2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷---附答案解析
．（ 23 12 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CB 的延长线上，
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联结 、 ， ＝ • ． CE EF CE2 DE CF （1）求证：∠D＝∠CEF； （2）联结 AC，交 EF 于点 G，如果 AC 平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 1．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，
∴设 a＝x，b＝2x，c＝3x， ∴ ＝ ＝． 故选：C． 2．【解答】解：在 △Rt ABC 中，∵∠C＝90°，
∴ ＝ sinA ＝ ， ∴AB＝4BC， 故选：A． 3．【解答】解：如图，
的中点，OE 与弦 BC 交于点 F． （1）如果 C 是 的中点，求 ： AD DB 的值； （2）如果⊙O 的直径 AB＝6，FO：EF＝1：2，求 CD 的长．
．（ 22 10 分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄 CD 垂直于水平地面 GQ，当点 P 与点 A 重合时，伞收紧；当点 P 由点 A 向点 B 移动时，伞慢慢撑开；当点 P 与点 B 重 合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度 CD 是 220 厘米，在它撑开的过程中，总有 ＝ PM ＝ ＝ ＝ PN CM CN 50 厘米，CE＝CF＝120 厘米，BC＝20 厘米． （1）当∠CPN＝53°，求 BP 的长？ （2）如图，当伞完全张开时，求点 E 到地面 GQ 的距离． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
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17．【解答】解：∵矩形 ， ABCD ∴∠D＝∠C＝90°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA+∠CEB＝90°， ∴∠DAE＝∠CEB， ∴△ADE∽△ECB，
∴，
∵AD＝BC，CD＝3EC，
∴DE＝2EC，
∴
，
∴
，
∴AD：AB＝ ，
故答案为：
∴b＝﹣2． 故答案为﹣2． 12．【解答】解：∵在△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ ，AC＝6，
∴ ＝ cosA ＝ ，
即＝ ，
解得，AB＝8， 故答案为：8． 13．【解答】解：∵要使 DE∥BC，则需 ，
∴
故答案为：
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14．【解答】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了 x 米， ∵坡度为 ： ， 1 2.4 ∴小明前进的水平宽度为 2.4 米， 由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302， 解得，x＝50，即小明所在的位置比原来的位置升高了 50 米， 故答案为：50．
2020 年上海市奉贤区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 1．（4 分）已知线段 a，b，c，如果 a：b：c＝1：2：3，那么 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4 分）在 △Rt ABC 中，∠C＝90°，如果∠A 的正弦值是 ，那么下列各式正确的是（ ）
一个）． 10．（4 分）如果二次函数 y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，
那么 a 的取值范围是 ． 11．（4 分）抛物线 ＝y x2+bx+2 与 y 轴交于点 A，如果点 B（2，2）和点 A 关于该抛物线的
对称轴对称，那么 b 的值是 ． 12．（4 分）已知△ABC 中，∠C＝90°，cosA＝ ，AC＝6，那么 AB 的长是 ． 13．（4 分）已知△ABC 中，点 、D E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上，若 ＝ ，则
16．（4 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正 多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的 面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径 OA 的长为 1，如果用它 的面积来近似估计⊙O 的面积，那么⊙O 的面积约是 ．
．（ 25 14 分）如图，已知平行四边形 ABCD 中，AD＝ ，AB＝5，tanA＝2，点 E 在射线 AD 上，过点 E 作 EF⊥AD，垂足为点 E，交射线 AB 于点 F，交射线 CB 于点 G，联结 CE、CF，设 AE＝m． （1）当点 E 在边 AD 上时， ①求△CEF 的面积；（用含 m 的代数式表示） ②当 ＝ S△DCE 4S△BFG 时，求 ： AE ED 的值； （2）当点 E 在边 AD 的延长线上时，如果△AEF 与△CFG 相似，求 m 的值．
C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似
D．对角线之比相等的两个矩形一定相似
5．（4 分）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表：
x ⋅⋅⋅ 0
1
3
4
5 ⋅⋅⋅
y ⋅⋅⋅ ﹣5 ﹣
﹣
﹣5 ﹣ ⋅⋅⋅
根据表，下列判断正确的是（ ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 ＝x 1
18．【解答】解：连接 ， ， ． BD BF EG
由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°， ∵DG＝GF， ∴BG⊥DF， ∴∠BGF＝∠BEF＝90°， ∴∴B，G，E，F 四点共圆， ∠BEG＝∠BFD＝45°， ∴∠BEG 的正切值是 1． 故答案为 1． 三.解答题（本大题共 7 题，共 ＝ 10+10+10+10+12+12+14 78 分） 19．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．
． ＝ A AB 4BC
． ＝ B AB 4AC
． ＝ C AC 4BC
． ＝ D BC 4AC
3．（4 分）已知点 C 在线段 AB 上，AC＝3BC，如果 ＝ ，那么 用 表示正确的是（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
4．（4 分）下列命题中，真命题是（ ）
A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似
B．邻边之比相等的两个矩形一定相似
⋅⋅⋅
y ⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
．（ 20 10 分）如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，DC＝2，
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AB＝6， AE⊥BD，垂足为点 F．
（1）求∠DAE 的余弦值； （2）设 ＝ ， ＝ ，用向量 、 表示 ． ．（ 21 10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD⊥AB，垂足为点 ，D E 是
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可知函数的对称轴为 x＝2， 设函数的解析式为 y＝a（x﹣2）2+c， 将点（0，﹣5），（1，﹣ ）代入， 得到 a＝﹣ ，c＝﹣3， ∴函数解析式 y＝﹣ （x﹣2）2﹣3； ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的； 故选：C． 6．【解答】解：如图，
∵DE∥BC， ∴， ∵BC＝12，AD＝2BD， ∴ ，DE＝8， ∵⊙D 的半径为 ＝ ， AD 6 ⊙E 的半径 CE＝2， ∴ ＝ ＝ ＝ ， AD+CE 6+2 8 DE ∴以 AD 为半径的⊙D 和以 CE 为半径的⊙E 的位置关系是外切， 故选：B． 二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分） 7．【解答】解：∵tanα＝ ， ∴锐角 α 的度数是：60°．
D．内含
二.填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，共 48 分）
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7．（4 分）如果 ＝ tanα ，那么锐角 α 的度数是 ． 8．（4 分）若 与单位向量 方向相反，且长度为 3，则 ＝ （用单位向量 表示向量
）． 9．（4 分）若一条抛物线的顶点在 y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写
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17．（4 分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把 这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果 E 是矩形 ABCD 的一个“直角点”，且 ＝ CD 3EC，那么 ： AD AB 的值是 ．
18．（4 分）如图，已知矩形 ABCD（AB＞BC），将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 90°，点 、A D 分别落在点 、E F 处，连接 DF，如果点 G 是 DF 的中点，那么∠BEG 的正切值 是．
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＝﹣ ﹣ x2+4x 3 ＝﹣（x﹣2）2+1， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下， 抛物线的顶点坐标为（2，1）， 当 ≤x 2 时，y 随 x 的增大而增大；当 ≥x 2 时，y 随 x 的增大而减小； （2）当 ＝x 0 时，y＝﹣3；当 ＝x 1 时，y＝0；当 ＝x 2 时，y＝1；当 ＝x 3 时，y＝0；当 ＝x 4 时，y＝﹣3， 如图，
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣ ）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
6．（4 分）在△ABC 中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点 、D E 分别在边 、 AB AC 上，且 ∥ DE
BC，AD＝2BD，以 AD 为半径的⊙D 和以 CE 为半径的⊙E 的位置关系是（ ）
A．外离
B．外切
C．相交
当 的值是 时，DE∥BC． 14．（4 分）小明从山脚 A 出发，沿坡度为 ：1 2.4 的斜坡前进了 130 米到达 B 点，那么他所
初三数学2020奉贤初三一模(有答案)
上海市奉贤区2020届初三一模数学试卷2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知线段a 、b 、c ，如果::1:2:3a b c =，那么a bc b++的值是（ ） A. 13 B. 23 C. 35 D. 532. 在Rt ABC V 中，90C ︒∠=，如果A ∠的正弦值是14，那么下列各式正确的是（ ）A. 4AB BC =B. 4AB AC =C. 4AC BC =D. 4BC AC =3. 已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =uuu r r ，那么BA uu r 用a r表示正确的是（ ）A. 34a rB. 34a -rC. 43a rD. 43a -r4. 下列命题中，真命题是（ ）A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似5. 已知抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：根据上表，下列判断正确的是（ ）A. 该抛物线开口向上B. 该抛物线的对称轴是直线1x =C. 该抛物线一定经过点15(1,)2--D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 6. 在ABC V 中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果tan α=α的度数是8. 若a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为3，则a =r （用单位向量e r 表示向量a r ）9. 若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）10. 如果二次函数2(1)y a x =-(0)a ≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的 取值范围是11. 抛物线22y x bx =++与y 轴交于点A ，如果点(2,2)B 和点A 关于该抛物线的对称轴 对称，那么b 的值是12. 已知ABC V 中，90C ︒∠=，3cos 4A =，6AC =，那么AB 的长是 13. 已知ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若13AD AB =，则当AEEC的值是 时，DE ∥BC14. 小明从山脚A 出发，沿坡度为1:2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置 比原来的位置升高了 米15. 如图，将ABC V 沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''V 的位置，如果点A '恰好是ABC V 的重心，A B ''、A C ''分别于BC 交于点M 、N ，那么A MN 'V 的面积与ABC V 的面积之比是16. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O e 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O e 的面积，那么O e 的面积约是17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且3CD EC =，那么:AD AB 的值是18. 如图，已知矩形ABCD ()AB CD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 已知函数(1)(3)y x x =---.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.20. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC ︒∠=，45BAD ︒∠=，2DC =，6AB =， AE ⊥BD ，垂足为点F .（1）求∠DAE 的余弦值；（2）设DC a =uuu r r ，BC b =uu u r r ，用向量a r 、b r 表示AE uu u r .21. 如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，E 是»BC的中点，OE 与弦BC 交于点F .（1）如果C 是AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长.22. 如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD 垂直于水平地面GQ ，当点P 与点A 重合时，伞收紧；当点P 由点A 向点B 移动时，伞慢慢撑开；当点P 与点B 重合时，伞完全张开. 已知遮阳伞的高度CD 是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM PN CM ===50CN =厘米，120CE CF ==厘米，20BC =厘米.（1）当53CPN ︒∠=，求BP 的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E 到地面GQ 的距离. （参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.3︒≈）23. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结CE 、EF ，2CE DE CF =⋅.（1）求证：D CEF ∠=∠；（2）联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分∠ECF ， 求证：AC AE CB CG ⋅=⋅.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点(2,3)A -和点(5,0)B ， 顶点为C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值； （3）将抛物线2y x bx c =++向上平移t （0t >）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE BF =，求t 的值.25. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AD =5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE m =.（1）当点E 在边AD 上时，① 求CEF V 的面积；（用含m 的代数式表示） ② 当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF V 与CFG V 相似，求m 的值.参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. B5. C6. B一. 填空题7. 60︒8. 3e -r9. 22y x =（形如2y ax c =+(0)a ≠即可）10. 0a > 11. 2- 12. 8 13. 1414. 5015. 1916. 3 17. 3 18. 1三. 解答题19.（1）开口向下，顶点(2,1)，当2x ≤，y 随x 的增大而增大， 当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）略.20.（1）10；（2）334AE a b =+uu u r r r .21.（1）1:3；（2. 22.（1）40厘米；（2）196厘米. 23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）265y x x =-+，(3,4)C -；（2）3；（3）52.25.（1）① 2m -；② 3；（2。
2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷及答案解析
