江苏省南通市中考数学试卷解析
江苏省南通市2021年中考数学试题(解析版)
江苏省南通市2021年中考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 计算，结果正确的是（）A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】原式利用有理数的减法法则计算即可得到结果．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键．2. 据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37×106．故选：D．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可．【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意；B. ，选项计算正确，符合题意；C．，选项计算错误，不符合题意；D. ，选项计算错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. 以下调查中，适宜全面调查的是（）A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间B. 调查某批次汽车的抗撞击能力C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【答案】A【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A. 三棱柱B. 圆柱C. 三棱锥D. 圆锥【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A ．【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A. 24 B. 20C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解． 【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，BD=8，AC=6， ∴AC ⊥BD ，OA=OC=3，OD=OB=4，Rt △AOD 中，，∴菱形ABCD 的周长为：4×5=20， 故选B ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳长y 尺，可列方程组为（ ） A B. C. D.【答案】D在【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；木长=绳长+1，据此可列方程组求解．详解】解：设木长x尺，绳长y尺，【依题意得，故选：D．【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．8. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组．9. 如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC 上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0，如图，过点P作PG⊥AB于点G，，则PG=(0)，此时y=AQ PG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，此时y=AQ DE=(13)，图象是一段线段；③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，此时y=AB DE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，如图，过点P作PH⊥AB于点H，，则PH=，此时y=AB PH=(18)，图象是一段线段；综上，只有D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴联立可得：解得：或∵点A在第一象限，∴，．∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．设直线AM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．∴．∴．∵，∴．设直线BM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线BM的解析式为．∵直线BM与y轴交于D点，∴．∴．∴．∵，∴．∴=4．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 分解因式：______________【答案】.【解析】【分析】根据平方差公式分解即可.【详解】解：.故答案为.【点睛】本题考查了多项式因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键.的12. 正五边形每个内角的度数是_______．【答案】【解析】【分析】先求出正n边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为，∴正五边形的内角和是，则每个内角的度数是．故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．13. 圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为___________．【答案】【解析】【分析】利用圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：依题意知母线长=2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．故答案为：2π．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．14. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是___________℃．【答案】52【解析】【分析】根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间t的式子表示此时的温度T，利用一次函数的性质即可解决．【详解】解：设时间为t分钟，此时的温度为T，由表格中的数据可得，每5分钟，升高15℃，故规律是每过1分钟，温度升高3℃，函数关系式是T=3t+10；则第14分钟时，即t=14时，T=314+10=52℃，故答案为：52．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．【答案】．【解析】【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．【答案】3【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，∴m+n=-3，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，的，．也考查了一元二次方程的解．17. 平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴点P的坐标为(，)，∴PO=，∵，∴当时，有最小值，且最小值为，∴PO的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．18. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．【答案】．【解析】【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，设AC=BC=a，∵∴，∴，∵∴∵∴∴∴设CE=x，则FE=在Rt△AFE中，∴解得，，（不符合题意，舍去）∴∵∴∴∴在Rt△BGE中，∴∴故答案为：．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）化简求值：，其中；（2）解方程．【答案】（1）原式=4；（2）．【解析】【分析】（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为，再将已知条件代入即可；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．【详解】解：（1）==当时，原式==；（2），去分母得：，解得：，经检验，是原方程的解．则原方程的解为：．【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．20. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？【答案】楼高是9米．【解析】【分析】先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度．【详解】解：∵，，∴m，∵，，∴∥，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴；∴楼高是9米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．21. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表甲、乙两种西瓜得分统计表（1）___________，___________；（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【答案】（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90，故答案为：a=88，b=90；（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2，故答案为：乙；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．22. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为___________；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；【详解】解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，∴随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：；故答案为：．（2）画树状图得：∴共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4种；∴两次取出小球标号的和等于5的概率为：．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．（1）求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）55°；（2）．【解析】【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∠CAD=35°，∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE，∴∠AEO∠EAO70°，∵OC∥AE，∴∠COE=∠AEO=70°，∴AB=2，则OC=OE=1，∴的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．24. A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：（元）；去B超市的购物金额为：（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．【解析】【分析】（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．【详解】解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；B商场y关于x的函数解析式：，即：；（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元∴当时，，令，，所以，当时，即，去B超市更省钱；当时，，令，，所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；当时，即，去B超市更省钱；当时，即，去A超市更省钱；综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B 商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．25. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．【答案】(1)．(2)DG//CF．理由见解析．(3)．【解析】【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为算出．(2)作辅助线BF、AC，先导角证明是等腰直角三角形、是等腰直角三角形．再证明、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．(3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．点A关于直线BE的对称点为点FBE是AF的垂直平分线，AB=BF四边形ABCD是正方形AB=BC，．(2) 位置关系：平行．理由：连接BF，AC，DG设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N由(1)可知，是等腰直角三角形四边形ABCD是正方形是等腰直角三角形垂直平分AF在和中，在和中，CF//DG(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：①当FH=BH时，作于点M由(1)可知：AB=BF，四边形ABCD是正方形设AB=BF=BC=a将绕点B顺时针旋转得到FH=BH是等腰三角形，在和中，BM=AE=②当BF=FH时，设FH与BC交点为O绕点B顺时针旋转得到由(1)可知：此时，与重合，与题目不符，故舍去③当BF=BH时，由(1)可知：AB=BF设AB=BF=a四边形ABCD是正方形AB=BC=aBF=BHBF=BH=BC=a而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．故答案为：【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ．26. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”；函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【解析】【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）∵函数，令y=x，则，解得：(负值已舍)，∴函数的“等值点”为A(，)；∵函数，令y=x，则，解得：，∴函数的“等值点”为B(，)；的面积为，即，解得：或；（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，∴函数W的解析式为，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则，即，当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当时，观察图象，恰有2个“等值点”；当时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W2没有“等值点”，∴，整理得：，解得：．综上，m的取值范围为或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。
2024年江苏省南通市中考数学试卷及答案解析
