数学错例分析及对数学课堂教学的启示

初中阶段，我们只研究函数的一种特性—— 增减性。那么教师是否可以进一步引导学生了解
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第 40 卷第 3 期
唐山师范学院学报
2018 年 5 月
锐角三角函数的增减性呢？探索过程并不复杂， 教师只需在讲授使用计算器求已知锐角的三角 函数值时，多列几组数据，观察即可猜想结论， 再借助“几何画板”软件进行验证即可。
3 错例分析对教学的启示
3.1 教师应了解学生真实的思维过程
有一定教学经验的教师，在为学生设计作 业，或进行考试命题时，对学生可能出现的错误 提前做出预想。然而，学生实际作业或考试出错 的原因超出预设的情况也有不少，笔者在评卷前 夕并没有预想到上述解答题的第二问的典型错 解。因此，教师切忌想当然，而是要真正摸清学 生的错解思路，这样有助于学生全面客观地了解 学情，以便教师能及时调整课堂教学内容和能力 培养策略。
如图 3，过点 P 作 PH⊥AB 于点 : tan A

PH HB
:
PH AH
3: 2
tan
A

4 3
∴tan∠ABP＝2
∴在 RtPHB 中，
PH HB

2
设 PH＝4x，则 HB＝2x，AH＝3x
由 AH＋HB＝AB＝10，得
3x＋2x＝10，
解得 x＝2
Key Words: mathematics teaching in middle school; error case analysis; classroom teaching; examining the topic
在日常教学中，学生作业出错是不可避免 的，而在考试中更是如此。在评卷过程中，收集、 整理错例，可以了解学生的真实思维，不断积累 的错例，形成丰富的教学资源，启发教师不断探 索更加高效教学方式。笔者参与了 2017 年唐山 市中考阅卷工作，在此就其中一道综合解答题论 述错例对于教学的指导意义。
A
PH HB
:
PH AH

3:2
∴AH:HB＝3:2
图 3 第 2 问参考答案用图
而 AB＝10，∴AH＝6，HB＝4． 在 RtPHA 中，PH＝AH·tanA＝8．
2 典型错解和原因分析
2.1 第一问错解及分析
∵∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90° ∴∠BPD＝80° ∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°．
Abstract: The error cases that expose the students’ real thinking are the feedback of students after their learning knowledge and hide abundant teaching resources. The error cases have great research values. The study of error cases can guide teachers to tap the teaching resources in the error cases and promote teachers to form the habit of researching students and reflective teaching. Through the study of the error cases, teachers can also help students clear up the ideas, find out the cause of the mistake and get rid of the difficulty mentality. The author collected, sorted and analyzed the error cases in senior high school entrance examination. This paper discusses the instruction meaning of the error cases analysis to the mathematics classroom teaching and it aims to help teachers improve their professional level and help students improve their school achievement.
（3）若点 Q 恰好落在□ABCD 的边所在的 直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积 （结果保留 π）。
1.2 试题参考答案
（1）当点 Q 与 B 在 PD 异侧时， 由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°，得 ∠BPD＝80° ∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°。 当点 Q 与 B 在 PD 同侧时， ∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80° ∴∠APB 是 80°或 100°．
BQ。
∵ tan ABP : tan
A
PH HB
:
PH AH
3: 2
∴AH:HB＝2:3
而 AB＝10，∴AH＝4，HB＝6．
在 Rt△PHA 中，PH＝AH·tanA＝ 16 ． 3
∴PQ＝PB＝ PH 2 HB2 = 2 145 3
∴在 RtPOB 中， QB
2PB 2
290 3
错解 2 过程中学生在缺少条件的情况下判定 四边形 APQE 为平行四边形，体现出对平行四边 形判定定理掌握得不牢靠。知识是能力的基础， 没有知识的支撑，能力就是空中楼阁。数学的基 础知识包括概念、定理、公式等。错例 2 呈现的 过程可以显示，学生从“未知”转向“已知”的 猜想是有的，也是合理的。但由于没有掌握好平 行 四 边 形 的 判 定 方 法 ，“ 无 解 ” 思 路 被 认 为 是 正 确思路，导致失分。
图 1，在□ABCD 中，AB＝10，AD＝15，tanA=3/4。 点 P 为 AD 边上任意一点，连接 PB，将 PB 绕 点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PQ。
1 试题呈现
1.1 试题
图 1 2017 年河北中考第 25 题图
（2017，河北中考，第 25 题）平面内，如
（1）当∠DPQ＝10°时，求∠APB 的大小；
3.2 教师要找准学生的薄弱知识点
图 5 第 2 问错解情况 2 用图
∵ tan ABP : tan
A
PH HB
:
PH AH
3: 2，
tan
A

