第一轮复习自己整理绝对经典导数第一轮
导数题型分类解析(2016版)一．导数的概念1.导数的概念：函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =，即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f ’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-2．导数的意义：①物理意义：瞬时速率，变化率②几何意义：切线斜率000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-③代数意义：函数增减速率例3：【2015高考北京】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升例4：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫⎝⎛4πf 的值为 . 例5：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f3.导数的物理意义：如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。
例6：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是例7：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）二：导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C '=（C 为常数） ②()1;nn xnx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.例8：下列求导运算正确的是 ( )A ．2111x x x +='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ B ．()='x 2log =2ln 1xC ．()e xx3log 33=' D ． ()x x x x sin 2cos 2-='例9：若()()()()()()()N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'=⋯⋯'='==+,,,,sin 112010，，则()=x f 2005 真题：1.已知()x f =()()()()2006321++++x x x x x Λ，则()0f '为()()()()()()()().________cos sin 201411211=∈'='=-=*++x f N n x f x f x f x f x f x f x x x f n n n n ，则，，，的导函数，即是，练：已知Λ2：导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±A ．B ．C ．D ．法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：='⎪⎭⎫⎝⎛v u 2''v uv v u -（v ≠0）。
3.复合函数的导数形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——>求导——>回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=. 例10：（1）函数32log y x x =+的导数是（2）函数12+x n ex 的导数是例11：3(1cos 2)y x =+；（2）21siny x= 三：利用已知条件求原函数解析式中的参数例12：已知多项式函数()f x 的导数/2()34f x x x =-，且(1)4f =，则()f x = .例13：已知函数c bx ax x x f +++=23)(，它的图象过点(0,1)A -，且在1x =处的切线方程为210x y +-=，则()f x = .四：切线相关问题1.已知曲线上的点求切线方程例14：曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 例15：设函数bx ax x f ++=1)( (a,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.()._________1,y 21,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=-=n n n n S n n a a x x x y n 项和为的前数列则轴的交点的纵坐标为处的切线与在设曲线例：对正整数2.已知曲线外的点求切线方程例16：已知曲线2y x =，则过点(1,3)P -，且与曲线相切的直线方程为 . 例17：求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-相切的直线方程.3.已知切线方程的斜率或倾斜角求切线方程例18：曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 例19：若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=五：求函数的单调区间1.无参数的函数求单调性问题例20：证明：函数ln ()xf x x=在区间（0，2）上是单调递增函数.例21：确定函数32()267f x x x =-+的单调区间.2.含有参数的函数的单调性例22：已知函数ax x a x x f --+=23)1(2131)(，求函数()f x 的单调区间。
例23：已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-，讨论f （x ）的单调性.例25：【2015高考广东，理19】设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2． (1) 求)(x f 的单调区间 ；(2) 证明：)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点；例26：【2015高考江苏，19】已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈++=.试讨论)(x f 的单调性；例27：已知()ax x x f -=ln ，讨论()x f y =的单调性六：结合单调性和极值求参数的取值范围例28：已知函数32()321f x x x =+-在区间()0,m 上是减函数，则m 的取值范围是 .例29：已知函数()()323m f x x x x m R =+-∈，函数()f x 在区间()2,+∞内存在单调递增区间，则m 的取值范围 .例30：已知函数()()321f x x ax x a R =+++∈，若函数()f x 在区间21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，则a 的取值范围 . 例31：已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥若()f x 在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围 .例32：已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .例33：已知函数()x a x x f ln 2+=，若()()xx f x g 2+=在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围 例34：如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812真题：【2015高考重庆】设函数()()23xx axf x a R e +=∈（1）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围。
七：恒成立问题及存在性成立问题1.转化为分离参数问题求最值问题例35：已知函数()()0,ln 212>-=a x x ax f ，（1）若1=a ，求函数()x f 的单调区间和极值（2）当[]2,1∈x 时，不等式()2>x f 恒成立，求实数a 的取值范围例36：已知函数()x x x x f ++=232．（1）求函数()x f 的单调区间和极值；（2）若()+∞∈∀,0x ，()2ax x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围例37：已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值，(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
高三数学一轮复习导数知识点
高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。
导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。
本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。
对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。
简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。
二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。
掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。
下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。
2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。
3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。
6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。
通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。
三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。
在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。
下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。
高三数学第一轮复习导数的应用(一)
2．函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点 x ＝ b 附近的其他点的函数值都大， f′(b) ＝ 0 ， 而且在点 f′(x)＞0 x＝b附近的左侧 f′(x)＜0 ，右侧 ， 则点 b 叫做函数 y ＝ f(x) 的极大值点， f(b) 叫做 函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大 值和极小值统称为极值．
3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情 况，是在局部对函数值的比较；函数的最值 是表示函数在一个区间上的情况，是对函数 在整个区间上的函数值的比较．
运用导数解决函数的单调性问题
[典题导入] ln x＋k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)＝ ex (k 为常数， e＝2.718 28„是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线与 x 轴平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间．
解析
(1)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令 f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， ∵ex＞0，∴－x2＋2＞0， 解得－ 2＜x＜ 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(－ 2， 2)．
第十二节
(一) 导数的应用
[主干知识梳理] 一、函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意 子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b )上为 ． 增函数 f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b )上为 ． 减函数
高三第一轮复习-导数
导 数一、导数的概念及运算：1、函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率：函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率： 函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率，即)(x f 在0x 处的导数，记作()='0x f 2、导数的几何意义：()0x f '即)(x f y =在点))(,(00x f x 处的 导数的物理意义：)(0'x s 即)(x f s =在点))(,(00x s x 处的 3、导数运算： 1 导数公式表：（1）='C （C 为常数） （2）=')(n x （3）=')(sin x （4）=')(cos x （5）=')(x e （6）=')(ln x（7）=')1(x（8）=+')(b kx2导数运算法则：（1）=±')]()([x g x f （2）=⋅')]()([x g x f （3）=')]([x Cf （4）='])()([x g x f 3复合函数的导数：)]([x g f y =能拆成两个分解式： 、 、二、导数应用： 1、求切线：（1）切点已知),(00y x ，⎩⎨⎧-=-=)()(000'x x k y y x f k（2）切点未知，则设切点为),(00y x ，⎪⎩⎪⎨⎧2、判断函数单调性：（1）求定义域；（2）↑⇒>)(0)('x f x f ，↓⇒<)(0)('x f x f （3）写出单调区间。
注：（1）)(x f 是增函数⇒ （2）)(x f 是减函数⇒3、求函数极值：（1） （2） （3） （4） 注：（1）极值点一定满足0)('=x f ，但0)('=x f 的根不一定是极值点； （2）极值与最值的区别 （3）极值与极值点的区别4、求函数最值：],[b a x ∈ （1）求定义域； （2）求导；（3）令0)('=x f ，求根； （4）列表；（5）极值与)(),(b f a f 比大小5、原函数是三次函数，导函数是二次函数，二者之间的关系：（1）某物体作2)1(2t s -=的直线运动，则8.0=t 时的瞬时速度是（2）函数12-=x xy 在点)1,1(处的切线方程是 （3）若曲线23-+=x x y 上的点0P 处的切线平行于14-=x y ，则0P 的坐标为（4）已知)(x f 图象是折线段ABC ，其C B A ,,的坐标分别是)4,6(),0,2(),4,0(C B A ，则=)]0([f f ，函数)(x f 在1=x 处的导数=)1('f例2、求)(x f 在点),(00y x 处的切线及过点),(00y x 的切线： （1）求曲线122+=x y 在)3,1(处的切线方程（2）求过点)5,3(且与曲线2x y =相切的直线方程。
导数的计算(一轮复习)
5.曲线 y＝9x在点 M(3,3)处的切线方程是 x＋y－6＝0 . 解析 ∵y′＝－x92， ∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)， 即x＋y－6＝0.
