福建省厦门市双十中学2020届高三下第一次月考(理数)答案
所以点
1 4
,
1
，故选
A.
5.【答案】A【解析】【分析】
1
通过三视图可知，该几何体是由一个 球和一个三棱柱组合而成，分别求出它们的体积相加即可.
8
1
【详解】通过三视图可知，该几何体是由一个 球和一个三棱柱组合而成，因此
8
V
1
4
23
1
222
4
4
，故本题选
A.
83
2
3
6
6.【答案】A 解析 a log61 1 log32 ， b log112 1 log34 ， c log115 1 log5
则 A B {x | x 1}.故应选 D.
a 0
2.【答案】B 若在复平面内复数 z 所对应的点位于第一象限，有可得
，可得 0 a 1 ，故是必要
1 a 0
不充分条件
3.【答案】C【解析】【分析】利用拆线图的性质直接求解. 【详解】由一位发烧病人的体温记录折线图，得：
在 A 中，病人在 5 月 13 日 12 时的体温是 38℃，故 A 正确；
6
则根据圆的性质 BD CD AB ，
1 又因为在 Rt ABC 中， AB AC r OD ，
2
1 所以四边形 ABDO 为菱形，所以 AD AB AO a b .故选 C .
2
1 根据 Rt ABC 中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形 ABDO 为菱形，所以 AD AB AO e b .
在 B 中，从体温上看，这个病人的体温逐渐趋于正常，说明病情在逐渐好转，故 B 正确； 在 C 中，病人体温在 5 月 13 日 6 时到 12 时下降最快，故 C 错误； 在 D 中，病人体温在 5 月 15 日 18 时开始逐渐稳定，故 D 正确. 故选 C. 4.【答案】A【解析】【分析】
根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到 P,Q 和 M 三点共线且点 P 在中间时距离和最
7
1 曲线 y f1( x) 的最低点 P1 ， 1, ，
e
对于函数 f2 (x) f1(x) ( x 1)ex ，
其导数 f2(x) ( x 1) ex ( x 1) ex (x 2)ex ，
分析可得在 (, 2) 上， f1(x) 0 ， f1( x) 为减函数， 在 (2, ) 上， f1(x) 0 ， f1( x) 为增函数，
2
8【答案】C【解析】解：令圆的半径为 1，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为
S 2( 2) 4
P
1 .故选：C.
S
设圆的半径为 1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可.
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.
9【答案】 B 由图易得点 C 的横坐标为 ，所以 f (x) 的周期T .
11【答案】D 设双曲线 M 的焦距为 2c ，则 | F1Q | 4c ，由题意得 F1PQ 2 ，所以在 RtPF1Q 中，
2
PF1 2 | PQ |2 F1Q
b
又
由
a | PF1 | b | PQ |
，
可
得
a
| PQ |2 | PQ |2 16c2 ， 则
PF1
4b ，
| PQ | 4a ，由双曲线的定义得 PF1 PF2 2a ，即 4b 2c 2a ，所以 2b a c 所以 4b2 (a c)2 ，
2
4
5
由于 a log32 log34 log53 a b c 。所以选 A
7.【答案】C【解析】解：设圆的半径为 r ，在 Rt ABC 中， ABC ， AC 2 AB ，
2
所以 BAC ， ACB ， BAC 平分线交ABC 的外接圆于点 D，
3
6
所以 ACB BAD CAD ，
小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的方程为 y2 4x ，所以 p 2 ，所以焦点 F(1,0) ，
过点 M 作准线 x 1的垂线，垂足为 M ，由 PF PM ， 依题意可知当 P,Q 和 M 三点共线且点 P 在中间时距离和最小，
如图所示，
1 故点 P 的纵坐标为 1 ，代入抛物线的方程，求得 x ，
3
不妨令
A0
，
0
.因为周期 T
，所以
2
，又
f
6
0
，所以
3
，因此
f
(x)
Asin
2x
3
.函数
f
(
x)
的图象关于点
4 3
,
0
成中心对称、故选
B.
10.【答案】A 分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有 C62C31A22 90 种不同提问方式；若选两个 外国媒体一个国内媒体，有 C61C32 A33 108 种不同提问方式，所以共有 90 108 198 种提问方式，故选 A.