2024年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃2．（3分）2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（）A．158.2×109B．15.82×1010C．1.582×1011D．1.582×10123．（3分）计算×的结果是（）A．9B．3C．3D．4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．棱柱C．圆柱D．圆锥5．（3分）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（）A．41°B．51°C．49°D．59°6．（3分）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg，2023年平均每公顷产8450kg．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，列方程为（）A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝72007．（3分）将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）8．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（）A．12B．13C．14D．159．（3分）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20km．两人前进路程s（单位：km）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2＝AB•AE 请对两位同学的发现作出评判（）A．小明正确，小丽错误B．小明错误，小丽正确C．小明、小丽都正确D．小明、小丽都错误二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝．12．（3分）已知圆锥底面半径为2cm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面积是cm2．13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：．14．（4分）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC＝6m，则旗杆AC的高度为m．15．（4分）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm．16．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为．18．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直线y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）经过点（1，0），并把△AOB分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；（2）解方程﹣1＝．20．（10分）我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．50个家庭去年月均用水量频数分布表组别家庭月均用水量（单位：吨）频数A 2.0≤t＜3.47B 3.4≤t＜4.8mC 4.8≤t＜6.2nD 6.2≤t＜7.66E7.6≤t＜9.02合计50根据上述信息，解答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在组；（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少个？21．（10分）如图，点D在△ABC的边AB上，DF经过边AC的中点E，且EF＝DE．求证：CF∥AB．22．（10分）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动．（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率．23．（10分）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D．（1）求图中阴影部分的面积；（2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．24．（12分）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）1326032360信息二A型机器人每台每天可分拣快递22万件；B型机器人每台每天可分拣快递18万件．（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；（2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？25．（13分）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，且x0＝．求点P到y轴的距离；（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．26．（13分）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°2图③130°请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB•AC之间的数量关系：．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD＝1，∠BAC＝60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB•AC 之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB＝AC＝1，点D在边AC上，BD＝BC＝AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析+的值是否变化？2024年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作﹣3℃．故选：A．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．【分析】根据科学记数法表示数的方法，对所给较大数进行表示即可．【解答】解：由题知，1582亿＝1582×108＝1.582×103×108＝1.582×1011．故选：C．【点评】本题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，熟知科学记数法表示较大数的方法是解题的关键．3．【分析】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可．【解答】解：．故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．4．【分析】结合三视图与原几何体的关系即可解决问题．【解答】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥．故选：D．【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．5．【分析】根据矩形的性质得出∠B＝90°，再结合平行线的性质即可解决问题．【解答】解：延长CB与直线b交于点M，∵a∥b，∠2＝41°，∴∠BMA＝∠2＝41°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠1+∠BMA＝90°，∴∠1＝90°﹣41°＝49°．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，熟知矩形的性质及平行线的性质是解题的关键．6．【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，7200（1+x）2＝8450，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．7．【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再结合所给平移方式即可解决问题．【解答】解：因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，所以抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2），所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，能根据所给二次函数解析式得出抛物线的顶线坐标及熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．8．【分析】依据题意，由中间小正方形的边长为（m﹣n），根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为（m2+n2），进而可以得解．【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，∵（m+n）2＝21，∴m2+n2+2mn＝21②，①+②得2（m2+n2）＝26，∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．9．【分析】根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度．【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；乙的速度是：20÷1＝20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选：D．【点评】本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力．10．【分析】根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可判断小明的发现正确；当AE的长最小时，AE⊥AC，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质即可判断小丽的发现正确．【解答】解：小明的发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点．当E落在AC上时，根据旋转的定义，DE与DH形成的角度为2α．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，这意味着小明的发现是正确的．首先，要确定AE的长度何时最小．根据题目条件，当E落在AC上时，根据小明的发现，D是HC的中点．此时，E与A，H三点共线，AE的长度达到最小．当E与A，H三点共线时，△AHE与△ABC相似．∴，∵HE＝HC﹣HD＝，∵D是HC的中点，并且AH是△ABC的高，∴AH2＝AB•HE，∵HE＝AE，当E与A，H三点共线时，AH2＝AB•AE成立，∴小丽发现也是正确的．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．【分析】本题属于因式分解中的基础题，观察多项式的特点，直接运用提公因式法提取公因式a即可分解因式．【解答】解：ax﹣ay＝a（x﹣y）．【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式．12．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×6÷2＝12πcm2．故答案为：12π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．13．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣4k＞0，解之即可得出k值．【解答】【点评】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解．【解答】解：由题意可得：BC＝6m，又tan60°＝＝＝，∴AC＝6m．故答案为：6．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．15．【分析】根据题意画出图形，再利用45°特殊直角三角形求出菱形的高．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，∵周长为20cm，∴CD＝5cm，∵∠BCD＝45°，∴∠CDE＝45°，∴高＝CE＝cm，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．16．【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤10时，则≤10，R≥3.6，故答案为：R≥3.6．【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．17．【分析】过点G作GH⊥AC于点H，证明△ABC是等腰直角三角形，△AGH是等腰直角三角形，证明△DGH≌△DEC（AAS），得GH＝DC，DH＝CE，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，得2a+b＝5，a2+b2＝（）2，求出a的值，进而可以解决问题．【解答】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，AB＝AC＝5，∵GH⊥AC，∴△AGH是等腰直角三角形，∴AH＝HG，AG＝AH，∵四边形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，在△DGH和△DEC中，，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝DC，DH＝CE，∴AH＝HG＝DC，设AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，∵正方形DEFG的边长为，∴DE＝，∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，∴2a+b＝5，a2+b2＝（）2，将b＝5﹣2a代入a2+b2＝（）2整理得：a2﹣4a+4＝0，解得a＝2（负值已经舍去），∴AH＝a＝2，∴AG＝AH＝2，∴BG＝AB﹣AG＝5﹣2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，代入法解二元二次方程，解一元二次方程，解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．18．【分析】将点（1，0）代入直线y＝kx+b，将b用k表示出来，利用待定系数法求出AB所在直线的函数关系式，求出它们的交点坐标；根据三角形面积公式求出远离原点部分的面积，从而求出k的值即可．【解答】解：如图，设AB与直线y＝kx+b交于点P．设AB所在直线的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．将坐标A（3，0）和B（0，3）分别代入y＝k1x+b1，得，解得，∴AB所在直线的函数关系式为y＝﹣x+3．将点（1，0）代入y＝kx+b，得k+b＝0，解得b＝﹣k，∴直线y＝kx+b为y＝kx﹣k．，解得，∴P（，），＝×3×3＝，∵S Rt△AOB∴远离原点部分的面积为﹣＝，∴×（3﹣1）×＝，∴k＝．故答案为：．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求函数关系、求出交点坐标、掌握三角形的面积公式是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则进行计算；（2）根据解分式方程的步骤进行计算．【解答】解：（1）2m （m ﹣1）﹣m （m +1）＝m 2﹣2m ﹣m 2﹣m＝﹣3m ；（2）﹣1＝，3x ﹣（3x +3）＝2x ，3x ﹣3x ﹣3＝2x ，∴x ＝，经检验，x ＝是原方程的解．【点评】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键．20．【分析】（1）依据题意得，C 组的频数n ＝×50＝15，从而B 组的频数m ＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20，进而可以判断得解；（2）依据题意，根据中位数的意义，由50÷2＝25，可得中位数是第25个数和第26个数的平均数，结合A 组频数为7，B 组频数为20，故可判断得解；（3）依据题意，由50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（户），进而可以判断得解．【解答】解：（1）由题意得，C 组的频数n ＝×50＝15．∴B 组的频数m ＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．故答案为：20；15．（2）由题意，根据中位数的意义，∵50÷2＝25，∴中位数是第25个数和第26个数的平均数．又∵A 组频数为7，B 组频数为20，∴这50个家庭去年月均用水量的中位数落在B 组．故答案为：B ．（3）由题意，∵50个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有7+20＝27（个），∴该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有：1200×＝648（个）．【点评】本题主要考查了中位数、用样本估计总体、频数（率）分布表、加权平均数，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．【分析】证明△ADE≌△CFE（SAS），得出∠ADE＝∠CFE，得到CF∥AB．【解答】证明：∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠ADE＝∠CFE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．22．【分析】（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为；（2）根据题意画出树状图，得出概率．【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）＝，故答案为：；（2）∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况，∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）＝．【点评】本题考查了概率，掌握树状图法是解题的关键．23．【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积；（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长．【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵⊙A与BC相切于点D，∴AD＝，S＝S△ABC﹣S扇形＝；（2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，扇形面积的计算等，掌握综合知识是解题的关键．24．【分析】（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果；（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．