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10.已知抛物线 y＝x2，求过点－12，－2且与抛物线相切的直线方程.
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2.已知 f(x)
解析
f(x)＝
x，得
f′(x)＝
1
-
x
1
2，
2
∴
f
8 =
1
-
8
1 2
2
2
8
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D.－1
3.(多选)下列结论正确的是
√A.若 y＝3，则 y′＝0 √C.若 y＝ x，则 y′＝21 x
B.若
y＝
1 ，则 x
y′＝－12
x
√D.若 y＝x，则 y′＝1
解析 只有B是错误的.
因为y
1 x
'
1
x2
'
1 2
3
x2
1 2x
x
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4.已知 f(x)＝ln x 且 f′(x0)＝x120，则 x0＝ 1 .
解析 因为f(x)＝ln x(x>0)， 所以 f′(x)＝1x， 所以 f′(x0)＝x10＝x120， 所以x0＝1.
一点的函数值
思考辨析 巩固知识
1.函数在某点处的导数f′(x0)是一个常数.( √ )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
(√ ) 3.函数f(x)＝0没有导数.( × ) 4.直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.( × )
高考数学 第一轮复习 导数小结
高三数学第一轮复习 （小结）一．课前预习： 导 数1．设函数()f x 在0x x =处有导数，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则0()f x '=（ C ） ()A 1 ()B 0 ()C 2 ()D 21 2．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象3．若曲线3y x px q =++与x 轴相切，则,p q 之间的关系满足 （ A ）()A 22()()032p q += ()B 23()()023p q += ()C 2230p q -= ()D 2230q p -= 4．已知函数23()2f x ax x =-的最大值不大于16，又当11[,]42x ∈时，1()8f x ≥，则a = 1 ． 5．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =42x -．二．例题分析：例1．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．解：（1）由奇函数的定义，应有)()(x f x f -=-，R x ∈，即d cx ax d cx ax ---=+--33，∴ 0=d ，∴cx ax x f +=3)(，∴c ax x f +='23)(，由条件2)1(-=f 为)(x f 的极值，必有0)1(='f ，故⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ， 解得1=a ，3-=c ，∴x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f ，∴0)1()1(='=-'f f ，当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间)1,(--∞上是增函数；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ，故)(x f 在单调区间)1,1(-上是减函数；当),1(∞+∈x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在单调区间),1(∞+上是增函数，所以，)(x f 在1-=x 处取得极大值，极大值为2)1(=-f ．（2）由（1）知，x x x f 3)(3-=)]1,1[(-∈x 是减函数，且)(x f 在]1,1[-上的最大值2)1(=-=f M ，最小值2)1(-==f m ，所以，对任意的1x ，)1,1(2-∈x ，恒有4)2(2)()(21=--=-<-m M x f x f ． 例3．设函数321()532a b f x x x x -=+++(,,0)a b R a ∈>的定义域为R ，当1x x =时，取得极大值；当2x x =时取得极小值，1||2x <且12||4x x -=．（1）求证：120x x >；（2）求证：22(1)164b a a -=+；（3）求实数b 的取值范围．（1）证明：2()(1)1f x ax b x '=+-+，由题意，2()(1)10f x ax b x '=+-+=的两根为12,x x ，∴1210x x a =>．（2）12||4x x -==，∴22(1)164b a a -=+． （3）①若102x <<，则10(2)4210b f a b ->⎧⎨'=+-<⎩，∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，得13b <． ②若120x -<<，则10(2)4230b f a b -<⎧⎨'-=-+<⎩， ∴412(1)a b +<-，从而222(41)4(1)4(164)a b a a +<-=+， 解得112a >或14a <-（舍） ∴42(1)3b ->，∴53b >， 综上可得，b 的取值范围是15(,)(,)33-∞+∞U ．小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．三．课后作业： 班级 学号 姓名1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ）()A 5、15- ()B 5、4 ()C 4-、15- ()D 5、16-2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内，)(x f 为增函数 ()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞U 内，)(x f 为增函数3．设)(x f 在0x x =处可导，且000(3)()lim 1x f x x f x x∆→-∆-=∆，则)(0x f '等于 （ ） ()A 1 ()B 13- ()C 3- ()D 31 4．设对于任意的x ，都有0)(),()(0≠-=-'-=-k x f x f x f ，则0()f x '= （ ）()A k ()B k - ()C k 1 ()D k1- 5．一物体运动方程是)/8.9(3120022s m g gt s =+=，则3=t 时物体的瞬时速度为 ． 6．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）8．已知1,0b c >->，函数()f x x b =+的图象与函数2()g x x bx c =++的图象相切，（1）求,b c 的关系式（用c 表示b ）；（2）设函数()()()F x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点，求c 的取值范围．。
2021届高三数学总复习第一轮——导数综合
2021届高三数学总复习第一轮——导数综合考纲要求知识框图知识点一、合理构造函数证明不等式合理构造函数，主要是将不等式做等价变形，构造出合理的函数，方便求最值的函数，从而解决不等式证明的问题； 常见技巧手段：（1）加加减减、取对数、或者借助函数图象来构造等； （2）参变分离； （3）虚设零点整体代换； （4）二次求导；此部分内容是北京考试的热点与重点。
