第7章 分治算法(C++版)

【例1】快速排序(递归算法)
void qsort(int l,int r) { int i,j,mid,p; i=l;j=r; mid=a[(l+r)/2]; //将当前序列在中间位置的数定义为分隔数 do { while (a[i]<mid) {i++;} //在左半部分寻找比中间数大的数 while (a[j]>mid) {j--;} //在右半部分寻找比中间数小的数 if (i<=j) { //若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们 p=a[i];a[i]=a[j];a[j]=p; i++;j--; //继续找 } }while(i<=j); //注意这里要有等号 if (l<j) qsort(l,j); //若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间 if (i<r) qsort(i,r); }
//输入排序好的数
//输入要查找的数 //递归过程
//递归过程
//取中间位置点
if (a[k]==m) cout<<"then num in "<<k<<endl; if (x>y) cout<<"no find"<<endl; else { if (a[k]<m) jc(k+1,y); if (a[k]>m) jc(x,k-1); } }
方阵一分为四来看,那么左上角的4*4的方阵就是前四位选手的循环比赛表,而 右上角的4*4的方阵就是后四位选手的循环比赛表,它们在本质上是一样的,都 是4个选手的循环比赛表,所不同的只是选手编号不同而已,将左上角中方阵的 所有元素加上4就能得到右上角的方阵.下方的两个方阵表示前四位选手和后四 位选手进行交叉循环比赛的情况,同样具有对称性,将右上角方阵复制到左下角 即得到1,2,3,4四位选手和5,6,7,8四位选手的循环比赛表,根据对称性, 右下角的 方阵应与左上角的方阵相同.这样,八名选手的循环比赛表可以由四名选手的循 环比赛表根据对称性生成出来.同样地, 四名选手的循环比赛表可以由二名选手 的循环比赛表根据对称性生成出来,而两名选手的循环比赛表可以说是已知的, 这种程序设计方法叫做分治法,其基本思想是把一个规模为n的问题分成若干个 规模较小的问题,使得从这些较小问题的解易于构造出整个问题的解。 程序中用数组matchlist记录n名选手的循环比赛表, 整个循环比赛表从最初 的1*1的方阵按上述规则生成出2*2 的方阵, 再生成出4*4 的方阵,……，直到生 成出整个循环比赛表为止.变量half表示当前方阵的大小,也是要生成的下一个 方阵的大小的一半 。
1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4 1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 【算法分析】 从八位选手的循环比赛表中可以看出,这是一个具有对称性的方阵,可以把
由此得出算法： 输入方程中各项的系数a，b，c，d ； { for (x=-100;x<=100;x++) //枚举每一个可能的根 { x1=x;x2=x+1; //确定根的可能区间 if (f(x1)==0) printf("%.2f ",x1); //若x1为根，则输出 else if (f(x1)*f(x2)<0) //若根在区间[x1，x2]中 { while (x2-x1>=0.001) //若区间[x1，x2]不满足精度要求，则循环 { xx=(x2+x1)/2; //计算区间[x1，x2]的中间位置 if ((f(x1)*f(xx))<=0) //若根在左区间，则调整右指针 x2=xx; else x1=xx; //若根在右区间，则调整左指针 } printf("%.2f ",x1); //区间[x1，x2]满足精度要求，确定x1为根 } } cout<<endl; } double f(double x) //将x代入函数 { return (x*x*x*a+b*x*x+x*c+d); }
【例2】用递归算法实现二分查找即：有n个已经从小到大排序好的数据，输入 一个数m，用二分查找算法，判断它是否在这n个数中。
#include<iostream> using namespace std; int jc(int,int); int n,a[1000],m; int main() { int x,y,i; cin>>n; x=1;y=n; for (i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]; cin>>m; jc(x,y); cout<<endl; } int jc(int x,int y) { int k; k=(x+y)/2;
2.分治法 枚举根的值域中的每一个整数x(-100≤x≤100)。由于根与根之差的绝 对值≥1，因此设定搜索区间[x1，x2]，其中x1=x，x2=x+1。若 ⑴f(x1)=0，则确定x1为f(x)的根； ⑵f(x1)*f(x2)>0，则确定根x不在区间[x1，x2]内，设定[x2，x2+1]为 下一个搜索区间 ⑶f(x1)*f(x2)<0，则确定根x在区间[x1，x2]内。 如果确定根x在区间[x1，x2]内的话（f(x1)*f(x2)<0），如何在该区间 找到根的确切位置。采用二分法，将区间[x1，x2]分成左右两个子区间： 左子区间[x1，x]和右子区间[x，x2]（其中x=）： 如果f(x1)*f(x)≤0，则确定根在左区间[x1，x]内，将x设为该区间的右 指针（x2=x），继续对左区间进行对分；如果f(x1)*f(x)>0，则确定根在 右区间[x，x2]内，将x设为该区间的左指针（x1=x），继续对右区间进 行对分； 上述对分过程一直进行到区间的间距满足精度要求为止（x2x1<0.001）。此时确定x1为f(x)的根。
【例4】、循环比赛日程表（match） 【问题描述】 设有N个选手进行循环比赛，其中N=2M，要求每名选手

