三级火箭发射卫星数学模型ppt课件
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中国航天长征五号遥三运载火箭航天PPT模板
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大火箭有大梦想 大型运载火箭 —长征五号
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胖五
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长征五号近地轨道25吨左右的运载能力
已位居世界前列
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长征五号遥三运载火箭 新年快乐元旦新年快乐元旦
12月27日20时45分，长征五号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场点火
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908天的等待之后，我国新一代大型运载火箭 长征五号迎来第三次发射任务。
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三级火箭发射卫星数学模型(课堂PPT)
第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为
m 1 m 2 m n m p
此时第一级火箭的速度为
v1ulnm m 11 m m 22 m m nn m m pp
将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火 箭的质量为
m 2 m nm p
26
并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕 时，火箭的速度为
m (tt)m (t)dmt(t) dt
20
m (t t)v (t t)
m (t)v (t) d m tv (t) (1 )d m t(v (t) u )( t)
d t
d t
m (tt)v(tt)
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t( t)
d t
d t
v(tt)v(t)dvt(t) dt
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
12
m dv u dm
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途 径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
16
3) 模型分析 单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓. 这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
m 1 m 2 m n m p
此时第一级火箭的速度为
v1ulnm m 11 m m 22 m m nn m m pp
将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火 箭的质量为
m 2 m nm p
26
并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕 时，火箭的速度为
m (tt)m (t)dmt(t) dt
20
m (t t)v (t t)
m (t)v (t) d m tv (t) (1 )d m t(v (t) u )( t)
d t
d t
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m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t( t)
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d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
12
m dv u dm
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途 径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
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3) 模型分析 单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓. 这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
发射卫星为什么用三级火箭
微分方程建模：发射卫星为什么用三级火箭微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。
把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
列方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。
我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。
对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。
在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。
不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。
本章将利用上述方法讨论具体的微分方程的建模问题。
§1 发射卫星为什么用三级火箭采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
多级火箭建模讲解
得：
2
3ln
mm022.是呢m1m1mm否？1PP 三最11级简 火 单 0箭 的.mmm1m就 方PP2 2是 法11最 就 省 是
3ln
k 1 2 0.1k 1
6 ln
r
假设(i)
（2）设火g箭=9推.8进1米力/及秒速2，度得的:分析
假设：火箭重力及空气阻力均不计
卫星离地面高度 卫星速度
(公里)
(公里/秒)
分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t)
有： m(t t) m(t) dm t O(t2 )
100
7.86
记火箭喷出的气体相d对t 于火箭的速度为20u0 （常数），7.80
§1 为什么要用三级火箭来发射人造卫星
构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？
1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?
（1）卫星能在轨道上运动的最低速度
假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星
在此轨道上作匀速圆周运动。
（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫
的调整，以保证区域内飞机互不相撞；
（5）忽略调整方向角引起的误差，忽略飞机速度变化所 引起的误差，即认为飞机做匀速飞行。
3 符号的约定
D 代表本问题中某一高层中的正方形区域
Pi 代表第i架飞机，
v 飞机的飞行速度
t 时间
(xi, yi ) 第i架飞机的位置
(xi0, yi0)第i架飞机的初始时刻（即新飞机到达区域边缘的时刻）
又应用W（Wn131 .1WW112） WW可m32 in求WWk得n11k12末nk速k1kn2度ulan：kn[mk1W1 1
多级火箭建模
三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半
要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP≈77。
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2
表 3- 2
dt
vபைடு நூலகம்
200 7.80 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为 u（常数），
dm 2 m(t ) (t ) m(t t ) (t t ) t O ( t u) 600 ) ( (t ) 7.58 dt m-dm d dm m0 7.47 800 故： m u 由此解得： (t ) 0 u ln ( 1) dm dt dt m(t ) 7.37 1000 υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发 u-v 速度u及质量比决定。
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 火箭结构优化设计讨论 记 …+ W W W1=m + m + m 解条件极值问题： n 1 1 n P 中我们得到与假设（ ii） W W =m … mn2 + kn n 1 + min km 相符的结果，这说明前 1kP 2 2+ 则 W2 n u ln W1 Wn …… 面的讨论都是有效的！ k 1 1 2 k 1k n1 1 s . t . C W2 Wn 1 m Wn= mn+ P [ k (1 )] [ k (1 )] 1 k n k n Wn+1= m u ln P [ k1 (1 )] [ kn (1 )] 或等价地求解无约束极值问题： 应用（3.11）可求得末速度： k1k2 kn W W W W min k k k a C Wn W2 又 1 W1 n 1 2 11 2 k k k
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2018/7/21 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2018/7/21
五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
13
五 火箭系统的质量
2018/7/21 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2018/7/21 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
数学建模教程-三级火箭运载模型
20
八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
已知：U :
：
气体喷射速度
结构比
？如何使 选得 取mm1p,最m2大,...,mn
m0 : 初始总质量
即
max
f
( ) m1,m2,mn,mp
_ mp min f (m)
m0
max
^
f
(x)
m
p
mp
mp m1 m2 mn m0
（1m）0
2023/5/17
21
ln
mp
m0 m1m2
mn
mp m2mn mp m2m3mn
...