【解答】解：（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，∴，∴，答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人（10﹣a）台，∴80a+60（10﹣a）≤700，∴a≤5，∵每天分拣快递的件数＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，∴当a＝5时，每天分拣快递的件数最多为200万件，∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键．25．【分析】（1）利用求抛物线对称轴公式即可求得答案；（2）根据题意得b＝﹣，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，再根据抛物线对称轴公式建立方程求解即可；（3）由题意得b＝，代入y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2，用含a的代数式表示x0，再根据题意列不等式组求解即可．【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，则y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，∵当x＝﹣＝1时，y取得最小值，∴x0＝1；（2）∵点P（a，b）在双曲线y＝﹣上，∴b＝﹣，∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x2﹣（2a﹣）x+a2+，∵x0＝﹣＝，∴a1＝2，a2＝﹣1，当a＝2时，点P到y轴的距离为2；当a＝﹣1时，点P到y轴的距离1；综上所述，点P到y轴的距离为2或1；（3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，∴b＝，由题意得：x0＝＝，∵1≤x0＜3，∴1≤＜3，整理得：1≤a2＜9，∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4个．【点评】本题是函数综合题，考查了二次函数的性质，反比例函数性质，解不等式组等，理解题意，熟练运用二次函数的性质是解题关键．26．【分析】（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC，再运用解直角三角形即可求得答案；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，运用等腰三角形性质可得DF＝S△ABD+S△ACD，即可求得答案；＝DE＝，利用S△ABC（3）根据题目要求画图，设∠A＝α，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得α＝36°，过点E＝S△BEM+S△BEN，即可求得答案．作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，利用S△BMN【解答】解：（1）如图③，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，两腰之和为AB+AC＝，两腰之积为AB•AC＝×＝，猜想：AB+AC＝2，证明：如图，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，在Rt△ABD中，AB＝＝，∴AB+AC＝，AB•AC＝，∴AB+AC＝2AB•AC•cosα；故答案为：，，，AB+AC＝2AB•AC•cosα；（2）AB+AC＝AB•AC．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，过点C作CG⊥AB于G，则DE＝AD•sin∠BAD＝1×sin30°＝，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝，在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝AC•sin60°＝AC，＝S△ABD+S△ACD，∵S△ABC∴AB•AC＝AB•+AC•，∴AB•AC＝AB+AC；（3）补全图形如图所示：设∠A＝α，∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝α，∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴α+2α+2α＝180°，解得：α＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，过点N作NG⊥AB于G，∵S △BMN ＝S △BEM +S △BEN ，∴BM •NG ＝BM •EF +BN •EH ，∵∠ABD ＝∠CBD ，EF ⊥AB ，EH ⊥BC ，∴EF ＝EH ，∴BM •BN •sin72°＝（BM +BN ）•EH ，∴＝＝+，∵＝sin ∠CBD ＝sin36°，∴EH ＝BE •sin36°，∴+＝，∵BE 为定长，sin36°和sin72°为定值，∴为定值，即+为定值．【点评】本题是几何综合题，考查了等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题关键。
2020年江苏省南通市中考数学试题(word版,含解析)
2020年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算13--，结果正确的是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣12．今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km 2．将68000用科学记数法表示为（ ） A ．6.8×104B ．6.8×105C ．0.68×105D ．0.68×1063．下列运算，结果正确的是（ ） A ．532-=B ．3+2=32C ．623÷=D ．6223⨯=4．以原点为中心，将点P （4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝54°，∠E ＝18°，则∠C 的度数是（ ）A ．36°B ．34°C ．32°D ．30°6．一组数据2，4，6，x ，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（ ） A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57．下列条件中，能判定ABCD 是菱形的是（ ） A ．AC ＝BDB ．AB ⊥BCC ．AD ＝BDD ．AC ⊥BD8．如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm ），则这个几何体的侧面积为（ ）9．如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B ﹣E ﹣D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm /s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．96cm 2B ．84cm 2C ．72cm 2D ．56cm 210．如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE ＋BF 的最大值为（ ）A 6B ．22C ．3D ．32二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11．分解因式：22=xy y - ．12．已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为 cm ． 13．若271m m <<+，且m 为整数，则m ＝ ．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ． 15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为 ．16．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部5m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪的高度是 1.5m ，则建筑物AB 的高度约为 m ．（结果保留小数点后一位，参考数据：（第14题） （第16题）17．若x 1，x 2是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于 ．18．将双曲线3y x=向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线()20y kx k k =-->相交于两点，其中一个点的横坐标为a ，另一个点的纵坐标为b ，则（a ﹣1）（b +2）＝ ．三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．（10分）计算：（1）()()()22322m n m n m n +-+-； （2）22x y y xy x x x ⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭．20．（11分）（1）如图①，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AD ＝AE ，∠B ＝∠C ．求证：AB ＝AC ． （2）如图②，A 为⊙O 上一点，按以下步骤作图： ①连接OA ；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交⊙O 于点B ； ③在射线OB 上截取BC ＝OA ； ④连接AC ．若AC ＝3，求⊙O 的半径．21．（12分）如图，直线l 1：3y x =+与过点A （3，0）的直线l 2交于点C （1，m ），与x 轴交于点B ． （1）求直线l 2的解析式；（2）点M 在直线l 1上，MN ∥y 轴，交直线l 2于点N ，若MN ＝AB ，求点M 的坐标．22．（10分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A 表示“优秀”，B 表示“良好”，C 表示“合格”，D 表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表． 两个小组的调查结果如图的图表所示： 第二小组统计表若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约 人；（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．23．（9分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．24．（12分）矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12．将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ． （1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求APDE的值； （2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．25．（13分）已知抛物线2y ax bx c =++经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线1x =．关于x 的方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式；（2）若5n <-，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且12y y >，求n 的取值范围．26．（13分）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEuBE，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．2020年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．故选：C．2．【解答】解：68000＝6.8×104．故选：A．3．【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．÷＝＝，此选项错误；D．×＝××＝2，此选项计算正确；故选：D．4．【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q所在的象限为第二象限．故选：B．5．【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．6．【解答】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，∴x＝3，从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，处于中间位置的两个数是3，4，∴这组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5．故选：B．7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：D．8．【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．故选：B．9．【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式得：y＝＝30，解得EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点Q与点C重合，∴BC＝14，∴矩形的面积为14×6＝84．故选：B．10．【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝＝＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11．【解答】解：xy﹣2y2＝y（x﹣2y），故答案为：y（x﹣2y）．12．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．13．【解答】解：2＝，∵＜＜，∴5＜2＜6，又∵m＜2＜m+1，∴m＝5，故答案为：5．14．【解答】解：∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．15．【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．16．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．17．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．18．【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），∴a﹣1＝﹣，∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，故答案为：﹣3．三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．【解答】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；（2）原式＝÷（+）＝÷＝•＝．20．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC；（2）解：连接AB，如图②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝60°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC，∵∠OBA＝∠C+∠BAC，∴∠C＝∠BAC＝30°∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．即⊙O的半径为．21．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．22．【解答】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），故答案为：二，922；（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．23．【解答】解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，则张先生坐到甲车的概率是＝；由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，则李先生坐到甲车的概率是＝；所以两人坐到甲车的可能性一样．24．【解答】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴＝＝＝，∴＝＝．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG ＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1②，∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，由①②③可得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）∵n＜﹣5，∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，∵抛物线y＝﹣x2+x，∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，∴3n﹣4＞5n+6，∴y1＞y2；（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴0＜n＜，若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，∴不等式组无解，综上所述：0＜n＜．26．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE＝＝＝4，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴sin∠CAD＝＝＝．（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形．（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴＝，∴＝，∴u＝，设D（x，t），由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△ADH中，AD＝＝＝2，∴u＝＝（0＜t＜4），即u＝（0＜t＜4）．。
