2019年南通市中考数学试题及答案
江苏省南通市2019年中考数学真题试题(附解析)
江苏省南通市2019年中考数学真题试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为（）A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D．【解析】试题解析：∵在0、2、-1、-2这四个数中只有-2＜-1＜0，0＜2∴在0、2、-1、-2这四个数中，最小的数是-2．故选：D．考点：有理数大小比较．2．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（）A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104【答案】A．考点：科学记数法—表示较大的数．3．下列计算，正确的是（）A．a2﹣a=a B．a2•a3=a6C．a9÷a3=a3D．（a3）2=a6【答案】D．【解析】试题解析：A、a2-a，不能合并，故A错误；B、a2•a3=a5，故B错误；C、a9÷a3=a6，故C错误；D、（a3）2=a6，故D正确；故选D．考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．4．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题解析：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．故选A．考点：简单组合体的三视图．5．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【答案】A．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．6．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（）A．4πB．6πC．12π D．16π【答案】C．【解析】试题解析：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，故选C．考点：圆锥的计算．7．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差【答案】D．考点：统计量的选择．8．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为（）A．5L B．3.75L C．2.5L D．1.25L【答案】B.【解析】试题解析：每分钟的进水量为：20÷4=5（升），每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升）．故选：B．考点：函数的图象．9．已知∠AOB，作图．步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q；步骤2：过点M作PQ的垂线交PQ于点C；步骤3：画射线OC．则下列判断：①PC=CQ；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C．，OC平分∠AOB，结论①④正确；∴PC CQ∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，∴∠POQ不一定等于∠PQO，∴OP不一定等于PQ，结论③错误．综上所述：正确的结论有①②④．故选C．考点：作图—复杂作图；圆周角定理．10．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】试题解析：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．考点：轴对称-最短路线问题；矩形的性质．二、填空题（每小题3分，共24分）11x的取值范围为．【答案】x≥2【解析】试题解析：由题意得：x-2≥0，解得：x≥2考点：二次根式有意义的条件．12．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．【答案】4.【解析】试题解析：根据三角形的中位线定理，得：DE=12BC=4．考点：三角形中位线定理13．四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度．【答案】70°.考点：圆内接四边形的性质．14．若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为．【答案】9.【解析】试题解析：根据题意得△=（-6）2-4c=0，解得c=9．考点：根的判别式．15．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度．【答案】30°．考点：旋转的性质．16．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ．【答案】8.【解析】试题解析：设乙每小时做x 个，则甲每小时做（x+4）个，甲做60个所用的时间为604x +，乙做40个所用的时间为40x，列方程为： 604x += 40x， 解得：x=8，经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，答：乙每小时做8个．考点：分式方程的应用．17．已知x=m 时，多项式x 2+2x+n 2的值为﹣1，则x=﹣m 时，该多项式的值为 ．【答案】3.【解析】试题解析：∵多项式x 2+2x+n 2=（x+1）2+n 2-1，∵（x+1）2≥0，n 2≥0，∴（x+1）2+n2-1的最小值为-1，此时m=-1，n=0，∴x=-m时，多项式x2+2x+n2的值为m2-2m+n2=3 考点：代数式求值．18．如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．【答案】（8，152）．设D（m，60m），由题可得OA的解析式为y=125x，AO∥BC，∴可设BC的解析式为y=125x+b，把D（m，60m）代入，可得125m+b=60m，∴b=60m-125m，∴BC的解析式为y=125x+60m-125m，令y=0，则x=m-25m，即OC=m-25m，∴平行四边形ABCO中，AB=m-25m，∴DB=13-60m，∵AB=DB，∴m-25m=13-60m，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m=8，∴D的坐标为（8，152）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．三、解答题（本大题共10小题，共96分）19．（1）计算：|﹣4|﹣（﹣2）2）0（2）解不等式组321231x x x x >-⎧-≥⎪⎨+⎪⎩． 【答案】(1)2;(2) 2≤x＜4．试题解析：（1）原式=4-4+3-1=2；（2）322121x x ①x ＞x ②⎧-≥+-⎪⎨⎪⎩ 解不等式①得，x≥2，解不等式②得，x ＜4，所以不等式组的解集是2≤x＜4．考点：解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂．20．先化简，再求值：（m+2﹣52m -）• 243m m --，其中m=﹣12． 【答案】5【解析】试题分析：此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算． 试题解析：（m+2-5m-2）• 243m m--， =()22245•23m m m m----- =-()22(3)(3)•23m m m m m -+--- =-2（m+3）．把m=-12代入，得原式=-2×（-12+3）=-5．考点：分式的化简求值．21．某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）a= ，b= ；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？【答案】（1）20，32%．（2）补图见解析；（3）估计该校有648名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．（3）用一般估计总体的思想思考问题即可；试题解析：（1）∵总人数=50人，∴a=50×40%=20，b=1650×100%=32%，（2）频数分布直方图，如图所示．（3）900×2016502++=648，答：估计该校有648名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．22．不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．【答案】1 6考点：列表法与树状图法．23．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．【答案】这栋楼的高度为（）m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．【答案】2.【解析】试题分析：连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE 的长即可．试题解析：连接OD，作OF⊥BE于点F．∴BF=12 BE，考点：切线的性质；勾股定理．25．某学习小组在研究函数y=16x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．（1）请补全函数图象；（2）方程16x3﹣2x=﹣2实数根的个数为；（3）观察图象，写出该函数的两条性质．【答案】（1）作图见解析；（2）3；（3）1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，2、此函数在x＜-2和x＞2，y随x的增大而增大，3、此函数图象过原点，4、此函数图象关于原点对称．试题解析：（1）补全函数图象如图所示，（2）如图1，作出直线y=-2的图象，由图象知，函数y=16x3-2x的图象和直线y=-2有三个交点，∴方程16x3-2x=-2实数根的个数为3，考点：二次函数的性质；二次函数的图象；图象法求一元二次方程的近似根．26．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BP EQ是菱形；（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．【答案】（1）证明见解析；（2）152．【解析】试题分析：（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18-x）2，BE=10，得到OB=12BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8-y）2=y2，解得y=254，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得154，由PQ=2PO即可求解．∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，∴AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，62+x2=（18-x）2，解得x=8，BE=18-x=10，∴OB=12BE=5，考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质．27．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为；（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．【答案】(1)1；（2）证明见解析；（3）35 12【解析】试题分析：（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC即可；（3）分两种情况：①当43AC C CF BC E ==时，EF ∥AB ，由勾股定理求出，作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN=12（AC+BC-AB ）=1，由几啊平分线定理得出43CE ＝D F CF E D =，求出CE=73，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF=3512；②当43AC C CE BC F ==时，同理得：EF=3512即可．（2）证明：∵AB=AC ，BD=BC ， ∴∠ABC=∠C=∠BDC ， ∴△B CD ∽△ABC ，∴BD 是△ABC 的“內似线”；（3）解：设D 是△ABC 的内心，连接CD ，则CD 平分∠ACB ，∵EF 是△ABC 的“內似线”， ∴△CEF 与△ABC 相似； 分两种情况：①当43AC C CF BC E ==时，EF ∥AB ，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴，作DN⊥BC于N，如图2所示：则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，∴DN=12（AC+BC-AB）=1，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴EF CEAB AC=，即7354EF=，解得：EF=25 12；②当43ACCCE BCF==时，同理得：EF=2512；综上所述，EF的长为25 12．考点：相似形综合题．28．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．【答案】（1；（2）B（1，12）；（3）证明见解析.（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．试题解析：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB=2，AB⊥OC，∴AC=BC=1，∠BOC=30°，∴，∴A（-1，把A（-1y=ax2（a＞0）中得：（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴AF＝ACBC FG，∵AC=4BC，∴AFFG=4，∴AF=4FG，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△ADO∽△OEB，∴OD＝ADOE BE，∴1641a＝a，∴16a2=4，a=±12，∵a＞0，∴a=12；∴B（1，12）；（3）如图3，∴△BOF∽△EOD，∴OB OF BF OE OD DE==，∴2m am＝＝mnOBOE DE，∴1nOBOE=，DE=am2n，∴11n OBBE=+，考点：二次函数综合题．。
2019年江苏省南通市中考数学试卷含答案解析
2019年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（ ）A ．﹣3℃B ．﹣1℃C ．0℃D ．1℃2．（3分）化简√12的结果是（ ）A ．4√3B ．2√3C ．3√2D ．2√63．（3分）下列计算，正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．2a 2﹣a ＝aC ．a 6÷a 2＝a 3D ．（a 2）3＝a 64．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱5．（3分）已知a ，b 满足方程组{3a +2b =42a +3b =6，则a +b 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．﹣2 D ．﹣46．（3分）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．（x +4）2＝﹣9B ．（x +4）2＝﹣7C ．（x +4）2＝25D ．（x +4）2＝77．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3（如图）．以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间8．（3分）如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C ＝70°，则∠AED 度数为（）A．110°B．125°C．135°D．140°9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E．设CD+DE＝x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）计算：22﹣（√3−1）0＝．12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为．13．（3分）分解因式：x3﹣x＝．14．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝度．15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为cm．17．（3分）如图，过点C （3，4）的直线y ＝2x +b 交x 轴于点A ，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，曲线y =k x（x ＞0）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 ．18．（3分）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +√32PD 的最小值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式4x−13−x ＞1，并在数轴上表示解集．20．（8分）先化简，再求值：（m +4m+4m ）÷m+2m 2，其中m =√2−2． 21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．23．（8分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．平均分方差中位数众数合格率优秀率一班7.2 2.117692.5%20%二班 6.85 4.288885%10%根据图表信息，回答问题：（1）用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O 为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P 为劣弧AB 中点，作PQ ⊥AC ，垂足为Q ，求OQ 的长；（3）在（2）的条件下，连接PC ，求tan ∠PCA 的值．26．（10分）已知：二次函数y ＝x 2﹣4x +3a +2（a 为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x ﹣1的图象有两个交点，求a 的取值范围．27．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值；（3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长．28．（13分）定义：若实数x ，y 满足x 2＝2y +t ，y 2＝2x +t ，且x ≠y ，t 为常数，则称点M （x ，y ）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点P （m ，n ）．