二、极值偏移的处理——借助图象构造 1.极值点偏移的含义众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则221x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若221x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数xe xx g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.2. 极值点偏移问题的一般题设形式：（1）若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；（2）若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；（3）若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f ；（4）若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f .3. 极值点偏移的判定定理对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏；左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔）左快右慢（极值点左偏221x x m +<⇔） 左慢右快（极值点右偏221x x m +>⇔） 1.运用判定定理判定极值点偏移的方法 方法概述：（1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；（3）确定函数)(x F 的单调性；（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 抽化模型答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.[来源:Z,xx,] （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.[来源:]（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故0)2('21<+x x f . 一、对数平均不等式两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ (,)2a bL a b +≤≤ （此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.二、导数与数列不等式导数考点是高考压轴题的常客，同时结合数列、不等式、推理与证明等知识综合出题，综合性非常强，难度非常大．但是核心依然是利用函数单调性，证明不等关系导数与其他知识的综合题目，主要还是考察构造函数，利用导数知识求解单调性，判断区间内的最值，从而构造不等式．这种构造出来的不等关系，对于区间内的所有值均成立．再利用赋值法，对函数自变量x 进行赋值，这样证明不等关系成立．赋值需要注意，所赋的值一定要满足自变量的区间．特别的与数列结合的题目，里面使用了裂项的公式如下：111(1)1n n n n =-++；!(1)!!n n n n ⋅=+- ；C n －1r －1=C n r－C n －1r ；)!1(+n n =!1n －)!1(1+n ；=()1lnln 1ln n n n n+=+- ． 考点1 合理构造函数证明不等式【例1】（2018年东城期末文）已知函数()ln f x x x =⋅. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对于任意1[,e]ex ∈，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.【例2】（2018年通州期末）已知函数，a ∈R . （Ⅰ）当0a =时，求函数的单调区间； （Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.【例3】（2018年海淀一模理）已知函数ln ()xf x x a=+ （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当0a >时，若函数()f x 的最大值为21e，求a 的值.()ln x af x x-=()f x【例4】（2018年朝阳一模理）已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：1<-．【例5】（2018年东城一模理）已知函数()e (1)x f x a x =-+.（I ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； （II ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（III ）证明：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.)(x f )(x f【例6】（2017年东城一模理）已知函数1()2ln ()f x x mx m x=+-∈R ． （Ⅰ）当1m 时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在(0,)+∞上为单调递减，求m 的取值范围；（Ⅲ）设b a <<0，求证：ln ln b ab a -<-．【例7】设函数 ()1x f x ae x =--，R a ∈． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）当()0,x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：当()0,x ∈+∞时，1ln 2x e xx ->．考点2 利用函数图象构造（极值偏移） 【例1】（2017年丰台一模文）已知函数()()()121,,,,xx f x A x m B x m e +=是曲线()y f x =上不同的两点. （1）求()f x 的单调区间，并写出实数m 的取值范围；（2）证明：120x x +>.【例2】已知函数2()ln f x x x=+，若1x ≠2x ，且)()(21x f x f =，证明：421>+x x .【例3】已知21()ln ,2f x x x mx x m R =--∈.若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212x x e >（e 为自然对数的底数）考点3 对数平均不等式【例1,(0)ln lnb 2a b a b a b a -+<<<<-【例2】已知函数2()ln (2).f x x ax a x =-+-（1）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a +>-； （2）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<.【例3】已知函数()ln x f x x a =+（a R ∈），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()gx f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明： 212•x x e >.【例4】（新课标I 卷理数压轴21题）已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点21,x x .证明：122x x +<.【例5】已知函数()211x x f x e x -=+. (1)求()f x 的单调区间；(2)证明:当()()()1212f x f x x x =≠时，120x x +<.考点4 导数与数列不等式【例1】设函数，其中．⑴当时，判断函数在定义域上的单调性； ⑵求函数的极值点； ⑶证明对任意的正整数，不等式都成立．【例2】已知函数 ()． （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）如果关于的方程有两解，写出的取值范围（只需写出结论）； （Ⅲ）证明：当且时，．2()ln(1)f x x b x =++0b ≠12b >()f x ()f x n 23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭ln 1()ax f x x+=0a >()f x x ln 1x bx +=b *N k ∈2k ≥1111lnln 2234k k k<+++⋅⋅⋅+<【例3】已知函数（I ）若时，，求的最小值；（II ）设数列【例4】已知函数（I ）设函数，求的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于的方程 （Ⅲ）试比较与的大小．()()()1=ln 1.1x x f x x x λ++-+0x ≥()0f x ≤λ{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n =+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：21(),()32f x x h x =+=()()()F x f x h x =-()F x a R ∈x 42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=---1001(100)(100)()k f h h k =-∑16练习A【练1】已知函数，，．（Ⅰ）过原点作函数的切线，求的方程；（Ⅱ）若对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围．【练2】已知函数 为正实数，且为常数） （1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求的取值范围．