2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 1．（4分）已知线段a ，b ，c ，如果a ：b ：c ＝1：2：3，那么a+b c+b的值是（ ）A ．13B ．23C ．35D ．532．（4分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A 的正弦值是14，那么下列各式正确的是（ ） A ．AB ＝4BCB ．AB ＝4ACC ．AC ＝4BCD ．BC ＝4AC3．（4分）已知点C 在线段AB 上，AC ＝3BC ，如果AC →=a →，那么BA →用a →表示正确的是（ ） A ．34a →B ．−34a →C ．43a →D ．−43a →4．（4分）下列命题中，真命题是（ ） A ．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B ．邻边之比相等的两个矩形一定相似C ．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D ．对角线之比相等的两个矩形一定相似5．（4分）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x ⋅⋅⋅ 0 1 3 4 5 ⋅⋅⋅ y⋅⋅⋅﹣5−72−72﹣5−152⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（ ） A ．该抛物线开口向上B ．该抛物线的对称轴是直线x ＝1C ．该抛物线一定经过点（﹣1，−152）D ．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的6．（4分）在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2AC ＝12，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，AD ＝2BD ，以AD 为半径的⊙D 和以CE 为半径的⊙E 的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内含二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7．（4分）如果tan α=√3，那么锐角α的度数是 ．8．（4分）若a →与单位向量e →方向相反，且长度为3，则a →= （用单位向量e →表示向量a →）． 9．（4分）若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）．10．（4分）如果二次函数y ＝a （x ﹣1）2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是 ．11．（4分）抛物线y ＝x 2+bx +2与y 轴交于点A ，如果点B （2，2）和点A 关于该抛物线的对称轴对称，那么b 的值是 ．12．（4分）已知△ABC 中，∠C ＝90°，cos A =34，AC ＝6，那么AB 的长是 ． 13．（4分）已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若AD AB=13，则当AE EC的值是 时，DE ∥BC ．14．（4分）小明从山脚A 出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了 米．15．（4分）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A ′B ′C ′的位置，如果点A ′恰好是△ABC 的重心，A ′B ′、A ′C ′分别于BC 交于点M 、N ，那么△A ′MN 面积与△ABC 的面积之比是 ．16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O 的面积，那么⊙O 的面积约是 ．17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把。
上海市奉贤区2020届初三一模数学试卷
上海市奉贤区2020届初三一模数学试卷2020.01一、选择题1. 已知线段a 、b 、c ，如果3:2:1::=c b a ，那么bc ba ++的值是（ ） A. 31 B. 32 C. 53 D. 352. 在ABC △Rt 中，ο90=∠C ，如果A ∠的正弦值是41，那么下列各式正确的是（ ）A. BC AB 4=B. AC AB 4=C. BC AC 4=D. AC BC 4=3. 已知点C 在线段AB 上，BC AC 3=，如果a AC =，那么BA 用表示a 正确的是（ ） A.a 43 B. a 43- C. a 34 D. a 34- 4. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似 C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似5. 已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：根据上表，下列判断正确的是（ ）A. 该抛物线开口向上B. 该抛物线的对称轴是直线1=xC. 该抛物线一定经过点)215,1(-- D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 6. 在ABC △中，9=AB ，122==AC BC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BC DE //，BD AD 2=，以AD 为半径的ʘD 和以CE 为半径的ʘE 位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含二、填空题7. 如果3tan =α，那么锐角α的度数是 ；8. 若a 与单位向量e 方向相反，且长度为3，则=a ；（用单位向量e 表示向量a ） 9. 若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 ；（只需写一个） 10. 如果二次函数)0()1(2≠-=a x a y 的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是 ；11. 抛物线22++=bx x y 与y 轴交于点A ，如果点)2,2(B 和点A 关于该抛物线的对称轴对称，那么b 的值是 ；12. 已知ABC △中，ο90=∠C ，43cos =A ，6=AC ，那么AB 的长是 ； 13. 已知ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若31=AB AD ，则当ECAE的值是 时，BC DE //；14. 小明从山脚A 出发，沿坡度为4.2:1的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了 米；15. 如图，将ABC △沿BC 边上的中线AD 平移到C B A '''△的位置，如果点A '恰好是ABC △的重心，B A ''、C A ''分别与BC 交于点M 、N ，那么MN A '△的面积与ABC △的面积之比是 ；16. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，ʘO 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计ʘO 的面积，那么ʘO 的面积约是 ；17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且EC CD 3=，那么AB AD :的值是 ；18. 如图，已知矩形)(CD AB ABCD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转ο90，点A 、D 分别落在点E 、F 处，联结DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是 ；三、解答题19. 已知函数)3)(1(---=x x y 。
上海市奉贤区2020年中考数学一模试卷解析版
2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分）1．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A．B．C．D．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（）A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC3．（4分）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（）A．B．﹣C．D．﹣4．（4分）下列命题中，真命题是（）A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B．邻边之比相等的两个矩形一定相似C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D．对角线之比相等的两个矩形一定相似5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x⋅⋅⋅01345⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5﹣﹣﹣5﹣⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的6．（4分）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果tanα＝，那么锐角α的度数是．8．（4分）若与单位向量方向相反，且长度为3，则＝（用单位向量表示向量）．9．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）．10．（4分）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是．11．（4分）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是．12．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，那么AB的长是．13．（4分）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是时，DE∥BC．14．（4分）小明从山脚A出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B点，那么他所在的位置比原来的位置升高了米．15．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是．16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是．17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是．18．（4分）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．x⋅⋅⋅⋅⋅⋅y⋅⋅⋅⋅⋅⋅20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，DC＝2，AB＝6，AE⊥BD，垂足为点F．（1）求∠DAE的余弦值；（2）设＝，＝，用向量、表示．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，E是的中点，OE与弦BC交于点F．（1）如果C是的中点，求AD：DB的值；（2）如果⊙O的直径AB＝6，FO：EF＝1：2，求CD的长．22．（10分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．25．（14分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每题4分，共24分）1．（4分）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】直接利用已知进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，∴＝＝．故选：C．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A的正弦值是，那么下列各式正确的是（）A．AB＝4BC B．AB＝4AC C．AC＝4BC D．BC＝4AC【分析】根据正弦函数的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴sin A＝＝，∴AB＝4BC，故选：A．3．（4分）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由AC＝3BC，推出AB＝AC，由此即可解决问题．【解答】解：如图，∵AC＝3BC，∴AB＝AC，∴＝﹣，故选：D．4．（4分）下列命题中，真命题是（）A．邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B．邻边之比相等的两个矩形一定相似C．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D．对角线之比相等的两个矩形一定相似【分析】根据各选项的条件和相似形的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A选项错误；B、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；C、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以C选项错误；D、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以D选项错误；故选：B．5．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x⋅⋅⋅01345⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣5﹣﹣﹣5﹣⋅⋅⋅根据表，下列判断正确的是（）A．该抛物线开口向上B．该抛物线的对称轴是直线x＝1C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的【分析】由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5）可求对称轴x＝2，再任意取两点可确定函数的解析式即可．【解答】解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），可知函数的对称轴为x＝2，设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，得到a＝﹣，c＝﹣3，∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：C．6．（4分）在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】分别计算⊙D和以CE为半径的⊙E的半径，并计算DE的长，根据外切的定义可解答．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴，∵BC＝12，AD＝2BD，∴，DE＝8，∵⊙D的半径为AD＝6，⊙E的半径CE＝2，∴AD+CE＝6+2＝8＝DE，∴以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是外切，故选：B．二.填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．（4分）如果tanα＝，那么锐角α的度数是60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：∵tanα＝，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．8．（4分）若与单位向量方向相反，且长度为3，则＝﹣3（用单位向量表示向量）．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵与单位向量方向相反，且长度为3，∴＝﹣3，故答案为﹣3．9．（4分）若一条抛物线的顶点在y轴上，则这条抛物线的表达式可以是y＝2x2（答案不唯一）（只需写一个）．【分析】抛物线的顶点在y轴上，可得出b＝0，从而得出抛物线的解析式（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线的顶点在y轴上，∴b＝0，∴抛物线的解析式为y＝2x2，故答案为y＝2x2（答案不唯一）．10．（4分）如果二次函数y＝a（x﹣1）2（a≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是a＞0．【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝1的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，∴a＞0，故答案为a＞0．11．（4分）抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是﹣2．【分析】先确定A点坐标为（0，2），再利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据对称轴方程可求出b的值．【解答】解：当x＝0时，抛物线y＝x2+bx+2＝2，则A点坐标为（0，2），∵点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，∴b＝﹣2．故答案为﹣2．12．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，那么AB的长是8．【分析】根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到AC和AB的关系，从而可以求得AB的长，本题得以解决．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6，∴cos A＝＝，即＝，解得，AB＝8，故答案为：8．13．（4分）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是时，DE∥BC．【分析】根据平行线分线段成比例分析即可．【解答】解：∵要使DE∥BC，则需，∴故答案为：14．（4分）小明从山脚A出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B点，那么他所在的位置比原来的位置升高了50米．【分析】小明所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度的概念用x表示出小明前进的水平宽度，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了x米，∵坡度为1：2.4，∴小明前进的水平宽度为2.4米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即小明所在的位置比原来的位置升高了50米，故答案为：50．15．（4分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是．【分析】由重心的性质可得A'D＝AD，由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC 的面积之比＝（）2＝．【解答】解：∵点A′恰好是△ABC的重心，∴A'D＝AD，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，∴△ABC∽△A'MN，∴△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（）2＝，故答案为：．16．（4分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是3．【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD＝OA＝，求出△AOB的面积＝OB×AD＝，即可得出答案．【解答】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠AOB＝＝30°，∵AD⊥OB，∴AD＝OA＝，∴△AOB的面积＝OB×AD＝×1×＝∴正十二边形的面积＝12×＝3，∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，故答案为：3．17．（4分）如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD＝3EC，那么AD：AB的值是．【分析】根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠D＝∠C＝90°，∵∠AEB＝90°，∴∠DAE+∠DEA＝90°，∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DAE＝∠CEB，∴△ADE∽△ECB，∴，∵AD＝BC，CD＝3EC，∴DE＝2EC，∴，∴，∴AD：AB＝，故答案为：18．（4分）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是1．【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．【解答】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．三.解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14＝78分）19．（10分）已知函数y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．