（1）P 1（3，1）和P 2（﹣3，1）两点中，点 是“线点”；（2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn ，并求t 的取值范围；（3）若点Q （n ，m ）是“线点”，直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，当|∠POQ ﹣∠AOB |＝30°时，直接写出t 的值．2019年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（）A．﹣3℃B．﹣1℃C．0℃D．1℃【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2，所以比﹣2℃低的温度是﹣3℃．故选：A．【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．（3分）化简√12的结果是（）A．4√3B．2√3C．3√2D．2√6【分析】根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：√12=√22×3=2√3，故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：√a2=|a|是解题的关键．3．（3分）下列计算，正确的是（）A．a2•a3＝a6B．2a2﹣a＝a C．a6÷a2＝a3D．（a2）3＝a6【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘除法的运算方法，以及合并同类项的方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴选项A不符合题意；∵2a2﹣a≠a，∴选项B不符合题意；∵a 6÷a 2＝a 4，∴选项C 不符合题意；∵（a 2）3＝a 6，∴选项D 符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘除法的运算方法，以及合并同类项的方法，要熟练掌握．4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C ．【点评】本题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，难度适中．5．（3分）已知a ，b 满足方程组{3a +2b =42a +3b =6，则a +b 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．﹣2 D ．﹣4【分析】方程组两方程相加求出所求即可．【解答】解：{3a +2b =4①2a +3b =6②， ①+②得：5a +5b ＝10，则a +b ＝2，故选：A ．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2＝﹣9B．（x+4）2＝﹣7C．（x+4）2＝25D．（x+4）2＝7【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3（如图）．以O 为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可．【解答】解：由勾股定理得，OB=√22+32=√13，∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出OB的长是解题的关键．8．（3分）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝70°，则∠AED度数为（）A ．110°B ．125°C ．135°D ．140°【分析】利用三角形的外角的性质可知：∠AED ＝∠C +∠CAEM 求出∠CAE 即可．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠C +∠CAB ＝180°，∵∠C ＝70°，∴∠CAB ＝110°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CBA ＝55°，∴∠AED ＝∠C +∠CAE ＝70°+55°＝125°，故选：B ．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）A ．25min ～50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50）C ．5min ～20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．【解答】解：A 、25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m ，故A 没错；B 、设线段CD 的函数解析式为s ＝kt +b ，把（25，1200），（50，2000）代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b解得：{k =32b =400，∴线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50），故B 没错； C 、在A 点的速度为5255=105m /min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m /min ，故C 错误；D 、当t ＝20时，由图象可得s ＝1200m ，将t ＝20代入s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）得s ＝1200，故D 没错． 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．10．（3分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB ′C ′，B ′C ′与BC ，AC 分别交于点D ，E ．设CD +DE ＝x ，△AEC ′的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致（ ）A ．B ．C．D．【分析】可证△ABF≌△AC′E（AAS）、△CDE≌△B′DF（AAS），则B′D+DE＝CD+ED＝x，y=12EC′×△AEC′的EC′边上的高，即可求解．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，∴△ABF≌△AC′E（AAS），∴BF＝C′E，AE＝AF，同理△CDE≌△B′DF（AAS），∴B′D＝CD，∴B′D+DE＝CD+ED＝x，AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，BC＝2√3=B′C′，y=12EC′×△AEC′的EC′边上的高=12（2√3−x）=−12x+√3，故选：B．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形全等、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）计算：22﹣（√3−1）0＝3．【分析】直接利用零指数幂的性质分别化简进而得出答案．【解答】解：原式＝4﹣1＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为3×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将300 000 000用科学记数法表示为：3×108．故答案为：3×108．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．（3分）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．14．（3分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝70度．【分析】先证明△ABE ≌△CBF ，可得∠BAE ＝∠BCF ＝25°；然后根据AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，求出∠ACB 的度数，即可求出∠ACF 的度数． 【解答】解：在Rt △ABE 与Rt △CBF 中，{AE =CF AB =BC ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）． ∴∠BAE ＝∠BCF ＝25°； ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠ACB ＝45°，∴∠ACF ＝25°+45°＝70°； 故答案为：70．【点评】此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 9x ﹣11＝6x +16 ． 【分析】设有x 个人共同买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设有x 个人共同买鸡，根据题意得： 9x ﹣11＝6x +16．故答案为：9x ﹣11＝6x +16．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm ，侧面积为10πcm 2，则该圆锥的母线长为 5 cm ． 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm ， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则12×4π×R ＝10π，解得，R ＝5（cm ） 故答案为：5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 17．（3分）如图，过点C （3，4）的直线y ＝2x +b 交x 轴于点A ，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，曲线y =kx（x ＞0）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 4 ．【分析】作CD ⊥x 轴于D ，BF ⊥x 轴于F ，过B 作BE ⊥CD 于E ，根据待定系数法求得直线解析式，进而求得A 的坐标，通过证得△EBC ≌△FBA ，得出CE ＝AF ，BE ＝BF ，设B （m ，km ），则4−km =m ﹣1，m ﹣3=km ，求得k ＝4，得到反比例函数的解析式y =4x ，把x ＝1代入求得函数值4，则a ＝4﹣0＝4．【解答】解：作CD ⊥x 轴于D ，BF ⊥x 轴于F ，过B 作BE ⊥CD 于E ， ∵过点C （3，4）的直线y ＝2x +b 交x 轴于点A ， ∴4＝2×3+b ，解得b ＝﹣2， ∴直线为y ＝2x ﹣2， 令y ＝0，则求得x ＝1， ∴A （1，0），∵BF ⊥x 轴于F ，过B 作BE ⊥CD 于E ， ∴BE ∥x 轴，∴∠ABE ＝∠BAF ， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABE +∠EBC ＝90°， ∵∠BAF +∠ABF ＝90°， ∴∠EBC ＝∠ABF ， 在△EBC 和△FBA 中 {∠EBC =∠ABF∠BEC =∠BFA =90°BC =AB∴△EBC ≌△FBA （AAS ）， ∴CE ＝AF ，BE ＝BF ， 设B （m ，km ），∵4−k m =m ﹣1，m ﹣3=km， ∴4﹣（m ﹣3）＝m ﹣1， 解得m ＝4，k ＝4，∴反比例函数的解析式为y =4x， 把x ＝1代入得y ＝4， ∴a ＝4﹣0＝4， ∴a 的值为4． 故答案为4．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求得反比例函数的解析式是解题的关键．18．（3分）如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则PB +√32PD 的最小值等于 3√3 ．【分析】过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，有锐角三角函数可得EP =√32PD ，即PB +√32PD ＝PB +PE ，则当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ．【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD∴∠EDP ＝∠DAB ＝60°， ∴sin ∠EDP =EP DP =√32∴EP =√32PD ∴PB +√32PD ＝PB +PE∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠A =BEAB =√32 ∴BE ＝3√3 故答案为3√3【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质， 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）解不等式4x−13−x ＞1，并在数轴上表示解集．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项可得． 【解答】解：4x ﹣1﹣3x ＞3，4x ﹣3x ＞3+1， x ＞4，将不等式的解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 20．（8分）先化简，再求值：（m +4m+4m ）÷m+2m 2，其中m =√2−2． 【分析】先化简分式，然后将m 的值代入计算． 【解答】解：原式=m 2+4m+4m ÷m+2m2 =(m+2)2m •m 2m+2＝m 2+2m ， 当m =√2−2时， 原式＝m （m +2） ＝（√2−2）（√2−2+2） ＝2﹣2√2【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分解因式化简分式是解题的关键． 21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？【分析】利用“边角边”证明△ABC 和△DEC 全等，再根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下： 在△ABC 和△DEC 中，{BC =CE∠ACB =∠DCE CA =CD，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）， ∴AB ＝DE ．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数为3， 所以取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率=36=12． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．23．（8分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．【分析】设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为（x +40）元，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出结论．【解答】解：设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为（x +40）元， 依题意，得：3200x=2×2400x+40，解得：x ＝80，经检验，x ＝80是所列分式方程的解，且符合题意． 答：每套《三国演义》的价格为80元．【点评】.本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．平均分方差中位数众数合格率优秀率一班7.2 2.117692.5%20%二班 6.85 4.288885%10%根据图表信息，回答问题：（1）用方差推断，二班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，一班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？【分析】（1）从方差上看，二班的方差较大，二班波动较大，合格率、优秀率一班都比二班高，（2）平均分会受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数、中位数进行分析比较客观．【解答】解：（1）从方差看，二班成绩波动较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较好，故答案为：二，一．（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反映一组数据集中发展趋势和集中水平，由于二班的众数、中位数都比一班的要好．【点评】考查众数、中位数、方差的意义及各个统计量反映数据的特征，准确把握各个统计量的意义是前提．25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O 为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．（3）连接PC．求出CQ，PQ即可．【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°=2√3 3．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵PÂ=PB̂，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA=12OA=√33．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC=√3BC=√3，∵AQ＝QO=12AO=√33．∴QC＝AC﹣AQ=√3−√33=2√33，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP=PQCQ=12√33=√32．【点评】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．（10分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x ﹣1的图象有两个交点，求a 的取值范围．【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，则可求得其顶点坐标、对称轴及开口方向；（2）根据二次函数的图象与一次函数y ＝2x ﹣1的图象有两个交点，则x 2﹣4x +3a +2＝2x ﹣1的方程的△＞0，求得a ＜2，把x ＝4和代入y ＝2x ﹣1，求得函数值7，把（4，7）代入y ＝x 2﹣4x +3a +2，得到关于a 的方程，解方程求得a =53，根据题意求出a 的取值即可．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3a +2＝（x ﹣2）2+3a ﹣2，∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为（2，3a ﹣2），其性质有：①开口向上，②有最小值3a ﹣2，③对称轴为x ＝2．