数学（理科）参考答案
1—12 D B C A A A C C B A D D
填空 13【答案】135
3 14.【答案】 , 3
2
15.【答案】9000
16.【答案】2
1.【答案】D【解析】【分析】分别解对数不等式和绝对值不等式得集合 A, B 进而求并集即可.
【详解】 A {x | lg x 0} {x | x 1}， B {x || x 1| 2} {x | 1 x 3}，
x n ，即为 (e 1)x en1 y e n 0 ， n 1 n
eN 1 eN
1
ne e 2
1
曲线
y
f1
(
x
)
的最低点
P1
，
2,
e2
，
1
分析可得曲线 y
f
n
(
x)
的最低点
Pn
其坐标为
n,
en
；
1
1
则
Pn1
n
1,
en1
，
Pn2
n
2,
en2
；
2
2
Pn Pn1
(n
1
n)2
1 en1
1 en
1 1
1
e2n
1
e
，
1
直线 Pn Pn1 的方程为
y eN
11
整理得 3c2 2ac 5a2 0 ，两边除以 a2 得 3e2 2e 5 0 ，解得 e 5 （负值舍去） 3
12.【答案】D【解析】
解：根据题意，函数 f1( x) xex ，
其导数 f1(x) ( x)ex x ex (x 1)ex ，
分析可得在 (, 1) 上， f1(x) 0 ， f1( x) 为减函数， 在 (1, ) 上， f1(x) 0 ， f1( x) 为增函数，
2020届福建省厦门市双十中学高三下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
2020届福建省厦门市双十中学高三下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U C A C B 等于( )A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】D【解析】根据题意得到{} 2,4U C A =，U C B ={}1,2,4，故得到()()U U C A C B ⋂={} 2,4.故答案为D.2．“0a >”是“函数()3f x x ax =+在区间()0,∞+上是增函数”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】求出导数，由题意求出a 的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可． 【详解】解：函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数，所以2()30f x x a '=+在(0,)+∞上恒成立，所以0a ，显然，0a >则有函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数，函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数，a 可以为0，所以“0a >”是“函数3()f x x ax =+在区间(0,)+∞上是增函数”的充分而不必要条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，导数的应用，属于中档题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（ ） A ．0 B ．10C ．15D ．30【答案】C【解析】利用1524a a a a +=+，结合()15552a a S +=求得结果. 【详解】由等差数列性质可知：1524426a a a a +=+=+=()1555561522a a S +⨯∴=== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题. 4．已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．610B ．610 C ．510D ．510+ 【答案】A【解析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==而()sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.5．已知函数()22xxa f x a -=+是奇函数，则()f a 的值等于（ ） A ．13- B ．3C ．13-或3D ．13或3 【答案】C【解析】函数为奇函数，则：()()f x f x -=-，即：2222x xx xa a a a ----=-++恒成立，整理可得：212212x xx xa a a a ⋅--+=⋅++，即21a =恒成立，1a ∴=±， 当1a =时，函数的解析式为：()1212x xf x -=+，()()111211123f a f -===-+， 当1a =-时，函数的解析式为：()1212x x f x --=-+，()()11121312f a f ----=-==-+，综上可得：()f a 的值等于13-或3. 本题选择C 选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．13【答案】C【解析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．7．在△ABC 中，14AN NC =，若P 是直线BN 上的一点，且满足25AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．4- B ．1-C ．1D ．4【解析】由条件14AN NC =得出5AC AN =，再将25AP mAB AC =+化为2AP mAB AN =+，利用平面向量共线定理的推论，即可求解.【详解】因为14AN NC =，所以5AC AN = 即()225255AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+=+因为点,,B P N 三点共线，所以21+=m ，解得1m =- 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量共线定理的推论，属于中等题.8．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4,输出s 的值为484，则输入n 的值为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由程序框图，得4,1;43416,2;163452,3s k s k s k ===⨯+===⨯+==；4524160,4;1603452,5s k s k =⨯+===⨯+==，结束循环，即输入n 的值为4.故选C.9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ）C ．45︒D ．30【答案】C【解析】当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大，由此能求出结果． 【详解】解：如图，当平面BAC ⊥平面DAC 时，三棱锥体积最大 取AC 的中点E ，则BE ⊥平面DAC ， 故直线BD 和平面ABC 所成的角为DBE ∠ 2cos BE DBE BD ∠==， 4DBE π∴∠=．