（1）指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．x⋅⋅⋅01234⋅⋅⋅y⋅⋅⋅﹣3010﹣3⋅⋅⋅【分析】（1）把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）分别计算出自变量为0、1、2、3、4对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数图象．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）．＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为（2，1），当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小；（2）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝1；当x＝3时，y＝0；当x＝4时，y＝﹣3，如图，故答案为0，﹣3；1，0；2，1；3，0；4，﹣3．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠BAD＝45°，DC＝2，AB＝6，AE⊥BD，垂足为点F．（1）求∠DAE的余弦值；（2）设＝，＝，用向量、表示．【分析】（1）作DM⊥AB于M，则四边形BCDM是矩形，得出BM＝CD＝2，BC＝DM，证出△ADM是等腰直角三角形，得出BC＝DM＝AM＝4，AD＝AM＝4，由勾股定理得出BD＝＝2，证明△ABF∽△BDC，得出＝，得出AF＝，由三角函数定义即可得出答案；（2）同（1）得△ABE∽△BCD，得出＝，求出BE＝3，得出＝＝，求出＝3＝3，即可得出＝+＝3+．【解答】解：（1）作DM⊥AB于M，如图所示：则四边形BCDM是矩形，∴BM＝CD＝2，BC＝DM，∴AM＝AB﹣BM＝4，∵∠BAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴BC＝DM＝AM＝4，AD＝AM＝4，∵AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠BDC＝∠ABF，∠C＝90°，∴BD＝＝＝2，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝90°＝∠C，∴△ABF∽△BDC，∴＝，即＝，解得：AF＝，∴cos∠DAE＝＝＝；（2）同（1）得：△ABE∽△BCD，∴＝，即＝，解得：BE＝3，∴BE＝BC，∴＝＝，∵AB∥CD，DC＝2，AB＝6，∴AB＝3DC，∴＝3＝3，∴＝+＝3+．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为点D，E是的中点，OE与弦BC交于点F．（1）如果C是的中点，求AD：DB的值；（2）如果⊙O的直径AB＝6，FO：EF＝1：2，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据垂径定理的推论得到OE⊥BC，＝＝，根据含30°的直角三角形的性质计算；（2）根据勾股定理求出BF，得到BC的长，证明△BFO∽△BDC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：（1）连接OC，∵E是的中点，∴＝，OE⊥BC，∵C是的中点，∴＝，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COE＝∠EOB＝60°，∴∠OCD＝30°，在Rt△COD中，∠OCD＝30°，∴OD＝OC，∴AD：DB＝1：3；（2）∵AB＝6，FO：EF＝1：2，∴OF＝1，在Rt△BOF中，BF＝＝＝2，∴BC＝4，∵CD⊥AB，OE⊥BC，∴∠BDC＝∠BFO＝90°，又∠B＝∠B，∴△BFO∽△BDC，∴＝，即＝，解得，CD＝．22．（10分）如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【分析】（1）如图1中，连接MN交CD于H．解直角三角形求出CH，PC即可解决问题．（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．利用相似三角形的性质求出CH，HD，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，连接MN交CD于H．∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，∴四边形PMCN是菱形，∴CP⊥NM，CH＝PH，∴PH＝PN•cos53°≈30（cm），∴PC＝2PH＝60cm，∴PB＝PC﹣BC＝40cm．（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．∵四边形CMBN是菱形，∴CJ＝JB＝10cm，∵MJ∥EH，∴△CMJ∽△CEH，∴＝，∴＝，∴CH＝24，∴HD＝CD﹣CH＝220﹣24＝196cm，∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离＝HD＝196cm．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论；（2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即＝∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，∴△CDE∽△CEF，∴∠D＝∠CEF．（2）如图所示：∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE，∴＝，即AC•AE＝CB•CG．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），顶点为C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；（2）点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；（3）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE＝BF，求t的值．【分析】（1）用待定系数法可求解析式，配方后即可求顶点C坐标；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得结论；（3）利用平移的性质表示E和F的坐标，根据两点的距离公式和BE＝BF列方程可得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和点B（5，0），∴解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴顶点C坐标为（3，﹣4）；（2）∵点A关于抛物线对称轴x＝3的对应点为点D，∴点D的坐标（4，﹣3），∴OD＝5，如图1，过O作OG⊥BD于G，∵点B（5，0），∴OB＝OD，∴DG＝BG＝BD＝＝，∴OG＝＝＝，∴tan∠ODB＝＝＝3；（3）如图2，∵抛物线y＝x2+bx+c向上平移t（t＞0）个单位，∴E（3，﹣4+t），F（5，t），∵BE＝BF，B（5，0），∴（3﹣5）2+（﹣4+t）2＝（5﹣5）2+t2，t＝．25．（14分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tan A＝2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE＝m．（1）当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF，再用勾股定理表示出AF，再判断出△AEF ∽△BGF，得出比例式表示出CG，即可得出结论；②先表示出FG，再用S△DCE＝4S△BFG建立方程求出m，即可得出结论；（2）分两种情况：①当△AEF∽△CGF时，得出∠AFE＝∠CFG，进而得出BG＝BC ＝，FG＝BG tan∠CBF＝，再根据勾股定理得，BF＝＝，进而得出AF＝AB+BF＝5+＝，最后判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF∽△CGF时，先判断出∠AFC＝90°，进而得出CF＝2BF，再根据勾股定理得，求出BF＝1，得出AF＝AB+BF＝6，同理：BG＝，再判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∵EF⊥AD，∴∠AEF＝90°，在Rt△AEF中，tan A＝2，AE＝m，∴EF＝AE tan A＝2m，根据勾股定理得，AF＝＝m，∵AB＝5，∴BF＝5﹣m，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝，AD∥BC，∴∠G＝∠AEF＝90°，∴△AEF∽△BGF，∴，∴，∴BG＝﹣m，∴CG＝BC+BG＝+﹣m＝2﹣m，∴S△CEF＝EF•CG＝•2m•（2﹣m）＝2m﹣m2；②由①知，△AEF∽△BGF，∴，∴FG＝•EF＝•2m＝2（﹣m），∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2，∴S△CDE＝DE•EG＝（﹣m）•2＝5﹣m，S△BFG＝BG•FG＝（﹣m）•2（﹣m）＝（﹣m）2，S△DCE＝4S△BFG时，∴5﹣m＝4（﹣m）2，∴m＝（舍）或m＝，∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝，∴AE：ED＝：＝3，即：AE：ED的值为3；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝，AD∥BC，∵EF⊥AD，∴EF⊥BC，∴∠AEF＝∠CGF＝90°，∵△AEF与△CFG相似，∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，∴∠AFE＝∠CFG，∵EF⊥BC，∴BG＝BC＝，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∵tan A＝2，∴tan∠CBF＝2，在Rt△BGF中，FG＝BG tan∠CBF＝，根据勾股定理得，BF＝＝，∴AF＝AB+BF＝5+＝，∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴，∴，∴m＝；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC，∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°，∴∠AFC＝90°，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tan A＝2，在R△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2＝（）2，∴BF＝1，∴AF＝AB+BF＝6，在Rt△BGF中，同理：BG＝，∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴，∴，∴m＝．即：如果△AEF与△CFG相似，m的值为或．。
2020-2021学年上海奉贤区初三(上)中考一模数学试卷(pdf版,含答案)
2020学年奉贤区质量调研 九年级数学（202101）一、选择题1. 将抛物线=y x 22向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A . =−y x 212B . =+y x 212C . =+y x 212)(D . =−y x 212)( 2. 下列两个图形一定相似的是（ ） A . 两个菱形 B . 两个正方形C . 两个矩形D . 两个梯形3. 已知a b ,和c 都是非零向量，下列结论中不能确定a //b 的是（ ） A. =a bB . =a b 23C . a //c c ,//bD . ==a c b c 2,314. 在Rt ABC 中，∠C =90°，如果AC =3，=A 4cos 3，那么AB 的长为（ ） A .49 B . 4C . 5D .425 5. 如果O 1和O 2内含，圆心距=O O O 4,121的半径长是6，那么O 2的半径r 的取值范围是（ ）A . 0<r <2B . 2<r <4C . r >10D . 0<r <2或r >106. 如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =3AD ，对角线AC 、BD 交于点O ，EF 是梯形ABCD 的中位线，EF 与BD 、AC 分别交于点G 、H ，如果OGH 的面积为1，那么梯形ABCD 的面积为（ ） A . 12 B . 14 C . 16 D . 18二、填空题7. 如果=a b 25，那么=ba____________ 8. 如果4是a 与8的比例中项，那么a 的值为____________9. 如果二次函数=++−y mx x m 212的图像经过点P （1,2），那么m 的值为____________10. 如果二次函数=−y x 12)(的图像上有两点y 2,1)(和y 4,2)(，那么y 1____________y 2（填“>”、“=”或“<”）学习是件很有意思的事11. 如图2，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方 形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米， 设垂直于墙的一段篱笆长为x 米，可列出方程为____________12. 如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么这两个三角形对应边上的高之比为____________13. 已知点P 是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果AB =2厘米，那么BP =____________厘米14. 已知某斜坡的坡度i =1:3，当铅垂高度为3米时，水平宽度为____________米15. 如果点G 是ABC 的重心，且AG =6，那么BC 边上的中线长为____________16. 如图3，已知点D 在ABC 的边BC 上，联结 AD ，P 为AD 上一点，过点P 分别作AB 、AC 的平行线交BC 于点E 、F ，如果BC =3EF ，那么APPD=____________ 17. 当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果抛物线21:2C y x x =−与抛物线2C 关于直线1x =−的对称曲线，那么抛物线2C 的表达式为____________18. 如图4，在Rt ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，CD 是ABC 的角平分线，将Rt ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为____________三、解答题19. 已知:2:3,:3:4a b b c ==，且26a b c +−=，求,,a b c 的值20. 如图5，已知抛物线23y x ax =−++与y 轴交于点A ，且对称轴是直线1x =. （1）求a 的值域该抛物线顶点P 的坐标；（2）已知点B 的坐标为()1,2−，设,OA a OP b ==，用向量,a b 表示OB .21. 如图6，在ABC 中，5AB AC ==，BC =2，过点B 作BD AC ⊥，垂足为点D . （1）求cot ∠ACB 的值；（2）点E 是BD 延长线上一点，联结CE ，当∠E =∠A 时，求线段CE 的长.22. 如图7-1是一个手机的支架，由底座、连杆AB 、BC 、CD 和托架组成（连杆AB 、BC 、CD 始终在同 一平面内），连杆AB 垂直于底座且长度为8.8厘米，连杆BC 的长度为10厘米，连杆CD 的长度可以 进行伸缩调整.（1）如图7-2，当连杆AB 、BC 在一条直线上，且连杆CD 的长度为9.2厘米，∠BCD =143°时，求点D 到底座的高度（计算结果保留一位小数）（2）如图7-3，如果∠BCD =143°保持不变，转动连杆BC ，使得∠ABC =150°，假如AD //BC 时为最佳视线状态，求最佳视线状态时连杆CD 的长度（计算结果保留一位小数） （参考数据：sin530.80,cos530.60,cot 530.75︒≈︒≈︒≈）23. 如图8，在四边形ABCD 中，∠B =∠DCB ，联结AC ，点E 在边BC 上，且∠CDE =∠CAD ，DE 与AC 交于点F ，CE CB AB CD ⋅=⋅. （1）求证：AD //BC ；（2）当AD =DE 时，求证：2AF CF CA =⋅.24. 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =−++与x 轴正半轴交于点A (4,0)，与y 轴交于点B (0,2)，点C 在该抛物线上且在第一象限. （1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当AD =3BD 时，求m 的值； （3）联结BC ，当∠CBA =2∠BAO 时，求点C 的坐标.25. 已知O 的直径AB =4，点P 为弧AB 上一点，联结P A 、PO ，点C 为劣弧AP 上一点（点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交P A 、PO 于点D 、E .（1）如图10，当7cos 8CBO ∠=时，求BC 的长； （2）当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP 与AOP 相似时，求∠ABC 的度数： （3）当AD =2DP ，且BEO 为直角三角形时，求四边形AOED 的面积.参考答案一、选择题1. C2. B3. A4. B5. D6. C二、填空题 7.52 8. 42 9. 1210. < 11. ()17324x x ⋅−= 12. 1:4 13.51− 14. 9 15. 9 16. 2 17. ()231y x =+− 18. 37三、解答题19. 4,6,8a b c ===20.（1）a 的值域为2，P （1,4） （2）2OB a b =−+ 21.（1）12（2）5222.（1）26.2cm （2）7.3cm23.（1）证明略 （2）证明略24.（1）213222y x x =−++ （2）32（3）C （2,3） 25.（1）72（2）18° （3）53百人驳相对论(信念)爱因斯坦的“相对论”发表以后，有人曾创造了一本《百人驳相对论》，网罗了一批所谓名流对这一理论进行声势浩大的反驳。
精品解析：2020年上海市奉贤区九年级上学期期末(一模)数学试题(解析版)