（2）∵二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x ﹣1的图象有两个交点， ∴x 2﹣4x +3a +2＝2x ﹣1，整理为：x 2﹣6x +3a +3＝0，∴△＝36﹣4（3a +3）＞0，解得a ＜2，把x ＝4代入y ＝2x ﹣1，解得y ＝2×4﹣1＝7，把（4，7）代入y ＝x 2﹣4x +3a +2得7＝16﹣16+3a +2，解得a =53，故该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x ﹣1的图象有两个交点，a 的取值为53≤a ＜2．【点评】本题考查了 二次函数的图象和性质，一次函数的性质，根据题意得到a 的取值是解题的关键．27．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值；（3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长．【分析】（1）由“AAS”可证△AEO≌△CFO，可得AE＝CF，可得四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF，可证四边形AFCE是菱形；（2）作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，由勾股定理可求AF的长，由平行线分线段成比例可求解；（3）延长EF，延长AB交于点N，过点E作EH⊥BC于H，交BP于点G，过点O作BO⊥FN于点O，可证四边形ABHE是矩形，可得AB＝EH＝2，BH＝AE=52，由相似三角形的性质依次求出BN，NF，BO，EM，EG的长，通过证明△BGH∽△BPC，由相似三角形的性质可求CP的长．【解答】证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∵点A与点C关于EF所在的直线对称∴AO＝CO，AC⊥EF∵∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，AO＝CO∴△AEO≌△CFO（AAS）∴AE＝CF，且AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形，且AC⊥EF∴四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时△EFP的周长最小，∵四边形AFCE 是菱形∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∵AF 2＝BF 2+AB 2，∴AF 2＝（4﹣AF ）2+4，∴AF =52∴AE =52=CF∴DE =32∵点F ，点H 关于CD 对称∴CF ＝CH =52∵AD ∥BC∴DP CP =DE CH =35 （3）如图，延长EF ，延长AB 交于点N ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交BP 于点G ，过点B 作BO ⊥FN 于点O ，由（2）可知，AE ＝CF =52，BF ＝DE =32∵EH ⊥BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°∴四边形ABHE 是矩形∴AB ＝EH ＝2，BH ＝AE =52∴FH ＝1∴EF =√EH2+FH 2=√5， ∵AD ∥BC∴△BFN ∽△AEN∴BN AN =BF AE =FN EN ∴BN BN+2=35=NF+√5∴BN ＝3，NF =3√52∴AN ＝5，NE =5√52∵∠N ＝∠N ，∠BON ＝∠A ＝90°∴△NBO ∽△NEA∴BN EN=BO AE =NO AN ∴5√52=BO 52=NO 5∴BO =3√55，NO =6√55∵∠EMP ＝∠BMO ＝45°，BO ⊥EN∴∠OBM ＝∠BMO ＝45° ∴BO ＝MO =3√55∴ME ＝EN ﹣NO ﹣MO =7√510 ∵AB ∥EH ∴△BNM ∽△GEM∴BNEG =NM EM ∴3EG =9√557√510 ∴EG =76∴GH ＝EH ﹣EG =56∵EH ∥CD∴△BGH ∽△BPC∴GH PC =BH BC ∴56PC =524 ∴CP =43【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．28．（13分）定义：若实数x ，y 满足x 2＝2y +t ，y 2＝2x +t ，且x ≠y ，t 为常数，则称点M （x ，y ）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点P （m ，n ）．（1）P 1（3，1）和P 2（﹣3，1）两点中，点 P 2 是“线点”；（2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn ，并求t 的取值范围；（3）若点Q （n ，m ）是“线点”，直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，当|∠POQ ﹣∠AOB |＝30°时，直接写出t 的值．【分析】（1）若x ，y 满足x 2+2y ＝t ，y 2+2x ＝t 且x ≠y ，t 为常数，则称点M 为“线点”，由新定义即可得出结论；（2）由新定义得出m 2+2n ＝t ，n 2+2m ＝t ，得出m 2+2n ﹣n 2﹣2m ＝0，m 2+2n +n 2+2m ＝2t ，分解因式得出（m ﹣n ）（m +n ﹣2）＝0，得出m +n ＝2，mn ＝4﹣t ，由完全平方公式得出（m +n ）2﹣4mn ＞0，得出mn ＜1，即可得出结果；（3）证出△AOB 是等腰直角三角形，求出∠POQ ＝120°或60°，得出P 、Q 两点关于y ＝x 对称，再分两种情况讨论，求出t 的值即可．【解答】解：（1）∵当M 点（x ，y ），若x ，y 满足x 2﹣2y ＝t ，y 2﹣2x ＝t 且x ≠y ，t 为常数，则称点M 为“线点”，又∵P 1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，∴点P 1不是线点；∵P 2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，∴点P 2是线点，故答案为：P 2；（2）∵点P （m ，n ）为“线点”，则m 2﹣2n ＝t ，n 2﹣2m ＝t ，∴m 2﹣2n ﹣n 2+2m ＝0，m 2﹣2n +n 2﹣2m ＝2t ，∴（m ﹣n ）（m +n +2）＝0，∵m ≠n ，∴m +n +2＝0，∴m +n ＝﹣2，∵m 2﹣2n +n 2﹣2m ＝2t ，∴（m +n ）2﹣2mn ﹣2（m +n ）＝2t ，即：（﹣2）2﹣2mn +2×2＝2t ，∴mn ＝4﹣t ，∵m ≠n ，∴（m ﹣n ）2＞0，∴m 2﹣2mn +n 2＞0，∴（m +n ）2﹣4mn ＞0，∴（﹣2）2﹣4mn ＞0，∴mn ＜1，∵mn ＝4﹣t ，∴t ＞3；（3）设PQ 直线的解析式为：y ＝kx +b ，则{n =mk +b m =nk +b， 解得：k ＝﹣1，∵直线PQ 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵|∠AOB ﹣∠POQ |＝30°，∴∠POQ ＝120°或60°，∵P（m，n），Q（n，m），∴P、Q两点关于y＝x对称，①若∠POQ＝120°时，如图1所示：作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON=12∠POQ＝60°，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AON＝BON＝45°，∴∠POC＝∠QOD＝15°，在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，∴∠CTP＝30°，∴PT＝2PC＝2n，TC=√3n，∴﹣m=√3n+2n，由（2）知，m+n＝﹣2，解得：m＝﹣1−√3，n=√3−1，由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，∴（﹣1−√3）（﹣1+√3）＝4﹣t，解得：t＝6，②若∠POQ＝60°时，如图2所示，作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．∵P 、Q 两点关于y ＝x 对称，∴∠PON ＝∠QON =12∠POQ ＝30°，∵△AOB 是等腰直角三角形，∴∠AON ＝BON ＝45°，∴∠POD ＝∠QOC ＝15°，在OD 上截取OT ＝PT ，则∠TPO ＝∠TOP ＝15°，∴∠DTP ＝30°，∴PT ＝2PD ＝﹣2n ，TD =−√3n ，∴﹣m =−√3n ﹣2n ，由（2）知，m +n ＝﹣2，解得m ＝﹣1−√33，n ＝﹣1+√33，由（2）知：mn ＝4﹣t ，t ＞3，∴（﹣1−√33）（﹣1+√33）＝4﹣t ，解得：t =103，综上所述，t 的值为：6或103．【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．。
2019年江苏省南通市中考数学试卷
2019年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列选项中，比2C ︒-低的温度是( ) A ．3C ︒- B ．1C ︒- C ．0C ︒ D ．1C ︒2．（3( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算，正确的是( )A ．236a a a =B ．22a a a -=C ．623a a a ÷=D ．236()a a =4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱5．（3分）已知a ，b 满足方程组324236a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a b +的值为( )A ．2B ．4C ．2-D ．4- 6．（3分）用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A ．2(4)9x +=-B ．2(4)7x +=-C ．2(4)25x +=D ．2(4)7x += 7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB OA ⊥，使3AB =（如图）．以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 8．（3分）如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若70C ∠=︒，则AED ∠度数为( )A ．110︒B ．125︒C ．135︒D ．140︒ 9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：)m 与时间t （单位：)min 的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是( )A ．25~50min min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为32400(2550)s t t =+剟C ．5~20min min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+剟10．（3分）如图，ABC ∆中，2AB AC ==，30B ∠=︒，ABC ∆绕点A 逆时针旋转(0120)αα︒<<︒得到△AB C ''，B C ''与BC ，AC 分别交于点D ，E ．设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）计算：2021)-= ． 12．（3分）5G 信号的传播速度为300 000 000/m s ，将300 000 000用科学记数法表示为 ． 13．（3分）分解因式：3x x -= ． 14．（3分）如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，若25BAE ∠=︒，则ACF ∠= 度．15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ． 16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm ，侧面积为210cm π，则该圆锥的母线长为 cm ．17．（3分）如图，过点(3,4)C 的直线2y x b =+交x 轴于点A ，90ABC ∠=︒，AB CB =，曲线(0)ky x x=>过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 ．18．（3分）如图，ABCD 中，60DAB ∠=︒，6AB =，2BC =，P 为边CD 上的一动点，则PB 的最小值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式4113x x -->，并在数轴上表示解集．20．（8分）先化简，再求值：2442()m m m m m+++÷，其中2m ．21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使C D C A =．连接BC 并延长到点E ，使C E C B =．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率． 23．（8分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．（1）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？ 25．（9分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的O 经过点B ． （1）求O 的半径；（2）点P 为劣弧AB 中点，作PQ AC ⊥，垂足为Q ，求OQ 的长； （3）在（2）的条件下，连接PC ，求tan PCA ∠的值．26．（10分）已知：二次函数2432(y x x a a =-++为常数）． （1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x …的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．27．（13分）如图，矩形ABCD 中，2AB =，4AD =．E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形；（2）当PEF ∆的周长最小时，求DPCP的值；（3）连接BP 交EF 于点M ，当45EMP ∠=︒时，求CP 的长．28．（13分）定义：若实数x ，y 满足22x y t =+，22y x t =+，且x y ≠，则称点(,)M x y 为“线点”．例如，点(0,2)-和(2,0)-是“线点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点(,)P m n ． （1）1(3,1)P 和2(3,1)P -两点中，点 是“线点”； （2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn ，并求t 的取值范围； （3）若点(,)Q n m 是“线点”，直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，当||30POQ AOB ∠-∠=︒时，直接写出t 的值．2019年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列选项中，比2C ︒-低的温度是( ) A ．3C ︒- B ．1C ︒- C ．0C ︒D ．1C ︒【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知32-<-， 所以比2C ︒-低的温度是3C ︒-． 故选：A ．2．（3( )A ．B ．C ．D ．= 故选：B ． 3．（3分）下列计算，正确的是( ) A ．236a a a =B ．22a a a -=C ．623a a a ÷=D ．236()a a =【解答】解：235a a a =， ∴选项A 不符合题意； 22a a a -≠，∴选项B 不符合题意； 624a a a ÷=，∴选项C 不符合题意； 236()a a =，∴选项D 符合题意． 故选：D ． 4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是( )A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱． 故选：C ．5．（3分）已知a ，b 满足方程组324236a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a b +的值为( )A ．2B ．4C ．2-D ．4-【解答】解：324236a b a b +=⎧⎨+=⎩①②，①+②得：5510a b +=，则2a b +=， 故选：A ． 6．（3分）用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．2(4)9x +=-B ．2(4)7x +=-C ．2(4)25x +=D ．2(4)7x +=【解答】解：方程2890x x ++=，整理得：289x x +=-， 配方得：28167x x ++=，即2(4)7x +=，故选：D ． 7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB OA ⊥，使3AB =（如图）．以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于( )A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【解答】解：由勾股定理得，222313OB =+=， 91316<<，3134∴<<，∴该点位置大致在数轴上3和4之间． 故选：C ． 8．（3分）如图，//AB CD ，AE 平分CAB ∠交CD 于点E ，若70C ∠=︒，则AED ∠度数为( )A ．110︒B ．125︒C ．135︒D ．140︒ 【解答】解：//AB CD ， 180C CAB ∴∠+∠=︒， 70C ∠=︒， 110CAB ∴∠=︒， AE 平分CAB ∠，1552CAE CBA ∴∠=∠=︒，7055125AED C CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故选：B ． 9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：)m 与时间t （单位：)min 的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是( )A ．25~50min min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为32400(2550)s t t =+剟C ．