2023年江苏南通中考真题数学试卷(详解版)
123答案AA 选项：三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；B 选项：圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；C 选项：四棱锥的俯视图是四边形（画有对角线），故此选项不合题意；D 选项：圆锥体的俯视图是圆（带圆心），故此选项不合题意．故选 A.4A.线段上B.线段上C.线段上D.线段上★★如图，数轴上，，，，五个点分别表示数，，，，，则表示数的点应在（）．C，而数轴上，，，，五个点分别表示数，，，，，表示数的点应在线段上．故选 C ．5A.B.C.D.★★★如图，中，，顶点，分别在直线，上，若，，则的度数为（）．A 如图，2023年江苏南通中考真题第4题3分2023年江苏南通中考真题第5题3分，，，，，．故选 A ．6A.B.C.D.★★★若，则的值为（）．D，，．故选 D ．7★★★如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（）．2023年江苏南通中考真题第6题3分2023年江苏南通中考真题第7题3分A. B. C. D.B过点作，垂足为，在中，，，在中，，，，故选 B．8★★★2023年江苏南通中考真题第8题3分A.B.C.D.如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（）．C，，，，，四边形是矩形，，，，，，，设，则，，由勾股定理得：，，，．故选 C．9A.B.C.D.★★★★如图 1，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图 2所示，则的值为（）．B，，，，①当时，点在边上，如图所示，此时，，，，，，，，，，2023年江苏南通中考真题第9题3分当时，，，②当时，点在边上，如图所示，此时，，，，，，，，，当时，，，．故选 B ．10A.B.C.D.★★★若实数，，满足，，则代数式的值可以是（）．D由题意可得，2023年江苏南通中考真题第10题3分解得：，则，，A ，B ，C 不符合题意，D 符合题意．故选 D ．11★计算：．原式．故答案为：．12★★★分解因式：．．13★★★2023年江苏南通中考真题第11题3分2023年江苏南通中考真题第12题3分2023年江苏南通中考真题第13题4分如图，中，，分别是，的中点，连接，则．，分别是，的中点，，又，，．故答案为：．14★★某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为．设功率为，由题可知，即，将，代入可得：，即反比例函数为：．当时，．胡答案为：．2023年江苏南通中考真题第14题4分15★★★如图，是⊙的直径，点，在⊙上，若，则度．如图，连接，，，，，．故答案为：．16★★★勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于的奇数，则 （用含的式子表示）．，，是勾股数，其中，均小于，，，2023年江苏南通中考真题第15题4分2023年江苏南通中考真题第16题4分，是大于的奇数，．故答案为：．17★★已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是．一次函数，随的增大而增大，对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，，解得．故答案为：．18★★★★如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是．2023年江苏南通中考真题第17题4分2023年江苏南通中考真题第18题4分设，的交点为，，，，的中点分别是，，，，连接，，，，，，，如图：，互相垂直，和为直角三角形，且，分别为斜边，，，，当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长，点，分别为，的中点，为的中位线，，，同理：，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，，，四边形为矩形，在中，，，由勾股定理得：，的最小值为，的最小值为．故答案为：．19（1）（2）★★（1）（2）（1）（2）解方程组：①②．计算：．①②，②①得：，把代入①得：，解得：，故原方程组的解是：．．20★★某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差七年级八年级2023年江苏南通中考真题第19题12分2023年江苏南通中考真题第20题10分（1）（2）（1）（2）（1）（2）注：设竞赛成绩为（分），规定：90为优秀；为良好；60为合格；为不合格．若该校八年级共有名学生参赛，估计优秀等次的约有人．你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．八年级成绩较好，理由见解析若该校八年级共有名学生参赛，估计优秀等次的约有（人）．故答案为：．八年级成绩较好，理由如下：因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好（答案不唯一）．21★★★如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．2023年江苏南通中考真题第21题10分（1）（2）（1）（2）（1）（2）小虎同学的证明过程如下：证明：，．，．……第一步又，，．……第二步．……第三步小虎同学的证明过程中，第步出现错误．请写出正确的证明过程．二见解析小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．方法一：，，在和中，，，，在和中，，，．方法二：，，．22（1）（2）★★（1）（2）（1）（2）有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于．从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．有同型号的，，三把钥匙，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于．故答案为：．画树状图如下：共有种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有种，即、，取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为．23★★★如图，等腰三角形的顶角，⊙和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．2023年江苏南通中考真题第22题10分2023年江苏南通中考真题第23题10分（1）（2）（1）（2）（1）（2）求证：四边形ODCE是菱形．若⊙的半径为，求图中阴影部分的面积．见解析连接，⊙和底边相切于点，，，，，，，和都是等边三角形，，，，四边形是菱形．连接交于点，四边形是菱形，，，，在中，，，，图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，图中阴影部分的面积为．24（1）（2）★★★（1）（2）答案（1）（2）解析为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息一工程队每天施工面积（单位：）每天施工费用（单位：元）甲乙信息二甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．求的值．该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？元根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：的值为．设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，2023年江苏南通中考真题第24题12分根据题意得：，解得：，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，则，即，，随的增大而增大，当时，取得最小值，最小值．答：该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用．25（1）（2）（3）★★★（1）（2）（3）（1）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点．如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是．过点作，垂足为，连接，求的度数．在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．或四边形是正方形，2023年江苏南通中考真题第25题13分（2），，，（全等），．故答案为：．当点在边上时，如图，过点作交于，延长交于点，，四边形是矩形，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，为等腰直角三角形，，；当点在边上时，如图，（3）过点作交于，延长交延长线于点，四边形是矩形，同理，，，为等腰直角三角形，，，综上所述：的度数为或．当点在边延长线上时，点在边上，设，则，，，，．26（1）（2）★★★定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．函数的图象上是否存在点的“级变换点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．点与其“级变换点”B分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：．2023年江苏南通中考真题第26题13分（3）（1）（2）（3）（1）（2）（3）关于的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“级变换点”都在直线上，求的取值范围．见解析且存在，理由：由题意得，的“级变换点”为：，将代入反比例函数表达式得：，解得：．由题意得，点的坐标为：，由点的坐标知，点在直线上，同理可得，点在直线，则，，则，，则，即．设在二次函数上的点为点、，设点，则其“级变换点”坐标为：，将代入得：，则，即点在直线上，同理可得，点在直线上，即点、所在的直线为；由抛物线的表达式知，其和轴的交点为：、，其对称轴为，当时，抛物线和直线的大致图象如下：直线和抛物线均过点，则点个点为点，如上图，联立直线和抛物线的表达式得：设点的横坐标为，则，则，解得：，此外，直线和抛物线在故，即且；当时，当时，直线不可能和抛物线在故该情况不存在，综上，且．。
南通中考数学试题及答案
南通中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列选项中，哪一个是无理数？A. 2B. 2.5C. √2D. 0.5答案：C2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 1D. -1答案：A3. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是：A. 11B. 13C. 14D. 16答案：C4. 计算（2x-1）-（3x+2）的结果是：A. -x-3B. -x+1C. x-3D. x+1答案：A5. 一个数的平方等于9，那么这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不是答案：C6. 已知一个函数的图象是一条直线，那么这个函数是：A. 一次函数B. 二次函数C. 三次函数D. 常数函数答案：A7. 一个圆的半径是4，那么这个圆的面积是：A. 16πB. 64πC. 12πD. 8π答案：B8. 计算（-2）^3的结果是：A. -8B. 8C. -6D. 6答案：A9. 一个数的绝对值是5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C10. 计算2^2 * 3^3的结果是：A. 36B. 72C. 108D. 216答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的立方等于27，那么这个数是______。
答案：32. 一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。
答案：60°3. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
答案：164. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
答案：25. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。
答案：5或-5三、解答题（每题10分，共55分）1. 解方程：2x - 3 = 7。
答案：x = 52. 已知一个矩形的长是10，宽是6，求这个矩形的面积。
答案：603. 已知一个直角三角形的两个直角边长分别是3和4，求斜边的长度。
江苏省南通市中考数学试卷及答案(Word解析版)
江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（•南通）下列各数中，小于﹣3的数是（）A．2B．1C．﹣2 D．﹣4考点：有理数大小比较分析：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．解答：解：A、2＞﹣3，故本选项错误；B、1＞﹣3，故本选项错误；C、∵|﹣2|=2，|﹣3|=3，∴﹣2＞﹣3，故本选项错误；D、∵|﹣4|=4，|﹣3|=3，∴﹣4＜﹣3，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了有理数的大小比较法则的应用，注意：理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2．（3分）（•南通）某市参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为（）A．8.5×104B．8.5×105C．0.85×104D．0.85×105考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于85000有5位，所以可以确定n=5﹣1=4．解答：解：85 000=8.5×104．故选A．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．（3分）（•南通）下列计算，正确的是（）A．x4﹣x3=x B．x6÷x3=x2C．x•x3=x4D．（xy3）2=xy6考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方专题：计算题．分析：A、本选项不能合并，错误；B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．解答：解：A、本选项不能合并，错误；B、x6÷x3=x3，本选项错误；C、x•x3=x4，本选项正确；D、（xy3）2=x2y6，本选项错误．故选C．点评：此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）（•南通）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后解答即可．解答：解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第五个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；综上所述，第三个和第五个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个．故选B．点评：本题考查了轴对称图形与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（3分）（•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：三角形三边关系分析：从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．解答：解：四条木棒的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能组成三角形．故选：C．点评：此题主要考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．6．（3分）（•南通）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2考点：函数自变量的取值范围分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解解：根据题意得：x﹣1＞0，答：解得：x＞1．故选A．点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．7．