故选：C ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，属于中档题． 10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，tan sin 2A BC +=，若2c =，则ABC 的周长的取值范围是（ ）A ．(2,2B ．(22,4⎤⎦C ．(4,222+D ．(222,6⎤+⎦【答案】C【解析】依题意利用诱导公式及二倍角公式可得21sin22C =，即可得到2C π=，由勾股定理可得224a b =+，再根据基本不等式求出22a b +≤系可得2a b +>，从而得解； 【详解】解：由题意可得cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C Cπ+⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21sin 22C =即1cos 122C -=，所以cos 0C =，即2C π=，由此可得ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，则()()222224222a b a b a b ab a b +⎛⎫=+=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，所以a b +≤所以ABC的周长2a b c ++≤+又三角形满足两边之和大于第三边，则2a b +>，所以4a b c ++>，综上可得，ABC的周长的取值范围是(4,2+故选：C 【点睛】本题考查二倍角公式及基本不等式的应用，属于中档题. 11．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 【答案】C【解析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11ea e≤<--.综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C.本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．12．已知椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点为,F O 原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4AF =，则PA PO +的最小值为（ ） A ．213 B ．42C ．313D ．46【答案】A【解析】易知抛物线方程为28x y =，利用抛物线定义确定出A 点坐标，求出A 关于准线的对称点B ，则PA PO PB PO +=+，利用三点共线即可求出最值. 【详解】由题意，椭圆2221,5145y x c +=∴=-=，即2c =，则椭圆的焦点为()0,2±，不妨取焦点()0,2,F 抛物线244a x ay y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴抛物线的焦点坐标为0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 椭圆2215y x +=与抛物线2x ay =有相同的焦点F ，24a ∴=，即8a =，则抛物线方程为28x y =，准线方程为2y =-，4AF =，由抛物线的定义得：A ∴到准线的距离为4,24y +=，即A 点的纵坐标2y =，又点A 在抛物线上，4x ∴=±，不妨取点A 坐标()4,2A ，A 关于准线的对称点的坐标为()4,6B -，则PA PO PB PO OB +=+≥， 即,,O P B 三点共线时，有最小值，最小值为()2246163652213OB =+-=+==，故选A.本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.二、填空题13．已知复数z 满足4312iiz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在第_________象限． 【答案】三【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z ，得到z 的坐标得答案. 【详解】 解：4312iiz i+=+， 4343(43)(2)51012(12)2(2)(2)5i i i i iz i i i i i i +++----∴=====--+-+-+--，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--，在第三象限．故答案为：三． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 14．若14x π=，234x π=是函数()()sin 0f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω等于______． 【答案】2【解析】由21x x -等于半个周期可得． 【详解】由题意2132()2()44T x x πππ=-=⨯-=，222T ππωπ===． 故答案为：2． 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查周期的概念，属于基础题．15．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作其渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线C 右支于点P ，若22F P PM =，且【答案】2【解析】由2F M OM ⊥，OM 是渐近线，求出2F M ，从而可得2F P ，由双曲线定义得1F P ，然后用余弦定理得出,,a b c 的等式，从而求得离心率． 【详解】由题意2(,0)F c ，渐近线方程为b y x a =，即0bx ay -=，∴2F M b ==， ∵22F P PM =，∴222233PF MF b ==，由双曲线定义得122PF PF a -=，∴1223PF a b =+， 又122F F c =，12120F PF ∠=︒， 在12PF F △中由余弦定理得222422214(2)2(2)()93332c b b a b b a =++-⨯⨯+⨯-，又222c a b =+，化简得23b a =，即32b a =，∴2c e a a ====．故答案为：2． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等式，考查了学生的运算求解能力．16．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足()()3f x f x -=，()13f -=，数列{}n a 满足11a =且()()*1n n n a n a a n N +=-∈，则()()20192020f a f a +=______．【答案】3【解析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可． 