5~20min min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为23(20)1200(520)s t t =--+剟【解答】解：A 、25~50min min ，王阿姨步行的路程为200010001000m -=，故错误； B 、设线段CD 的函数解析式为s kt b =+， 把(25,1000)，(50,2000)代入，解得：40k b =⎧⎨=⎩，40s t ∴=，故错误；C 、在A 点的速度为525105/5m min =，在B 点的速度为100052547595/205153m min -==-，故C 错误； D 、当20t =时，由图象可得1000s m =，将20t =代入23(20)1200(520)s t t =--+剟得1200s =，两者矛盾，故D 错误． 故选：A ． 10．（3分）如图，ABC ∆中，2AB AC ==，30B ∠=︒，ABC ∆绕点A 逆时针旋转(0120)αα︒<<︒得到△AB C ''，B C ''与BC ，AC 分别交于点D ，E ．设CD DE x +=，AEC ∆'的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致( )A ．B ．C ．D ． 【解答】解：ABC ∆绕点A 逆时针旋转α，设AB 与BC 交于点F ， 则BAB CAC α∠'=∠'=，30B C ∠=∠'=︒，AB AC AC =='， ABF ∴∆≅△()ACE AAS '， BF C E ∴='，AE AF =， 同理CDE ∆≅△()B DF AAS '， B D CD ∴'=，B D DE CD ED x ∴'+=+=，2AB AC ==，30B ∠=︒，则ABC ∆的高为1，等于AEC ∆'的高，BC B C ==''，12y EC AEC ='⨯∆'的高11)22x x ==-故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）计算：2021)-= 3 ． 【解答】解：原式413=-=． 故答案为：3． 12．（3分）5G 信号的传播速度为300 000 000/m s ，将300 000 000用科学记数法表示为 8310⨯ ． 【解答】解：将300 000 000用科学记数法表示为：8310⨯． 故答案为：8310⨯． 13．（3分）分解因式：3x x -= (1)(1)x x x +- ．【解答】解：3x x -， 2(1)x x =-，(1)(1)x x x =+-．故答案为：(1)(1)x x x +-．14．（3分）如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，若25BAE ∠=︒，则ACF ∠= 70 度．【解答】解：在Rt ABE ∆与Rt CBF ∆中，AE CFAB BC =⎧⎨=⎩，Rt ABE Rt CBF(HL)∴∆≅∆． 25BAE BCF ∴∠=∠=︒； AB BC =，90ABC ∠=︒， 45ACB ∴∠=︒，254570ACF ∴∠=︒+︒=︒； 故答案为：70． 15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 911616x x -=+ ．【解答】解：设有x 个人共同买鸡，根据题意得： 911616x x -=+．故答案为：911616x x -=+． 16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm ，侧面积为210cm π，则该圆锥的母线长为 5 cm ． 【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm ， 圆锥的底面周长224ππ=⨯=， 则14102R ππ⨯⨯=， 解得，5()R cm = 故答案为：5．17．（3分）如图，过点(3,4)C 的直线2y x b =+交x 轴于点A ，90ABC ∠=︒，AB CB =，曲线(0)ky x x=>过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 4 ．【解答】解：作CD x ⊥轴于D ，BF x ⊥轴于F ，过B 作BE CD ⊥于E ， 过点(3,4)C 的直线2y x b =+交x 轴于点A ， 423b ∴=⨯+，解得2b =-， ∴直线为22y x =-， 令0y =，则求得1x =， (1,0)A ∴，BF x ⊥轴于F ，过B 作BE CD ⊥于E ，//BE x ∴轴，ABE BAF ∴∠=∠， 90ABC ∠=︒，90ABE EBC ∴∠+∠=︒， 90BAF ABF ∠+∠=︒， EBC ABF ∴∠=∠， 在EBC ∆和FBA ∆中 90EBC ABF BEC BFA BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()EBC FBA AAS ∴∆≅∆， CE AF ∴=，BE BF =，设(,)kB m m ，41k m m -=-，3k m m -=，4(3)1m m ∴--=-， 解得4m =，4k =，∴反比例函数的解析式为4y x=，把1x =代入得4y =， 404a ∴=-=， a ∴的值为4． 故答案为4．18．（3分）如图，ABCD 中，60DAB ∠=︒，6AB =，2BC =，P 为边CD 上的一动点，则PB 的最小值等于【解答】解：如图，过点P 作PE AD⊥，交AD 的延长线于点E ，//AB CD60EDP DAB ∴∠=∠=︒，sin EP EDP DP ∴∠==EP ∴=PB PB PE ∴+=+ ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE AD ⊥时，PB PE +有最小值，即最小值为BE ，sin BE A AB ∠==BE ∴=故答案为三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式4113x x -->，并在数轴上表示解集． 【解答】解：4133x x -->，4331x x ->+，4x >，将不等式的解集表示在数轴上如下：20．（8分）先化简，再求值：2442()m m m m m+++÷，其中2m ． 【解答】解：原式22442m m m m m+++=÷ 22(2)2m m m m +=+ 22m m=+，当2m =时，原式(2)m m =+22)=-+2=-21．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使C D C A =．连接BC 并延长到点E ，使C E C B =．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？【解答】解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下：在ABC ∆和DEC ∆中，CD CE ACB DCE CA CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEC SAS ∴∆≅∆，AB DE ∴=．22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数为3，所以取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率31 62 ==．23．（8分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．【解答】解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为(40)x+元，依题意，得：32002400240x x=⨯+，解得：80x=，经检验，80x=是所列分式方程的解，且符合题意．答：每套《三国演义》的价格为80元．24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．（1）用方差推断，二班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？【解答】解：（1）从方差看，二班成绩波动较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较好，故答案为：二，一．（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反映一组数据集中发展趋势和集中水平，由于二班的众数、中位数都比一班的要好．25．（9分）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，30A∠=︒，1BC=，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的O经过点B．（1）求O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ AC⊥，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan PCA∠的值．【解答】解：（1）作OH AB ⊥于H ．在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，22AB BC ∴==，OH AB ⊥，1AH HB ∴==，cos30OA AH ∴=÷︒=． （2）如图2中，连接OP ，PA ．设OP 交AB 于H ．PA PB =，OP AB ∴⊥，90AHO ∴∠=︒，30OAH ∠=︒，60AOP ∴∠=︒，OA OP =，AOP ∴∆是等边三角形，PQ OA ⊥，12OQ QA ∴==． （3）连接PC ．在Rt ABC ∆中，AC ==，12AQ QO ==． 12QC AC AQ ∴=-， AOP ∆是等边三角形，PQ OA ⊥，PQ ∴=，2tan12PQACPCQ∴∠===．26．（10分）已知：二次函数2432(y x x a a=-++为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x…的部分与一次函数21y x=-的图象有两个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）二次函数22432(2)32y x x a x a=-++=-+-，∴该二次函数开口向上，对称轴为直线2x=，顶点坐标为(2,32)a-，其性质有：①开口向上，②有最小值32a-，③对称轴为2x=．（2）由题意得22132164432241aa⨯--⎧⎨-⨯++⨯-⎩……，解得53a=，故该二次函数的图象在4x…的部分与一次函数21y x=-的图象有两个交点，a的取值为53．27．（13分）如图，矩形ABCD中，2AB=，4AD=．E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点．（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当PEF∆的周长最小时，求DPCP的值；（3）连接BP交EF于点M，当45EMP∠=︒时，求CP的长．【解答】证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O四边形ABCD是矩形，AB CD∴=，AD BC=，//AD BCAEO CFO∴∠=∠，EAO FCO∠=∠，点A与点C关于EF所在的直线对称AO CO∴=，AC EF⊥AEO CFO∠=∠，EAO FCO∠=∠，AO CO=()AEO CFO AAS∴∆≅∆AE CF∴=，且//AE CF∴四边形AFCE是平行四边形，且AC EF⊥∴四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时EFP∆的周长最小，四边形AFCE 是菱形AF CF CE AE ∴===，222AF BF AB =+，22(4)4AF AF ∴=-+，52AF ∴= 52AE CF ∴== 32DE ∴= 点F ，点H 关于CD 对称52CF CH ∴== //AD BC ∴35DP DE CP CH == （3）如图，延长EF ，延长AB 交于点N ，过点E 作EH BC ⊥于H ，交BP 于点G ，过点O 作BO FN ⊥于点O ，由（2）可知，52AE CF ==，32BF DE == EH BC ⊥，90A ABC ∠=∠=︒∴四边形ABHE 是矩形2AB EH ∴==，52BH AE == FH ∴EF ∴//AD BC BFN AEN ∴∆∆∽∴BN BF FN AN AE EN== ∴325BN BN ==+3BN ∴=，NF5AN ∴=，NE =N N ∠=∠，90BON A ∠=∠=︒NBO NEA ∴∆∆∽ ∴BN BO NO EN AE AN==∴552BO NO ==BO ∴=NO 45FMP BMO ∠=∠=︒，BO EN ⊥45OBM BMO ∴∠=∠=︒BO MO ∴==ME EN NO MO ∴=--=//AB EHBNM GEM ∴∆∆∽ ∴BN NM EG EM=∴3EG =76EG ∴= 56GH EH EG ∴=-= //EH CDBGH BPC ∴∆∆∽ ∴GH BH PC BC= ∴55624PC = 43CP ∴= 28．（13分）定义：若实数x ，y 满足22x y t =+，22y x t =+，且x y ≠，则称点(,)M x y 为“线点”．例如，点(0,2)-和(2,0)-是“线点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点(,)P m n ． （1）1(3,1)P 和2(3,1)P -两点中，点 2P 是“线点”； （2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn ，并求t 的取值范围；（3）若点(,)Q n m 是“线点”，直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，当||30POQ AOB ∠-∠=︒时，直接写出t 的值．【解答】解：（1）当M 点(,)x y ，若x ，y 满足22x y t -=，22y x t -=且x y ≠，t 为常数，则称点M 为“线点”，又1(3,1)P ，则23217-⨯=，（1）2235-⨯=-，75≠-， ∴点1P 不是线点；2(3,1)P -，则2(3)217--⨯=，212(3)7-⨯-=，77=，∴点2P 是线点，故答案为：2P ；（2）点(,)P m n 为“线点”，则22m n t -=，22n m t -=，22220m n n m ∴--+=，22222m n n m t -+-=， ()(2)0m n m n ∴-++=，a b ≠，20m n ∴++=，2m n ∴+=-，22222m n n m t -+-=，2()22()2m n mn m n t ∴+--+=，即：2(2)2222mn t --+⨯=，4mn t ∴=-，m n ≠，2()0m n ∴->，2220m mn n ∴-+>，2()40m n mn ∴+->，2(2)40mn ∴-->，1mm ∴<，4mn t =-，3t ∴>；（3）设PQ 直线的解析式为：y kx b =+， 则n mk b m nk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1k =-，直线PQ 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，90AOB ∴∠=︒，AOB ∴∆是等腰直角三角形，||30AOB POQ ∠-∠=︒，120POQ ∴∠=︒或60︒，(,)P m n ，(,)Q n m ，P ∴、Q 两点关于y x =对称，①若120POQ ∠=︒时，如图1所示：作PC x ⊥轴于C ，QD y ⊥轴于D ，作直线MN AB ⊥．P 、Q 两点关于y x =对称，1602PON QON POQ ∴∠=∠=∠=︒， AOB ∆是等腰直角三角形，45AON BON ∴∠==︒，15POC QOD ∴∠=∠=︒，在OC 上截取OT PT =，则15TPO TOP ∠=∠=︒， 30CTP ∴∠=︒，22PT PC n ∴==，TC =，2m n ∴-=+，由（2）知，2m n +=-，解得：1m =-，1n =，由（2）知：4mn t =-，3t >，(114t ∴---=-，解得：6t =，②若60POQ ∠=︒时，如图2所示，作PD x ⊥轴于D ，QC y ⊥轴于C ，作直线MN AB ⊥．P 、Q 两点关于y x =对称，1302PON QON POQ ∴∠=∠=∠=︒， AOB ∆是等腰直角三角形，45AON BON ∴∠==︒，15POD QOC ∴∠=∠=︒，在OD 上截取OT PT =，则15TPO TOP ∠=∠=︒， 30DTP ∴∠=︒，22PT PD n ∴==-，TD =，2m n ∴-=-，由（2）知，2m n +=-，解得1m =--1n =-+ 由（2）知：4mn t =-，3t >，(114t ∴---+=-， 解得：103t =， 综上所述，t 的值为：6或103．。
2019年江苏省南通市中考数学试卷解析版