2020届奉贤区中考数学一模一、选择题1.已知线段,,a b c ，如果::1:2:3a b c =，那么a bc b++的值是（ ） A.13B.23C. 35D.53【答案】C 【解析】 【分析】由::1:2:3a b c =，可设a=k ，b=2k ，c=3k ，(k ≠0)，即可得到答案. 【详解】∵::1:2:3a b c =， ∴设a=k ，b=2k ，c=3k ，(k ≠0)， ∴a b c b ++=2333255k k k k k k +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查分式求值，根据比值，设k 值，是解题的关键. 2.在Rt ABC ∆中，90C =o ∠，如果A ∠的正弦值是14，那么下列各式正确的是（ ） A. 4AB BC = B. 4AB AC =C. 4AC BC =D. 4BC AC =【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案. 【详解】∵在Rt ABC ∆中，90C =o ∠，A ∠正弦值是14， ∴sinA=BC AB =14， ∴4AB BC =， 故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键. 3.已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r表示正确的是（ ）A. 34a rB. 34a -rC. 43a rD. 43a -r【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点C 线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r，∴BA=43AC ， ∵BA u u u r 与AC u u ur 方向相反，∴BA u u u r =43a -r ，故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键. 4.下列命题中，真命题是（ ）A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似 B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似 C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似【答案】B 【解析】 【分析】根据相似多边形的判定定理，逐一判断选项，即可.【详解】∵邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等， ∴邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似， 故A 错误；∵邻边之比相等的两个矩形一定相似， 故B 正确；∵对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等， ∴对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似， 故C 错误；∵对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等， ∴对角线之比相等的两个矩形不一定相似， 故D 错误.故选B.【点睛】本题主要考查相似多边形的判定定理，掌握对应边成比例，对应角相等，是解题的关键. 5.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：根据上表，下列判断正确的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 该抛物线的对称轴是直线1x =C. 该抛物线一定经过点15(1,)2-- D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的【答案】C 【解析】 【分析】根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线2x =，当x ≤2时，y 随x 的增大而增大，从而可得到答案. 【详解】∵抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点（1，72），（3，72）， ∴该抛物线的对称轴是：直线2x =， 故B 错误；∵由表格可知：当x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的， 故A ，D 错误；∵该抛物线的对称轴是：直线2x =，点（5，152-）在抛物线上， ∴该抛物线一定经过点15(1,)2--， 故C 正确. 故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键.6.在ABC ∆中，9AB =，212BC AC ==，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切C. 相交D. 内含【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，易证∆ADE ~∆ABC ，得：DE=8，结合两个圆的半径，即可得到答案. 【详解】∵在ABC ∆中，9AB =，212BC AC ==，//DE BC ，2AD BD =，如图： ∴∆ADE ~∆ABC ， ∴2=3DE AD BC AB =，即：DE 2=3BC=212=83⨯， ∵以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的半径分别为6，2， 即：6+2=8，∴以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是：外切， 故选B.【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，求出两个圆的圆心的距离，是解题的关键.二、填空题7.如果tan 3α=α的度数是____________. 【答案】60o 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】∵tan 603=o ，∴锐角α的度数是：60o . 故答案是：60o【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角三角函数值，是解题的关键. 8.若a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为3，则a =r _______（用单位向量e r 表示向量a r） 【答案】3-re 【解析】 【分析】根据a r 与单位向量e r的关系，即可求解.【详解】∵a r 与单位向量e r方向相反，且长度为3，∴a =r3-r e . 故答案是：3-re .【点睛】本题主要考查用单位向量表示其他向量，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键. 9.若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是___________（只需写一个）【答案】22y x =【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在y 轴上，可知：b=0，即可求解. 【详解】∵一条抛物线的顶点在y 轴上， ∴02ba-=，即：b=0， ∴这条抛物线的表达式可以是：22y x =.故答案是：22y x =.【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键. 10.如果二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是__________. 【答案】0a >【解析】 【分析】由题意得：二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像开口向上，进而，可得到答案. 【详解】∵二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的， ∴二次函数2(1)(0)y a x a =-≠的图像开口向上， ∴0a >. 故答案是：0a >【点睛】本题主要考查二次函数图象和二次函数的系数之间的关系，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.11.抛物线22y x bx =++与y 轴交于点A ，如果点(2,2)B 和点A 关于该抛物线的对称轴对称，那么b 的值是_________. 【答案】-2 【解析】 【分析】由点(2,2)B 和点A 关于该抛物线的对称轴对称，可知：抛物线的对称轴是：直线x=1，进而可得b 的值. 【详解】∵抛物线22y x bx =++与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标是：（0，2），∵点(2,2)B 和点A 关于该抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴是：直线x=1，即：12ba-=， ∴121b-=⨯，解得：b=-2. 故答案是：-2.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴公式，理解二次函数图象的轴对称性，是解题的关键. 12.已知ABC ∆中，90C =o ∠，3cos 4A =，6AC =，那么AB 的长是________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解. 【详解】∵ABC ∆中，90C =o ∠，3cos 4A =，6AC =， ∴AB =683cos 4AC A ==，故答案是：8.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，牢记余弦三角函数的定义，是解题的关键. 13.已知ABC ∆中，点,D E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若13AD AB =，则当AE EC的值是______时，//DE BC .【答案】14【解析】 【分析】易得：∆ADE ~∆ABC ，从而得到：13AD AE AB AC ==，即可得到答案. 【详解】∵点,D E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上， 若//DE BC ，则∆ADE ~∆ABC ，∴13AD AE AB AC ==， ∴AE EC =14. 故答案是：14【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键.14.小明从山脚A 出发，沿坡度为1:2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了__________米． 【答案】50 【解析】 【分析】设他所在的位置比原来的位置升高了x 米，根据坡度为1:2.4和勾股定理，列出方程，即可求解. 【详解】设他所在的位置比原来的位置升高了x 米， ∵坡度为1:2.4，∴他所在的位置比原来的位置水平移动了2.4x 米，∴222(2.4)130x x +=，解得：x=50，故答案是：50.【点睛】本题主要考查坡度的定义和应用，根据题意，列出方程，是解题的关键.15.如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，如果点'A 恰好是ABC ∆的重心，''A B 、''A C 分别于BC 交于点,M N ，那么'A MN ∆的面积与ABC ∆的面积之比是__________．【答案】19【解析】 【分析】易证∆A’MN ~∆ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解. 【详解】∵ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置， ∴A’M ∥AB ，A’N ∥AC ， ∴∠A’MN=∠B ，∠A’NM=∠C ， ∴∆A’MN ~∆ABC ，∵AD 和A’D 分别是∆A’MN 和∆ABC 对应边上的中线，点'A 恰好是ABC ∆的重心， ∴''13A D A M AD AB ==， ∴'A MN ∆的面积与ABC ∆的面积之比是：19， 故答案是：19. 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键. 16.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O e 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O e 的面积，那么O e 的面积约是.__________．【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的内接正十二边形中的一个三角形的面积，再乘以12，即可得到答案. 【详解】由题意得：∠O=30°，AO=BO=1，如图，作AC ⊥OB ，则AC=1111222AO =⨯=， ∴∆AOB 的面积是：1×12×12=14，∴圆的内接正十二边形的面积是：14×12=3，即：O e 的面积约是3. 故答案是：3.【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的面积，根据题意，画出图形，先求出三角形的面积，是解题的关键.17.如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且3CD EC =，那么:AD AB 的值是__________.【答案】23【解析】【分析】先证明∆BEC ~∆EAD ，可得：BC CEED DA=，设EC=x ，则AB=CD=3x ，ED=2x ，结合AD=BC ，可得：2AD x =，进而可得到答案.【详解】∵E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，∴∠AEB=90°， ∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠EAD+∠AED=90°， ∴∠BEC=∠EAD ， ∵∠D=∠C ， ∴∆BEC ~∆EAD ， ∴BC CEED DA=， ∵3CD EC =，设EC=x ，则AB=CD=3x ，ED=2x ， ∴2BC xx DA=， ∵AD=BC ，∴2222AD x x x =⋅=，即：2AD x =，∴:AD AB =2x ：3x=23. 故答案是：23. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，设EC=x ，用代数式表示线段长，是解题的关键. 18.如图，已知矩形ABCD （AB BC >），将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点,A D 分别落在点,E F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是_______.【答案】1 【解析】【分析】画出图形，延长EG交DC于点M，先证明∆GMD≅∆GEF，由等量代换，可得：CM=CE，进而可求出BEG∠的正切值.【详解】延长EG交DC于点M，∵点G是DF的中点，∴DG=FG，∵EF∥DC，∴∠GDM=∠GFE，∠GMD=∠GEF，在∆GMD和∆GEF，∵GDM GFEGMD GEF DG FG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆GMD≅∆GEF(AAS)，∴EF=MD，∴BC=EF=MD，∵DC=BE，∴DC-MD=BE-BC，即：CM=CE，∵∠MCE=90°，∴∠BEG=45°，∴BEG∠的正切值是：1，故答案是：1.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.三、解答题19.已知函数1)3)y x x =---((. （1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.x L L yLL【答案】（1）开口向下，顶点(2,1)，当2x ≤，y 随x 的增大而增大，当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据二次函数的系数的意义和二次函数的性质，即可得到答案； (2)根据描点法，画出图象，即可. 【详解】（1）∵a=-1<0， ∴函数图像的开口向下，∵221)3)=43(2)1y x x x x x =----+-=--+((， ∴顶点坐标是：(2,1)，∵抛物线的对称轴是：直线x=2，∴当2x ≤，y 随x 的增大而增大，当2x ≥，y 随x 的增大而减小； （2）当x=-1，0，1，2，3，4时，y=-8，-3，0，1，0，-3；如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质和描点法画图象，是解题的关键. 20.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，45BAD o ∠=，2DC =，6AB =，AE BD ⊥，垂足为点F .（1）求DAE ∠的余弦值；（2）设DC a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，用向量a r 、b r 表示AE u u u r.【答案】（1310（2）334AE a b =+u u u r r r【解析】 【分析】(1)作DM ⊥AB ，垂足为M ，易得：DM=AM=4，2，BC=DM=4，从而得tan ∠BAE=12=，设BF=x ，则AF=2x ，根据勾股定理，即可求解；(2)易得：3344BE BC b ==u u u r u u u r r ，33AB DC a ==u u u r u u u r r ，根据+AE AB BE =u u u r u u u r u u u r，即可求解.【详解】（1）作DM ⊥AB ，垂足为M ，∵在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ， ∴四边形BCDM 是矩形，∴BM=CD=2，AM=AB-BM=6-2=4， ∵45BAD o ∠=，∴∆AMD 是等腰直角三角形，∴DM=AM=4，，BC=DM=4， ∴tan ∠CBD=2142CD BC ==， ∵AE BD ⊥， ∴∠BEF+∠EBF=90°， ∵∠BEF+∠BAE=90°， ∴∠EBF =∠BAE ， ∴tan ∠BAE=12=， 设BF=x ，则AF=2x ，∵在Rt ∆ABF 中，222BF AF AB +=，∴222(2)6x x +=，解得：∴∴DAE ∠的余弦值=10AF AD ==； （2）∵AB=6，tan ∠BAE=12=， ∴BE=3， ∵BC=4，∴BE=34BC ，即： 3344BE BC b ==u u u r u u u r r ，∵CD=2，AB=6, //AB CD ， ∴33AB DC a ==u u u r u u u r r，∵3+34AE AB BE a b ==+u u u r u u u r u u u r r r .【点睛】本题主要考查三角函数得应用和平面向量加法的三角形法则，掌握平面向量加法的三角形法则，是解题的关键.21.如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD AB ⊥，垂足为点D ，E 是弧BC 的中点，OE 与弦BC 交于点F .（1）如果C 是弧AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长.【答案】（1）1:3；（2）423【解析】 【分析】(1)连接AC ，由E 是弧BC 的中点，C 是弧AE 的中点，AB 是O e 的直径，得：∠B=30°，∠ACB=90°，∠A=60°，从而得到：AD ：AC ：AB=1：2：4，进而即可求解；(2)由O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，得：FO=1，进而求得：AC=2，BC=2求解.【详解】连接AC ，∵E 是弧BC 的中点，C 是弧AE 的中点， ∴弧AC=弧CE=弧BE ， ∵AB 是O e 的直径，∴∠B=30°，∠ACB=90°，∠A=60°， ∵CD AB ⊥，∴∠ACD=30°，∴AD ：AC ：AB=1：2：4， ∴AD ：DB=1：3；（2）∵O e 的直径6AB =， ∴OE=3，∵:1:2FO EF =， ∴FO=1，∵E 是弧BC 的中点， ∴OE ⊥BC ， ∵AC ⊥BC ， ∴AC ∥OE ， ∴AC=2OF=2， ∴BC=22226242AB AC -=-=，∵CD AB ⊥， ∴CD=2424263AC BC AB ⋅⨯==.【点睛】本题主要考查圆的性质和直角三角形的性质的综合，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.22.如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD 垂直于水平地面GQ ，当点P 与点A 重合时，伞收紧；当点P 由点A 向点B 移动时，伞慢慢撑开；当点P 与点B 重合时，伞完全张开.已知遮阳伞的高度CD 是220厘米，在它撑开的过程中，总有50PM PN CM CN ====厘米，120CE CF ==厘米，20BC =厘米. （参考数据：sin 530.8≈o ，cos530.6≈o ，tan 53 1.3≈o ） （1）当053CPN ∠=，求BP 的长？（2）如图，当金定全张开时，求点E 到地面GQ 的距离.【答案】（1）40厘米；（2）196厘米 【解析】 【分析】（1）连接MN ，交PC 于点O ，易证：四边形MPNC 是菱形，由053CPN ∠=，可求PO 的长，进而求出PC 的长，即可求解；（2）连接MN ，交PC 于点O ，作EH ⊥CD ，垂足是H ，易证：MO ∥EH ，得到：CM COCE CH=，求出CH=24，进而即可求解.【详解】（1）连接MN ，交PC 于点O ，如图1， ∵50PM PN CM CN ====， ∴四边形MPNC 是菱形， ∴MN ⊥CP ，CO=PO ， ∵053CPN ∠=，∴PO=PN ∙cos53°=50×0.6=30， ∴PC=2PO=2×30=60， ∵20BC =，∴BP=PC-BC=60-20=40（厘米）；（2）连接MN ，交PC 于点O ，作EH ⊥CD ，垂足是H ，如图2， ∵四边形MPNC 是菱形， ∴CO=BO=12BC =120=102⨯，MO ⊥BC ， ∵EH ⊥CD ， ∴MO ∥EH ， ∴CM CO CE CH =，即：5010120CH=，∴DH=CD-CH=220-24=196（厘米）， 即：点E 到地面GQ 的距离是196厘米.图1 图2【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质定理以及三角函数的定义，添加合适的辅助线，是解题的关键.23.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结,CE EF ，2CE DE CF =•.（1）求证：D CEF ∠=∠；（2）联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分ECF ∠，求证：AC AE CB CG •=•.