【详解】 解：函数()f x 是奇函数，且满足(3)()f x f x -=，(1)3f -=，()(3)(3)f x f x f x ∴=-=--，即(3)()f x f x +=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=， 即函数()f x 是周期为6的周期函数，由数列{}n a 满足11a =且1()+=-n n n a n a a (*)n N ∈， 则1n n n a na na +=-， 即1(1)n n n a na ++=，则11n n a na n++=， 则2121a a =，3232a a =．11n n a na n -⋯=-， 等式两边同时相乘得3212123121n n a a a n a a a n -⋯=⨯⨯⋯⨯-， 即1na n a =，即1n a na n ==， 即数列{}n a 的通项公式为n a n =， 则()()()()()()20192020()()20192020633636336434f a f a f f f f f f +=+=⨯++⨯+=+，()f x 是奇函数，(0)0f ∴=，()13f -=，()()3f x f x -=，()()300f f ∴==，()()41f f =-所以()()34033f f +=+=则()()()()20192020()()20192020343f a f a f f f f +=+=+=， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查函数与数列的综合，求出函数的周期以及数列的通项公式，结合函数的周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题17．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率. 【答案】（1）265公斤 （2）0.7【解析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值；（2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可. 【详解】 （1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4500.0015100+⨯⨯ 265=故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润()=2515250=2500y ⨯－元, 当日需求量低于250公斤时，利润()()=25152505=151250y x x x ---⨯-元 所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩由1750y ≥得，200500x ≤≤, 所以()1750P y ≥＝()200500P x ≤≤=0.0030100+0.0025100+0.0015100=0.7⨯⨯⨯故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题. 18．已知()2cos ,2sin ,sin ,cos 66a x x b x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()cos<,>f x a b =. （Ⅰ）求函数()f x 零点；（Ⅱ）若锐角ABC 的三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()1f A =,求b ca+的取值范围. 【答案】（1）212k x ππ=+；（22b ca +<≤. 【解析】（1）利用平面向量数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式化简,ab ，利用平面向量夹角余弦公式可得()f x 的解析式，利用正弦函数的性质可得函数()f x 零点； （2）由正弦定理得bc a +sin sin sin B C A +=，先求出3A π=，上式化为2sin()6B π+，求出6B π+范围，根据正弦函数的单调性可得结果.【详解】（Ⅰ）由条件可知2cos sin 2sin cos 2sin(2)666a b x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2sin 26()cos ,sin 2,26||||x a b f x a b x a b ππ⎛⎫- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭∴=<>===- ⎪⋅⎝⎭ 所以函数()f x 零点满足sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 由2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈． （Ⅱ）由正弦定理得sin sin sin b c B Ca A++=， 由（Ⅰ）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 而()1f A =，得sin(2)1,22()662A A k k Zππππ-=∴-=+∈，又(0,)A π∈，得3A π=，23C B π∴=-代入上式化简得： 23sin sin sin 322sin sin B B B Bb c a A Aπ⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭==3sin 62sin ,sin 6B B A ππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭ 又在锐角ABC 中，有022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩2,62363B B πππππ∴<<∴<+<， 则有32sin()16B π<+≤，即：32b c a +<≤. 【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19．如图，在多面体ABCDEF 中，,,AD BE CF 均垂直于平面ABC ，AC BC =，2AD =，4BE =，3CF =.（1）过CF 的平面α与平面ABED 垂直，请在图中作出α截此多面体所得的截面，并说明理由；（2）若0120ACB ∠=，43AB =ABCDEF 的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）123【解析】（1）取,AB DE 的中点,G H ，连接,,CG FH HG ，则平行四边形CFHG 即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面CFHG ⊥平面ABED 即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积． 【详解】（1）取,AB DE 的中点,G H ，连接,,CG FH HG ，则平行四边形CFHG 即为所求的截面.理由如下：因为,,AD BE CF 均垂直于平面ABC ， 所以////AD BE CF ， 因为2AD =，4BE =， 所以四边形ABED 为梯形． 又,G H 分别为,AB DE 中点， 所以//HG BE ，3HG =， 所以//HG CF ，HG CF =， 所以CFHG 为平行四边形， 因为AC BC =，G 为AB 中点， 所以CG AB ⊥．