2019年江苏省南通市中考数学试卷解析版一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）下列选项中，比﹣2℃低的温度是（）A．﹣3℃B．﹣1℃C．0℃D．1℃【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2，所以比﹣2℃低的温度是﹣3℃．故选：A．2．（3分）化简√12的结果是（）A．4√3B．2√3C．3√2D．2√6【解答】解：√12=2×3=2√3，故选：B．3．（3分）下列计算，正确的是（）A．a2•a3＝a6B．2a2﹣a＝a C．a6÷a2＝a3D．（a2）3＝a6【解答】解：∵a2•a3＝a5，∴选项A不符合题意；∵2a2﹣a≠a，∴选项B不符合题意；∵a6÷a2＝a4，∴选项C不符合题意；∵（a2）3＝a6，∴选项D符合题意．故选：D．4．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A．球B．圆锥C．圆柱D．棱柱【解答】解：由于主视图和左视图为正方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆形可得为圆柱．故选：C ．5．（3分）已知a ，b 满足方程组{3a +2b =42a +3b =6，则a +b 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．﹣2 D ．﹣4【解答】解：{3a +2b =4①2a +3b =6②， ①+②得：5a +5b ＝10，则a +b ＝2，故选：A ．6．（3分）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．（x +4）2＝﹣9B ．（x +4）2＝﹣7C ．（x +4）2＝25D ．（x +4）2＝7【解答】解：方程x 2+8x +9＝0，整理得：x 2+8x ＝﹣9，配方得：x 2+8x +16＝7，即（x +4）2＝7，故选：D ．7．（3分）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3（如图）．以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【解答】解：由勾股定理得，OB =√22+32=√13，∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4，∴该点位置大致在数轴上3和4之间．故选：C ．8．（3分）如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C ＝70°，则∠AED 度数为（ ）A ．110°B ．125°C ．135°D ．140°【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠C +∠CAB ＝180°，∵∠C ＝70°，∴∠CAB ＝110°，∵AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CBA ＝55°，∴∠AED ＝∠C +∠CAE ＝70°+55°＝125°，故选：B ．9．（3分）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图象，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（ ）A ．25min ～50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50）C ．5min ～20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）【解答】解：A 、25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m ，故A 没错；B 、设线段CD 的函数解析式为s ＝kt +b ，把（25，1200），（50，2000）代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50），故B 没错；C 、在A 点的速度为5255=105m /min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m /min ，故C 错误；D 、当t ＝20时，由图象可得s ＝1200m ，将t ＝20代入s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）得s ＝1200，故D 没错．故选：C ．10．（3分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α＜120°）得到△AB ′C ′，B ′C ′与BC ，AC 分别交于点D ，E ．设CD +DE ＝x ，△AEC ′的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致（ ）A ．B ．C ．D．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α，设AB′与BC交于点F，则∠BAB′＝∠CAC′＝α，∠B＝∠C′＝30°，AB＝AC＝AC′，∴△ABF≌△AC′E（AAS），∴BF＝C′E，AE＝AF，同理△CDE≌△B′DF（AAS），∴B′D＝CD，∴B′D+DE＝CD+ED＝x，AB＝AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的高为1，等于△AEC′的高，BC＝2√3=B′C′，y=12EC′×△AEC′的EC′边上的高=12（2√3−x）=−12x+√3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）计算：22﹣（√3−1）0＝3．【解答】解：原式＝4﹣1＝3．故答案为：3．12．（3分）5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为3×108．【解答】解：将300 000 000用科学记数法表示为：3×108．故答案为：3×108．13．（3分）分解因式：x 3﹣x ＝ x （x +1）（x ﹣1） ．【解答】解：x 3﹣x ，＝x （x 2﹣1），＝x （x +1）（x ﹣1）．故答案为：x （x +1）（x ﹣1）．14．（3分）如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC上，且AE ＝CF ，若∠BAE ＝25°，则∠ACF ＝ 70 度．【解答】解：在Rt △ABE 与Rt △CBF 中，{AE =CF AB =BC， ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）．∴∠BAE ＝∠BCF ＝25°；∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝45°，∴∠ACF ＝25°+45°＝70°；故答案为：70．15．（3分）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 9x ﹣11＝6x +16 ．【解答】解：设有x 个人共同买鸡，根据题意得：9x ﹣11＝6x +16．故答案为：9x ﹣11＝6x +16．16．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm ，侧面积为10πcm 2，则该圆锥的母线长为 5 cm ．【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm ，圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，则12×4π×R ＝10π，解得，R ＝5（cm ）故答案为：5．17．（3分）如图，过点C （3，4）的直线y ＝2x +b 交x 轴于点A ，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，曲线y =k x （x ＞0）过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 4 ．【解答】解：作CD ⊥x 轴于D ，BF ⊥x 轴于F ，过B 作BE ⊥CD 于E ，∵过点C （3，4）的直线y ＝2x +b 交x 轴于点A ，∴4＝2×3+b ，解得b ＝﹣2，∴直线为y ＝2x ﹣2，令y ＝0，则求得x ＝1，∴A （1，0），∵BF ⊥x 轴于F ，过B 作BE ⊥CD 于E ，∴BE ∥x 轴，∴∠ABE ＝∠BAF ，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABE +∠EBC ＝90°，∵∠BAF +∠ABF ＝90°，∴∠EBC ＝∠ABF ，在△EBC 和△FBA 中{∠EBC =∠ABF ∠BEC =∠BFA =90°BC =AB∴△EBC ≌△FBA （AAS ），∴CE ＝AF ，BE ＝BF ，设B（m，km ），∵4−km=m﹣1，m﹣3=k m，∴4﹣（m﹣3）＝m﹣1，解得m＝4，k＝4，∴反比例函数的解析式为y=4 x，把x＝1代入得y＝4，∴a＝4﹣0＝4，∴a的值为4．故答案为4．18．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+√32PD的最小值等于3√3．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP=EPDP=√32∴EP =√32PD∴PB +√32PD ＝PB +PE∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB +PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠A =BE AB =√32 ∴BE ＝3√3故答案为3√3三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式4x−13−x ＞1，并在数轴上表示解集．【解答】解：4x ﹣1﹣3x ＞3，4x ﹣3x ＞3+1，x ＞4，将不等式的解集表示在数轴上如下：20．（8分）先化简，再求值：（m +4m+4m ）÷m+2m 2，其中m =√2−2． 【解答】解：原式=m 2+4m+4m ÷m+2m 2 =(m+2)2m •m 2m+2 ＝m 2+2m ，当m =√2−2时，原式＝m （m +2）＝（√2−2）（√2−2+2）＝2﹣2√221．（8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？【解答】解：量出DE 的长就等于AB 的长，理由如下：在△ABC 和△DEC 中，{BC =CE∠ACB =∠DCE CA =CD，∴△ABC ≌△DEC （SAS ），∴AB ＝DE ．22．（9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球中有1个白球、1个黄球的结果数为3， 所以取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率=36=12．23．（8分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．【解答】解：设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为（x +40）元，依题意，得：3200x =2×2400x+40， 解得：x ＝80，经检验，x ＝80是所列分式方程的解，且符合题意．答：每套《三国演义》的价格为80元．24．（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．平均分方差中位数众数合格率优秀率一班7.2 2.117692.5%20%二班 6.85 4.288885%10%根据图表信息，回答问题：（1）用方差推断，二班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，一班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？【解答】解：（1）从方差看，二班成绩波动较大，从众数、中位数上看，一班的成绩较好，故答案为：二，一．（2）乙同学的说法较合理，众数和中位数是反映一组数据集中发展趋势和集中水平，由于二班的众数、中位数都比一班的要好．25．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O 为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．【解答】解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°=2√3 3．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵PÂ=PB̂，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA=12OA=√33．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC=√3BC=√3，∵AQ＝QO=12AO=√33．∴QC＝AC﹣AQ=√3−√33=2√33，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP=PQCQ=12√33=√32．26．（10分）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+3a+2＝（x﹣2）2+3a﹣2，∴该二次函数开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3a﹣2），其性质有：①开口向上，②有最小值3a﹣2，③对称轴为x＝2．（2）∵二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1，整理为：x2﹣6x+3a+3＝0，∴△＝36﹣4（3a+3）＞0，解得a＜2，把x＝4代入y＝2x﹣1，解得y＝2×4﹣1＝7，把（4，7）代入y＝x2﹣4x+3a+2得7＝16﹣16+3a+2，解得a=5 3，故该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，a的取值为53≤a ＜2．27．（13分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4．E ，F 分别在AD ，BC 上，点A 与点C关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点．（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形；（2）当△PEF 的周长最小时，求DP CP 的值；（3）连接BP 交EF 于点M ，当∠EMP ＝45°时，求CP 的长．【解答】证明：（1）如图：连接AF ，CE ，AC 交EF 于点O∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC∴∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO ，∵点A 与点C 关于EF 所在的直线对称∴AO ＝CO ，AC ⊥EF∵∠AEO ＝∠CFO ，∠EAO ＝∠FCO ，AO ＝CO∴△AEO ≌△CFO （AAS ）∴AE ＝CF ，且AE ∥CF∴四边形AFCE 是平行四边形，且AC ⊥EF∴四边形AFCE 是菱形；（2）如图，作点F 关于CD 的对称点H ，连接EH ，交CD 于点P ，此时△EFP 的周长最小，∵四边形AFCE 是菱形∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∵AF 2＝BF 2+AB 2，∴AF 2＝（4﹣AF ）2+4，∴AF =52∴AE =52=CF∴DE =32∵点F ，点H 关于CD 对称∴CF ＝CH =52∵AD ∥BC∴DP CP =DE CH =35 （3）如图，延长EF ，延长AB 交于点N ，过点E 作EH ⊥BC 于H ，交BP 于点G ，过点B 作BO ⊥FN 于点O ，由（2）可知，AE ＝CF =52，BF ＝DE =32∵EH ⊥BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°∴四边形ABHE 是矩形∴AB ＝EH ＝2，BH ＝AE =52∴FH ＝1∴EF =√EH2+FH 2=√5， ∵AD ∥BC∴△BFN ∽△AEN∴BN AN =BF AE =FN EN ∴BN BN+2=35=NF+√5∴BN ＝3，NF =3√52∴AN ＝5，NE =5√52∵∠N ＝∠N ，∠BON ＝∠A ＝90°∴△NBO ∽△NEA∴BN EN=BO AE =NO AN ∴5√52=BO 52=NO 5∴BO =3√55，NO =6√55∵∠EMP ＝∠BMO ＝45°，BO ⊥EN∴∠OBM ＝∠BMO ＝45° ∴BO ＝MO =3√55∴ME ＝EN ﹣NO ﹣MO =7√510 ∵AB ∥EH ∴△BNM ∽△GEM∴BNEG =NM EM ∴3EG =9√557√510 ∴EG =76∴GH ＝EH ﹣EG =56∵EH ∥CD∴△BGH ∽△BPC∴GH PC =BH BC ∴56PC =524 ∴CP =4328．（13分）定义：若实数x ，y 满足x 2＝2y +t ，y 2＝2x +t ，且x ≠y ，t 为常数，则称点M （x ，y ）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点P （m ，n ）．（1）P 1（3，1）和P 2（﹣3，1）两点中，点 P 2 是“线点”；（2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn ，并求t 的取值范围；（3）若点Q （n ，m ）是“线点”，直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，当|∠POQ ﹣∠AOB |＝30°时，直接写出t 的值．【解答】解：（1）∵当M 点（x ，y ），若x ，y 满足x 2﹣2y ＝t ，y 2﹣2x ＝t 且x ≠y ，t 为常数，则称点M 为“线点”，又∵P 1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，∴点P 1不是线点；∵P 2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，∴点P 2是线点，故答案为：P 2；（2）∵点P （m ，n ）为“线点”，则m 2﹣2n ＝t ，n 2﹣2m ＝t ，∴m 2﹣2n ﹣n 2+2m ＝0，m 2﹣2n +n 2﹣2m ＝2t ，∴（m ﹣n ）（m +n +2）＝0，∵m ≠n ，∴m +n +2＝0，∴m +n ＝﹣2，∵m 2﹣2n +n 2﹣2m ＝2t ，∴（m +n ）2﹣2mn ﹣2（m +n ）＝2t ，即：（﹣2）2﹣2mn +2×2＝2t ，∴mn ＝4﹣t ，∵m ≠n ，∴（m ﹣n ）2＞0，∴m 2﹣2mn +n 2＞0，∴（m +n ）2﹣4mn ＞0，∴（﹣2）2﹣4mn ＞0，∴mn ＜1，∵mn ＝4﹣t ，∴t ＞3；（3）设PQ 直线的解析式为：y ＝kx +b ，则{n =mk +b m =nk +b， 解得：k ＝﹣1，∵直线PQ 分别交x 轴，y 轴于点A 、B ，∴∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∵|∠AOB ﹣∠POQ |＝30°，∴∠POQ ＝120°或60°，∵P （m ，n ），Q （n ，m ），∴P 、Q 两点关于y ＝x 对称，①若∠POQ ＝120°时，如图1所示：作PC ⊥x 轴于C ，QD ⊥y 轴于D ，作直线MN ⊥AB ．∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON=12∠POQ＝60°，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AON＝BON＝45°，∴∠POC＝∠QOD＝15°，在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，∴∠CTP＝30°，∴PT＝2PC＝2n，TC=√3n，∴﹣m=√3n+2n，由（2）知，m+n＝﹣2，解得：m＝﹣1−√3，n=√3−1，由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，∴（﹣1−√3）（﹣1+√3）＝4﹣t，解得：t＝6，②若∠POQ＝60°时，如图2所示，作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．∵P 、Q 两点关于y ＝x 对称，∴∠PON ＝∠QON =12∠POQ ＝30°，∵△AOB 是等腰直角三角形，∴∠AON ＝BON ＝45°，∴∠POD ＝∠QOC ＝15°，在OD 上截取OT ＝PT ，则∠TPO ＝∠TOP ＝15°， ∴∠DTP ＝30°，∴PT ＝2PD ＝﹣2n ，TD =−√3n ，∴﹣m =−√3n ﹣2n ，由（2）知，m +n ＝﹣2，解得m ＝﹣1−√33，n ＝﹣1+√33，由（2）知：mn ＝4﹣t ，t ＞3，∴（﹣1−√33）（﹣1+√33）＝4﹣t ，解得：t =103，综上所述，t 的值为：6或103．。
江苏省南通市2019年中考数学试题
【点睛】 本题考查的是几何综合题，涉及了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理， 一次函数的应用等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
第 II 卷（非选择题)
评卷人 得分
∴C′E=B′C′-B′E=2 3 -x，
∴y= 1 CE
AH
1
=
×(2
2
2
3
-x)×1=
1 2
x
3，
观察只有 B 选项的图象符合题意，
故选 B.
