、通过定义和性质可以了解黎曼积分的基本特点。
在计算方法上，可以使用分割求和法、变量代换法、分部积分法等方法来计算黎曼积分。
实变函数中的黎曼斯蒂尔杰斯积分理论
实变函数中的黎曼斯蒂尔杰斯积分理论在实变函数中，黎曼斯蒂尔杰斯积分理论是一个重要的概念。
黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的引入使得我们能够更加深入地研究实变函数的性质和特点。
本文将着重介绍黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的基本概念和性质。
一、黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的基本概念黎曼斯蒂尔杰斯积分理论是实变函数中的一个重要概念，它是黎曼积分和斯蒂尔杰斯积分的结合体。
黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的引入主要是为了解决一些特殊函数的积分问题，使得我们能够更加方便地进行积分计算。
在黎曼斯蒂尔杰斯积分理论中，函数的积分和定积分的定义基本保持不变。
对于实变函数f(x)，其在区间[a, b]上的黎曼斯蒂尔杰斯积分可表示为：∫[a,b] f(x) dγ,其中dγ 表示黎曼斯蒂尔杰斯积分中的积分变量。
二、黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的性质1. 可积性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论保持了函数可积的性质。
如果函数f(x)在区间[a, b]上满足黎曼可积条件，则其在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分存在。
2. 线性性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论满足线性性质。
即对于实数a、b和函数f(x)、g(x)，有：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dγ = a∫[a,b] f(x) dγ + b∫[a,b] g(x) dγ.3. 积分的范围可加性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论中的积分范围可加。
即对于区间[a, c]，在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分等于在区间[a, b]和区间[b, c]上的黎曼斯蒂尔杰斯积分之和。
4. 积分的有界性：黎曼斯蒂尔杰斯积分理论中的积分结果是有界的。
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界，则其在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分也是有界的。
5. 积分的可加性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，则其在该区间上的黎曼斯蒂尔杰斯积分等于在该区间上的黎曼积分和斯蒂尔杰斯积分之和。
三、黎曼斯蒂尔杰斯积分理论的应用黎曼斯蒂尔杰斯积分理论在实变函数的研究中具有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数黎曼可积性深究
罗俊逸
以下的“可积”皆指“黎曼可积”。
定义1：称有界函数f 为[a,b]上的次级离散函数（简称次离散函数）， 若：1、f 仅有有限个间断点；
或：2、f 有无限个间断点，所有这些间断点仅有有限个聚点。
定义2：在闭区间[a,b]上，连续函数与次离散函数统称次级函数。
定义3：称有界函数f 为[a,b]上的超级离散函数（简称超离散函数），若f 有无限个间断点且它们有无限个聚点。
性质：[a,b]上的任何有界离散函数，要么是次离散函数，要么是超离散函数。
（这是显然的）
根据定义和性质，[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下：
定理1：所有次级函数可积。
推论1：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积。
推论2：若f 是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积。
定义4：设f 为[a,b]上的超离散函数，若存在[a,b]上的次级函数g ，任取I ∈
[a,b]，g 在I 上有f 上的无穷个点，则称f 在[a,b]上可聚，g 称为f 的聚集函数（简称聚函数）。
定理2（可聚性定理）：任何超离散函数f 可聚，即f 至少有一个聚函数。
定理3：超离散函数f 可积的充要条件．．．．
是：f 唯一可聚，即f 仅有唯一的聚函数。
定理4：设f 是定义在[a,b]上的可积超离散函数，其聚函数是g ， 则：=
连续函数 次级离散函数 超级离散函数 次级函数 离散函数
补充：
为方便叙述，笔者自做了些定义，若有冒犯前辈的文献，请谅解。
本文的主要思想是函数的划归，点有聚点，函数也可有聚函数。