()x f x e =()g x kx =x R ∈(0,0)O ()x f x e =l l x R ∈()()f x g x >k ()()f x x l lnx ax a =+-+(a ()f x (0,)+∞a (1)()0x f x -a【练3】已知函数．求曲线在点，处的切线方程．求证：当时，． （设实数使得对恒成立，求的最大值．【练4】函数．（1）求的极值；（2）在，上恒成立，求值的集合．()(1)(1)f x ln x ln x =+--()I ()y f x =(0())f x ()II (0,1)x ∈3()2()3x f x x >+)III k 3()()3x f x k x >+(0,1)x ∈k ()x f x x e =()f x 21()2k f x x x ⨯+[1-)+∞k【练5】设为曲线在点处的切线． （1）求的方程；（2）证明：在定义域内恒成立．【练6】已知函数（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）对，恒成立，求实数的取值范围．L :lnx C y x=(1,0)L ()1f x x -()1f x x lnx =--()y f x =(2f )()f x (0,)x ∀∈+∞()2f x bx -b【练7】已知，，（Ⅰ）对一切，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，求函数在，上的最小值．()f x xlnx ax =-2()2g x x =--(0,)x ∈+∞()()f x g x a 1a =-()f x [m 3](0)m m +>练习B【练1】设函数．（Ⅰ）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围．【练2】已知，， （Ⅰ）若，且存在单调递减区间，求的取值范围； （Ⅱ）若，时，求证：对于恒成立；(III) 证明：若，则．(),f x lnx a R =∈(1,1)()y f x =()2f x a ()(1)f x ln x =+21()2g x ax bx =+2b =()(1)()h x f x g x =--a 0a =1b =()()0f x g x -(1,)x ∈-+∞0x y <<()2x y xlnx ylny x y ln ++>+【练3】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【练4】设函数，．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）如果不等式对于一切的恒成立，求的取值范围； （3）证明：不等式对于一切的恒成立．()sin f x x x =+()y f x =(,())22f ππ()cos f x ax x [0,]2πa ()f x k =x e k R ∈1k =()y f x =(0(0))f ()1f x x >+(0,)x ∈+∞k 21xx e xe ->(0,)x ∈+∞【练5】已知函数，． （Ⅰ）若直线与曲线和分别交于，两点．设曲线在点处的切线为，在点处的切线为．（ⅰ）当时，若，求的值；（ⅱ）若，求的最大值；（Ⅱ）设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点，，且．若，且恒成立，求的取值范围．【练6】已知函数，（Ⅰ）若在处的切线与直线平行，求的值； （Ⅱ）求函数在，上的最小值；（Ⅲ）都有恒成立，求实数的取值范围．()f x xlnx =2()()2a g x x x a a R =+-∈(0)x m m =>()y f x =()y g x =M N ()y f x =M 1l ()y g x =N 2l m e =12l l ⊥a 12//l l a ()()()h x f x g x =-1x 2x 12x x <0λ>211lnx lnx λλ->-λ2()3()f x x mx m R =-+-∈()g x xlnx =()f x 1x =330x y -+=m ()g x [a 2](0)a a +>(0,)x ∀∈+∞()2()f x g x m【练7】已知函数在点，（1）处的切线方程为． （Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）对函数定义域内的任一个实数，恒成立，求实数的取值范围．【练8】已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围； （Ⅲ）若，，且，恒成立，求的取值范围．()1a blnx f x x +=+(1f )2x y +=a b ()f x x ()m f x x<m 2()(2)f x ax a x lnx =-++a R ∈1a =()y f x =(1f )0a >()f x [1]e 2-a 1x ∀2(0,)x ∈+∞12x x <1122()2()2f x x f x x +<+a【练9】已知函数求在点，（1）处的切线方程；若不等式恒成立，求实数的取值范围； 已知，，求证．2()()f x tx lnx t R =∈()I ()f x (1f )()II 1()f x et ()III 0a >0b >221lna lnb b a ->-练习C【练1】已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线方程． （2）若时，恒成立，求实数的取值范围．（3）设，求证：【练2】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．1()(1)311f x aln x x x =+++-+1a =()f x (0(0))f 0x ()0f x a *n N ∈22222233411..(21)411411421431414n ln n n ++++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-()sin cos f x x x x =-()y f x =(π())f π(0,)2x π∈31()3f x x <()cos f x kx x x >-(0,)2x π∈k【练3】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在区间上恒成立，求的最小值．【练4】已知函数，， （1）求证：；（2）若对上恒成立，求的最大值与的最小值．()f x xlnx =()y f x =(1f )()1f x x -22()(0)f x ax a a+≠(0,)+∞a ()cos sin f x x x x =-[0x ∈]2π()0f x sin x a b x <<(0,)2x π∈a b【练5】已知函数（1）求函数的单调区间和最大值；（2）若恒成立，求的取值范围；（3）证明：①在上恒成立；②【练6】已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设，若对任意、恒有，求的取值范围．()(1)(1)1f x ln x k x =---+()f x ()0f x k (1)2ln x x -<-(2,)+∞2(1)()(,1)14n i lni n n n N n i =-<∈>+∑2()(1)1f x a lnx ax =+++()f x 1a <-1x 2x 1212|()()|4||f x f x x x --a【练7】已知函数． （Ⅰ）若函数在上为单调增函数，求的取值范围； （Ⅱ）设，求证：．【练8】已知定义在上的函数，． （1）求证：存在唯一的零点，且零点属于；（2）若，且对任意的恒成立，求的最大值．(1)()1a x f x lnx x -=-+()f x (0,)+∞a 0m n >>2m n m n lnm lnn -+<-(1,)+∞()2f x x lnx =--()g x xlnx x =+()f x (3,4)k Z ∈()(1)g x k x >-1x >k【练9】已知函数，其中．（Ⅰ）当时，判断在区间，上的单调性；（Ⅱ）当对于，恒成立，求实数的取值范围．()sin cosf x a x x=+0a>1a()f x[0]4π01a<<2()2f x t at<++[0x∈]4πt课后作业【题1】（2018年朝阳模文）已知函数. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，求函数的单调区间；（Ⅲ）若，求证：.【题2】（2018朝阳二模理）已知函数，. （I ）当时，求的单调区间；（II ）当时，讨论的零点个数.ln 1()()x f x ax a x-=-∈R 0a =()y f x =(1,(1))f 1a <-)(x f 12a <<)(x f 1<-21()sin cos 2f x x x x ax =++[,]x ∈-ππ0a()f x 0a >()f x【题3】（2018西城二模理）已知函数，曲线在处的切线经过点． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）设，求在区间上的最大值和最小值．【题4】（2017年丰台二模理）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）证明：对于，在区间上有极小值，且极小值大于0.ln ()x f x ax x=-()y f x =1x =(2,1)-a 1b >()f x 1[,]b b()e ln xf x a x a =--e a =()y f x =(1(1)),f (0e)a ∀∈,()f x a e（）,1【题5】（2017年朝阳期末理）设函数，，． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．2()ln(1)1f x x ax x =-+++2()(1)e x g x x ax =-+R a ∈1a =()f x (2,(2))f ()g x a ()()f x g x ≤。