试卷第 7页，总 21页
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
B、∵|-1|=1，|-2|=2，∴-1>-2，故 B 选项不符合题意；
C、-2<0，故 C 选项不符合题意；
D、1>-2，故 D 选项不符合题意，
故选 A.
【点睛】
本题考查了有理数的大小比较，正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负
数，绝对值大的反而小.
2．化简 澠的结果是（ ）
A．4
x2 8x 9 0，
x2 8x 9 ，
x2 8x 42 9 42 ，
所以 x 42 7 ，
故选 D. 【点睛】
试卷第 3页，总 21页
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2019年江苏省南通市中考数学试卷-学生版+解析版
象，其中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是 ( )
A． 25min ~ 50min ，王阿姨步行的路程为 800m B．线段 CD 的函数解析式为 s 32t 400(25t50) C． 5min ~ 20min ，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段 AB 的函数解析式为 s 3(t 20)2 1200(5t20) 10 ． （ 3 分 ） 如 图 ， ABC 中 ， AB AC 2 ， B 30 ， ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 (0 120) 得到△ ABC ，BC 与 BC ，AC 分别交于点 D ，E ．设 CD DE x ，AEC 的面积为 y ，则 y 与 x 的函数图象大致 ( )
A．
B．
-2-
C．
D．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．）
11．（3 分）计算： 22 ( 3 1)0
．
12．（3 分） 5G 信号的传播速度为 300 000 000m / s ，将 300 000 000 用科学记数法表示
为
．
13．（3 分）分解因式： x3 x
24．（10 分）8 年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制 了如下图表（得分为整数，满分为 10 分，成绩大于或等于 6 分为合格，成绩大于或等于 9 分为优秀）．
平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率
一班 7.2 2.11
7
6 92.5% 20%
二班 6.85 4.28
．
14．（3 分）如图，ABC 中，AB BC ，ABC 90 ，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC
2019年江苏省南通市中考数学试卷-答案
江苏省南通市2019年中考数学试卷答案解析 一、选择题1.【答案】A【解析】两个负数，绝对值大的反而小，因此3-比2-小，故选A .【考点】有理数的大小比较2.【答案】BB .【考点】二次根式的化简3.【答案】D【解析】A 项正确结果应该是5a ；B 项不是同类项，不能合并；C 项同底数幂除法，底数不变，指数相减，正确答案应该是4a ；D 项正确运用了幂的乘方公式，正确.故选D .【考点】幂的运算法则4.【答案】C【解析】球的三种视图都是圆；圆锥的三视图中有两个是三角形，一个是圆，不符合；棱柱的三视图中没有圆，也不正确，故选C .【考点】几何体的三视图5.【答案】A【解析】直接将两个方程相加，可得5510a b +=，化简得65a +=，故选A .【考点】二元一次方程组6.【答案】D【解析】首先要移项，得289x x +=-，然后两边同时加上一次项系数一半的平方16，得28167x x ++=，然后将左边化为平方的形式，故选D . 【考点】配方法解一元二次方程7.【答案】C【解析】由作法过程可知，2,3OA AB ==，利用勾股定理可得OB P ，C .【考点】勾股定理和无理数的估值8.【答案】B【解析】由AB CD ∥，可知180BAC C ∠+∠=︒，所以110BAC ∠=︒，又由于AE 平分BAC ∠，所以55CAE ∠=︒，所以125AED C CAE ∠=∠+∠=︒.【考点】平行线的性质和角平分线的性质9.【答案】C【解析】C 项的图像由陡变平，说明速度是由快变慢的，故选C .【考点】函数图像的应用问题10.【答案】B【解析】从轴对称的角度，整个图形是一个轴对称图形，CD B D '=，因此B E x '=，又由已知条件可求得B C ''=，所以C E x '=，对于AC E '△来说，底为CE ，高是AH ，可利用30︒所对直角边等于斜边一半求得等于1，所以12y x =，故选B . 【考点】几何综合题，全等和函数的知识，轴对称的知识二.填空题11.【答案】3【解析】2021)413-=-=.故答案为：3.【考点】实数的计算12.【答案】8310⨯【解析】8300 000 0003100000000310=⨯=⨯，故答案为：8310⨯.【考点】科学记数法13.【答案】(1)(1)x x x +-【解析】先提取公因式，再利用平方差公式的顺序，()32(1)(11)x x x x x x x -==--+.故答案为：(1)(1)x x x +-.【考点】因式分解14.【答案】70【解析】先利用HL 证明ABE CBF △≌△，可证25BCF BAE ∠=∠=︒，再由AB BC =，90ABC ∠=︒，得出45BCA ∠=︒，即可求出704525BCA +∠︒==︒︒.故答案为：70.【考点】全等的判定15.【答案】911616x x -=+【解析】总钱数=9⨯人数-11；总钱数=6⨯人数+16.故答案为：9 11 6 16x x -=+.【考点】一元一次方程的应用16.【答案】5【解析】根据πS Rr =侧，可知10ππ2R =⨯⨯，可求得5R =.故答案为：5.【考点】圆锥侧面积公式17.【答案】4【解析】分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N .将(3,4)C 代入2y x b =+，可得2b =-，然后求得A 点坐标为(1,0)，利用全等的判定可证明ABN BCM △≌△，可得3AN BM ==，1CM BN ==，可求出B(4,1)，即可求出4k =，A 点向上平移4个单位后得到的点(1,4)在4y x=，即4a =. 故答案为：4.（第17题）【考点】反比例函数与几何图形的综合18.【答案】【解析】过点P 作PQ AD ⊥于Q ，由于60PDQ ∠=︒，因此PQ =，当B 、P 、Q 三点共线时，即点B 到AD 的垂线段长即为PB +的最小值，PB +的最小值为sin60AB ⨯︒=，故答案为：（第18题）【考点】平行四边形的性质和线段之和最短三、解答题19.【答案】解：两边同乘以3，得4133x x --＞.移项，得4331x x -+＞.合并同类项，得4x ＞.把解集在数轴上表示为：【解析】先将分子、分母因式分解，然后约分化简，最后代入求值.【考点】一元一次不等式的解法20.【答案】2-【解析】原式22442m m m m m ++=+g 22(2)2m m m m +=+g 22m m =+，把2m =代入上式，原式22m m =+(2)m m =+=-2=-故答案为：2-【考点】分式的化简求值21.【答案】证明：在ABC △和DEC △中，CA CD ACB DCE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC DEC ∴△≌△，AB DE =∴.【解析】证明ABC △与DEC △全等，即可通过全等三角形对边相等完成证明.【考点】全等的应用22.【答案】31(11)62P ==白黄 【解析】解：根据题意画出树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等.其中1白1黄的有3种.所以31(11)62P ==白黄. 【考点】概率的求法23.【答案】解：设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为(40)x +元. 由题意，得32002400240x x =+g . 方程两边乘(40)x x +，得3200(40)4800 x x +=.解得：80x =.经检验，80x =是原方程的解，且符合题意.所以，原分式方程的解为80x =.答：每套《三国演义》的价格为80元.【解析】题目中包含两个相等关系，“《西游记》单价=《三国演义》单价+40元”，“3 200元购买《三国演义》的套数=用2 400元购买《西游记》套数的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程.【考点】分式方程的应用24.【答案】(1)二 一(2)乙同学的推断比较科学合理.理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些.(答案不唯一，理由只要有理有据即可)【解析】(1)方差越小，成绩越稳定；(2)由于二班的成绩中出现了3个1分，这属于极端分数，影响了二班的平均分，因此本题利用平均分来比较两班成绩是不合适的.【考点】数据的收集，整理与描述25.【答案】解：(1)连接OB ，OA OB =∵，30ABO A ∠=∠=︒∴.90ACB ∠=︒∵，30A ∠=︒，60ABC ∠=︒∴.30OBC ∠=︒∴.在Rt OBC △中，cos BC OBC OB ∠=，即1cos30OB︒=.解得OB ，即O ⊙的半径为OB =. (2)连接OP .∵点P 为劣弧AB 的中点，∴OP AB ⊥.30QPO A ∠=∠=︒∴.在Rt OQP △中，cos PQ QPO OP ∠=，sin OQ QPO OP ∠=，即cos30︒=sin30︒.1PQ ==∴，12OQ ==g (3)在Rt OBC △中，OC =CQ ∴.tan PQ PCA CQ ∠==∴. 【解析】(1)若连接OB .则BCO △是一个含30︒角的直角三角形，AOB △是底角为30︒的等腰三角形，可分别在这两个三角形中求出OC 和OA ；(2)可先求出30OPQ ∠=︒，所以OPQ △是一个含30︒角的直角三角形，且斜边长为半径长；(3)可在Rt PCQ △中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan PCA ∠的值.【考点】圆，特殊三角函数值解直角三角形，垂径定理26.【答案】(1)①图像开口向上；②图像的对称轴为直线2x =；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小；⑤当x =2时，函数有最小值.(2)∵二次函数的图像与一次函数21y x =-的图像有两个交点，243221x x a x -++=-∴，即26330x x a -++=.364(33)12240a a ∆=-+=-+＞，解得2a ＜.∵二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数 2 1y x =-的图像有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图像与x 轴4x ≤的部分有两个交点.结合图像，可知4x =时，26330x x a -++≥.∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥. ∴当二次函数的图像在4x ≤的部分与一次函数 2 1y x =-的图像有两个交点时，a 的取值范围为523a ≤＜.【解析】(1)可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度来研究；(2)逐将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横坐标为4的点，二是抛物线与直线有一个交点.【考点】二次函数的性质27.【答案】解：(1)连接AC ，交EF 于点O .由对称可知：OA OC =，AC EF ⊥.∴AE CE =，AF CF =.∵四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥.∴OAE OCF ∠=∠，OEA OFC ∠=∠.OAE OCF ∴△≌△.∴AE CF =.AE CE CF AF ===∴.∴四边形AFCE 是菱形.(2)∵PEF △的周长PE PF EF =++，又∵EF 长为定值，∴PEF △的周长最小时，即PE PF +最小.作E 关于直线CD 的对称点E '，连接FE '交DC 于点P '，则PE PF PE PF E F ''+=+≥，因此，当点P 与点P '重合时，PEF △的周长最小.2,4,AB AD AC OC ====∵∴∴由COF CBA △∽△，得52OC CF CF BC CA ==.∴. 由画图可知：32DE DE '==. 由DE P CFP '△∽△，得332552DP DE CP CF '===. (3)设BP 交AC 于点Q ，作BN AC ⊥于点N .45EMP ∠=︒∵，OM OQ =∴，NQ BN =.由AB BC AC BN =g g，得24BN ⨯=g .BN NQ =∴. 在Rt ABN △中，AN ==AQ AN NQ CQ AC AQ '∴=+=-=g由 AB CP ∥，得ABQ CPQ △∽△，得AB AQ CP CQ=. 即254PC =.解得43PC =. 【解析】(1)利用垂直乎分线的性质证明AE CE =，AF CF =，然后再利用对称的性质和平行的性质，证得AE CF =，即可证得四条边都相等；(2)PEF △中，EF 长是定值，因此本题考查的实际上是PE PF +的最小值，我们作E 关于CD 的对称点E '，连接E F '，此时E F '最小；(3)利用45︒构造等腰直角三角形，设BP 交AC 于点Q ，作BN AC ⊥于点N .这时BQN △为等腰直角三角形，ABN △与ABC △相似，先在Rt ABN △中求出BN 和AN 的长，然后求出AQ ，CQ 的长，再根据BAQ △与PCQ △相似，求出PC 的长.【考点】几何综合题28.【答案】解：(1)由线点定义：222,2x y t y x t =+=+，消去t ，可得，()(2)0x y x y -++=，由于x y ≠，可得20x y ++=，将1P 、2P 坐标代入表达式，易知2P 为线点.(2)(,)P m n ∵是“线点”，22m n t =+∴，22n m t =+.222()m n n m -=-∴，222()2m n n m t =+++.m n ≠∵，2m n +=-∴.2()22()2m n mn n m t +-=++∴.4242mn t -=-+∴.4mn t =-+∴.m n ≠∵，2()0m n -∴＞，即2()40m n mn +-＞.30t -∴＞.解得3t ＞.∴t 的取值范围为3t ＞.(3)103t =或6.理由如下： (,)Q m n ∵为“线点”20n m ++=∴，∴Q 是直线2y x =--上一点又∵P 为(,)m n ，即P 也满足2y x =--∴PQ 所在直线方程为2y x =--(2,0)A -∴，(0,2)B -，90AOB ∠=︒又||30POQ AOB ∠-∠=︒∵120POQ ∠=︒∴或60POQ ∠=︒当120POQ ∠=︒，即点P 、Q 分别在二、四象限内，过O 作OC PQ ⊥，如图1，2OA =∵，2OB =，OC =∴又120POQ ∠=︒∵，OP OQ =OP =∴228m n +=由(2)可知：222()2m n m n t +=++且2m n +=-82(2)2t =⨯-+∴，解得：6t =.当60POQ ∠=︒，即点P 、Q 都在第三象限内，过O 作OC PQ ⊥，如图2.2OA =∵，2OB =，OC =∴又∵60POQ ∠=︒，OP OQ =3OP =∴，即2283m n += 由(2)可知：222()2m n m n t +=++，且2m n +=-82(2)23t =⨯-+∴，解得：103t =. 综上可得：t 的值为6或103. 【解析】(1)由“222,2x y t y x t =+=+”消去t ，可得，()(2)0x y x y -++=，由于x y ≠，可得20x y ++=， 即当一个点的横纵坐标之和为2-的时候，这个点就是线点.利用这一结论很容易判断2P 是线点；(2)利用完全平方公式的变形，可用含t 的代数式表示mn ，然后再利用完全平方公式的非负性求出t 的取值范围；(3)如果(,)Q n m 是“线点”，那么2m n +=-，即Q 是直线2y x =--上一点，又由于(,)P m h ，所以P 也满足2y x =--，所以直线PQ 的解析式为2y x =--.又由于||30POQ AOB ∠-∠=︒，且90AOB ∠=︒，所以120POQ ∠=︒或60POQ ∠=︒.当120POQ ∠=︒，可求得228m n +=；当60POQ ∠=︒时可求得2283m n +=号，代入之前的定义即可求出t 的值.【考点】利用完全平方公式进行的新定义，等腰三角形性质，勾股定理。