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)由∠FCE=∠CED ，2CE DE CF =⋅，可得：∆FCE ~∆CED ，即可得到结论； (2)先证∆ECG~∆DAC ，可得：EC CGDA AC=，结合AE=CE ，DA=CB ，即可得到结论. 【详解】（1）∵在平行四边形ABCD 中，∴∠FCE=∠CED ， ∵2CE DE CF =⋅， ∴CF ECEC DE=， ∴∆FCE ~∆CED ， ∴D CEF ∠=∠； （2）∵AC 平分ECF ∠， ∴∠ACE=∠ACB ， ∵AD ∥BC ， ∴∠ACB=∠CAE ， ∴∠ACE=∠CAE ， ∴AE=CE ， ∵D CEF ∠=∠， ∴∆ECG~∆DAC ， ∴EC CGDA AC=， ∴AC EC DA CG ⋅=⋅， ∵DA=CB ，∴AC AE CB CG ⋅=⋅【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，找到对应角相等，对应边成比例，以及进行适当的等量代换，是解题的关键.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点3(2,)A -和点(5,0)B ，顶点为C . （1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结,OD BD ，求ODB ∠的正切值；（3）将抛物线2y x bx c =++向上平移(0)t t >个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE BF =，求t 的值.【答案】（1）265y x x =-+，(3,4)C -；（2）3；（3）52【解析】 【分析】(1)根据待定系数法，即可求解；(2)根据题意，画出图形，由224+(3)5-=，OB=5，可得：∠OBD=∠ODB ，即可求解； (3)根据题意：可得：24(4)t +-+BF=t ，列出关于t 的方程，即可求解. 【详解】（1）∵抛物线2y x bx c =++经过点3(2,)A -和点(5,0)B ，∴3420255b c b c -=++⎧⎨=++⎩，解得：65b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式是：265y x x =-+， 即：2(3)4y x =--， ∴(3,4)C -；（2）∵抛物线的对称轴是：直线x=3，点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ， ∴点D 的坐标（4，-3），∴OD=224+(3)5-=，∵OB=5，∴OB=OD ， ∴∠OBD=∠ODB ，过点D 作DE ⊥x 轴，则DE=3，BE=5-4=1，∴tan ∠ODB=tan ∠OBD=DE BE=3； （3）∵抛物线2y x bx c =++向上平移(0)t t >个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，∴E （3，-4+t ），F （5，t ），∴BE=22(53)(40)t -+-+-=24(4)t +-+，BF=t ，∵BE BF =，∴24(4)t +-+=t ，解得：t=52.【点睛】本题主要考察二次函数的图象和平面几何图形的综合，根据题意画出图形，列出方程，是解题的关键.25.如图，已知平行四边形ABCD 中，5AD =5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结,CE CF ，设AE m =. （1）当点E 在边AD 上时，①求CEF ∆的面积；（用含m 的代数式表示）②当4DCE BFG S S ∆∆=时，求:AE ED 值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF ∆与CFG ∆相似，求m 的值.【答案】（1）①225CEF S m m ∆=-+，②3：1；（2）655352【解析】【分析】 (1)①作EM ⊥AB ，DN ⊥AB ，由CEF AFCD AEF DCE S S S S ∆∆∆=--，即可求解；②易证：∆AEF~∆BGF ，得：2225()(5)AEF BGF S BF m S AF m ==V V ，即：BGF S V =2255m m -+，结合=55DCE S m ∆，4DCE BFG S S ∆∆=，即可得到答案；(2)由∠AEF=∠FGC=90°，AEF ∆与CFG ∆相似，分两种情况讨论：①当AEF ∆~FGC ∆时，②当AEF ∆~CGF ∆时，分别求出答案，即可.【详解】(1) ①作EM ⊥AB ，DN ⊥AB ，如图1，∵tan 2A =，∴EM ：AM ：AE=2：15，DN ：AN ：AD=2：15∵AE m =，∴2525=，5225=， ∵EF AD ⊥， ∴tan 2=EF AEA =，即：EF=2m ，5m ， ∴CEF AFCD AEF DCE S S S S ∆∆∆=--=11125(55)225(2)222m m m +⨯-⨯⨯-⨯⨯-， 即：225CEF S m m ∆=-+②∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∆AEF~∆BGF ，∴2()AEF BGF S BF S AF ==V V ，∴2BGF S m =V =25255m -+=25m -+，∵15(2)=52DCE S ∆=⨯⨯-，∴当4DCE BFG S S ∆∆=时，5-=24(5)m ⨯-+，解得：1m =2m∴= ∴:AE ED =3：1；(2)∵∠AEF=∠FGC=90°，∴AEF ∆与CFG ∆相似，分两种情况讨论：①当AEF ∆~FGC ∆时，如图1，∴∠AFE=∠FCG ，∵∠AFE+∠GBF=90°，∴∠FCG+∠GBF=90°，∴∠BFC=90°，∴BF ：CF ：BC=1：2∵，∴BF=1，∴AF=AB+BF=5+1=6，∵AE ：EF ：AF=1：2∴AE=6÷ ②当AEF ∆~CGF ∆时，如图3，∴∠AFE=∠CFG ，在∆BFG 和∆CFG 中，∵AFE CFG GF GFBGF CGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆BFG≅∆CFG(ASA)，∴BG=CG=152CD=，∵BG：GF：BF=1：2：5，∴BF=52，∴AF=5+52=152，∵AE：EF：AF=1：2：5，∴AE=152÷5=352，即：m=352；综上所述：m=655或352.图1 图2 图3【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，进行分类讨论，画出图形，是解题的关键，体现了数形结合和分类讨论的数学思想.。
2020奉贤初三一模
上海市奉贤区2020届初三一模数学试卷2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知线段a 、b 、c ，如果::1:2:3a b c =，那么a bc b++的值是（ ） A. 13 B. 23 C. 35 D. 532. 在Rt ABC V 中，90C ︒∠=，如果A ∠的正弦值是14，那么下列各式正确的是（ ）A. 4AB BC =B. 4AB AC =C. 4AC BC =D. 4BC AC =3. 已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =uuu r r ，那么BA uu r 用a r表示正确的是（ ）A. 34a rB. 34a -rC. 43a rD. 43a -r4. 下列命题中，真命题是（ ）A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似5. 已知抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：根据上表，下列判断正确的是（ ）A. 该抛物线开口向上B. 该抛物线的对称轴是直线1x =C. 该抛物线一定经过点15(1,)2--D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 6. 在ABC V 中，9AB =，212BC AC ==，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，2AD BD =，以AD 为半径的D e 和以CE 为半径的E e 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果tan α=α的度数是8. 若a r 与单位向量e r 方向相反，且长度为3，则a =r （用单位向量e r 表示向量a r）9. 若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）10. 如果二次函数2(1)y a x =-(0)a ≠的图像在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的 取值范围是11. 抛物线22y x bx =++与y 轴交于点A ，如果点(2,2)B 和点A 关于该抛物线的对称轴 对称，那么b 的值是12. 已知ABC V 中，90C ︒∠=，3cos 4A =，6AC =，那么AB 的长是 13. 已知ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若13AD AB =，则当AEEC的值是 时，DE ∥BC14. 小明从山脚A 出发，沿坡度为1:2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置 比原来的位置升高了 米15. 如图，将ABC V 沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''V 的位置，如果点A '恰好是ABC V 的重心，A B ''、A C ''分别于BC 交于点M 、N ，那么A MN 'V 的面积与ABC V 的面积之比是16. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，O e 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计O e 的面积，那么O e 的面积约是17. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E 是矩形ABCD 的一个“直角点”，且3CD EC =，那么:AD AB 的值是18. 如图，已知矩形ABCD ()AB CD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么BEG ∠的正切值是三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 已知函数(1)(3)y x x =---.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图像.20. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90ABC ︒∠=，45BAD ︒∠=，2DC =，6AB =， AE ⊥BD ，垂足为点F .（1）求∠DAE 的余弦值；（2）设DC a =uuu r r ，BC b =uu u r r ，用向量a r 、b r 表示AE uu u r .21. 如图，已知AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，E 是»BC的中点，OE 与弦BC 交于点F .（1）如果C 是AE 的中点，求:AD DB 的值；（2）如果O e 的直径6AB =，:1:2FO EF =，求CD 的长.22. 如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD 垂直于水平地面GQ ，当点P 与点A 重合时，伞收紧；当点P 由点A 向点B 移动时，伞慢慢撑开；当点P 与点B 重合时，伞完全张开. 已知遮阳伞的高度CD 是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM PN CM ===50CN =厘米，120CE CF ==厘米，20BC =厘米.（1）当53CPN ︒∠=，求BP 的长？（2）如图，当伞完全张开时，求点E 到地面GQ 的距离. （参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.3︒≈）23. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结CE 、EF ，2CE DE CF =⋅.（1）求证：D CEF ∠=∠；（2）联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分∠ECF ， 求证：AC AE CB CG ⋅=⋅.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点(2,3)A -和点(5,0)B ， 顶点为C .（1）求这条抛物线的表达式和顶点C 的坐标；（2）点A 关于抛物线对称轴的对应点为点D ，联结OD 、BD ，求∠ODB 的正切值； （3）将抛物线2y x bx c =++向上平移t （0t >）个单位，使顶点C 落在点E 处，点B 落在点F 处，如果BE BF =，求t 的值.25. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AD =5AB =，tan 2A =，点E 在射线AD 上，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为点E ，交射线AB 于点F ，交射线CB 于点G ，联结CE 、CF ，设AE m =.（1）当点E 在边AD 上时，① 求CEF V 的面积；（用含m 的代数式表示） ② 当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值；（2）当点E 在边AD 的延长线上时，如果AEF V 与CFG V 相似，求m 的值.参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. B5. C6. B一. 填空题7. 60︒8. 3e -r9. 22y x =（形如2y ax c =+(0)a ≠即可）10. 0a > 11. 2- 12. 8 13. 1414. 5015. 1916. 3 17. 3 18. 1三. 解答题19.（1）开口向下，顶点(2,1)，当2x ≤，y 随x 的增大而增大， 当2x ≥，y 随x 的增大而减小；（2）略.20.（1）10；（2）334AE a b =+uu u r r r .21.（1）1:3；（2. 22.（1）40厘米；（2）196厘米. 23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）265y x x =-+，(3,4)C -；（2）3；（3）52.25.（1）① 2m -；② 3；（2。
2024年上海市奉贤区中考一模 数学 试题(学生版+解析版)
2024年上海市奉贤区中考一模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）l下列函数中是二次函数的是()A.y=2x+lB.y =—2xC.y=x 2 +22.将抛物线y=x 2向右平移3个单位长度得到的抛物线是（A. y=x 2+3B. y=x 2-3C. y =(x -3)2D.y＝启D.y=(x +3)23在Rt丛ABC 中，乙C=90气AC=S ，乙4=a ，那么BC 的长是（）A.St an aB. 5c ot aC. 5sin aD. Sc os a4如图，在心灶死中，点D、E 分别在AB、AC 的反向延长线上，已知AB =2AD,下列条件中能判定DEii BC 的是()EDBAC l DEl AC 2 A.—=－B.—=－C —= －AE2BC 2EC 3s.已知同＝5,例＝3'且b 与a 方向相反，下列各式正确的是（）3.3.5.5 A .b=::...aB. b=-::...aC. b=::...aD.b=-::...a5 5 336如图，将＂访C 绕点8顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A、C 的对应点分别为D、E ，边DE 交AE 2D.—=－EC 3BC 千点F,连接CE.下列两个三角形不一定相似的是(BCA.6BAD 与_BCEB.VBDF 与1:::,.ECFC.. DCF 与6.BEFD. 6DBF 与．DEB二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）x-y 7.如果x :y =5:3,那么——-=8计算3(2a+b)-4a=9已知抛物线y =(a-2)入3-x开口向上，那么a的取值范围是10已知抛物线y =-2x 2 +l在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”)ll．如果P是线段AB的黄金分割点，AB=2cm,那么较长线段AP的长是12.某人顺着坡度为1:✓3的斜坡滑雪，下滑了120米，那么商度下降了一米．cm13如图，已知ADIi BEi/CF,它们依次交直线l 1千点A 、B、C，交直线l 2千点D 、E 、F,已知AB:AC=3:5, DF=lO,那么EF的长为14如图，已知6.ABC的周长为15,点E、F是边BC的三等分点，DEii AB, DF I I AC,那么心DEF 的周长是．ABc15如图，已知"ABC 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么L.ABC 的正切值为．广六----，-勹,B[----';--7.y..－斗I --4AC石16在1.A BC中，乙4=45°'cos乙B =—-（乙B是锐角），BC=✓S ，那么AB的长为517如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷固定点A距离地面4米（即AB=4米），遮阳篷的宽度5AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角a的余弦值为—，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地13面上的阴影宽度BD 为米．18如图，在梯形ABCD 中，ADIi BC, BC=3AD,点E 是AB中点，如果点F在DC 上，线段EF 把梯形分成而积相等的两个部分，那么——=DF DC8A D三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算tan45° -l cot 30°-l l .2 s in 60°-2cos 60° 20已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点A(3,0), B(O, -3).（］）求抛物线表达式并写出顶点坐标；(2)联结AB,与该抛物线的对称轴交千点P,求点P的坐标．2]如图，在ABC 中，G 是,ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 千点D.AC(I)如果AB动，万它＝石，那么AD =（用向榄;、b 表示）；(2)已知AD=6,AC=8,点E 在边AC 上，且LAGE ＝乙C,求AE 的长．22.如图l，某小组通过实验探究凸透镜成像规律，他们依次在光具座上垂直放趾发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的窝度．如图2,主光轴／垂直千凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8厘米的发光物箭头AB 进行移动，使物距oc 为32厘米，光线AO 、BO 传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个消晰的像A'Ir,此时测得像距OD 为12.8厘米．4,｀＇I尤I＼片Pl(I)求像A'B'的长度．(2)已知光线AP平行千主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF的长．l'&!l23如图，在J访C中，AB=AC,点D在边BC上，已知LAFD＝乙B,边DF交AC千点E.(I)求证：AF·CE=CD-FE:AB BC(2)连接AD，如果—-＝——，求证：AD2=AEAC.AF DF24在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关千直线x=m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关千直线·x=I/1的镜像抛物线(I)如图，已知抛物线y=x2-2x顶点为A.yiXA＠求该抛物线关千y轴的镜像抛物线的表达式；I＠已知该抛物线关千直线x=rn的镜像抛物线的顶点为B,如果tanL.OB A=..:.（乙OBA是锐角），求m的4仙I(2)已知抛物线y=-:;-x2 +bx+ c(b >0) 顶点为C,它的一条镜像抛物线的顶点为D,这两条抛物线4的交点为E(2,l)．