第2章 递归与分治_作业答案讲解

具体执行过程：求最大值
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5 0 1 2 3 4 5 6 24 -13 29 113 87 65 -9 0 1 2 3 24 -13 29 113 0 1 24 -13 2 3 29 113 4 5 6 87 65 -9 7 8 9 10 11 12 13 36 14 76 44 83 67 5 7 8 9 10 36 14 76 44 7 8 36 14 7 36 9 10 76 44 11 12 13 83 67 5 11 12 83 67 11 83 12 67 13 5
课后练习
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明 原因。 1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
2. 利用主定理说明以下时间函数的复杂度：
T(n) = 16T(n/4) + n
T(n) = T(3n/7) + 1
课后练习
• 练习1：给定数组a[0:n-1]， 1. 试设计一个分治法算法，找出a[0:n-1]中元素最 大值和最小值； 2. 写出该算法时间函数T(n)的递推关系式； 3. 分析该算法的时间复杂度和空间复杂度。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 24 -13 29 113 87 65 -9 36 14 76 44 83 67 5
• 递归公式：
– 设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由 m个非空子集组成的集合。 F(n,m) = 1, when n=0, n=m, n=1, or m=1 F(n,m) = 0, when n<m 否则 F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
• 考虑3个元素的集合，可划分为 – ① 1个子集的集合：{{1，2，3}} – ② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}， {{2，3}，{1}} – ③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}} ∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;
具体算法：伪代码
int MaxProfit(int p[], int m, int n) { //求第m到第n天内一次买卖股票的最大收益 int i=m, j=(m+n)/2+1; //在第i天买入股票，并在第j天卖出股票 int k; int max1, max2, max3; //三个可能的最优解 max1=MaxProfit(p, m, (m+n)/2); // S上的最优解 max2=MaxProfit(p, (m+n)/2+1, n); // S’上的最优解 for(k=m+1;k<=(m+n)/2;k++) //求最小p(i) if(p(i)>p(k)) p(i)=p(k); for(k=(m+n)/2+2;k<=n;k++) //求最大p(j) if(p(j)<p(k)) p(j)=p(k); max3=p(j)-p(i); return 最大值(max1, max2, max3); } //最优解
4 5 87 65 5 65
6 -9
0 1 2 4 3 24 -13 29 113 87
8 14
9 76
10 44
int MAXA( A, i, j) { int i, j, max=0, max1=0, max2=0; int A[]; if( i==j ) max=A[i]; else //求数组前半部分的最大值max1 { max1 = MAXA( A, i, (i+j)/2 ); //求数组后半部分的最大值max2 max2 = MAXA( A, (i+j)/2+1, j ); if( max1 > max2 ) max = max1; else max = max2; } return max; }
– 怎样在O(nlog2n)时间找到正确的i和j。
• 一共有n天的数据，即p(1), p(2), ……, p(i), p(i+1), ……, p(n1), p(n)。 • 设S是1天，……，n/2天的集合；S’是n/2+1，……，n天的集 合。
• 分治法策略：