高考数学(导数)第一轮复习
高考数学（导数）第一轮复习资料知识小结一.导数的概念与运算⒈导数的概念：⑴曲线的切线；⑵瞬时速度；⑶导数的概念及其几何意义．○1．设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m )(0000/()()000l i m x x x f x f x x --=→ ○2函数)(x f y =的导数)('x f ，就是当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量的增量x ∆的比xy ∆∆的极限，即 xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim )('00． ○3函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率．⒉常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=； ⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．⒊导数的运算法则：⑴两个函数四则运算的导数：①'')'(v u v u ±=±； ②'')'(uv v u uv +=； ③)0(''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v uv v u v u ． ⑵复合函数的导数：x u x u y y '·''=．二.导数的应用1、函数的单调性（1）如果非常数函数y =)(x f 在某个区间内可导，那么若)('x f ≥0)(x f ⇔为增函数；若)('x f ≤0⇔)(x f 为减函数.（2）若)('x f ≡0则)(x f 为常数函数.2、函数的极值（1）极值定义如果函数)(x f 在点0x 附近有定义，而且对0x 附近的点，都有)(x f <)(0x f 我们就说)(0x f 是函数的一个极大值，记作极大值y =)(0x f ；)(x f 在点0x 附近的点，都有)(x f >)(0x f 我们就说)(0x f 函数的一个极小值，记作极小值y =)(0x f ；极大值与极小值统称为极值。
高中总复习第一轮数学 第十三章 导数(理) 13.1 导数的概念与运算
第十三章 导数(理)网络体系总览考点目标定位1.导数的概念、导数的几何意义、几种常见函数的导数.2.两个函数的和、差、积、商和导数,复习函数的导数、基本导数公式.3.利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值.4.了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 复习方略指南深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.13.1 导数的概念与运算巩固²夯实基础一、自主梳理1.导数的概念(1)如果当Δx →0时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f(x)在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00. (2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数f ′(x 0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，记作f ′(x),即f ′(x)=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数. 2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.3.几种常见的导数C ′=0(C 为常数)；(x n )′=nx n-1；(sinx)′=cosx ；(cosx)′=-sinx ；(e x )′=e x ；(a x )′=a x lna ；(lnx)′=x 1；(log a x)′=x1log a e. 4.导数的四则运算法则设u 、v 是可导函数，则(u ±v)′=u ′±v ′；(uv)′=u ′v+uv ′；(v u )′=2''vuv v u -(v ≠0).链接²提示f(x)在x=x 0处的导数f ′(x 0)的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义:f ′(x 0)是函数f(x)的导函数f ′(x)当x=x 0时的函数值.二、点击双基1.质点运动方程为s=61t 3-21t 2+1,那么当质点在t=2时的速度为( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析:s ′=21t 2-t,∴s ′(2)=0. 答案:A2.设函数f(x)在x=x 0处可导,则0lim →h hx f h x f )()(00-+( ) A.与x 0、h 都有关 B.仅与x 0有关而与h 无关C.仅与h 有关而与x 0无关D.与x 0、h 均无关答案:B3.函数y=x 2的曲线上点A 处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A 的坐标为_ __________________________.解析:设点A 的坐标为(x 0,y 0),则y ′0|x x ==2x 0|x x ==2x 0=k 1.又直线3x-y+1=0的斜率k 2=3,∴tan45°=1=|1|||1212k k k k +-=|006123x x +-|. 解得x 0=41或x 0=-1. ∴y 0=161或y 0=1, 即A 点坐标为(41，161)或(-1，1). 答案:(41，161)或(-1，1) 4.0lim →x xx θθsin )sin(-+=___________________________. 解析:0lim →x xx θθsin )sin(-+=sin ′θ=cos θ. 答案:cos θ诱思²实例点拨【例1】 若f(x)在R 上可导，(1)求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数的关系；(2)证明若f(x)为偶函数，则f ′(x)为奇函数.剖析:(1)需求f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数；(2)求f ′(x)，然后判断其奇偶性.(1)解:设f(-x)=g(x),则g ′(a)=0lim →∆x xa g x a g ∆-∆+)()(=0lim→∆x xa f x a f ∆--∆--)()( =-0lim →∆x x a f x a f ∆---∆--)()( =-f ′(-a).∴f(-x)在x=a 处的导数与f(x)在x=-a 处的导数互为相反数.(2)证明:f ′(-x)=0lim→∆x xx f x x f ∆--∆+-)()( =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆-)()( =-0lim →∆x x x f x x f ∆--∆-)()( =-f ′(x).∴f ′(x)为奇函数.讲评:用导数的定义求导数时，要注意Δy 中自变量的变化量应与Δx 一致.链接²拓展(2)中若f(x)为奇函数，f ′(x)的奇偶性如何？【例2】（2004潍坊高三统一考试）已知函数f(x)=lnx,g(x)=21x 2+a(a 为常数),直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1.求直线l 的方程及a 的值.剖析:由直线l 与函数f(x)切点的横坐标为1,可利用导数求出函数f(x)在该点切线的斜率,利用点斜式求出直线的方程;因为直线l 与函数g(x)的图象相切,所以l 与g(x)有且只有一个公共点,此时可将直线代入g(x),通过Δ=0,求出a 的值.解:由f ′(x)|x=1=1,知k l =1,切点为(1,f(1)),即(1,0),所以直线l 的方程为y=x-1.