如果CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式25在直角梯形ABCD中，ADIi BC,乙8=90°,AD=6, AB=4, BC> AD, LADC 平分线交边BC于点E,点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交千点G.4(l )如图1,如果点G 与A 重合，当tan 乙BCD ＝一时，求BE 的长；B二C3(2)如图2,如果点G 在边AD 上，联结BG,当DG =4,且YCGB cn VBAG 时，求sin 乙BCD 的值；B A穹三(3)当F 是D E 中点，且AG =l 时，求CD 的长．2024年上海市奉贤区中考一模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）l下列函数中是二次函数的是(A. y=2x+l 【答案】C 【解析）B. y=—2xC.y=x2 +2D.y＝启【分析】木题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．【详解】A.y=2x+l是一次函数，故不符合题意：B.y=—是反比例函数，故不符合题意：2xC.y= x2 +2是二次函数，故符合题意：D. y＝石了不是二次函数，故不符合题意，故选：C.2.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是（A. y= x2 +3【答案）C【解析】B. y=x2-3C. y =(x-3)2【分析】根据抛物线平移规律：上加下减，左加右减解答即可D.y=(x+3)2【详解】解：抛物线y= x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是y=(x-3)2.故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解乎移规律是解题的关键．3在Rt丛ABC中，乙C=90°,AC=S, LA=a,那么BC的长是（）A.Stana【答案】A【解析）B. ScotaC. SsinaD. Scosa【分析】木题考查了正切定义，正切等千对边比邻边，先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得．【详解】由题意，画出图形如下：AB C BC 则tan A =—一，即tan a ＝一—,AC 5 解得BC=5tana,故选：A .4如图，在心钮C 中，点D、E 分别在AB、AC 的反向延长线上，已知AB =2AD,下列条件中能判定DEii BC的是()E DBACl A—=－AE2【答案］C 【解析］【分析】木题考查了相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的判定及性质逐一判断即可求解，熟练掌握DEl B —=－BC 22-3＝ AC -EC c AE 2D.—=－EC 3相似三角形的判定及性质是解题的关键．AB【详解】解：AB=2AD ,...—-=2,ADAC 1.... ABA、巾—=－，及—-＝2不能判定DEii BC,故不符合题意；AE 2AD DE IAB B、巾—-＝一，—－＝2不能判定DEii BC,则错误，故不符合题意；BC 2 AD AC 2 C、—=－,EC 3 AC 2 ·-=-=2,AE 1AB ·—=2,AD ：心EO公ABC,：．乙ADE＝乙ABC,:.DEii BC,故符合题意；AE 2 ABD、巾—=－、—=2不能判定DEii BC,故不符合题意EC 3 AD 故选：C5.已知忖＝5,树＝3,且E与；的方向相反，下列各式正确的是（）3-A . b =::...a【答案l B 【解析l【分析】本题考查了平面向见的线性运算由b与a的方向相反，且lal=S,I 叶＝3'可得b和a的关系．3 -B.b = －－aa 5-3＝ bcta 5-3＝ -b D 【详解】解：·:1111=5,I 叶＝3,. ·. I 叶＝3忆I,5... b与a的方向相反，�3-:.b=-::....a .故选：B .6如图，将.ABC 绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A、C 的对应点分别为D、E,边D E 交BC千点F,连接CE.下列两个三角形不一定相似的是（B CA.6BAD 与.c.BCEB.VBDF与6.ECFC.DCF与6.BEFD. DBF 与...D邸【答案】D 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键．【详解】解：如图，BE由旋转性质得AB=BD, BC= B E, L.ABD＝乙CBE,乙4=乙BDE,乙4CB＝乙DEB AB BD BCBE:.,6.BAJ)v>心BCE,故选项A不符合题意；．：乙ABD＝乙CBE,AB=BD, BC=BE, :.丛＝丛DB =纽CE=纽EC ,：．乙BDF =乙BCF,又LDFB＝乙CFE,：．D:.BDFV>D:.ECF，故选项B 不符合题意；．：乙DCF＝乙FEB,又乙DFC＝乙BFE,:. e.DCF (/)t.BEF,故选项C 不符合题意；根据题意，无法证明DBF 与..DEB 相似，故选项D 符合题意，故选：D .二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）x-y 7.如果x:y=S :3,那么一一－＝【答案］23【解析］5【分析】根据x :y =5:3得到x =-:-Y,把它代入后而的式子求出比值．3 【详解】解：·:x: y =5:3, 5 :. 3x=5y ,即x ＝ － y ,35 -y-y :.江立＝3＝3.yy3故答案是：一．23【点睛】木题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质．8.计算3(2a+b)-4a =【答案】2a+3h【解析】【分析】木题主要考查了平面向揽，利用平面向量的定义与运算性质解答即可，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键．【详解】3(2a+E)-4a=6a+3b-4a=2a+3l1:故答案为：2a+3b.9.已知抛物线y=(a-2)入3_x开口向上，那么a的取值范围是【答案l a>2##2<a令【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．利用二次函数y= ax2 +bx+c的性质：a>o时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．【详解】解：？抛物线y=(a-2)x2-x开口向上，:. a-2>0,:. a>2.:. a的取值范围是：a>2.故答案为：a>2.10已知抛物线y=-2x2+]在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”)【答案】上升【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2 +k的性质是解答本题的关键．根据性质解答即可．【详解）解：·:y=-2x2+1, a=-2<0,:．抛物线升口向下．对称轴是直线y轴，．．在对称轴左侧部分是上升的．故答案为：上升．l l.如果P是线段AB的黄金分割点，AB=2cm,那么较长线段AP的长是【答案】(-1＋石）【解析J【分析】木题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比根据黄金分割的定义解答．【详解】解：设AP=xcm,根据题意列方程得，X2=2(2-X),即x2+2x-4=0,解得X1=-1+✓5心2=－l－石（负值舍去）故答案为：（－l+..f.订12.某人顺着坡度为1:.f_诈筛斜坡滑雪，下滑了120米，那么商度下降了一米．【答案）60【解析）cm【分析】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，设垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握坡度坡角的定义．【详解】？坡度为l:✓3,．．．设高度下降了x(x>O)米，则水平前进了石x米，由勾股定理得：x2+(✓3x) 2+ 3x =120气解得：x=60,故答案为：60.13.如图，已知ADIi BEi/CF,它们依次交直线l1千点A、B、c.交直线l2千点D、E、F,已知AB:AC=3:5, DF=lO,那么EF的长为【答案】4【解析）【分析】木题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】？AD I BE CF, AB: AC=3:5,AB DE 3＝ ＝－，AC DF 5·: DF=lO,DE 3=-,l0 5:. D E=6,:. EF=l0-6=4.故答案为：4.14如图，已知6.ABC的周长为15,点E、F是边BC的三等分点，DEii AB, DF II AC,那么丛DEF 的周长是．AB c【答案）5【解析）【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：？点E,F是边BC的三等分点，I:.EF =..:.B e.'."DE II AB, DF II AC,:．乙DEF＝乙B,. ·..• DEF C/)•ABC,．．七DEF 的周长：心FE＝乙C,E F I 凇C的周长＝—－＝-,B C 3:. DEF的周长＝－xl5=5.3故答案为： 5.l5．如图，已知乙ABC 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么LABC 的正切值为广．十六.勹,B:: ， ， ， AC 【答案）－##0.5【解析）【分析】本题考查勾股定到及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出合适的直角三角形是解题的关键．【详解】连接CD，如图所示，r····r····,....-,.B ， : ::····！ ,...,...,.1.] A C易得6.BCD是直角三角形，由勾股定理得，CD＝扩了F＝丘，在R t 矗BCD 中，BD＝卢＝2石，CD 扛1tan乙ABC =—=—=－．BD 2石2故答案为：一．I 16．在..ABC 中，石乙A=45°,cos乙B=—（乙B是锐角），【答案】3BC＝石，那么AB的长为．【解析）【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作CD.L AB寸－/),先解Rt b.DBC得到BD=l，即可利用勾股定理求出CD=2,再解Rt七ADC求出AD=2,则AB=AD+BD=3.【详解】解：如图所示，过点C作CD上AB-=f D,在R心DBC中，cosB＝壁汇正，BC＝石，B C 5:. B D=l,:.CD=�=2•CD在R t1,.AD C中，tan A＝一—＝1,AD:. AD=2,:. AB=AD+BD=3,故答案为：3.ABD17如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB=4米），遮阳篷的宽度5AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角a的余弦值为—，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地13面上的阴影宽度BD为米．【答案】(2.4－石）【解析）【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作CF上AB千点F,作CE上BD,交BD的延长线千点E,然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得BE和DE的值，从而可以求得BD的值．【详解】解：作CF上AB千点F,作C E.L BD，交BD的延长线千点E，如图，5 由已知可得，AC=2.6米，cosa=—,LAFC=9()气AB=4米，13:. AF= AC-cos a = 2.6x —= 1 13...CF=J AC 2 -AF 2 ＝五言＝2.4（米），BF=AB-AF = 4-1= 3（米），:.CE=BF=3米，CF=BE=2.4米，．乙CDE =60°,乙CED =90气:.DE= C E 3＝ ＝ tan60°石石:. BD= B E-DE= (2.4－和（米）故答案为：（2.4－打）18如图，在梯形ABCD 中，ADIi BC, BC=3AD,点E 是AB 中点，如果点F 在DC 上，线段EF 把梯形分成而积相等的两个部分，那么——=DF D CA DB3 【答案l .:..##0.754【解析】【分析】木题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到CFM=3FN,证明VFDM戎FCN,即可求解连接AF ,BF,过F 作MN_j_BC交BC 于N,交AD 延长线千M,由ADIi BC,得到MN_j_AD,由点E 是AB 中点，得到屾FAE 的面积＝VFBE 的面积，由线段EF 把梯形分成面积相等的两个部分，得到6ADF 的面积＝心BCF 的面积，由三角形面积公式得到FM=3FN,由YFDMcnYFCN,得到FD MF DF 3 —=—=3,即可求出——=－.FC NF DC 4【详解】解：连接AF ,BF ,过F作MN..1BC交BC于N,交AD延长线千M,A D M...夕.--�·: ADIi BC,:.MN..1.AD,了点E是AB中点，:..,.FAE 的面积＝VFBE 的面积线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，：．心AD F的面积＝纽CF的面积，.. -AD· FM =－BC·FN , 2 2·: BC=3AD,:. FM =3FN,·: DMIICN,:. V FDM戎FCN,FD MF :.—=—=3, FC NFDF 3 ·-=-DC 4故答案为：一．34 三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算即145°2 s in 60° -2cos 60°-lcot30°-ll.3-【答案）石2【解析）【分析】本题考查了实数的运算原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键．【详解】tan45° 2si n 60°-2cos60°石l l -I石－112x 一－2x-2 2 ＝古－（石－I)＝罕－扣l3－石＝－ -!cot 30° -II 20.已知抛物线y= x 2 +bx+c 经过点A(3,0),B(0,-3)(1)求抛物线表达式并写出顶点坐标；(2)联结AB,与该抛物线的对称轴交千点P,求点P的坐标．【答案】（1)抛物线表达式为y =x2－2.x -3;顶点坐标为(1,--4)；(2)P (l ,-2)【解析J【分析】木题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质．(L)利用待定系数法和配方法解答即可；(2)利用待定系数法求得直线AB 的解析式，令x=l,求得Y 值，则结论可得．【小问l详解】解：抛物线y= x 2+bx+c 经过点A(3,0),B(0,-3), 9+3b =0{�::+c =O , b =-2 •{c =－3'＇．．．抛物线表达式为y="y =x " -2x -3;y = x 2 -2x -3= (x -1)2-4, ．抛物线的顶点坐标为(1,-4)；【小问2详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+n,3k+n=0•{n= －3'{： ：1-3直线AB的解析式为y=x-3. A B与该抛物线的对称轴交千点p,抛物线的对称轴为直线x=l,．．当x=l时，y=1-3=-2.:. P(I,-2).2]如图，在ABC中，G是乙ABC的重心，联结AG并延长交BC千点D.AC(I)如果AB=a,A C =b，那么AD=（用向量a、b表示）；(2)已知AD=6,AC=8,点E在边AC上，且L A GE＝乙C,求AE的长．1 I2 2【答案】(l)－a+－b(2)3;【解析】【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的巫心，相似三角形的判定与性质，(l)利用平面向量的定义解答即可；(2)利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可．【小问l详解】解：AB=a,AC=b,:. BC=B A+AC=-a+b·G是ABC的重心，联结AG并延长交BC千点D,:.A D为心ABC的BC边上的中线，即点D为BC的中点，1 1 -l -.. B D =－B C =－－a ．十－b2 2 2 __ _ _ ＿ 1-l -l -i -:. AD=AB+BD=a-.:...a+.:...b=.:...a+.:...b 2 2 2 2故答案为： 1 l-a+－b .2 2【小问2详解】·G 是._ABC 的重心，2 2 . ·. AG = －AD = -x6=4.3 3·LAGE＝乙C,:._GAE c.n 1..CAD,AE AD :.-= AGAC AE 6 ．．＝ － 4 8:. A E =3乙GAE =LCAD,22如图］，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放趾发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的商度．如图2,主光轴l垂直千凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8匣米的发光物箭头AB进行移动，使物距oc 为32匣米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B',此时测得像距OD为12.8匣米．儿八牲广I(I)求像A'B'的长度，,.A[H2 (2)已知光线AP 平行干主光轴I'经过凸透镜MN 折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF 的长．【答案】(1)3.2厘米64 (2)—厘米．【解析l【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点，(I )利用相似三角形的判定与性质，通过证明丛OAB丑�O A'B'与6.0AC v>,OA'D 解答即可；(2)过点A'作A'E I OD交1\tlN于点E,利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【小问l详解】巾题意得：AB I MN I A'B', OC=32cm,OD=l2.8cm,AB=8cm,·: AB/I AB',:. LOAB-LOA'B',． AB OA..＝A,B OA'，·: AB/I AB',:. "OAC v>•QA'D,OA OCOA'OD. AB OCA'B'OD8 32A'B'12.8:. A'B'=3.2.占像A'B'的长度3.2厘米．【小问2详解】过点A'作A'E I OD交MN于点E,如图，｀＇I •';，·: A'E I OD, MN A'B',．．．四边形A'EOD为平行四边形，:. A'E=OD=l2.8cm,OE=A'D.同理：四边形ACOP为平行四边形，:. AP=0C=32cm,·: AP I CD, A'E I OD,:. AP J A'E,:.6AP沪ti.A'EO,PO AP 32 5=-=-=-,OE A'E 12.8 2PO 5＝－A'D 2·: MN j: A'B',:. �PQF cn�'DF,PO OF 5＝ ＝－，A'D DF 25 64:. OF=-=-OD=—（厘米）．7 7:．凸透镜焦距OF的长为—－厘米．723如图，在..ABC中，AB=AC,点D在边BC上，已知LAFD＝乙B,边DF交AC千点E.(1)求证：AFCE=CD·FE;AB BC(2)连接AD，如果—-＝——，求证：AD2 =AEAC.AF DF【答案】(l)见详解(2)见详解【解析】【分析】木题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．(I)利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；(2)利用相似三角形判定与性质解答即可．【小问l详解】证明：·:AB=AC,．．乙ABC＝乙ACB,·:乙AFD＝乙B,:.乙AFD＝乙ACB.：乙AEF＝乙DEC,：心AEF0立EC,AF FE :.-=— DC CE':.AF-CE=CD-FE;【小问2详解】AB BC ·:—=—乙AFD=乙B ，AF DF':.L:::,.ABC夕心AFD,．．．乙ACB=乙ADF,乙DAC＝乙EAD,. ·. µADC O µAED,AD AC :.-= AE AD':. AD 2 = AE·AC.24在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关千直线x=m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关千直线x=m的镜像抛物线(I)如图，已知抛物线y=x 2-2x顶点为A.XA＠求该抛物线关千y轴的镜像抛物线的表达式；＠已知该抛物线关千直线x=m 的镜像抛物线的顶点为B,如果tan LOBA =.:.（乙OBA 是锐角），求m 的4值．