mp mn mp mn
V n
（2）
mp, m1, m2, ..., mn 0
(3)
a 记
i
mp mi mn mp mi1 mn
(i 1,2,,n)
则
ln
a1
1(a1
1)
a2
1(a2
an
1) 1(an
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
2023/5/17
3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
引入重要指标:
火箭的结构比:
ms mF ms
1
mF mF ms
2023/5/17
13
五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
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7
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度为
v(t)-u
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8
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断
引力定律可知其引力大小为
Mm
F G r2
(1)
如果把卫星放在地球表面，则由（1）式，得
mg
G
Байду номын сангаас
Mm R2
F
m
g
R r
2
mg
R r
2
mv2 r
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5
vR g r
v7.6km/s
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6
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 2.火箭推进力及升空速度 火箭的简单模型是由一台发动机和 一个燃料仓组成。燃料燃烧产生大量 气体从火箭末端喷出，给火箭一个向 前的推力。火箭飞行要受地球引力、 空气阻力、地球自转与公转等的影响 ，使火箭升空后作曲线运动。
例，在现有技术条件下，要使燃料与发动机的质量和小于
所载燃料的1/9是很难做到的。 目前技术条件下不妨设相
对火箭的喷气速度u=3km/s.
3.2 初速度v0忽略不计，即v0 =0.
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14
2）建模与求解
因为升空火箭的最终(燃料已耗尽)质量为mp+ms。然后 将燃料仓和发动机丢弃，只剩下净载体，由式(1)及假设
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) m ( t) d v t v ( t) d m t ( t)
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
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12
m dv u dm
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3. 一级火箭末速度上限
火箭——卫星系统的质量可分为三部分：净载质量(有
效负载，如卫星)mp, ， 燃料质量mF ，结构质量(如外壳、
燃料容器及推进器) mS。一级火箭末速度上限主
要是受目前技术条件的限制。
ms 1
1) 模型假设
mF ms 9
3.1 一般来说，结构质量mS在mS+ mF中占有一定的比
m (t t) v (t t) m (t) v (t) d d m t t ( t) v (t) u
m (t)v(t)v(t)d m tud m t( t)
d t
d t
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11
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) v ( t) d m t u d m t ( t) d t d t
减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
m (tt)m (t)dmt(t) dt
dv v(tt)v(t) t(t)
dt
即 m (tt)m (t)dmt(t) dt
v(tt)v(t)dvt(t) dt
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9
m (tt)v(tt)
m (t)d d m t t( t) v(t)d d v t t( t)
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途
径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需
要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质
量，这要从结构上想办法。
3.2得到其末速度为
v
uln
m0 mp ms
(2)
令 m s(m F m s)(m 0 m p )，代入上式，得
v(vt)uv0lnulnm 0mm(0t(m )10)mp
(3)
由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末
速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
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1 v0 u ln
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
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3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t( t)
d t
d t
m (tt)m (t)dmt(t) dt
v(tt)v(t)dvt(t) dt
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10
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m (t) v (t) m (t t) v (t t) d d m t t ( t) v (t) u
(4)
由假设3.1，取u =3km, 1，便得火箭末速度上限
9
v03ln96.6km /s
而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为
7.6km/s.
即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下
，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫
星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速
数学建模
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1
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动力 系统和整体结构上分析，并且总假 设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发射 人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
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2
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
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3
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.
设地球半径为R， 中心为 O，质量为M，曲线C表示地 球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。
r
O C
R C′
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4
2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有