直线l 与y=g(x)的图象相切,等价于方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-=a x y x y 221,1只有一解,即方程 21x 2-x+(1+a)=0有两个相等的实根,∴Δ=1-4³21(1+a)=0. ∴a=-21. 讲评:本题通过利用导数来求函数的切线、利用方程的思想判断函数图象与直线的交点问题,考查了学生的应用能力及分析问题、解决问题的能力.【例3】 求下列函数的导数:(1)y=x 2sinx ； (2)y=ln(x+21x +)； (3)y=11-+x x e e ；(4)y=xx x x sin cos ++. 解:(1)y ′=(x 2)′sinx+x 2(sinx)′=2xsinx+x 2cosx. (2)y ′=211x x ++²(x+21x +)′ =211x x ++(1+21x x +)=211x +.(3)y ′=2)1()'1)(1()1()'1(--+--+x x x x x e e e e e =2)1(2--x xe e . (4)y ′=2)sin ()'sin )(cos ()sin ()'cos (x x x x x x x x x x +++-++ =2)sin ()cos 1)(cos ()sin )(sin 1(x x x x x x x x +++-+- =2)sin (1cos sin sin cos x x x x x x x x +--+-- 链接²聚焦函数f(x)在点x 0处是否可导与是否连续有什么关系？。
【高中数学】高考数学一轮复习导数知识点总结
【高中数学】高考数学一轮复习导数知识点总结导数是微积分中的重要基础概念，以下是数学网整理的导数知识点总结，请考生学习。
一、主题概述
导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于
导数的学习，主要是以下几个方面:
1.衍生工具的一般问题：
(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面
曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于
次多项式的导数问题属于较难类型。
2.关于函数特性的最大值问题很多，因此有必要进行专门讨论。
导数法比初等法更快、更简单。
3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是
高考
中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合
1.导数概念的理解。
2.利用导数判断可微函数的极值，求一些实际问题的最大值和最小值的方法。
复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函
数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3.为了正确获得导数，必须达到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数
的求导法则。
（2）对于复合函数，必须澄清中间的复合关系，找出每个分解函数中应该导出的变量。
导数知识点总结的全部内容就是这些，更多优秀的内容希望考生可以学习。
高考数学第一轮复习教案导数精选
高考数学第一轮复习教案导数复习目标1. 了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的根底上抽象出变化率的概念.2熟记根本导数公式,掌握两个函数四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大〔小〕值的问题,掌握导数的根本应用.3. 了解函数的和、差、积的求导法那么的推导,掌握两个函数的商的求导法那么.能正确运用函数的和、差、积的求导法那么及已有的导数公式求某些简单函数的导数^4. 了解复合函数的概念.会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法那么,并会用法那么解决一些简单问题 .三、根底知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具.在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面：1 .导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法精确细微〕；〔2〕同几何中切线联系〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便〕等关于n次多项式的导数问题属于较难类型.2 .关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便^3 .导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合水平的一个方向,应引起注意.4 .瞬时速度物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻〔或某一位置〕的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.5 .导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法那么与某些导数公式时,都是以此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点：(1) Ax是自变量x在X o处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果△ x-O 时,—y有极限,那么函数y=f(x)在点x0处x可导或可微,才能得到f(x)在点x0处的导数.(3)如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续,但不可导.由导数定义求导数,是求导数的根本方法,必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量y f(x0x) f(x0);(2)求平均变化率一y ——x)—f-(x^)；(3)取极限,得导数f'(x0) lim —y .x x x 0 x6 .导数的几何意义函数y=f(x)在点x o处的导数,就是曲线y=(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率.由此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：⑴求出函数y=f(x)在点x o处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率；(2)在切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y y o f'(x o)(x x o)特别地,如果曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线平行于y轴,这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为x x o7 .导数与函数的单调性的关系㈠f (x) o与f(x)为增函数的关系.3f (x) 0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x) x在(,)上单调递增,但f (x) 0, f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件.㈡f (x) 0 时, f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.假设将f (x) 0的根作为分界点,由于规定 f (x) 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增函数,就一定有f (x) 0.,当f (x) 0时,f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件.㈢f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.f(x) 为增函数,一定可以推出 f (x) 0,但反之不一定,由于 f (x) 0,即为f (x) 0或f (x) 0 .当函数在某个区间内恒有 f (x) 0,那么f(x)为常数,函数不具有单调性..•. f (x) 0是f (x)为增函数的必要不充分条件.㈣单调区间的求解过程y f (x)( 1)分析y f (x) 的定义域；( 2)求导数y f (x)( 3)解不等式 f (x) 0,解集在定义域内的局部为增区间( 4)解不等式 f (x) 0 ,解集在定义域内的局部为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性. 