（3分）（•南通）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（）A．以点B为圆心，OD为半径的圆B．以点B为圆心，DC为半径的圆C．以点E为圆心，OD为半径的圆D．以点E为圆心，DC为半径的圆考点：作图—基本作图分析：根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．解答：解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交射于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．故选D．点评：本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．8．（3分）（•南通）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4cm，底面周长是6πcm，则扇形的半径为（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm考点：圆锥的计算分析：首先根据圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径，然后根据勾股定理求得圆锥的母线长就是扇形的半径．解答：解：∵底面周长是6πcm，∴底面的半径为3cm，∵圆锥的高为4cm，∴圆锥的母线长为：=5 ∴扇形的半径为5cm，故选B．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的母线、高及底面半径围成一个直角三角形．9．（3分）（•南通）小李与小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了20km；（2）小陆全程共用了1.5h；（3）小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；（4）小李在途中停留了0.5h．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：一次函数的应用专题：压轴题．分析：首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得他们都行驶了20km；小陆从0.5时出发，2时到达目的地，全程共用了：2﹣0.5=1.5h；小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆到达目的地所用时间小于小李到达目的地所用时间，根据速度=路程÷时间可得小李的速度小于小陆的速度；小李出发0.5小时后停留了0.5小时，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．解答：解：（1）根据图象的纵坐标可得：他们都行驶了20km，故原说法正确；（2）根据图象可得：小陆全程共用了：2﹣0.5=1.5h，故原说法正确；（3）根据图象可得：小李与小陆相遇后，他们距离目的地有相同的路程，但是小陆用1个小时到B地，小李用1.5个小时到B地，所以小李的速度小于小陆的速度，故原说法正确；（4）根据图象可得：表示小李的S﹣t图象从0.5时开始到1时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了1﹣0.5=0.5小时，故原说法正确．故选A．点评：此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．10．（3分）（•南通）如图．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是的中点，CD与AB的交点为E，则等于（）A．4B．3.5 C．3D．2.8考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：利用垂径定理的推论得出DO⊥AB，AF=BF，进而得出DF的长和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即可．解答：解：连接DO，交AB于点F，∵D是的中点，∴DO⊥AB，AF=BF，∵AB=4，∴AF=BF=2，∴FO是△ABC的中位线，AC∥DO，∵BC为直径，AB=4，AC=3，∴BC=5，∴DO=2.5，∴DF=2.5﹣1.5=1，∵AC∥DO，∴△DEF∽△CEA，∴=，∴==3．故选C．点评：此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出△DEF∽△CEA是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）（•南通）若反比例函数y=的图象经过点A（1，2），则k=2．考点：反比例函数图象上点的坐标特征专压轴题．题：分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=1×2=2．解答：解：∵反比例函数y=的图象经过点A（1，2），∴k=1×2=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．12．（3分）（•南通）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，则∠COE等于70度．考点：垂线；对顶角、邻补角分析：根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．解答：解：∵∠BOD=20°，∴∠AOC=∠BOD=20°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠COE=90°﹣20°=70°，故答案为：70．点评：本题考查了垂直定义，对顶角的应用，关键是求出∠AOE和∠AOC的大小．13．（3分）（•南通）一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是球体．考点：由三视图判断几何体分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故答案为：球体．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．14．（3分）（•南通）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是．考点：锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线分析：首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．解答：解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AC=2CD=4，则sinB==．故答案为：．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．15．（3分）（•南通）已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是2.8．考点：方差；众数分析：根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．解答：解：∵一组数据5，8，10，x，9的众数是8，∴x是8，∴这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）÷5=8，∴这组数据的方差是：[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=2.8．故答案为：2.8．点评：此题考查了众数、平均数和方差，掌握众数、平均数和方差的定义及计算公式是此题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．一般地设n个数据，x1，x2，…x n 的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．16．（3分）（•南通）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），则不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．考点：一次函数与一元一次不等式分析：由图象得到直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标（﹣1，﹣2）及直线y=kx+b 与x轴的交点坐标，观察直线y=4x+2落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x 轴下方的部分对应的x的取值即为所求．解答：解：∵经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），∴直线y=kx+b与直线y=4x+2的交点A的坐标为（﹣1，﹣2），直线y=kx+b与x 轴的交点坐标为B（﹣2，0），又∵当x＜﹣1时，4x+2＜kx+b，当x＞﹣2时，kx+b＜0，∴不等式4x+2＜kx+b＜0的解集为﹣2＜x＜﹣1．故答案为﹣2＜x＜﹣1．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．（3分）（•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC 于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5 cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．18．（3分）（2013•南通）已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x2+4x+6的值等于3．考点：二次函数的性质专题：压轴题．分析：先将x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x+6的值相等，则抛物线的对称轴为直线x=，又二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=﹣2，得出=﹣2，化简得m+n=﹣2，即可求出当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时，x2+4x+6的值．解答：解：∵x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，∴二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x==，又∵二次函数y=x2+4x+6的对称轴为直线x=﹣2，∴=﹣2，∴3m+3n+2=﹣4，m+n=﹣2，∴当x=3（m+n+1）=3（﹣2+1）=﹣3时，x2+4x+6=（﹣3）2+4×（﹣3）+6=3．故答案为3．点评：本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时，二次函数y=x2+4x+6的值相等是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（11分）（•南通）（1）计算：；（2）先化简，再求代数式的值：，其中m=1．考点：分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算分析：（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先通分，然后进行四则运算，最后将m=1代入．解答：解：（1）=÷÷1﹣3=﹣3；（2）=•=，当m=1时，原式=﹣．点评：（1）主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式等考点的运算；（2）解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．20．（9分）（•南通）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，5），B（4，2），C （﹣1，0）三点．（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5），点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2），点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．（2）求（1）中的△A′B′C′的面积．考点：关于原点对称的点的坐标；三角形的面积；关于x轴、y轴对称的点的坐标分析：（1）关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数；关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同；（2）根据点A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）在平面直角坐标系中的位置，可以求得A′C′=5，B′D=3，所以由三角形的面积公式进行解答．解答：解：（1）∵A（﹣1，5），∴点A关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣5）．∵B（4，2），∴点B关于x轴的对称点B′的坐标为（4，﹣2）．∵C（﹣1，0），∴点C关于y轴的对称点C的坐标为（1，0）．故答案分别是：（1，﹣5），（4，﹣2），（1，0）．（2）如图，∵A′（1，﹣5），B′（4，﹣2），C′（1，0）．∴A′C′=|﹣5﹣0|=5，B′D=|4﹣1|=3，∴S△A′B′C′=A′C′•B′D=×5×3=7.5，即（1）中的△A′B′C′的面积是7.5．点评：本题考查了关于原点、x轴、y轴对称的点的坐标，三角形的面积．解答（2）题时，充分体现了“数形结合”数学思想的优势．21．（8分）（•南通）某水果批发市场将一批苹果分为A，B，C，D四个等级，统计后将结果制成条形图，已知A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%．回答下列问题：（1）这批苹果总重量为4000kg；（2）请将条形图补充完整；（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度．考点：条形统计图；扇形统计图分析：（1）根据A等级苹果的重量÷A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%，求得这批苹果总重量；（2）求得C等级苹果的重量，补全统计图；（3）求得C等级苹果的百分比，然后计算其所占的圆心角度数．解答：解：（1）1200÷30%=4000（kg）．故这批苹果总重量为4000kg；（2）4000﹣1200﹣1600﹣200=1000（kg），将条形图补充为：（3）×360°=90°．故C等级苹果所对应扇形的圆心角为90度．故答案为：4000，90．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（10分）（•南通）在不透明的袋子中有四张标着数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏．小明画出树状图如图所示：小华列出表格如下：第一次第二次1 2 3 41 （1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2 （1，2）（2，2）①（4，2）3 （1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4 （1，4）（2，4）（3，4）（4，4）回答下列问题：（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是，随机抽出一张卡片后不放回（填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为（3，2）；（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为谁获胜的可能性大？为什么？考点：列表法与树状图法分析：（1）根据小明画出的树形图知数字1在第一次中出现，但没有在第二次中出现可以判断；（2）根据横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次可以得到答案；（3）根据树状图和统计表分别求得其获胜的概率，比较后即可得到答案．解答：解：（1）观察树状图知：第一次摸出的数字没有在第二次中出现，∴小明的实验是一个不放回实验，（2）观察表格发现其横坐标表示第一次，纵坐标表示第二次，（3）理由如下：∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，∴概率为：=；∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能的结果，数字之和为奇数的有8种，∴概率为：=，∵＞∴小明获胜的可能性大．故答案为不放回；（3，2）．点评：本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数n，再找出其中某一事件所出现的可能数m，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率=．23．（8分）（•南通）若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．考点：一元一次不等式组的整数解分析：首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值．解答：解：解+＞0，得x＞﹣；解3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得x＜2a，∴不等式组的解集为﹣＜x＜2a．∵关于x的不等式组恰有三个整数解，∴2＜2a≤3，解得1＜a≤．点评：本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24．