2019年中考数学测试卷(含答案)
南通市2019年中考数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在0,2,1,2--这四个数中，最小的数为（ ） A ．0 B ．2 C ．1- D ．2-2.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学计数法表示为（ ）A ．51.810⨯B ．41.810⨯C ．60.1810⨯D ．41810⨯ 3. 下列计算，正确的是（ ）A ．2a a a -=B ．236a a a =C ．933a a a ÷=D ．()236aa =4. 如图是由4的大小相同的正方形组合而成的几何体，其左视图是（ ）5. 平面直角坐标系中，点(1,2)P -关于x 轴的对称的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(1,2)-- C ．(1,2)- D ．(2,1)-6. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．12π D ．16π7. 一组数据：1,2,2,3，若添加一个数据2，在发生变化的统计量是（ ） A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差8. 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量()y L 与事件(min)x 之间的关系如图所示，则每分钟的出水量是（ ） A ．5L B ．3.75L C ．2.5L D ．1.25L 9. 已知AOB ∠,作图步骤1：在OB 上任取一点M ，以点M 为圆心，MO 长为半径画半圆，分别交,OA OB 于点,P Q ；步骤2：过点M 作PQ 的垂线交»PQ于点C ； 步骤3：画射线OC .则下列判断：①»»PCCQ =；②//MC OA ；③OP PQ =；④OC 平分AOB ∠，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410. 如图，矩形ABCD 中，10,5AB BC ==,点,,,E F G H 分别在矩形ABCD 各边上，且,AE CG BF DH ==，则四边形EFGH 周长的最小值为（ ） A ．55 B ．105 C ．103 D ．153第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题8分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.2x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ． 12.如图，DE 是ABC ∆的中位线，若8BC =，则DE = ．13.四边形ABCD 内接于圆，若110A ∠=o ，则C ∠= 度.14.若关于x 的方程260x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为 ． 15.如图，AOB ∆将绕点O 按逆时针方向旋转045后得到COD ∆，若015AOB ∠=， 则AOD ∠= 度.16.甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间与乙作40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 ．17.已知x m =时，多项式222x x n ++的值为1-，则x m =-时，该多项式的值为 ．18.如图，四边形OABC 是平行四边形，点C 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点(5,12)A ，且与边BC 交于点D ，若AB BD =，则点D 的坐标为 ．三、解答题 （本大题共10小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. （1）计算2014(2)9()2---+-；（2）解不等式组321213x xxx-≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩20. 先化简，再求值：524(2)23mmm m-+-⋅--，其中12m=-.21.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后所得数据绘制成如下不完整的统计图表：请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）a=；b=；（2）将频率分布直方图补充完整；（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不小于50min？22. 不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机1个球，求两次均摸到红球的概率.21.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为045，看这栋楼底部C的俯角β为060，热气球与楼的水平为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）.24.如图，Rt ABC ∆中，090,3C BC ∠==,点O 在AB 上，2OB =，以OB 为半径的O e 与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，求弦BE 的长.25.某学习小组在研究函数的图象与性质时，已知表、描点并画出了图象的一部分.x L 4- 3.5- 3- 2- 1- 0 12 3 3.5 4Ly L 83- 748- 32 83116116-83- 32- 748 83L （1）请补全函数图象； （2）方程31226x x -=-实数根的个数为 （3）观察图象，写出该函数的两条性质.26.如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，PQ 垂直平分BE ，分别交,,AD BE BC 于点,,P O Q ， 连接,BP EQ .（1）求证：四边形BPEQ 是菱形；（2）若6,AB F =为AB 的中点，9OF OB +=，求PQ 的长.27.我们知道，三角形的内心是三条角平分线的焦点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两焦点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”. （1）等边三角形“内似线”的条数为（2）如图，ABC ∆中，AB AC =,点D 在AC 上，且BD BC AD ==，求证：BD 是ABC ∆的“内似线”；（3）在Rt ABC ∆中，090,4,3,,C AC BC E F ∠===分别在边,AC BC 上，且EF 是ABC ∆的“内似线”，求EF 的长.28.已知直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax a =>相交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D .（1）若060,//AOB AB x ∠=轴，2AB =，求a 的值；（2）若090AOB ∠=，点A 的横坐标为4,4AC BC -=，求点B 的坐标； （3）延长,AD BO 相交于点E ，求证：DE CO = .。
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南通市2019年初中毕业、升学考试试卷数 学注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项1. 本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡指定的位置。
3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列选项中，比—2℃低的温度是（ ）A ．—3℃B ．—1℃C ．0℃D ．1℃ 2．化简12的结果是（ ）A ．34B ．32C ．23D ．62 3．下列计算，正确的是（ ）A ．632a a a =•B ．a a a =-22C ．326a a a =÷D ．632a a =）（ 4．如图是一个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．球B ．圆锥C ．圆柱D ．棱柱5．已知a 、b 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,632,423b a b a 则a+b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．—2D ．—4 6．用配方法解方程0982=++x x ，变形后的结果正确的是（ ）A ．()942-=+x B ．()742-=+x C ．()2542=+x D ．()742=+x7．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB=3（如图）．以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ，则点P 所表示的数介于（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 8．如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=70°，则∠AED 读数为（ ） A ．110° B ．125° C ．135° D ．140°9．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s （单位：m ）与时间t （单位：min ）的函数图像，其中曲线段AB 是以B 为顶点的抛物线一部分。
下列说法不正确的是（ ） A ．25min~50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为）（502540032≤≤+=t t sC ．5min~20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为）（）（20512002032≤≤+--=t t s10．如图，△ABC 中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC 绕点A 逆时针旋转α（0<α<120°）得到''C AB ∆，''C B 与BC ，AC 分别交于点D ，E 。
设x DE CD =+，'AEC ∆的面积为y ，则y 与x 的函数图像大致为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程）11．计算：=--2132）（ ． 12．5G 信号的传播速度为300000000m/s ，将300000000用科学记数法表示为 ． 13．分解因式：=-x x 3．14．如图，△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，若∠BAE=25°，则∠ACF= 度．15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x 个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．16．已知圆锥的底面半径为2cm ，侧面积为10πcm 2，则该圆锥的母线长为 cm ．17．如图，过点C （3,4）的直线b x y +=2交x 轴于点A ，∠ABC=90°，AB=CB ，曲线）（0>=x xky 过点B ，将点A 沿y 轴正方向平移a 个单位长度恰好落在该曲线上，则a 的值为 ． 18中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P 为边CD 上的一动点，则PD PB 23+的最小值等于 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）解不等式：1314>--x x ，并在数轴上表示解集． 20．（本小题满分8分）先化简，再求值：2244mm m m m +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++，其中22-=m ． 21．（本小题满分8分）如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B ．连接AC 并延长到点D ，使CD=CA ．连接BC 并延长到点E ，使CE=CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？22．（本小题满分9分）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个黄球的概率．23．（本小题满分8分）列方程解应用题：中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为传承优秀传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格．24．（本小题满分10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．平均分方差中位数众数合格率优秀率一班7.2 2.11 7 6 92.5% 20%二班 6.85 4.28 8 8 85% 10%根据图表信息，回答问题：（1）用方差推断，班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断，班的阅读水平更好些；（2）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些．你认为谁的推断比较科学合理，更客观些．为什么？25．（本小题满分9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为⌒AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．26．（本小题满分10分）已知：二次函数为常数）（a a x x y 2342++-=．（1）请写出该二次函数图像的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图像在4≤x 的部分与一次函数12-=x y 的图像有两个交点，求a 的取值范围．27、（13分）如图，矩形ABCD 中，AB=2,AD=4,E,FF 分别在AD,BC 上，点A 与点C 关于EF 所在的直线对称，P 是边DC 上的一动点，（1）连接AF ，CE ，求证四边形AFCE 是菱形； （2）当PEF ∆的周长最小时，求CPDP的值； （3）连接BP 交EF 于点M ，当︒=∠45EMP 时，求CP 的长。