– 或者有一个最优解使投资者在n/2结束时持有这只股票： 第i天买入股票，此时i≤n/2；第j天卖出股票，此时 j≥n/2+1。 – 或者没有： • 最优解在集合S中（i与j均≤n/2）：用户可以在前n/2天 内买入股票并卖出； • 或者最优解在集合S’中（ i与j均≥n/2+1）：用户可以 在后n/2天内买入股票并卖出。
• 练习3：分析Strassen矩阵乘法在时间效率上有何 改进，为什么？
• Strassen矩阵乘积分治算法中，用了7次对于n/2阶 矩阵乘积的递归调用和18次n/2阶矩阵的加减运算。 由此可知，该算法的所需的计算时间T(n)满足如 下的递归方程： O1 n2
T n 2 7 T n / 2 O n

n2
T(n)=O(nlog7)≈O(n2.81)
较大的改进
课后练习
• 练习4：划出下列序列在快速排序过程中一次 划分的具体步骤。
21 25 49 25* 16 08
一次划分的过程
初始关键字
pivotkey 21 low 08 08 08 08 08 25 49 25* 16 08 high 21 high 25
c2 n (1 3 ( 3 ) 2 ( 3 )log4 n1 ) 4 4 4
• 最后一层叶子结点数： 3log4 n nlog4 3
16T(n/4) + n T(n) = T(3n/7) + 1 T(n) = 3T(n/4) + nlogn 定理（主定理）： a≥1且b>1是常数， f(n)是一个函数，T(n)由 如下的递推式定义：T(n)=aT(n/b)+f(n)，式中，n/b指n/b或 n/b，则T(n)有如下的渐近界： （1）若对于某常数є>0，有f(n)=O(nlogba-є)，则T(n)=(nlogba)； （2）若f(n)=(nlogba )，则T(n)=(nlogbalogn)； （3）若对于某常数є>0，有f(n)=(nlogba+є )，且对于某个常数 c<1和所有足够大的n，有af(n/b)≤cf(n)，则T(n)=(f(n))。
• 如果A[n/2]比A[n/2-1]和A[n/2+1]都大，顶峰项实际上就等 于A[n/2]。
具体算法：伪代码
int Danfeng(int A[], int m, int n) { //求单峰数组中的顶峰值 int k=(m+n)/2; if(k==m&&k==n) return A[k]; if(A[k-1]<A[k]&&A[k]>A[k+1]) return A[k]; else { if(A[k-1]<A[k]&&A[k]<A[k+1]) Danfeng(A[], k+1, n); if(A[k-1]>A[k]&&A[k]>A[k+1]) Danfeng(A[], m, k-1); } }
• 则算法是在下面三个可能的解中最好的： – S上的最优解 – S’上的最优解 – p(j)-p(i)的最大值，对所有的i∈S且j∈S’ • 前两个选择中的每一个在T(n/2)时间内被递归地计算；
• 第三个选择通过找S中的最小与S’中的最大而计算，该操 作需要O(n)时间。
• 则运行时间的递推关系式是： T ( n) 2T ( n ) O( n) 2 • 则算法的时间复杂度为：O(nlog2n)。
T(n) = 3T(n/4) + nlogn
• 练习2：分析如下时间函数的复杂度，并说明原因。
1. 利用递归树说明以下时间函数的复杂度：
O(1) T ( n) 3T ( n ) O( n) 4 n1 n1
• 递归树的高度为：log4n+1;
• 除去叶子结点，树有log4n层，每层结点总数为：
问题分析、举例说明
• 利用分治策略设计一个算法。
• 举例：
– 假设n=3, p(1)=9, p(2)=1, p(3)=5. 那么应该得出“2买，3 卖”的结论。即，在第2天买并且在第3天卖意味着每股 将挣4美元，是这个期间最大的收益。 • 问题分析： – 存在一个简单的算法，时间复杂度是O(n2)：对所有的 买天/卖天构成的对进行尝试，看看哪个对能使用户挣 到最多的钱。 – 假设在第i天买、第j天卖可以获得最大收益：最优解。
课后练习（选做）
• 练习6：假设有n个项的数组A，每个项具有一个 不同的数。告诉你值A[1],A[2],…,A[n]的序列是单 峰的：对于某个在1与n之间的下标p，数组项的值 增加到A中的位置p，然后剩下的过程减少直到位 置 n。 • 要求：
– 利用分治策略设计一个算法，读尽可能少的元 素，找到这个“顶峰”元素p。
分治法思想
• 查看A[n/2]值，分析其是出现在上坡上（ A[n/2]在A[p]之 前）还是下坡上（A[n/2]在A[p]之后）。 • 如果A[n/2-1]＜A[n/2]＜A[n/2+1]，那么n/2项一定严格位 于p的前面，因此可以在n/2+1项到n项之间递归地继续下 去。 • 如果A[n/2-1]＞A[n/2]＞A[n/2+1]，那么n/2项一定严格位 于p的后面，因此可以在1项到n/2-1项之间递归地继续下 去。
• 要求：