（8分）（•南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：四边形BCDE是矩形．考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质专题：证明题．分析：求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．解答：证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，∵DE=BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠BEA=∠CDA，∴∠BED=∠CDE，∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE是矩形．点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．25．（8分）（•南通）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O 的切线AP与OC的延长线相交于点P，若PA=cm，求AC的长．考点：切线的性质分析：根据直径求出∠ACB=90°，求出∠B=30°，∠BAC=60°，得出△AOC是等边三角形，得出∠AOC=60°，OA=AC，在Rt△OAP中，求出OA，即可求出答案．解答：解：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=2∠B，∴∠B=30°，∠BAC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，AC=OA，∵PA是⊙O切线，∴∠OAP=90°，在Rt△OAP中，PA=6cm，∠AOP=60°，∴OA===6，∴AC=OA=6．点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．26．（8分）（•南通）某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在二次函数关系y=ax2+bx．在x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6．信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y=0.3x．根据以上信息，解答下列问题；（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？考点：二次函数的应用分析：（1）把两组数据代入二次函数解析式，然后利用待定系数法求解即可；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，∴，解得，所以，二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x；（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10﹣m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3（10﹣m）=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1（m﹣6）2+6.6，∵﹣0.1＜0，∴当m=6时，W有最大值6.6，∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．点评：本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，比较简单，（2）整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键．27．（13分）（•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T．（1）求证：点E到AC的距离为一个常数；（2）若AD=，当a=2时，求T的值；（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T．考点：相似形综合题分析：（1）解直角三角形，求得点E到AC的距离等于a，这是一个定值；（2）如答图2所示，作辅助线，将四边形MDEN分成一个等边三角形和一个平行四边形，求出其周长；（3）可能存在三种情形，需要分类讨论：①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示；②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示；③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示．解答：解：（1）由题意得：tanA===，∴∠A=60°．∵DE∥AB，∴∠CDE=∠A=60°．如答图1所示，过点E作EH⊥AC于点H，则EH=DE•sin∠CDE=a•=a．∴点E到AC的距离为一个常数．（2）若AD=，当a=2时，如答图2所示．设AB与DF、EF分别交于点M、N．∵△DEF为等边三角形，∴∠MDE=60°，由（1）知∠CDE=60°，∴∠ADM=180°﹣∠MDE﹣∠CDE=60°，又∵∠A=60°，∴△ADM为等边三角形，∴DM=AD=．过点M作MG∥AC，交DE于点G，则∠DMG=∠ADM=60°，∴△DMG为等边三角形，∴DG=MG=DM=．∴GE=DE﹣DG=2﹣=．∵∠MGD=∠E=60°，∴MG∥NE，又∵DE∥AB，∴四边形MGEN为平行四边形．∴NE=MG=，MN=GE=．∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=．（3）若点D运动到AC的中点处，分情况讨论如下：①若0＜a≤，△DEF在△ABC内部，如答图3所示：∴T=3a；②若＜a≤，点E在△ABC内部，点F在△ABC外部，在如答图4所示：设AB与DF、EF分别交于点M、N，过点M作MG∥AC交DE于点G．与（2）同理，可知△ADM、△DMG均为等边三角形，四边形MGEN为平行四边形．∴DM=DG=NE=AD=，MN=GE=DE﹣DG=a﹣，∴T=DE+DM+MN+NE=a++（a﹣）+=2a+；③若＜a＜3，点E、F均在△ABC外部，如答图5所示：设AB与DF、EF分别交于点M、N，BC与DE、EF分别交于点P、Q．在Rt△PCD中，CD=，∠CDP=60°，∠DPC=30°，∴PC=CD•tan60°=×=．∵∠EPQ=∠DPC=30°，∠E=60°，∴∠PQE=90°．由（1）知，点E到AC的距离为a，∴PQ=a﹣．∴QE=PQ•tan30°=（a﹣）×=a﹣，PE=2QE=a﹣．由②可知，四边形MDEN的周长为2a+．∴T=四边形MDEN的周长﹣PE﹣QE+PQ=（2a+）﹣（a﹣）﹣（a﹣）+（a﹣）=a+﹣．综上所述，若点D运动到AC的中点处，T的关系式为：T=．点评：本题考查了运动型综合题，新颖之处在于所求是重叠部分的周长而非面积．难点在于第（3）问，根据题意，可能的情形有三种，需要分类讨论，避免漏解．28．（13分）（•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B （x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．21 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2022年江苏省南通市中考数学优质试卷附解析
2022年江苏省南通市中考数学优质试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，已知 PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 为过圆心0 的割线，DB ⊥PC 于点B ，DB=3 ㎝，PB=4cm ，则⊙O 的直径为（ ） A ．10 cmB ．12 cmC ．16 cmD ．20 cm2．某人沿坡度为 26°的斜坡行进了 100 米，他的垂直高度上升了（ ） A ．0100sin 6米B ．0100cos 26米C ．0100tan 26米D ．100tan 26米3．在 Rt △ABC 中，∠C= 90°，若2cos 3A =，则sinA 的值为（ ） A ．35B ．52C ．255D ．534． 如图，大半圆的弧长1l 与n 个不相等的小半圆弧长的和2l 之间钓关系是（ ） A ．12l l <B ．12l l =C ．12l l >D ．12l nl =5．已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于0A 对称，则P 1，0，P 2三点所构成的三角形是（ ） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形6．下列说法正确的是（ ）A ． 如果一件事情发生的机会是 99. 9%，那么它必然发生B ． 即使一件事情发生的机会是0.0l%，它仍然可能发生C ． 如果一件事情极有可能发生，那么它必然发生D ． 如果一件事情不太可能发生，那么它就不可能发生 7．下列条件中，不能作出唯一．．三角形的是（ ） A ．已知两边和夹角B ．已知两边和其中一边的对角C ．已知两角和夹边D ．已知两角和其中一角的对边8．国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之－，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，用科学记数法表示260000，并保留二个有效数字，结果可表示为 （ ） A.26 B ．26×104 C.2.6×105 D.2.6×106 9．观察右图，寻找规律．在“?”处填上的数字是 （ ）A ．128B ．136C ．162D ．18810．计算 18÷6÷2 时，下列各式中错误的是（ ） A ．111862⨯⨯B ． 18÷ （6÷2）C ．18÷（6×2）D ．（l8÷6）÷2二、填空题11．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ， PA=23，∠APO=30°，则⊙O 的半径长为 ．12．在半径为 1 的圆中，长度为2的弦所对的劣弧是 度．13．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O ，若OA=OC ，OB=OD ，则图中全等的三角形有_ _ _对．14．已知一个样本容量为40的样本，把它分成七组，•第一组到第五组的频数分别为5，12，8，5，6，第六组的频率为0.05，第七组的频率为______．15．定理“到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的逆定理是 ． 16． 如图中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为 .17．在△ABC 和△DEF 中，AB=4，，∠A=35°，∠B =70°, DE=4 ,∠D = ，∠E=70°，根据 判定△ABC ≌△DEF.OEFABCDE FG 1218．某商场降价销售一批服装，打八折后售价为 120 元，则原售价是 元. 19．把方程0.10.2x 110.30.7x +--=中的分母化为整数，得 . 20．已知，|x|=5，y=3，则=-y x ．三、解答题21．如图，在学校的操场上，有一株大树和一根旗杆.(1)请根据树在阳光照射下的影子，画出旗杆的影子(用线段表示)； (2)若此时大树的影长 6m ，旗杆高 4m ，影5m ，求大树的高度.22．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点 C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连结 BC.求证： (1)BC 平分∠PBD ； (2)2BC AB BD =⋅23．填空：已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EF ⊥BC 于F ，交AB 于G ，交CA 延长线于E ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC ，（填写分析和证明中的空白）．分析：要证明AD 平分∠BAC ，只要证明 ＝ ，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC 的两条垂线可推出 ∥ ，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵AD ⊥BC ，EF ⊥BC （已知） ∴ ∥ ( ）∴ _＝ __（两直线平行，内错角相等），_＝ _（两直线平行，同位角相等）∵ (已知）∴，即AD平分∠BAC（）24．在10个试验田中对甲、乙两个早稻品种作了对比试验，两个品种在试验田的亩产量如下(单位：kg)：甲802808802800795801798797798799乙810814804788785801795800769799(1)用计算器分别计算两种早稻的平均亩产量；(2)哪种早稻的产量较为稳定?(3)在高产、稳产方面，哪种早稻品种较为优良?25．某包装盒的形状是直四棱柱，底面为长方形，其尺寸如图所示(单位：分米)，现要制作1000个这样的包装盒，问至少需要包装材料多少平方米(不计接缝材料)．26．如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．27．计算：(1) 2(2)(1)(1)x x x+-+-；(2）2 (() 22x x xx x x--⋅-+.28．有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来的两位数.29．转动如图所示的转盘，判断下列事件是不可能事件、不确定事件还是必然事件？(1）指针指到5；（2）指针指到0；（3）指针指到的数字是1～5中的任何一个数．30．2004年7月至lO月间哈尔滨市和南京市的月平均气温如下表：月份78910哈尔滨(℃)2321146南京(℃)27292418(1)?哪个月最低?(2)两市中哪个市的气温下降更快?【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．D4．B5．D6．B7．B8．C9．C10．B二、填空题11． 212．9013．614．0.0515．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等16．-3117．35°, ASA18．15019．101210137x x +--=20． 2或-8三、解答题 21．(1)AB 为旗杆的影子；(2)设大树高 x(m).则465x =，x=4.8 答：大树的高度是4.8 m22．(1)连结 OC ．∵ PD 切⊙O 于C ，∴OC ⊥PD ，∵BD ⊥PD ， BD ∥OC ，∴∠1 =∠OCB ∵OC=OB ，∴∠2=∠OCB ，∴∠1=∠2，∴BC 平分∠PBD(2)连结AC．∵AB 是⊙O直径，∴∠ACB=∠D=90°，又∵∠1=∠2，∴△ABC∽△CBD，∴AB BCBC BD=，∴2BC AB BD=⋅．23．∠BAD=∠CAD，EF∥AD，EF∥AD，在同一平面内，垂直于同一条直线两直线平行，∠1=∠BAD，∠2=∠CAD，∠1＝∠2，∠BAD=∠CAD，角平分线的定义.24．(1)800x=甲kg，796.5x=乙kg；(2)甲的产量较为稳定；(3)甲种早稻较为优良25．520平方米26．120°27．(1)45x+；(2)42 x+28．设这个两位数十位上、个位上的数字分别是x、y，则11(10)(10x)9x yy x y+=⎧⎨+-+=⎩，解这个方程组得56xy=⎧⎨=⎩，经检验，符合题意，答：这个两位数是 5629．（1）不确定事件；（2）不可能事件；（3）必然事件.30．(1)平均气温南京高．哈尔滨7月份最高，10月份最低；南京8月份最高，10月份最低．(2)两市中哈尔滨市的气温下降更快。
江苏省南通市2022年中考数学试卷