4 3
∴tan∠ABP＝2
在 Rt△ABE 中，
AB＝2BE，AE²＋BE²＝AB²
∴(2BE)²＋BE²＝AB²
∵AB＝10
∴BE＝ 2 5 ，AE＝ 4 5
HB＝2x＝4，PH＝4x＝8
∴PQ＝PB＝ PH 2 HB2
= 82 42 4 5 ∴在 RtPOB 中， QB 2PB 4 10 （3）16π，20π 或 32π。
图 2 第 1 问参考答案用图
（2）解法 1
如图 3，过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，连接
BQ。
∵ tan ABP : tan
摘 要：错例暴露学生的真实思维，是学习知识后的反馈，潜藏着丰富的教学资源，具有很大的研究价值。
开展错例研究，可以引导教师充分挖掘错例蕴含的教学资源，促进教师养成研究学生和反思教学的习惯。教师
通过对错例的研究，还能帮助学生理清做题思路，找出错误原因，消除畏难情绪。通过对中考错例的收集、整
理和分析，论述错例分析对课堂教学的指导意义，旨在帮助教师提升专业水平，帮助学生提高学业成绩。
关键词：中学数学；错例分析；课堂教学；审题
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
文章编号：1009-9115(2018)03-0153-05
DOI：10.3969/j.issn.1009-9115.2018.03.038
Analysis of Error Cases and its Enlightenment to Mathematics Teaching
ZHANG Hai-qing1, YANG Cang-yu2
(1. Mathematics Staff Room, Tangshan Twelfth Middle School, Tangshan 063000, China; 2. Mathematics Staff Room, Tangshan Thirty-Fifth Middle School, Tangshan 063000, China)
中，线段 AH 看起来要比线段 BH 短一些，同时
也没有认真计算比例式，于是将结果想当然地写
成了“AH:HB＝2:3”。
第二问的另一种错解如图 5，过点 A 作 AE
⊥PB 于点 E，连接 QE，QB．
∴四边形 APQE 是平行四边形 ∴PQ＝AE＝ 4 5 ∴在 RtPOB 中， QB 2PB 4 10
∵AE⊥PB
∴∠AEP＝90°＝∠EPQ
∴PQ∥AE
如从本题第（2）问的错解 1 中，发现学生 对三角函数的认识还不够透彻。因此要反思关于 锐角三角函数，还可以让学生探索点什么？
关于锐角三角函数，教师在教学中常常强化 的内容是各锐角三角函数的概念和函数值的求 法，掌握特殊角的三角函数值并会利用这些函数 值求对应锐角，这本无可非议，无论课程标准还 是考试说明，这些内容都是明确列为重点必会的 内容。但是锐角三角函数作为比较特殊的一类函 数，它的函数本质是否也应由教师来帮助学生探 究一下呢？从函数定义的角度出发来看三角函 数，对于每一个确定的角度，都有唯一确定的函 数值与其对应。因此，学生就不难理解三角函数 值不随角所处图形的形状大小变化而变化，而是 由角度决定其大小。
已知条件中对点 P 的叙述看似为静态描述， 实际上点 P 是线段 AD 上的一个动点．考生若在 审题时深刻理解“点 P 为 AD 边上任意一点”这 句话，就能够抓住点 P 的动点本质，明确分析这 是一个动态数学问题，知道要仔细考察数学情境 中变化的整个过程，进而就会想到利用分类讨论 对不同情况进行分析。反之，学生若没有深刻认 识到点 P 的任意性，则会直接利用题目呈现的 图，片面分析问题，得到如上错解。