以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数y f (x) 在某个区间内可导.㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增,在(b,c)单调递增,又知函数在f(x) b处连续,因此f(x)在(a,c)单调递增.同理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同, 且在公共点处函数连续,那么二区间就可以合并为以个区间.8 . y f (x) x [a , b](1)f (x) 0恒成立.. y 〞*)为(2,3上•••对任意x (a,b)不等式f(a) f(x) f(b) 恒成立(2) f (x) 0恒成立y f (x)在(a,b)上四、经典例题解析:2 - c(i)求a 和b 的值；(n)讨论 f(x)的单倜性；(出)设 g(x) - x 3 x 2,试比拟 3小.解：(I)由于 f (x) e x 1(2x x 2) 3ax 2 2bx xe x 1 (x 2) x(3ax 2b), 又x 2和x 1为f (x)的极值点,所以f ( 2) f(1) 0,因此6a 2b 0'解方程组得a Lb 1.3 3a 2b 0,3一. 1E)由于 a 3 b 1,所以 f(x)x(x 2)(e1),令 f (x) 0,解得 x 12 , x 2 0 , x 31 .由于当 x (, 2) U(01)时,f (x)当x ( 2,0)U(1,)时,f (x) 0.所以f(x)在(2,0)和(1,)上是单调递增的； 在(,2)和(0,1)上是单调递减的.2 x 113 2 2 x 1 3 2 . x 1(出)由(I)可知 f (x) x e - x x ,故 f (x) g(x) x e x x (e 3 ....................................... - ...........人 x 1 x 1金_h(x) ex,…那么 h (x) e 1 .令 h (x) 0 ,得 x 1 ,由于x ,1时,h (x) 0 0,所以h(x)在x ,1上单调递减.故 x,1 时,h(x)> h(1) 0；由于 x 1,时,h(x)>0,所以h(x)在x 1,上单调递增.故x 1, 时,h(x) > h(1) 0.所以对任意x (,),恒有h(x) > 0 ,又x 2 2 0 ,对任意x (a ,b)不等式f(a)f (x) f(b)恒成立例1设函数f(x)2 x 1 3.2x e ax bx , x2和x 1为f(x)的极值点.f (x)与g(x)的大0；x)说明：此题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题,另外利用导数证实不等式也是高考不科 无视的考查方向.所以,当b 2时,函数f(x)在(,b 1)上单调递减,在(b 1,1)上单调递增, 在(1,)上单调递减.当b 2时,函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1, b 1)上单调递增,在(b 1,)上单调递减., r , 2 ~ 一., .................. ...............................当b 1 1,即b 2时,f(x)所以函数f (x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递减.x 1a例3.函数f x x — b x 0 ,其中a,b R .x(i)假设曲线 y f x 在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1,求函数f x 的解析式； (n)讨论函数 f x 的单调性；因此f(x) g(x) > 0 ,故对任意x (),恒有 f (x) > g(x).例2.函数f(x )2( x 1)2 解：f (x)- ---- -令 f (x) 0,得 x b 当b 1 1,即b 2时,当b 1 1 ,即b 2时------ ,求导函数 f (x),并确£ (x1)2(2x b) 2(x 1) 2x 2b (x 1)4(x 1)31 .,f (x)的变化情况如下表：x (, b 1) b 1f (x),f (x)的变化情况如下表：x (,1) (1, b 1)f (x)三f(x)的单调区间.22[x (b 1)] 3(b 11)(1,)b 1 (b 1,)从而得b 7,所以满足条件的b 的取值范围是(,7］. 44说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等根底知识,考查运算能 力、综合分析和解决问题的水平.t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库1(出)右对于任息的 a — ,2 ,不等式f x2.110在一1上恒成乂, 4求b 的取值范围a解：(I) f (x) 1 一,由导数的几何意义得 f (2) 3,于是a 8. x 由切点P(2, f(2))在直线y 3x 1上可得 2 b 7,解得b 9.所以函数f(x)的解析式为f(x) x - 9. xa(n) f (x) 1 —. x当a 0时,显然f (x) 0(x 0) .这时f(x)在(,0), (0,)内是增函数. 当a 0时,令f (x) 0,解得x B当x 变化时,f (x), f (x)的变化情况如下表:x (, a) 、,a (、.a,0) (0, ■ a)、.a (、. a,)f (x) + 0f (x)/ 极大值 \\ 极小值所以f (x)在(Va) , (ja,)内是增函数,在(ja,0) , (0, Va)内是减函数.(m)由(n)知,,1 ,,…,,… f (x)在［一 1］上的最大值为1 -f(一)与f (1)中的较大者,对于任意的 41 … a [-,2],不等2 1 一 , ,一」式f (x) 10在［1,1］上恒成立,当且仅当,1f(1) 10 即 b 4 5即 f(1) 10 b39 , 4a 一一,, 4 ,对任息的a 9 a1~ [-,2]成立. 2例4.水库的蓄水量随时间而变化,现用的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)= ( t2 14t 40)e450,0 t 10,4(t 10)(3t 41) 50,10 t 12(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i—1vtvi表示第i月份(i=1,2, (12),问一年内哪几个月份是枯水期？(n )求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).…,、…,?…,2 ,1t解：(I)①当0V t 10 时,V(t)=( — t+14t —40) e450 50,化简得t2—14t+40>0,解得t V 4,或t > 10,又0V t 10,故0V tv 4.②当10V t 12 时,V (t) =4 (t—10) (3t —41) +50V 50,41化简彳#(t—10) (3t —41) v 0,解得10vt v —,又10V t 12,故10V t 12.3综合得0v t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月,2月,3月,4月,11月,12月共6个月.(n )由(I )知：V(t)的最大值只能在(4, 10)内到达.1t一 3 11t8),由V (t) =e4( -t23t 4) -e4 (t2)(t4 2 4令V (t)=0,解得t=8(t= -2 舍去).当t变化时,V' (t)与V( t)的变化情况如下表:(4,8) (8,10)V' (t)Mt) 极大值由上表,V(t)在t = 8时取得最大值V8) =8e2+50- 108.32(亿立方米).故知一年内该水库白最大蓄水量是108.32亿立方米说明：本小题主要考查函数、导数和不等式等根本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际 问题水平........ kx 1例5.函数f(x) f (c 0且c 1, k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x c x c.(I)求函数f(x)的另一个极值点；(n)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ,并求M m>1时k 的取值范围.-22k(x c) 2x(kx 1) kx 2x ck解：(I) f (x) — ----------------- 2 ----- 2 ------ -------- 2 -----2一,由题意知 f ( c) 0 ,(x c) (x c)2.即得 c k 2c ck 0, (*)Qc 0, k 0., … 2 rr2 (n)由(*)式得 k ---------------- ,即 c 1 -.c 1k当 c 1时,k 0；当 0 c 1时,k 2.M m- k2 1 -"恒成立.