要与其他N-1名选手都赛一次，每名选手每天比赛一次，循 环赛共进行N-1天，要求每天没有选手轮空。 输入：M 输出：表格形式的比赛安排表 【样例输入】match.in 3 【样例输出】match.out 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 3 6 5 8 7 3 4 1 2 7 8 5 6 4 3 2 1 8 7 6 5 5 6 7 8 1 2 3 4 6 5 8 7 2 1 4 3 7 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1
【参考程序】 #include<cstdio> const int MAXN=33,MAXM=5; int matchlist[MAXN][MAXN]; int m; int main() { printf("Input m:"); scanf("%d",&m); int n=1<<m,k=1,half=1; // 1<<m 相当于 2^m matchlist[0][0]=1; while (k<=m) { for (int i=0;i<half;i++) //构造右上方方阵 for (int j=0;j<half;j++) matchlist[i][j+half]=matchlist[i][j]+half; for (int i=0;i<half;i++) //对称交换构造下半部分方阵 for (int j=0;j<half;j++) { matchlist[i+half][j]=matchlist[i][j+half]; //左下方方 阵等于右上方方阵 matchlist[i+half][j+half]=matchlist[i][j]; //右下方方 阵等于左上方方阵 }

//找到查找的数，输出结果 //找不到该数
//在后半中查找 //在前半中查找
【例3】一元三次方程求解 有形如：ax3+bx2+cx+d＝0这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的 系数（a,b,c,d均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在-100至 100之间），且根与根之差的绝对值≥1。 要求由小到大依次在同一行输出这三个实根（根与根之间留有空格），并精 确到小数点后2位。 提示：记方程f（x）=0，若存在2个数x1和x2，且x1<x2，f（x1）*f（x2）＜ 0，则在（x1，x2）之间一定有一个根。 输入：a，b，c，d 输出：三个实根（根与根之间留有空格） 【输入输出样例】 输入：1 -5 -4 20 输出：-2.00 2.00 5.00 【算法分析】 这是一道有趣的解方程题。为了便于求解，设方程f(x)=ax3+bx2+cx+d＝0， 设根的值域（-100至100之间）中有x， 其左右两边相距0.0005的地方有x1和x2 两个数，即 x1=x-0.0005，x2=x+0.0005。x1和x2间的距离（0.001）满足精度要 求（精确到小数点后2位）。若出现如图1所示的两种情况之一，则确定x为f(x)=0 的根。
第七章 分治ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
所谓分治就是指的分而治之，即将较大规模的问题分解成几个较小规模 的问题，通过对较小规模问题的求解达到对整个问题的求解。当我们将问题分 解成两个较小问题求解时的分治方法称之为二分法。 分治的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这 些子问题互相独立且与原问题相似。找出各部分的解，然后把各部分的解组合 成整个问题的解。 1、解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。分治算法时间是 这样确定的： 解决子问题所需的工作总量（由子问题的个数、解决每个子问题的工作量 决定）合并所有子问题所需的工作量。 2、分治法是把任意大小问题尽可能地等分成两个子问题的递归算法。 3、分治的具体过程： {｛开始｝ if ①问题不可分 ②返回问题解 else { ③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1； ④递归调用分治法过程，求出解1； ⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2； ⑥递归调用分治法过程，求出解2； ⑦将解1、解2组合成整个问题的解； } } //结束
【问题分析】

以M=3(即N=23=8)为例，可以根据问题要求，制定出如下图所示的 一种方案：
以表格的中心为拆分点，将表格分成A、B、C、D四个部分，就很容易看 出有A=D，B=C，并且，这一规律同样适用于各个更小的部分。 设有n个选手的循环比赛，其中n=2m，要求每名选手要与其他n-1名选手 都赛一次。每名选手每天比赛一次，循环赛共进行n-1天。要求每天没有选手 轮空.以下是八名选手时的循环比赛表，表中第一行为八位选手的编号，下面 七行依次是每位选手每天的对手。
有两种方法计算f(x)=0的根x: 1．枚举法 根据根的值域和根与根之间的间距要求(≥1)，我们不妨将根的值域扩大100 倍(-10000≤x≤10000)，依次枚举该区间的每一个整数值x，并在题目要求的精度 内设定区间：x1=，x2=。若区间端点的函数值f(x1)和f(x2)异号或者在区间端点 x1的函数值f(x1)=0，则确定为f(x)=0的一个根。 由此得出算法： 输入方程中各项的系数a，b，c，d ； for (x=-10000;x<=10000;x++) //枚举当前根*100的可能范围 { x1=(x-0.05)/100；x2=(x+0.05)/100；//在题目要求的精度内设定区间 if (f(x1)*f(x2)<0||f(x1)==0) //若在区间两端的函数值异号或在x1处 的函数值为0，则确定x/100为根 printf(―%.2f‖,x/100)； } 其中函数f(x)计算x3+b*x2+c*x+d： double f(double x) //计算x3+b*x2+c*x+d { f=x*x*x+b*x*x+c*x+d； } //f函数