(2)已知抛物线y=�x 2 +bx+c(b> 0)的顶点为C,它的一条镜像抛物线的顶点为D,这两条抛物线4的交点为E(2,l )．如果CDE 是直角三角形，求该抛物线的表达式3 5 【答案J Cl) (D y = x 2 + 2x ;@-－或－(2)y=�(x+2)2-34【解析】2 2【分析】Cl )＠由y=x 2 -2x=(x-1) -1，可得A(l,-1)，则该抛物线关千y 轴的镜像抛物线的顶点为A(-1,-1)，然后求镜像抛物线的表达式即可：＠当X=/11.在点A 左侧时，该抛物线关千直线X=m.的镜像抛物线的顶点为B(2m-l,-l)，如图1-l ，连接AB 交Y 轴于点E,则OE=I,由tan 乙OBA =－，可4得BE=-2m+l=4,计算求解即可；如图1-2,当x=m 在点A 右侧时，同理可得，2m-1=4,计算求解即可；(2)如图2,由题意知，若A CDE 是直角三角形，则"CDE 是等腰直角三角形，则EH =CH =DH,设EH=CH =DH= t,由£(2,1)，可得C(2-t,l -t)，即抛物线表达式为4 y=�(x-2+t)2 +1-t,将E(2,J )代入得，l ＝�(2-2+t)2+1-t,求出满足要求的t.进而可得抛物4线的表达式．【小问l详解】＠解：·:y=x 2-2x=(x-1}2-l, :. A(l,-1),．．．该抛物线关于y 轴的镜像抛物线的顶点为A(-1,-1),：．该抛物线关千y 轴的镜像抛物线的表达式为y=(x+Jf-1.即y=X 2 +2X;＠当x =m 在点A 左侧时，·: A(l,-1)，该抛物线关千直线x=m 的镜像抛物线的顶点为B,:. B(2m-l,-l),如图1-1,连接AB 交Y 轴千点E,则OE =l,vxx=m图1-1·: tan 乙OB A=.:....,1 4:. BE=-2m +l=4,3解得，m ＝－一；2如图1-2,当x=m在点A右侧时，I ， ， ，，， A x=m图1-2同理可得，2m-l =4,5解得，m ＝一；23.. 5 综上所述，m 的值为－－或－；2 2【小问2详解】解：如图2,y,图2由题意知，若CDE是直角三角形，则CDE是等腰直角三角形，则EH=CH=DH,设EH=CH=DH=t,·: E(2,1),:. C(2-t,1-t), :．抛物线的表达式为＝ y -(x-2+t)2+l -t ,4 将E (2,l )代入y =�(4 �(x -2+t)2+1-t 得，I =�(2-2+1/ +1-t ,4 解得，t=4或t=O （舍去），:．抛物线的表达式为1=) -（x+2)2 -3.4 【点睛】木题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．25在直角梯形ABCD 中，ADI/BC,乙B=90°,AD=6, AB=4, BC> AD,乙ADC 的平分线交边BC 于点E,点F在线段DE 上，射线CF 与梯形ABCD 的边相交千点G.4(I)如图I,如果点G 与A 重合，当tan乙BCD ＝一时，求BE 的长：勹三C (2)如图2,如果点G在边AD 上，联结BG,当DG=4，且VCGBcnVBAG 时，求sin 乙BCD 的值；B 三((3)当F 是D E 中点，且AG =l 时，求CD 的长【答案］（I) 4石(2)—(3)CD 的长为5或9＋寸7【解析】【分析】(I )过点D 作DH .L BC 千点H,利用且角梯形的性质，矩形的判定与性质求得DH,利用直角三角形的边角关系定理求得CH,利用勾股定理求得CD,利用角平分线的定义和平行线的性质得到CD=CE,则BE=BC-CE,(2)过点D作DM..LBC千点M,利用（I)结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得BC,CM,再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；(3)利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：＠当点G在AD上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；＠当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DG,CG交千点N,利用勾股定理求得BE，利用相似三角形的判定与性质求得AN,再利用全等三角形的判定与性质解答即可．【小问l详解】尸｀C·: A D Ii BC，乙B=90°,解：过点D作DH..L BC千点H，如图，:.乙BAD=90°,·:DH.LBC,:．四边形ABHD为矩形，:. DH= A B= 4, BH =AD= 6,4tan乙BCD=_:_,DH 4=-,CH 3:.CH =3,:.CD=�=S,QADII BC,．．．乙ADE=乙DEC,Q乙心E＝乙CDE,．．．乙CDE＝乙CED,:.CE=CD=S,:. BC=BH +CH =9,.·.BE= BC -CE= 9-5 =4:【小问2详解】过点D作DM..l BC千点M，如图，产三c由（1)知：AD=BM =6, DM =AB= 4, CD= C E,QDG=4,AD=6,:.AG=2,:.BG=�=2乔·: VCGB=VBAG,BG BC．．．乙BAG＝乙CGB=90°,—=—AG BG'2石BC· ·. ＝2 2石＇:.BC=lO,:.CM=BC-BM=4,:.DM=CM=4,: ..,.D MC为等腰直角三角形，．．．乙BCD＝乙CDM=45°,:.sin乙BCD=sin45°=—;【小问3详解】＠当点G在AD上时，如图，三c由（1)知：CD=C E,·: F是DE中点，:.CF..l DE,『DF G:F D；乙CDF在6DGF几DCF中，乙DF G＝乙DFC=90°．」氏F车DCF(ASA),:. DG =DC,QAG=l,A D=6,:.DG=5,:. C D=DG=5:＠当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DG,CG交于点N,如图，A D人'-二二2..－．一．一一··一G I''、·． 、·`｀、、、、`、E C由（1)知：CD=CE,·: F是D E中点，:.CF上DE,:.cc为DE的垂直平分线，:.GD=GE,:. G D2 =GE2,:. A G2 +A D2 = B G2 +BE2,:. 12 +62 =32 + B E2,:. BE=2打，·: ADIi BC,:. V A NGv>VBCG,AG ANBG B CI AN..-=3 BC在l::JJNF和"DCF中，{；：D F D F乙CDF,乙NFD＝乙CF D=90°:.,.DNF轧DCF(AAS),:. CD=ND,设CD=x,则BC=CE+ B E= x+ 2打，AN=DN -DA= CD-DA= x-6,1x-6-=.. 3-x+2打＇:. x=9＋打，:. CD=9＋打，综上，CD的长为5或9+.J了【点睛】木题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线．。
上海市奉贤区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
上海市奉贤区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差2．如图，ABC ∆中，6AB =，4BC =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转得到AEF ∆，使得//BC AF ，延长BC 交AE 于点D ，则线段CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（﹣4，5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是（ ）A ．（0，43） B ．（0，53） C ．（0，2） D ．（0，103） 4．如图，等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A→B→C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2=y ，则y 关于x 的函数图象大致为A ．B ．C ．D ．5．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( )A ．∠α＝60°，∠α的补角∠β＝120°，∠β＞∠αB ．∠α＝90°，∠α的补角∠β＝90°，∠β＝∠αC ．∠α＝100°，∠α的补角∠β＝80°，∠β＜∠αD ．两个角互为邻补角6．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2ky x=的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( )A ．20x -<<或04x <<B ．2x <-或04x <<C ．2x <-或4x >D ．20x -<<或4x >7．已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ). A ．12B ．10C ．8D ．68．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，点P 为△ABC 外一点，CP=2，BP=3，AP 的最大值是（ ）A ．2+3B ．4C ．5D ．329．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．四个有理数﹣1，2，0，﹣3，其中最小的是（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．0 D ．﹣3 1122783-的结果是（ ）A ．3B ．433C ．533D ．2312．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=12cm ，点D 在AC 上，DC=4cm ，将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E 、F 分别落在边AB 、BC 上，则△EBF 的周长是（ ）cm ．A ．7B ．11C ．13D ．16二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y +． 14．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图所示是一副七巧板，若已知S △BIC =1，据七巧板制作过程的认识，求出平行四边形EFGH_____．15．对于实数p q ，，我们用符号min{}p q ，表示p q ，两数中较小的数，如min{1,2}1=.因此，{}min 2,3--= ________；若{}22min (1)1x x -=，，则x ＝________．16．已知关于x 的一元二次方程（k ﹣5）x 2﹣2x+2=0有实根，则k 的取值范围为_____．17．如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴相交于点A 、B ，若其对称轴为直线x=2，则OB –OA 的值为_______．18．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在等腰直角△ABC 中，∠C 是直角，点A 在直线MN 上，过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F ．（1）如图1，当C ，B 两点均在直线MN 的上方时， ①直接写出线段AE ，BF 与CE 的数量关系．②猜测线段AF ，BF 与CE 的数量关系，不必写出证明过程．（2）将等腰直角△ABC绕着点A顺时针旋转至图2位置时，线段AF，BF与CE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程．（3）将等腰直角△ABC绕着点A继续旋转至图3位置时，BF与AC交于点G，若AF=3，BF=7，直接写出FG的长度．20．（6分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：成绩x70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100学生甲______ ______ ______ ______ ______ ______乙 1 1 4 2 1 1（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学生极差平均数中位数众数方差甲 ______ 83.7 ______ 86 13.21 乙2483.782______46.21（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______． 21．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，()20,2P ，322,P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．22．（8分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 度；⑵根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有 人；⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率 23．（8分）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC ．求作：△ABC 的边BC 上的高AD ． 作法：如图2，（1）分别以点B 和点C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧相交于点E ；。
2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷-普通用卷
2020年上海市奉贤区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 已知线段a ，b ，c ，如果a ：b ：c =1：2：3，那么a+bc+b 的值是( )A. 13B. 23C. 35D. 532. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果∠A 的正弦值是14，那么下列各式正确的是( )A. AB =4BCB. AB =4ACC. AC =4BCD. BC =4AC3. 已知点C 在线段AB 上，AC =3BC ，如果AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，那么BA⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ⃗ 表示正确的是( ) A. 34a⃗ B. −34a⃗ C. 43a⃗ D. −43a⃗ 4. 下列命题中，真命题是( )A. 邻边之比相等的两个平行四边形一定相似B. 邻边之比相等的两个矩形一定相似C. 对角线之比相等的两个平行四边形一定相似D. 对角线之比相等的两个矩形一定相似5. 2根据表，下列判断正确的是( )A. 该抛物线开口向上B. 该抛物线的对称轴是直线x =1C. 该抛物线一定经过点(−1,−152) D. 该抛物线在对称轴左侧部分是下降的6. 在△ABC 中，AB =9，BC =2AC =12，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE//BC ，AD =2BD ，以AD 为半径的⊙D 和以CE 为半径的⊙E 的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 如果tanα=√3，那么锐角α的度数是______．8. 若a⃗ 与单位向量e ⃗ 方向相反，且长度为3，则a ⃗ =______(用单位向量e ⃗ 表示向量a ⃗ ). 9. 若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是______(只需写一个)． 10. 如果二次函数y =a(x −1)2(a ≠0)的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a的取值范围是______．11. 抛物线y =x 2+bx +2与y 轴交于点A ，如果点B(2,2)和点A 关于该抛物线的对称轴对称，那么b 的值是______． 12. 已知△ABC 中，∠C =90°，cosA =34，AC =6，那么AB 的长是______． 13. 已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 的反向延长线上，若ADAB =13，则当AEEC 的值是______时，DE//BC ．14. 小明从山脚A 出发，沿坡度为1：2.4的斜坡前进了130米到达B 点，那么他所在的位置比原来的位置升高了______米．15.如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是______．16.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，那么⊙O的面积约是______．17.如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD=3EC，那么AD：AB的值是______．18.如图，已知矩形ABCD(AB>BC)，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.已知函数y=−(x−1)(x−3)．(1)指出这个函数图象的开口方向、顶点坐标和它的变化情况；(2)选取适当的数据填入表格，并在如图所示的直角坐标系内描点，画出该函数的图象．x⋅⋅⋅______ ______ ______ ______ ______ ⋅⋅⋅y⋅⋅⋅______ ______ ______ ______ ______ ⋅⋅⋅20. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC =90°，∠BAD =45°，DC =2，AB =6， AE ⊥BD ，垂足为点F ．(1)求∠DAE 的余弦值； (2)设DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，E 是BC⏜的中点，OE 与弦BC 交于点F ． (1)如果C 是AE⏜的中点，求AD ：DB 的值； (2)如果⊙O 的直径AB =6，FO ：EF =1：2，求CD 的长．22. 如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD 垂直于水平地面GQ ，当点P 与点A 重合时，伞收紧；当点P 由点A 向点B 移动时，伞慢慢撑开；当点P 与点B 重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD 是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM =PN =CM =CN =50厘米，CE =CF =120厘米，BC =20厘米． (1)当∠CPN =53°，求BP 的长？(2)如图，当伞完全张开时，求点E 到地面GQ 的距离． (参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)23.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2=DE⋅CF．(1)求证：∠D=∠CEF；(2)联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC⋅AE=CB⋅CG．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,−3)和点B(5,0)，顶点为C．(1)求这条抛物线的表达式和顶点C的坐标；(2)点A关于抛物线对称轴的对应点为点D，联结OD、BD，求∠ODB的正切值；(3)将抛物线y=x2+bx+c向上平移t(t>0)个单位，使顶点C落在点E处，点B落在点F处，如果BE=BF，求t的值．25.如图，已知平行四边形ABCD中，AD=√5，AB=5，tanA=2，点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G，联结CE、CF，设AE=m．(1)当点E在边AD上时，①求△CEF的面积；(用含m的代数式表示)②当S△DCE=4S△BFG时，求AE：ED的值；(2)当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a ：b ：c =1：2：3， ∴设a =x ，b =2x ，c =3x ， ∴a+b c+b=x+2x 3x+2x =35． 故选：C ．直接利用已知进而表示出a ，b ，c ，进而代入求出答案． 此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键． 2.【答案】A【解析】解：在Rt △ABC 中，∵∠C =90°，∴sinA =BC AB =14，∴AB =4BC ， 故选：A ．