28、（13分）定义：若实数x ，y 满足t y 2x 2+=，t x 2y 2+=，且y x ≠，则称点M （x ，y ）为“现点”。
例如，点（0,2）和（-2,0）是“线点”。
已知：在直角坐标系xOy 中，点P （m ，n ），（1））（1,31P 和）（1,3-2P 两点中，点 是“线点”； （2）若点P 是“线点”，用含t 的代数式表示mn ，并求t 的取值范围；（3）若点Q （n ，m ）是“线点”，直线PQ 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，当︒=∠-∠30AOB POQ 时，直接写出t 的值。
南通市2019年初中毕业、升学考试试卷数学参考答案1．A 解析：本题考查了有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，因此—3比—2小． 2．B 解析：本题考查了二次根式的化简，323412=⨯=．3．D 解析：本题考查了幂的运算法则，A 项正确结果应该是5a ；B 项不是同类项，不能合并；C 项同底数幂相除，底数不变，指数相减，正确答案应该是4a ；D 项正确运用了幂的乘方公式，正确．4．C 解析：本题考查了常见几何体的三视图，球的三种视图都是圆；圆锥的三视图中有两个是三角形，一个是圆，不符合；棱柱的三视图中没有圆，也不正确．5．A 解析：直接将两个方程相加，可得1055=+b a ，化简得5=+b a ．6．D 解析：本题考查了配方法解一元二次方程，本题首先要移项，得982-=+x x ，然后两边同时加上一次项系数一半的平方是16，得71682=++x x ，然后将左边化为平方的形式．7．C 解析：本题考查了勾股定理和无理数的估值，由作法过程可知，OA=2，AB=3，利用勾股定理可得OB=13，则P 点所表示的数就是13，16139<<．8．B 解析：本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，由AB ∥CD ，可知∠BAC+∠C=180°，所以∠CAB=110°．又由于AE 平分∠BAC ，所以∠CAE=55°，所以∠AED=∠C+∠CAE=125°．9．C 解析：本题考查了函数图像的应用问题，C 项的图像由陡变平，说明速度是变慢的，所以C 是错误的．10．B 解析：本题考查的是几何综合题，用到全等和函数的知识，也可以用轴对称的知识来解决，从轴对称的角度，整个图形是一个轴对称图形，D B CD '=，因此x E B ='，又由已知条件可求得32'=C B ，所以x E C -=32'，对于E AC '∆来说，底为E C '，高是AH ，可利用30°所对直角边等于斜边一半求得AH 等于1，所以x y 213-=，所以本题答案为B ．11．3 解析：本题考查了实数的计算，31413202=-=--）（． 12．8103⨯ 解析：本题考查了科学计数法，300000000=1000000003⨯=8103⨯．13．)1)(1(-+x x x 解析：本题考查了分解因式，遵循先提取公因式，再利用平方差公式的顺序，)1)(1()1(23-+=-=-x x x x x x x ．14．70 解析：本题考查了全等的判定，先利用HL 证明△ABE ≌△CBF ，可证∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°．15．166119+=-x x 解析：本题考查了一元一次方程的应用，总钱数=9×人数—11；总钱数=6×人数+16．16．5 解析：本题考查了圆锥侧面积公式，根据Rr S π侧=，可知210⨯⨯=R ππ，可求得R=5． 17．4 解析：本题考查了反比例函数与几何图形的综合，可考虑分别过点B 、点C 作y 轴和x 轴的平行b x y +=2可线，两条平行线相交于点M ，与x 轴的交点为N ．将C （3,4）代入得b=—2，然后求得A 点坐标为（1,0），利用全等的判定可证明△ABN ≌△BCM ，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B （4,1），即可求出k=4，A 点向上平移4个单位后得到的点（1,4）在xy 4=上，即a=4． 18．33 解析：本题考查了平行四边形的性质和线段之和最短问题，过点P 作PQ ⊥AD 于点Q ，由于∠PDQ=60°，因此PD PQ 23=，当B 、P 、Q 三点共线时，即点B 到AD 的垂线段上即为PD PB 23+的最小值，PD PB 23+的最小值为3360cos =︒⨯AB ．19．解析：本题考查了一元一次不等式的解法，按照去父母、去括号、合并同类项的步骤做即可． 解：两边同乘以3，得3314>--x x ．移项，得1334+>-x x ．合并同类项，得4>x ．把解集在数轴上表示为：20．解析：本题考查分式的化简求值，按照先将分子、父母因式分解，然后约分化简，最后代入求值的步骤来做．解：原式m m m m m m m m m m m 22)2(24422222+=+•+=+•++=．把22-=m 代入上式，原式2222)22()2(22-=-=+=+=m m m m ．21．解析：本题考查了全等的应用，本题只需证明△ABC 与△DEC 全等，即可通过全等三角形对边相等来完成证明．证明：在△ABC 和△DEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CE CB DCE ACB CD CA ∴△ABC ≌△DEC ．∴AB=DE ．22．解析：本题考查了概率的求法，可先画出树状图列出所有可能性． 解：根据题意画出树状图：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有6种，这些结果出现的可能性相等．其中1白1黄的有3种．所以2163)11(==黄白P ． 23．解析：本题考查了分式方程的应用问题，题目中包含两个相等关系，“《西游记》单价=《三国演义》单价+40元”，“3200元购买《三国演义》的套数=用2400元购买《西游记》套数的2倍”，利用第一个相等关系设出未知数，第二个相等关系列出方程．解：设每套《三国演义》的价格为x 元，则每套《西游记》的价格为()40+x 元． 由题意，得40240023200+•=x x ．方程两边乘)40(+x x ，得x x 4800403200=+）（．解得80=x ．经检验，80=x 是原方程的解，且符合题意．所以，原分式方程的解为80=x ． 答：每套《三国演义》的价格为80元．24．解析：本题考查了数据的收集整理与描述，在解决第2个问题的时候一定要注意． 解：（1）二 一（2）乙同学的推断比较科学合理．理由：虽然二班成绩的平均分比一班低，但从条形图中可以看出，二班有3名学生的成绩是1分，它在该组数据中是一个极端值，平均数受极端值影响较大，而中位数或众数不易受极端值的影响，所以，乙同学的推断更客观些．（答案不唯一，理由只要有理有据，参照给分） 25．解析：本题考查了圆、勾股定理、垂径定理等知识．（1）若连接OB ．则△BCO 是一个含30°角的直角三角形，△AOB 是底角为30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB ；（2）可先证明△POQ 与△ABC 相似，所以Rt △AOC 是一个含30°角的直角三角形，且斜边长为半径长，也可用同角三角函数值相同来求；（3）可在Rt △PCQ 中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan ∠PCA 的值．解：（1）连接OB ，∵OA=OB ，∴∠ABO=∠A=30°． ∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°∴∠OBC=30°． 在Rt △OBC 中，OB BC OBC =∠cos ，即OB130cos =︒．解得332=OB ．即⊙O 的半径为332． （2）连接OP ．∵点P 为⌒AB 的中点，∴OP ⊥AB ．∴∠QPO=∠A=30°． 在Rt △OPQ 中，OP PQ QPO =∠cos ，OPOQQPO =∠sin ， 即33230cos PQ =︒，33230sin OQ=︒． ∴123332=•=PQ ，3321332=•=OQ ． （3）在Rt △OBC 中，33=OC ，∴332=CQ ．∴23tan ==∠CQ PQ PCA ． 26．解析：本题考查了二次函数的性质，（1）可从开口方向、对称轴、开口大小这些角度来研究；（2）逐一将限制条件转化为不等式，有两个极限位置，一是直线经过抛物线上横坐标为4的点，而是抛物线与直线有一个交点．解：（1）①图像开口向上；②图像的对称轴为直线2=x ；③当2>x 时，y 随x 的增大而增大；④当2<x 时，y 随x 的增大而减小；⑤当2=x 时，函数有最小值． （2）∵二次函数的图像与一次函数12-=x y 的图像有两个交点， ∴122342-=++-x a x x ，即03362=++-a x x ．02412)33(436>+-=+-=∆a a ，解得2<a ．∵二次函数的图像在4≤x 的部分与一次函数12-=x y 的图像有两个交点， ∴二次函数3362++-=a x x ω的图像与x 轴4≤x 的部分有两个交点． 结合图像，可知4=x 时，03362≥++-a x x ．∴当4=x 时，0533362≥-=++-a a x x ，得35≥a ． ∴当二次函数的图像在4≤x 的部分与一次函数12-=x y 的图像有两个交点时，a 的取值范围为235<≤a ． 27．解析：本题考查了几何综合题．（1）利用垂直平分线的性质证明AE=CE ，AF=CF ，然后再利用对称的性质和平行的性质，证得AE=AF ，即可证得四条边都相等；（2）△PEF 中，EF 长是定值，因此本题考查的实际上是PE+PF 的最小值，我们作E 关于CD 的对称点为'E ，此时F E '最小；（3）利用45°构造等腰直角三角形，设BP 交AC 于点Q ，作BN ⊥AC 于点N ．这时△BQN 为等腰直角三角形，△ABN 与△ABC 相似，先在Rt △ABN 中求出BN 和AN 的长，然后求出AQ 、CQ 的长，再根据△BAQ 与△PCQ 相似，求出PC 的长．解：（1）连接AC ，交EF 于点O ．由对称可知：OA=OC ，AC ⊥EF ．∴AF=CF ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠OAE=∠OCF ，∠OEA=∠OFC ．∴△OAE ≌△OCF ．∴AE=CF ．∴四边形AFCE 是平行四边形．∴平行四边形AFCE 是菱形．（2）∵△PEF 的周长=PE+PF+EF ，又EF 长为定值，∴△PEF 的周长最小时，即PE+PF 最小．作E 关于直线CD 的对称点'E ，连接'FE 交DC 于点'P ，则F E PF PE PF PE ''≥+=+，因此，当点P 与点'P 彼此重合时，△PEF 的周长最小．∵AB=2，AD=4，∴52=AC ．∴5=OC ．由△COF ∽△CBA ，得CA CF BC OC =．∴25=CF ． ∴23254=-==BF DE ． 由画图可知：23'==DE DE ．由CFP P DE ∽△△'，得532523'===CF DE CP DP ． （3）设BP 交AC 于点Q ，作BN ⊥AC 于点N ．∵∠EMP=45°，∴OM=OQ ，NQ=BN ．由BN AC BC AB •=•，得BN 5242=⨯． ∴554==BN NQ ． 在Rt △ABN 中，55255422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=BN AB AN ． ∴556=+=NQ AN AQ ．554=-=AQ AC CQ ． 由AB ∥CP ，得△ABQ ∽△CPQ ，得CQ AQ CP AB =．即5545562=PC ．解得34=PC ． 28．解析：本题考查的是利用完全平方公式进行的新定义；（1）由“t y x +=22，t x y +=22”消去t ，可得，0)2)((=++-y x y x ，由于y x ≠，可得02=++y x ，即当一个点的横纵坐标之和为—2的时候，这个点就是线点．利用这一结论很容易判断2P 是线点；（2）利用完全平方公式的变形，可用含t 的代数式表示mn ，然后再利用完全平方公式的非负性求出t 的取值范围；（3）如果),(m n Q 是“线点”那么2-=+n m ，即Q 是直线2--=x y 上一点，又由于P 、Q 的横纵坐标互换了位置，因此∠POB=15°（点P 在第四象限）或∠POA=15°（点P 在第二象限），这就可以求出P 点坐标，代入之前的定义即可求出t 的值．解：（1）2P ；（2）∵),(n m P 是“线点”，∴t n m +=22，t m n +=22． ∴）（m n n m -=-222，t m n n m 2222++=+）（．∵n m ≠，∴2-=+n m ． ∴t m n mn n m 2222++=-+）（）（．∴t mn 2424+-=-．∴4+-=t mn ． ∵n m ≠，∴02>-）（n m ．即042>-+mn n m ）（．∴03>-t ．解得3>t ． ∴t 的取值范围为3>t ．（3）310=t 或6．。