江苏省南通市2022年中考数学试卷10小题，共30分） (共10题；共30分) 1．（3分）已知a4=b3，则a−b b的值是（）A．34B．43C．3D．13【答案】D【解析】【解答】解：∵a4=b3，∴a b=43，∴a−b b=a b−1=43−1=13．故答案为：D.【分析】根据已知条件可得ab=43，待求式可变形为ab-1，据此计算.2．（3分）若单项式2x m y²与−3x3y n是同类项，则m n的值为（）A．9B．8C．6D．5【答案】A【解析】【解答】解：因为单项式2x m y²与−3x3y n是同类项，所以m=3，n=2，所以m n=32=9故答案为：A．【分析】如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得m、n的值，然后根据有理数的乘方法则进行计算.3．（3分）-2022的绝对值是（）A．12022B．−12022C．2022D．-2022【答案】C【解析】【解答】-2022的绝对值是2022．故答案为：C【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.4．（3分）在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于（）A．130°B．140°C．135°D．145°【答案】C【解析】【解答】解，设每个小方格的边长为1，由勾股定理可得AB=√22+12=√5，BC=√22+12=√5，AC=√32+12=√10，∵(√5)2+(√5)2=(√10)2，∴AB2+BC2=AC2，且AB=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=135°.故答案为：C．【分析】设每个小方格的边长为1，利用勾股定理可得AB、BC、AC，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形且AB=BC，△ABC=90°，△BCA=45°，由外角的性质可得△ACD=△ABC+△BAC，据此计算.5．（3分）如果多项式x2+2x+k是完全平方式，则常数k的值为（）A．1B．-1C．4D．-4【答案】A【解析】【解答】解：∵2x=2×1⋅x，∴k=12=1，故答案为：A．【分析】根据完全平方式的特点可得2=2√k，求解可得k的值.6．（3分）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（）A．{5x+6y=165x+y=6y+x B．{5x+6y=164x+y=5y+xC．{6x+5y=166x+y=5y+x D．{6x+5y=165x+y=4y+x 【答案】B【解析】【解答】解：设雀每只x两，燕每只y两则五只雀为5x，六只燕为6y共重16两，则有5x+6y=16互换其中一只则五只雀变为四只雀一只燕，即4x+y六只燕变为五只燕一只雀，即5y+x且一样重即4x+y=5y+x由此可得方程组{5x+6y=164x+y=5y+x．故答案为：B．【分析】由题意列出二元一次方程组，解方程7．（3分）如图，下列四个选项中不能判断AD//BC的是（）A．∠1=∠3B．∠B+∠BAD=180°C．∠D=∠5D．∠2=∠4【答案】D【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠3，∴AD//BC，故此选项不符合题意；B、∵∠B+∠BAD=180°，∴AD//BC，故此选项不符合题意；C、∵∠D=∠5，∴AD//BC，故此选项不符合题意；D、∵∠2=∠4，∴AB//CD，故此选项符合题意；故答案为：D.【分析】内错角相等，两直线平行，据此判断ACD；同旁内角互补，两直线平行，据此判断B. 8．（3分）某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店()A．赚了32元B．赚了8元C．赔了8元D．不赔不赚【答案】B【解析】【解答】解：设盈利60%的进价为x元，则：x+60%x=64160%x=64x=40再设亏损20%的进价为y元，则；y-20%y=6480%y=64y=80所以总进价是：40+80=120（元）总售价是：64+64=128（元）售价＞进价，128-120=8（元）答：赚了8元．故答案为：B．【分析】分别求出两个计算器的进价，再与售价作比较即可.9．（3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴△FAB= (6−2)×180°6=120°，AB=6，∴扇形ABF的面积= 120π×62360=12π，故答案为：D.【分析】根据正六边形的性质得△FAB= (6−2)×180°6，半径=正六边形的边长，然后根据扇形面积S=nπR 2360可求解.10．（3分）同步卫星在赤道上空大约36000000米处.将36000000用科学记数法表示应为（）A．36×106B．0.36×108C．3.6×106D．3.6×107【答案】D【解析】【解答】解：36000000=3.6×107。
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2012年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2012?南通）计算6÷（﹣3）的结果是（）A．B．﹣2 C．﹣3D．﹣18﹣32））（3分）（2012?南通）计算（﹣x?x的结果是（2．6563D．A．B．C．﹣x﹣x xx ）（2012?南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（3．（3分）°168°48°16858°．A．B．C．D万用科学记数法表示为南通）至（2012?2011年末，南通市户籍人口为764.88万人，将764.884．（3分）（）7456DC．．A．B．×101010 77.6488×10.6488 7.64887×.6488×轴对称，则y与MN关于′．（3分）（2012?南通）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，若线段MN′5 ）的坐标为（点M的对应点M′A．（4，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（4，﹣2）26．（3分）（2012?南通）已知x+16x+k是完全平方式，则常数k等于（）64 48 32 16 A．B．C．D．7．（3分）（2012?南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）360°250°180°140°A．B．C．D．）的长为（AB，则°AOD=120，∠AC=8cm的对角线ABCD南通）如图，矩形?2012（分）3（．8．4cm 2cm D．B．A．C．cmcm2y=上，且y＞y，则m的取21，y），B（，y）两点在双曲线39．（分）（2013?兰州）已知A（﹣2211）值范围是（．D0C．．Am＜0B．m＞＜﹣＞﹣mm10．（3分）（2012?南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l 上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P，此时AP=2；将位置①的三角形绕点P顺时针旋转到位置②，111=2+；将位置②的三角形绕点P顺时针旋转到位置P，此时AP③，可得到点P，此时可得到点3222=3+；…按此规律继续旋转，直到点P为止，则AP等于（）AP201232012D．C．．A．B014+67122013+6712 011+671 2 012+671分）二、填空题（每小题3分，共242 y的系数为．?11．（3分）（2012南通）单项式3x中，自变量x的取值范围是哈尔滨）函数12．（3分）（2012?y=．13．（3分）（2012?南通）某校9名同学的身高（单位：cm）分别是：163，165，167，164，165，166，165，164，166，则这组数据的众数为．14．（3分）（2012?南通）如图，⊙O中，∠AOB=46°，则∠ACB=度．15．（3分）（2012?南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了张．16．（3分）（2012?南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=cm．22．+4α+β=南通）设3分）（2012?α，β是一元二次方程x+3x﹣7=0的两个根，则α17．（上n）是直线ll）都在直线上．Q（m，?南通）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3（18．（3分）20122．）的值等于的点，则（2m﹣n+3三.解答题120﹣）2）+（7﹣π）﹣（）1019．（分）（2012?南通）计算：（1|﹣1|+（﹣+×÷（2．）﹣南通）先化简，再求值：，其中x=6201220．（8分）（?．21．（9分）（2012?南通）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分学生，统计他们双休日两天家务劳动的时间，将统计的劳动时间（单位：分钟）分成5组：30≤x＜60，60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是；（2）根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为；（3）该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不小于90分钟？22．（8分）（2012?南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．23．（8分）（2012?南通）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．24．（8分）（2012?南通）四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率；（2）从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率．25．（9分）（2012?南通）甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了h；（2）求线段DE对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．26．（10分）（2012?南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；是等边三角形．AEF△，求证：°EAF=60，若∠2）如图2（．27．（12分）（2012?南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．a=，求PQ若的长；①②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．请修改新增的标题2，0）B（﹣2，4）的抛物线y=x+bx+c与x轴相交于，﹣南通）如图，经过点分）28．（14（2012?A（0 O为坐标原点．C两点，）求抛物线的解析式；（12）个单位长度得到新抛物线，若0m个单位长度，再向左平移（m）将抛物线（2+bx+cy=x＞向上平移内，求m的取值范围；在新抛物线的顶点P△ABC 的长．AM，求ACB∠OAB=∠OMB+轴上，∠y在M）设点3（．2012年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2012?南通）计算6÷（﹣3）的结果是（）A．B．﹣2 C．﹣3D．﹣18﹣考点：有理数的除法．专题：计算题．分析：根据有理数的除法运算法则计算即可得解．解答：解：6÷（﹣3），=﹣（6÷3），=﹣2．故选B．点评：本题考查了有理数的除法，是基础题，熟练掌握运算法则是解题的关键．32）?x的结果是（（3分）（2012?南通）计算（﹣x）2．6563．C．D A．B．x﹣x ﹣xx同底数幂的乘法．考点：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算后直接选取答案．分析：52+323解答：．=﹣xx）?x=﹣x解：（﹣．故选B 本题主要考查同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加．熟练掌握运算法则是解题的关键．点评：）南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（3．（3分）（2012? 168°148°58°68°D．．C．A．B余角和补角．考点：常规题型．专题：°列式计算即可得解．分析：根据互为补角的和等于180 ，解：∵∠a=32°解答：．32°=148°∴∠a的补角为180°﹣．故选C 是解题的关键．本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°点评：万用科学记数法表示为764.88万人，将764.88（2012?南通）至2011年末，南通市户籍人口为4．（3分））（7564 D ．C A．B．．×10.64887.6488×107.6488×10 77.6488×10表示较大的数．科学记数法考点：—n分析：的值时，要看把原数变n10＜，n为整数．确定|a|1×科学记数法的表示形式为a10的形式，其中≤是n时，1的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞n时，小数点移动了多少位，a成．正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．6解答：解：将764.88万用科学记数法表示为7.6488×10．故选C．n点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2012?南通）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为（）A．（4，2）B．（﹣4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（4，﹣2）考点：坐标与图形变化-对称．分析：根据坐标系写出点M的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可得出M′的坐标．解答：解：根据坐标系可得M点坐标是（﹣4，﹣2），故点M的对应点M′的坐标为（4，﹣2），故选：D．点评：此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握关于y轴对称点的坐标的变化特点．2）+16x+k是完全平方式，则常数k等于（（6．（3分）2012?南通）已知x6 2 14 48 36D．C．A ．B．完全平方式．考点：的平方即可．8和8，再根据完全平方公式的结构特点求出分析：根据乘积项先确定出这两个数是x ，x×8解答：解：∵16x=2×8、∴这两个数是x2．k=8=64∴．故选A 本题是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点，求出这两个数是求解的关键．点评：）（C°，若沿图中虚线截去∠，则∠1+∠2=中，∠?37．（分）（2012南通）如图，△ABCC=70360°250°180°140°．BA ．．D ．C三角形内角和定理；多边形内角与外角．：考点．分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．解答：解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．故选B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．8．（3分）（2012?南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（）cm 4 2cm D．．．B ．CA2cm cm考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后根据矩形的对角线相等且互相平分可得得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．解答：AO=BO=AC=4cm，解：在矩形ABCD中，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°﹣120°=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=4cm．故选D．点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．y=上，且y＞y）两点在双曲线y，则m的取）2013（?兰州）已知A（﹣1，y，B（2，（9．3分）2121值范围是（）．．D0A ．m＜B．m＞C＜﹣mm＞﹣考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：y=，求出y与y）两点分别代入双曲线，（，），（﹣将A1yB2y的表达式，再根据y12121．＞y则列不等式即可解答．2解答：y=得，y）两点分别代入双曲线），B（2，解：将A（﹣1，y21﹣3，y=﹣2m1=，y2∵y＞y，21＞，﹣3 ∴﹣2m＜﹣，解得m D．故选：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，反比例函数图象上的点符合函数解析式．点评：ABC上，将△，且AC在直线lAC=1△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，310．（分）（2012?南通）如图Rt，顺时针旋转到位置②；将位置①的三角形绕点P绕点A顺时针旋转到①，可得到点P，此时AP=2111，此时PP顺时针旋转到位置③，可得到点可得到点P，此时AP=2+；将位置②的三角形绕点3222）AP等于（AP=3+；…按此规律继续旋转，直到点P为止，则201232012D．．B．C．A014+6712 013+671 2 012+671 22011+671考点：旋转的性质．专题：压轴题；规律型．分析：，，21，且绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加△仔细审题，发现将RtABC 三次一循环，按此规律即可求解．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，BC=，，∴AB=2∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P，此时AP=2；将位置①的三角形绕点P顺时111=2+；将位置②的三角形绕点P顺时针旋转到位置AP针旋转到位置②，可得到点P，此时222+1=3+；AP=2+ ③，可得到点P，此时33又∵2012÷3=670…2，=2012+671．（+2+3+）AP∴=6702012故选：B．点评：，，1AP的长度依次增加2，且三次一循环本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）211．（3分）（2012?南通）单项式3xy的系数为3．考点：单项式．分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．22解答：，3，其中数字因式为yx?y=33x解：则单项式的系数为3．故答案为：3．点评：本题考查了单项式的系数，确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．y=中，自变量x的取值范围是x≠2012?哈尔滨）函数5．12．（3分）（考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．专题：计算题．分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．解答：解：根据题意得x﹣5≠0，解得x≠5．故答案为x≠5．点评：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；13．（3分）（2012?