统考版2022届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节曲线与方程课件理新人教版2021020817

[解] (1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，
则 N(x0,0)，N→P＝(x－x0，y)，N→M＝(0，y0)．
由N→P＝
2N→M得
x0＝x，y0＝
2 2 y.
因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x22＋y22＝1.
因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则 O→Q＝(－3，t)，P→F＝(－1－m，－n)，O→Q·P→F＝3＋3m－tn， O→P＝(m，n)，P→Q＝(－3－m，t－n)． 由O→P·P→Q＝1 得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知 m2＋n2＝2， 故 3＋3m－tn＝0.
所以O→Q·P→F＝0，即O→Q⊥P→F. 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的 直线 l 过 C 的左焦点 F.
点评：本例第(1)问在求解中巧用“ N→P ＝ 2 N→M ”实现了动点 P(x，y)与另两个动点M(x0，y0)，N(x0，0)之间的转换，并借助动点 M的轨迹求得动点P的轨迹方程；对于本例第(2)问的求解，采用的是 “以算待证”的方法，即求得l的方程后，借助直线系的特点，得出 直线过定点．
点评：应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动 点的等量关系式，由等量关系式结合曲线的定义判断是何种曲线，再 设出标准方程，用待定系数法求解．
[跟进训练] 已知圆 N：x2＋(y＋ 5)2＝36，P 是圆 N 上的点，点 Q 在线段 NP 上，且有点 D(0， 5)和 DP 上的点 M，满足D→P＝2D→M，M→Q·D→P＝0. 当 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程．
点评：(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系， 则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的 轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．
(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加 上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等．
[跟进训练] 1．(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 A→C·B→C＝1，则 C 的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
[解] 连接 QD(图略)，由题意知，MQ 是线段 DP 的中垂线，所 以|NP|＝|NQ|＋|QP|＝|QN|＋|QD|＝6＞|DN|＝2 5.
由椭圆的定义可知，点 Q 的轨迹是以 D，N 为焦点的椭圆，依 题意设椭圆方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，则 c＝ 5，a＝3，b＝2，
所以点 Q 的轨迹方程是y92＋x42＝1.
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 ．
提醒：“曲线 C 是方程 f (x，y)＝0 的曲线”是“曲线 C 上的点 的坐标都是方程 f (x，y)＝0 的解”的充分不必要条件．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f (x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f (x，y)＝0 上的充要条
(2)当 λ＞0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除 去顶点)；
当－1＜λ＜0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除 去长轴的两个端点)；
当 λ＝－1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(－ 1,0)，(1,0)．
当 λ＜－1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆(除去 短轴的两个端点)．
x＝x0－31＋1，
y＝y30，
即xy00＝＝33xy，， 代入椭圆 C：x42＋y32＝1，
得重心 G 的轨迹方程为94x2＋3y2＝1(y≠0)．]
2.如图所示，动圆 C1：x2＋y2＝t2,1<t<3 与椭圆 C2：x92＋y2＝1 相 交于 A，B，C，D 四点．点 A1，A2 分别为 C2 的左、右顶点，求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程．
2．在本例中，若动圆 P 过圆 N 的圆心，并且与直线 x＝－1 相 切，求圆心 P 的轨迹方程．
[解] 由于点 P 到定点 N(1,0)和定直线 x＝－1 的距离相等，所以 根据抛物线的定义可知，点 P 的轨迹是以 N(1,0)为焦点，以 x 轴为对 称轴、开口向右的抛物线，故其方程为 y2＝4x.
A [以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立 平面直角坐标系(图略)，设 A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，则A→C＝(x＋a， y)，B→C＝(x－a，y)，∵A→C·B→C＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋ y2＝a2＋1，∴点 C 的轨迹为圆，故选 A．]
第八章 平面解析பைடு நூலகம்何
第八节 曲线与方程
[考试要求] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本 方法. 3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．
01
走进教材·夯实基础
梳理·必备知识 激活·必备技能
1．曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f (x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
迹方程为( )
A．y＝16x2
B．y＝－16x2
C．x2＝16y
D．x2＝－16y
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C [由题意可知，动点 M 到点 F(0,4)的距离等于到直线 y＝－4 的距离，故点 M 的轨迹为以点 F(0,4)为焦点，以 y＝－4 为准线的抛 物线，其轨迹方程为 x2＝16y.]
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2．P 是椭圆x92＋y52＝1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足
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02
细研考点·突破题型
考点一 直接法求轨迹方程 考点二 定义法求轨迹方程 考点三 相关点(代入)法求轨迹方程
考点一 直接法求轨迹方程 利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程， 然后进行化简．
(2)运用直接法应注意的问题 ①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程 的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的； ②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
x2＋y2－1＝12[21＋x＋21－x]， 21－x－21＋x＜0.
即xx2＞＋0y.2＝3， 所以点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3为半径的右半圆(不含端 点)．
考点二 定义法求轨迹方程 定义法求轨迹方程及其注意点
(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合 某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．
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4．已知线段 AB 的长为 6，直线 AM，BM 相交于 M，且它们的
斜率之积是94，则点 M 的轨迹方程是
．
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x92－y42＝1(x≠±3) [以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分 线为 y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 A(－3,0)，B(3,0)．设点 M 的坐标为(x，y)，则直线 AM 的斜率 kAM＝x＋y 3(x≠－3)，直线 BM 的 斜率 kBM＝x－y 3(x≠3)．由已知有x＋y 3·x－y 3＝49(x≠±3)，化简整理得点 M 的轨迹方程为x92－y42＝1(x≠±3)．]
[跟进训练]
1．已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x42＋y32＝1 的左、右焦点，点 P
是椭圆 C 上的动点，则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( )
A．3x62 ＋2y72 ＝1(y≠0)
B．49x2＋y2＝1(y≠0)
C．94x2＋3y2＝1(y≠0)
D．x2＋43y2＝1(y≠0)
C [依题意知 F1(－1,0)，F2(1,0)，设 P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)， 则由三角形重心坐标公式可得
由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴 长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x42＋y32＝1(x≠ －2)．
[母题变迁] 1．把本例中圆 M 的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆 N 的方程换 为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心 P 的轨迹方程． [解] 由已知条件可知圆 M 和 N 外离，所以|PM|＝1＋R，|PN| ＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2＜|MN|＝6，由双曲线的 定义知点 P 的轨迹是双曲线的右支， 其方程为 x2－y82＝1(x＞1)．
交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为
．
x＋y－1＝0 [设 M 的坐标为(x，y)，则 A，B 两点的坐标分别是
(2x,0)，(0,2y)，连接 PM.∵l1⊥l2， ∴|PM|＝|OM|，
而|PM|＝ x－12＋y－12，
|OM|＝ x2＋y2.
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∴ x－12＋y－12＝ x2＋y2， 化简，得 x＋y－1＝0， 即为所求的轨迹方程．]
为 M，则 PM 中点的轨迹方程为( )
A．49x2＋y52＝1
B．x92＋54y2＝1
C．x92＋2y02 ＝1
D．3x62 ＋y52＝1
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B [设中点坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(x,2y)， 代入椭圆方程得x92＋45y2＝1.故选 B．]
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3．若过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴
(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭 圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制．
[典例 2] 已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动
圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C．求 C