综上可知,所求 k 的取值范围为(,2)U[J2,).由 f (x) 0得 kx 22x ck 0,由韦达定理知另一个极值点为(i)当 k 0时,f(x)在(,c)和(1,)内是减函数,在(c,1)内是增函数. k 1 k f ⑴.2 °, m f( c)kc 1 k 22~~cc 2(k 2)k 22(k 2)0,解得(ii )当 k 2 时,f(x)在(,c)和(1,)内是增函数,在(c,1)内是减函数.f( c)k 2 2(k 2)kf (1) — 02求证以下不等式(1)2xx ——ln( 1 x) x2 2(1 x)x (0,(2)2x ,一、sin x ——x (0 ,—) 2(3) x sin x tanx x (0, 一)2证实: f (x) ln(1 x) (x2-)2f(0) 0x2 1------- 0x 1f(x)为(0, )上x (0, f(x) 0 恒成立••• ln(12 x x) x —2g(x) --------- ln( 12(1 x)x) g(0)g (x)4x24x 2x21 -------------- 2-4(1 x)22x24(1g(x)在(0 , )上x (0,2(1 x)ln(1 x) 0恒成立(2)原式sin x令f (x) sin x/xx (0,2) cosx x tanx•• f (x)cosx(x tanx)(0；f(x) 0 (0,-)• sin x2x(3)令f(x) tanx 2x sin x f(0)f (x) sec2 x 八(1 cosx)(cos x2 cosx ----------------- --- 2-cos xsin2 x)x (0,-) f (x) 0 (0,-)2 2tanx x x sin x说明：利用导数证实不等式这一局部内容不可无视,它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值问题.五、强化跟踪：x 0x1 .设函数f(x)在*0处可导,那么lim f(x0 x)f(x0)等于A f'(x.)B . f'( x0)C , f'( x0)D . f( x0)f(x0 2 x) f(x.)2.右lim ------------------------------ 1 ,那么f (x0)等于( )x 0 3 xA. 2 B .3 C . 3 D . 23 23 .曲线y x3 3x上切线平行于x轴的点的坐标是( )A (-1,2)B , (1,-2)C . (1,2)D . ( -1 , 2)或(1 , -2 )4 .假设函数f(x)的导数为f ' (x)=-sinx ,那么函数图像在点(4, f (4))处的切线的倾斜角为()A 90°B .0°C .锐角D .钝角5 .函数y 2x33x2 12x 5在［0 , 3］上的最大值、最小值分别是( )A. 5, —15B. 5,-4C. —4, —15D. 5, —16s6 . 一直线运动的物体,从时间t到t+ At时,物体的位移为△ s,那么lim ——为( )0 ttA从时间t至ij t+ At时,物体的平均速度 B.时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为^ t时该物体的速度 D .从时间t到t+ At时位移的平均变化率7 .关于函数f(x)2x3 6x2 7 ,以下说法不正确的选项是A.在区间( ,0)内,f(x)为增函数B .在区间(0, 2)内,f(x)为减函数D.在区间( ,0)(2,)内,f(x)为增函数 8 .对任意x,有f'(x)4x 3, f(1)=-1 ,那么此函数为()4_4___4_4 一A f (x) xB . f(x) x 2C . f(x) x 1D . f(x) x 29 .函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是()A.5 , -15B.5,4C.-4 , -15D.5 ,-1610 .设f(x)在X O 处可导,以下式子中与f'(x .)相等的是⑴ l …：(xo2x)；..f(X o X) f (X O X) lim -----------x 0 V11 . f ( x )是定义在区间［—c,c ］上的奇函数,其图象如下图：令 g (x)的表达正确的选项是()A.假设a <0,那么函数g ( x)的图象关于原点对称.B.假设a=-1, — 2<b<0,那么方程g (x) =0有大于2的实根.C.假设awo,b=2,那么方程g ( x) =0有两个实根D.假设a>1,b<2,那么方程g ( x) =0有三个实根12 .假设函数f(x)在点X O 处的导数存在,那么它所对应的曲线在点 13 .设f(x) x 1,那么它与x 轴交点处的切线的方程为 . x14 .设 f'(x 0)3,那么 limf(Xo h)-f(Xo 3h).h 0h15 .垂直于直线2x-6y+1=0 ,且与曲线y x 3 3x 2 5相切的直线的方程是⑶lx mf (X O 2 x) f (X Ox)(4)lx mf (X O x) f (X O 2 x)A (1) (2)B . (1) (3) C(2) (3) D (1) (2) (3) (4)C.在区间(2,)内,f(x)为增函数+b,那么以下关于函数(X O , f(X o ))处的切线方程是16 .曲线y17 . y=x 2e x 的单调递增区间是18 .曲线y 3]3x2—1在点(1,3/4)处的切线方程为1 ...............................19 . P 是抛物线y X 2上的点,假设过点 P 的切线方程与直线 y -x 1垂直,那么过P 点处的切线方程是220 .在抛物线y x 2上依次取两点,它们的横坐标分别为X 1 1, X 2 3,假设抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行,那么 P 点的坐标为 .21 .曲线f(x) x 3在点A 处的切线的斜率为 3,求该曲线在 A 点处的切线方程.22 .在抛物线y x 2上求一点P,使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为一.4__ x(x 0)23 .判断函数f(x) ')在x=0处是否可导.x(x 0)24 .求经过点(2, 0)且与曲线y 1相切的直线方程. x25 .曲线C 1 : y x 2与C 2： y (x 2)2 .直线l 与C 1、C 2«W,求直线l 的方程. 六.参考答案：1 — 5 CBDCA 6 —10 BDBAB 11 B 12 . y f (X O ) f'(X O )(X X O )1317. (-8,-2)与(0,+ oo) 18. x V2y 1 019 . 2x-y-1=020. ( 2, 4) 21 .由导数定义求得f'(x) 3x 2,y=2(x-1)或 y=2(x+1)14 . -6 153x+y+6=0 16令 3x 2 3 ,那么 x= ± 1.当x=1时,切点为(1,1),所以该曲线在(1, 1)处的切线方程为 y-1=3(x-1)即3x-y-2=0 ; 当x=-1时,那么切点坐标为(-1,-1),所以该曲线在(-1,-1)处的切线方程为 y+1=3(x+1)即3x- y+2=0.22.由导数定义得f' (x)=2x,设曲线上 P 点的坐标为(x 0,y 0),那么该点处切线的斜率为 k p 2x 0,根据2x .3limx 0y二•lim ——不存在.x 0x,函数f(x)在x=0处不可导.1lim --------------- x 0x 0(x 0x)夹角公式有2x o 3 解得x 01或x o由x 0得y 016, 一 八 1 1、 那么P (-1, 1)或 P(-,—).4 1623- limx 0limx 0f(0f(0)limx 0limx 0limx 0f(0 x) f(0)xlimx 024.可以验证点 (2, 0)不在曲线上,故设切点为P (x 0, y 0).由 y'|x x 0lim xxx .x 0xlim ------------- x ------ x 0x (x 0 x) x 01~~2, x 01 得所求直线方程为y y0 」2(x x o).X.由点(2, 0)在直线上,得x：y. 2 X o,再由P(X o,y.)在曲线上,得x.y. 1,联立可解得x0 1 , y01.所求直线方程为x+y-2=0.25.解：设l与G相切于点P(x1,x；),与C2相切于Q(x2,① 2)2).对C1 : y' 2x ,那么与C1相切于2 2点P的切线方程为y x1 2x1( x x1),即y 2x1x x1 . ①2对C2：y' 2(x 2),那么与C2相切于点Q的切线方程为y (x2 2) 2(x2 2)(x x2),即2y 2( x22)x x2 4. ②2x1 2M 2) x 0, x 2•••两切线重合,・•.12 2 2,解得1 ,或1 ,x；x2 4 x22; x20「•直线方程为y=0或y=4x-4.。