南通）某校9名同学的身高（单位：cm）分别是：163，165，167，164，165，166，165，164，166，则这组数据的众数为165．考点：众数．分析：根据众数是一组数据中出现次数最多的数据解答即可．解答：解：数据163，165，167，164，165，166，165，164，166中165出现了3次，且次数最多，所以众数是165．故答案为：165．点评：本题考查了众数的定义，熟记定义是解题的关键，需要注意，众数有时候可以不止一个．14．（3分）（2012?南通）如图，⊙O中，∠AOB=46°，则∠ACB=23度．考点：圆周角定理．分析：由⊙O中，∠AOB=46°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数．解答：解：∵⊙O中，∠AOB=46°，AOB=×46°∠ACB==23°．∴∠故答案为：23．点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．15．（3分）（2012?南通）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元，若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了20张．考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，则根据总共买票40张，花了700元可得出方程组，解出即可得出答案．解答：解：设购买甲电影票x张，乙电影票y张，由题意得，，，即甲电影票买了解得：20张．故答案为：20．点评：此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，解答本题的关键是根据题意等量关系得出方程组．16．（3分）（2012?南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD=2cm．考点：梯形；勾股定理．分析：作DE∥BC于E点，得到四边形CDEB是平行四边形，根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长．解答：解：作DE∥BC于E点，则∠DEA=∠B∵∠A+∠B=90°∴∠A+∠DEA=90°∴ED⊥AD∵BC=3cm，AD=4cm，∴EA=5∴CD=BE=AB﹣AE=7﹣5=2cm，故答案为2．点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线．22．+β=4+3xα，β是一元二次方程x﹣7=0的两个根，则α+4α2012（17．3分）（?南通）设根与系数的关系；一元二次方程的解．考点：222分析：变形为β+4α+α3+7=0的两个根，得出αβ=﹣，α+3α=7，再把﹣是一元二次方程，由αβx+3x2β，即可求出答案．αα+3α++2解答：的两个根，7=0﹣+3xx是一元二次方程β，α解：∵．2，α﹣7=0=﹣3，α+3∴α+β2，+3α=7∴α22，=7﹣3=4α+α+β∴α+4α+β=α+3 ．故答案为：4的相等关b本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、点评：的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即ab系，再根据根与系数的关系求出2 =，x?x（a≠0）的根与系数的关系为：x+x=．﹣可．一元二次方程ax+bx+c=02121上）是直线l（m，n1，2a﹣3）都在直线l上．Q18．（3分）（2012?南通）无论a取什么实数，点P（a﹣216．2m的点，则（﹣n+3）的值等于考点：一次函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题；探究型．上，设a不论为何值此点均在直线lP（0，﹣1），由于）分析：先令a=0，则P（﹣1，﹣3；再令a=1，则）代入即可得出m，n≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（y=kx+b此直线的解析式为（k ﹣n的值，进而可得出结论．2m l上，1），由于a不论为何值此点均在直线PP（﹣1，﹣3）；再令a=1，则（0，﹣解答：解：∵令a=0，则，≠y=kx+b（k0）∴设此直线的解析式为，解得，∴∴此直线的解析式为：y=2x﹣1，∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m﹣1=n，即2m﹣n=1，2 =16．=（1+3）∴原式16．故答案为：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析点评：式．.解答题三102﹣）﹣（）2）|﹣1|+（﹣）+（7﹣π南通）计算：分）19．（10（2012?（1×．）÷+2（﹣考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）根据绝对值、有理数的乘方、零整数指数幂、负整数指数幂的定义分别进行计算，再把所得的结果相加即可；（2）根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可．解答：012﹣解：（1）|﹣1|+（﹣2）+（7﹣π）﹣（）=1+4+1﹣3=3；+×（2﹣）÷+2= ﹣=4+．点评：此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号．南通）先化简，再求值：，其中x=6．8分）（2012?20．（考点：分式的化简求值．分析：首先把括号里面的分子分解因式，再约分化简，然后再通分计算，再把括号外的除法运算转化成乘法运算，再进行约分化简，最后把x=6代入即可求值．解答：? =[1+解：原式]?]+=[?==x﹣1，把x=6代入得：原式=6﹣1=5．点评：本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是把分式通过约分化为最简，然后再代入数值计算．在化简的过程中要注意运算顺序．21．（9分）（2012?南通）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分学生，统计他们双休日两天家务劳动的时间，将统计的劳动时间（单位：分钟）分成5组：30≤x＜60，60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是100；（2）根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为1500；（3）该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少名学生家务劳动的时间不小于90分钟？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体．分析：（1）把每一组的频数相加即可求出这次抽样调查的样本容量；的组中值乘以这一组的频数即可求出答案；90＜x≤60）用小组2（．（3）用总人数乘以劳动的时间不小于90分钟的人数所占的百分比即可．解答：解：（1）这次抽样调查的样本容量是：5+20+35+30+10=100；（2）因为小组60≤x＜90的组中值75，所以该组中所有数据的和为：75×20=1500；（3）根据题意得：×=750（人）1000．答：该中学双休日两天有750名学生家务劳动的时间不小于90分钟．故答案为：100，1500．点评：=，知道其中任何两个量可求出其它的量，且频率和为1本题考查频率分布表，根据频率，频数和与样本容量相等，以及频率与所占百分比的关系等．22．（8分）（2012?南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．解答：解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，CD=×16=8cm，AE= AB=×30=15cm，CF=∴在Rt△AOE中，==8cm，OE= 中，△OCF在Rt，OF===15cm∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．．7cm的距离为CD和AB答：点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（8分）（2012?南通）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：计算题．分析：将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解．要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．解答：解：∵AB为南北方向，∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，在Rt△AEP中，∠APE=90°﹣60°=30°，AP=×100=50海里，AE==50海里，EP=100×cos30°∴在Rt△BEP中，BE=EP=50海里，50+50）海里．AB=（∴50+50）海里．处的路程为（答：测量船从A处航行到B点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键．，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．8，4，3，2南通）四张扑克牌的点数分别是?2012（分）8（．24．（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数偶数的概率；（2）从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，求这两张牌的点数都是偶数的概率．考点：列表法与树状图法；概率公式．分析：（1）利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；（2）利用树状图列举出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：（1）根据数字2，3，4，8中一共有3个偶数，故从中随机抽取一张牌，这张牌的点数偶数的概率为：；（2）根据从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，列树状图如下：根据树状图可知，一共有12种情况，两张牌的点数都是偶数的有6种，=．故连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是：点评：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（9分）（2012?南通）甲、乙两地距离300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE 表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了0.5h；（2）求线段DE对应的函数解析式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．考点：一次函数的应用．分析：（1）利用图象得出CD这段时间为2.5﹣2=0.5，得出答案即可；（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式即可；（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x﹣195时，即可求出轿车追上货车的时间．解答：解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5﹣2=0.5小时；（2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），，得：y=kx+b代入．，解得：，故线段DE对应的函数解析式为：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；（3）∵A点坐标为：（5，300），代入解析式y=ax得，300=5a，解得：a=60，故y=60x，当60x=110x﹣195，解得：x=3.9，故3.9﹣1=2.9（小时），答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车．点评：此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键．26．（10分）（2012?南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；（2）首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．解答：证明：（1）连接AC，，°B=60中，∠ABCD∵在菱形．∴AB=BC=CD，∠C=180°﹣∠B=120°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°，∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠B=∠ACF=60°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，∴∠AEB=∠AFC，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．27．（12分）（2012?南通）如图△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t秒．（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；（2）设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．a=，求PQ的长；①若的值；若不存在，请说明理由．a的平分线上？若存在，请求出ACB在∠P，使得点a是否存在实数②．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值；（2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM 是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．解答：解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，BD=CD=BC=6cm，∴∵a=2，∴BP=2tcm，DQ=tcm，∴BQ=BD﹣QD=6﹣t（cm），∵△BPQ∽△BDA，∴，，即；解得：t=（2）①过点P作PE⊥BC于E，∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：AB=CM：AC，∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ，BQ=（6﹣t）cm∴BE=，，a=∵．PB=tcm∴，∵AD⊥BC，∴PE∥AD，∴PB：AB=BE：BD，即，t=，解得：）PQ=PB=；t=（∴cm②不存在．理由如下：∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，∴PB：AB=CM：AC，∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM，∴∠CPM=∠PCM，∴PM=CM，∴四边形PQCM是菱形，∴PQ=CQ，PM∥CQ，∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB﹣PB=10﹣at（cm），，化简得②：6at+5t=30③，﹣，③把①代入得，t=∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．请修改新增的标题2，），（﹣20y=x+bx+c与x轴相交于A．28（14分）（2012?南通）如图，经过点（0，﹣4）的抛物线B 为坐标原点．C两点，O ）求抛物线的解析式；（12）个单位长度得到新抛物线，若＞0向上平移个单位长度，再向左平移m（（2）将抛物线y=x+bx+cm 的取值范围；△在ABC 内，求m新抛物线的顶点P ，求AM的长．∠在y轴上，∠OMB+∠OAB=ACB）设点（3M考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代的取值范围．m内时ABC△在P的解析式中，即可确定AC、AB入直线（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．解答：2y=x+bx+c中，得：（﹣2，0）代入抛物线，﹣解：（1）将A（04）、B，解得：2y=x﹣x﹣故抛物线的解析式：4．22）﹣1y=x+（x+m）﹣（x+m）﹣（4+，即：（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：my=2 m﹣m；﹣x+ ；m，﹣1）它的顶点坐标P：（1﹣；4，0）由（1）的抛物线解析式可得：C （x=4，y=0代入，0AC的解析式为y=kx+b（k≠），把设直线b=﹣4，∴4k+b=0，y=x﹣4．∴2x﹣4；同理直线AB：y=﹣m=；﹣m）﹣4=﹣1，解得：当点P在直线AB上时，﹣2（1 2；，解得：）﹣4=﹣1m=﹣当点P在直线AC上时，（1﹣m＜ABC内时，﹣2＜m；∴当点P在△0，又∵m＞．的取值范围：0＜m＜∴符合条件的m是等腰直角三角形；OA=OC=4，且△OAC4，﹣4）、C（，0）得：（（3）由A0 ∠ONB=ACB=45°；如图，在OA上取ON=OB=2，则∠∠NBA；OAB∠ACB=∠OMB+∠，即∠OMB=NBA+∴∠ONB=∠∠OAB= AMB中，如图，在△ABN、△1 B，MAB，∠ABN=∠AM∠BAN=∠112；，得：AB=AN?AM∴△ABN∽△AMB11222﹣2=2；=202）+4，AN=OA﹣ON=4（﹣易得：AB= 2=10；∴AM=20÷1 A=BM∠ABN，A=而∠BM∠21 OA=6﹣4=2．﹣=OMAM=6=OMOM∴，2212．2或10的长为AM综上，。