根据正弦函数的定义解答即可． 本题考查解直角三角形，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3.【答案】D【解析】解：如图，∵AC =3BC ， ∴AB =43AC ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43a ⃗ ， 故选：D ．由AC =3BC ，推出AB =43AC ，由此即可解决问题．本题考查平面向量，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：A 、邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以A 选项错误； B 、邻边之比相等，则四条边对应成比例，又四个角都是直角，所以两矩形相似，故本选项正确；C 、对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，所以C 选项错误；D 、对角线之比相等的两个矩形不一定相似，所以D 选项错误； 故选：B ．根据各选项的条件和相似形的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题主要考查相似形的定义，多边形相似必须满足对应边成比例、对应角相等，二者缺一不可．5.【答案】C【解析】解：由表格中点(0,−5)，(4,−5)，可知函数的对称轴为x=2，设函数的解析式为y=a(x−2)2+c，将点(0,−5)，(1,−72)代入，得到a=−12，c=−3，∴函数解析式y=−12(x−2)2−3；∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；故选：C．由表格中点(0,−5)，(4,−5)可求对称轴x=2，再任意取两点可确定函数的解析式即可．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，并能用待定系数法求函数解析式是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：如图，∵DE//BC，∴DEBC =ADAB，∵BC=12，AD=2BD，∴DE12=23，DE=8，∵⊙D的半径为AD=6，⊙E的半径CE=2，∴AD+CE=6+2=8=DE，∴以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是外切，故选：B．分别计算⊙D和以CE为半径的⊙E的半径，并计算DE的长，根据外切的定义可解答．本题考查了两圆的位置关系，平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握两圆位置关系的判定是关键．7.【答案】60°【解析】解：∵tanα=√3，∴锐角α的度数是：60°．故答案为：60°．直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．8.【答案】−3e⃗【解析】解：∵a⃗与单位向量e⃗方向相反，且长度为3，∴a⃗=−3e⃗，故答案为−3e⃗．根据平面向量的性质解决问题即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9.【答案】y=2x2(答案不唯一)【解析】解：∵抛物线的顶点在y轴上，∴b=0，∴抛物线的解析式为y=2x2，故答案为y=2x2(答案不唯一)．抛物线的顶点在y轴上，可得出b=0，从而得出抛物线的解析式(答案不唯一)．本题考查了二次函数的性质，该题是结论开放型题型，通过对称轴的位置反映的数量关系写二次函数解析式．10.【答案】a>0【解析】解：∵二次函数的图象在对称轴x=1的右侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为正数，∴a>0，故答案为a>0．由于二次函数的图象在对称轴x=2的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数．本题主要考查二次函数的图象，解题关键是要熟练掌握二次函数的性质．11.【答案】−2【解析】解：当x=0时，抛物线y=x2+bx+2=2，则A点坐标为(0,2)，∵点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x=1，=1，即−b2×1∴b=−2．故答案为−2．先确定A点坐标为(0,2)，再利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，然后根据对称轴方程可求出b的值．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置．12.【答案】8【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°，cosA=34，AC=6，∴cosA=ACAB =6AB，即34=6AB，解得，AB=8，故答案为：8．根据题目中的条件和锐角三角函数可以得到AC和AB的关系，从而可以求得AB的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．13.【答案】14【解析】解：∵要使DE//BC，则需AEEC =ADBD，∴AEAC=ADAD+AB=14故答案为：14根据平行线分线段成比例分析即可．此题考查了平行线分线段成比例，牢记定理是解决此题的关键．14.【答案】50【解析】解：设小明所在的位置比原来的位置升高了x米，∵坡度为1：2.4，∴小明前进的水平宽度为2.4米，由勾股定理得，x2+(2.4x)2=1302，解得，x=50，即小明所在的位置比原来的位置升高了50米，故答案为：50．小明所在的位置比原来的位置升高了x米，根据坡度的概念用x表示出小明前进的水平宽度，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．15.【答案】19【解析】解：∵点A′恰好是△ABC的重心，∴A′D=13AD，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，∴△ABC∽△A′MN，∴△A′MN面积与△ABC的面积之比=(A′DAD )2=19，故答案为：19．由重心的性质可得A′D=13AD，由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC的面积之比=(A′DAD )2=19．本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握重心的性质是本题的关键．16.【答案】3【解析】解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠AOB=360°12=30°，∵AD⊥OB，∴AD=12OA=12，∴△AOB的面积=12OB×AD=12×1×12=14∴正十二边形的面积=12×14=3，∴⊙O的面积≈正十二边形的面积=3，故答案为：3．设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB=30°，由直角三角形的性质得出AD=12OA=12，求出△AOB的面积=1 2OB×AD=14，即可得出答案．本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键．17.【答案】√23【解析】解：∵矩形ABCD，∴∠D=∠C=90°，∵∠AEB=90°，∴∠DAE+∠DEA=90°，∠DEA+∠CEB=90°，∴∠DAE=∠CEB，∴△ADE∽△ECB，∴ADDE =ECBC，∵AD=BC，CD=3EC，∴DE=2EC，∴AD2=2EC2=2×(DC3)2，∴AD=√23DC=√23AB，∴AD：AB=√23，故答案为：√23根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据矩形的性质得出三角形相似．18.【答案】1【解析】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD=BF，∠DBF=90°，∵DG=GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF=∠BEF=90°，∴∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG=∠BFD=45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．连接BD，BF，EG.利用四点共圆证明∠BEG=∠BFD=45°即可．本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】0 1 2 3 4 −30 1 0 −3【解析】解：(1)y=−(x−1)(x−3)．=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，∵a=−1<0，∴抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为(2,1)，当x≤2时，y随x的增大而增大；当x≥2时，y随x的增大而减小；(2)当x=0时，y=−3；当x=1时，y=0；当x=2时，y=1；当x=3时，y=0；当x=4时，y=−3，如图，故答案为0，−3；1，0；2，1；3，0；4，−3．(1)把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；(2)分别计算出自变量为0、1、2、3、4对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数图象．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a >0时，抛物线向上开口；当a <0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于(0,c)． 20.【答案】解：(1)作DM ⊥AB 于M ，如图所示：则四边形BCDM 是矩形，∴BM =CD =2，BC =DM ，∴AM =AB −BM =4，∵∠BAD =45°，∴△ADM 是等腰直角三角形，∴BC =DM =AM =4，AD =√2AM =4√2， ∵AB//CD ，∠ABC =90°， ∴∠BDC =∠ABF ，∠C =90°， ∴BD =√BC 2+DC 2=√42+22=2√5，∵AE ⊥BD ，∴∠AFB =90°=∠C ，∴△ABF∽△BDC ，∴AFBC =AB BD，即AF 4=62√5， 解得：AF =12√55， ∴cos∠DAE =AFAD =12√554√2=3√1010； (2)同(1)得：△ABE∽△BCD ，∴BE CD =AB BC ，即BE 2=64，解得：BE =3，∴BE =34BC ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34b ⃗ ，∵AB//CD ，DC =2，AB =6，∴AB =3DC ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ +34b ⃗ ．【解析】(1)作DM ⊥AB 于M ，则四边形BCDM 是矩形，得出BM =CD =2，BC =DM ，证出△ADM 是等腰直角三角形，得出BC =DM =AM =4，AD =√2AM =4√2，由勾股定理得出BD =√BC 2+DC 2=2√5，证明△ABF∽△BDC ，得出AF BC =ABBD ，得出AF =12√55，由三角函数定义即可得出答案； (2)同(1)得△ABE∽△BCD ，得出BE CD =AB BC ，求出BE =3，得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34b ⃗ ，求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ ，即可得出AE ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ +34b ⃗ ． 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、梯形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平面向量、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 21.【答案】解：(1)连接OC ，∵E 是BC⏜的中点， ∴EC⏜=EB ⏜，OE ⊥BC ， ∵C 是AE⏜的中点， ∴AC⏜=EC ⏜， ∴AC⏜=EC ⏜=EB ⏜， ∴∠AOC =∠COE =∠EOB =60°，∴∠OCD =30°，在Rt △COD 中，∠OCD =30°，∴OD =12OC ， ∴AD ：DB =1：3；(2)∵AB =6，FO ：EF =1：2，∴OF =1，在Rt △BOF 中，BF =√OB 2−OF 2=√32−12=2√2，∴BC =4√2，∵CD ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴∠BDC =∠BFO =90°，又∠B =∠B ，∴△BFO∽△BDC ，∴BOBC =OF CD，即34√2=1CD ， 解得，CD =4√23．【解析】(1)连接OC ，根据垂径定理的推论得到OE ⊥BC ，AC⏜=EC ⏜=EB ⏜，根据含30°的直角三角形的性质计算；(2)根据勾股定理求出BF ，得到BC 的长，证明△BFO∽△BDC ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．22.【答案】解：(1)如图1中，连接MN 交CD 于H ．∵CM =MP =NC =NP =50cm ，∴四边形PMCN 是菱形，∴CP ⊥NM ，CH =PH ，∴PH =PN ⋅cos53°≈30(cm)，∴PC =2PH =60cm ，∴PB =PC −BC =40cm ．(2)如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．∵四边形CMBN是菱形，∴CJ=JB=10cm，∵MJ//EH，∴△CMJ∽△CEH，∴CMCE =CJCH，∴50120=10CH，∴CH=24，∴HD=CD−CH=220−24=196cm，∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离=HD=196cm．【解析】(1)如图1中，连接MN交CD于H.解直角三角形求出CH，PC即可解决问题．(2)如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H.利用相似三角形的性质求出CH，HD，即可解决问题．本题考查相似三角形的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵CE2=DE⋅CF，即CEDE =CFCE∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠DEC=∠ECF，∴△CDE∽△CEF，∴∠D=∠CEF．(2)如图所示：∵AC平分∠ECF，∴∠ECA=∠BCA，∵∠D=∠CEF，∠D=∠B，∴∠CEF=∠B，∴△CGE∽△CAB，∴CGAC =CECB，∵AD//BC，∴∠DAC=∠BCA，∵∠ECA=∠DAC，∴AE=CE，∴CG AC =AE CB ，即AC ⋅AE =CB ⋅CG ．【解析】(1)根据CE 2=DE ⋅CF 且∠DEC =∠ECF 可证明△CDE∽△CEF ，即可得结论；(2)根据AC 平分∠ECF ，AD//BC ，可得∠EAC =∠ECA ，进而得E =EC ，再证明△CGE∽△CAB ，对应边成比例即可．本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A(2,−3)和点B(5,0)，∴{−3=4+2b +c 0=25+5b +c 解得：{b =−6c =5∴抛物线解析式为y =x 2−6x +5=(x −3)2−4，∴顶点C 坐标为(3,−4)；(2)∵点A 关于抛物线对称轴x =3的对应点为点D ，∴点D 的坐标(4,−3)，∴OD =5，如图1，过O 作OG ⊥BD 于G ，∵点B(5,0)，∴OB =OD ，∴DG =BG =12BD =12√12+32=√102，∴OG =√OB 2−BG 2=(√102)=3√102，∴tan∠ODB =OG DG =3√102√102=3；(3)如图2，∵抛物线y =x 2+bx +c 向上平移t(t >0)个单位，∴E(3,−4+t)，F(5,t)，∵BE =BF ，B(5,0)，∴(3−5)2+(−4+t)2=(5−5)2+t 2，t =52．【解析】(1)用待定系数法可求解析式，配方后即可求顶点C 坐标；(2)作辅助线，构建直角三角形，根据两点的距离求线段的长，根据三角函数定义可得结论；(3)利用平移的性质表示E 和F 的坐标，根据两点的距离公式和BE =BF 列方程可得结论．本题考查二次函数与x 轴的交点、待定系数法、等腰三角形的性质、两点的距离、平移、三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会数形结合的思想，与方程相结合解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(1)①∵EF ⊥AD ，∴∠AEF =90°，在Rt △AEF 中，tanA =2，AE =m ，∴EF =AEtanA =2m ，根据勾股定理得，AF =√AE 2+EF 2=√5m ，∵AB =5，∴BF =5−√5m ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD =√5，AD//BC ，∴∠G =∠AEF =90°，∴△AEF∽△BGF ，∴AE BG =AF BF ，∴m BG =√5m 5−5m ， ∴BG =√5−m ，∴CG =BC +BG =√5+√5−m =2√5−m ，∴S △CEF =12EF ⋅CG =12⋅2m ⋅(2√5−m)=2√5m −m 2；②由①知，△AEF∽△BGF ， ∴FGEF =BF AF ，∴FG =BF AF ⋅EF =√5m5m 2m =2(√5−m)， ∴EG =EF +FG =2m +2(√5−m)=2√5， ∴S △CDE =12DE ⋅EG =12(√5−m)⋅2√5=5−√5m ，S △BFG =12BG ⋅FG =12(√5−m)⋅2(√5−m)=(√5−m)2，S △DCE =4S △BFG 时，∴5−√5m =4(√5−m)2，∴m =√5(舍)或m =3√54， ∴DE =AD −AE =√5−3√54=√54， ∴AE ：ED =3√54：√54=3， 即：AE ：ED 的值为3；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=√5，AD//BC，∵EF⊥AD，∴EF⊥BC，∴∠AEF=∠CGF=90°，∵△AEF与△CFG相似，∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，∴∠AFE=∠CFG，∵EF⊥BC，∴BG=12BC=√52，∵AD//BC，∴∠CBF=∠A，∵tanA=2，∴tan∠CBF=2，在Rt△BGF中，FG=BGtan∠CBF=√5，根据勾股定理得，BF=√BG2+FG2=52，∴AF=AB+BF=5+52=152，∵BC//AD，∴△BGF∽△AEF，∴BGAE =BFAF，∴√52m=52152，∴m=3√52；②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF=∠GFC，∵∠EAF+∠AFE=90°，∴∠GFC+∠AFE=90°，∴∠AFC=90°，∵AD//BC，∴∠CBF=∠A，∴tan∠CBF=tanA=2，在R△BFC中，CF=BF⋅∠CBF=2BF，根据勾股定理得，BF2+CF2=BC2，∴BF2+4BF2=(√5)2，∴BF=1，∴AF=AB+BF=6，在Rt△BGF中，同理：BG=√55，∵AD//BC，∴△BGF∽△AEF，∴AEBG =AFBF，∴√55=61， ∴m =6√55． 即：如果△AEF 与△CFG 相似，m 的值为3√52或6√55．【解析】(1)①先根据三角函数表示出EF ，再用勾股定理表示出AF ，再判断出△AEF∽△BGF ，得出比例式表示出CG ，即可得出结论；②先表示出FG ，再用S △DCE =4S △BFG 建立方程求出m ，即可得出结论；(2)分两种情况：①当△AEF∽△CGF 时，得出∠AFE =∠CFG ，进而得出BG =12BC =√52，FG =BGtan∠CBF =√5，再根据勾股定理得，BF =√BG 2+FG 2=52，进而得出AF =AB +BF =5+52=152，最后判断出△BGF∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论；②当△AEF∽△CGF 时，先判断出∠AFC =90°，进而得出CF =2BF ，再根据勾股定理得，求出BF =1，得出AF =AB +BF =6，同理：BG =√55，再判断出△BGF∽△AEF ，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。