又AD ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ， 所以AD CG ⊥． 又AB AD A ⋂=， 所以CG ⊥平面ABED 又CG ⊂平面CFHG ，所以平面CFHG ⊥平面ABED ， 所以平行四边形CFHG 即为所作的截面. （2）法一：过点A 作AM BC ⊥于点M ．因为BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以BE AM ⊥，又BC BE B ⋂=，,BC BE ⊂平面BCFE ， 所以AM ⊥平面BCFE在ABC ∆中，AC BC =，0120ACB ∠=，43AB =， 得4AC BC ==， 所以0144sin120432ABC S ∆=⨯⨯⨯=， 因为03·sin604232AM AC ==⨯=， 所以()111283··344233323D BCFE BCFE V S AM -⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦， 1183··43233D ABC ABC V S AD -∆==⨯⨯=， 所以83283123ABCDEF D ABC D BCFE V V V --=+=+=. 法二：将多面体ABCDEF 补成直三棱柱'''ABC A B C -， 其中'4A D =，'2B E =，'3C F =，'6AA =， 则'''12ABCDEF ABC A B C V V -=在ABC ∆中，AC BC =，0120ACB ∠=，43AB =， 得4AC BC ==， 所以0144sin120432ABC S ∆=⨯⨯⨯=， 所以'''·'436243ABC A B C ABC V S AA -∆==⨯=， 所以123ABCDEF V =.法三：在多面体ABCDEF 中作直三棱柱ABC DPQ -，则ABCDEF ABC DPQ D EFQP V V V --=+，在ABC ∆中，AC BC =，0120ACB ∠=，43AB = 得4AC BC ==， 所以0144sin120432ABC S ∆=⨯⨯⨯= 设BC 边上的高为AM ， 则03·sin60432AM AC ==⨯= 因为BE ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以BE AM ⊥，又BC BE B ⋂=，BE ⊂平面BCFE ， 所以AM ⊥平面BCFE ．所以·43283ABC DPQ ABC V S AD -∆=== ()111··1242343332D EFQP EFQP V S AM -⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦所以8343123ABCDEF ABC DPQ D EFQP V V V --=+== 【点睛】对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．20．已知函数()()2xf x eaxx a =++．（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()221xf x eax x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调性见解析；（2）(],1-∞.【解析】（1）对()f x 求导，得到导函数等于0时的两根，然后对两根的大小以及结合a 的正负进行分类讨论，得到导函数值的正负，然后得到原函数的单调区间（2）对恒成立问题进行参变分离，得到1x a x e≤+，即求不等号右边函数的最小值，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为R ，()()()11xf x e ax a x ++'=+1）当0a =时，()()1xf x ex '=+，所以函数()f x 在(),1-∞-单调递减，在()1,-+∞单调递增； 2）当0a ≠时，()()11xa f x ae x x a '+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 且方程()0f x '=有两根-1，1a a+-； ①当0a >时，11a a+->-， 所以函数()f x 在1,1a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，在1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,-+∞单调递增；②当0a <时，11a a +-<，所以函数()f x 在(),1-∞-，1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减， 在11,a a +⎛⎫--⎪⎝⎭单调递增. 综上，当0a =时，函数()f x 在(),1-∞-单调递减、在()1,-+∞单调递增； 当0a >时，函数()f x 在1,1a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减、在1,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(),1-∞-，1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减、在11,a a +⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增.（2）函数()()221xf x eaxx ≤++恒成立， 即1x x ae e x ≤+，即1x a x e≤+， 设函数()1x g x x e =+，则()111x x xe g x e e --='=，令()0g x '=，解得0x =，所以函数()g x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增， 所以函数()g x 的最小值()min 1g x =所以min 11x a x e ⎛⎫≤+= ⎪⎝⎭ 所以a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】通过求导得到函数的单调区间，分类讨论的数学思想，恒成立问题利用参变分离求参数的范围.题目综合程度高，对计算的要求也比较高，属于难题.21．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)x y a b a b +=>>，C 2与C 1∶1，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程； （2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PAPB为定值； ② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22182x y +=；（2）①见解析，②见解析. 【解析】（1）由题所求椭圆a=,离心率c a =，由222a b c =+得b 即可；（2）①当直线OP 斜率不存在时，得PA3PB=-当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =，与椭圆联立2A24x 4k 1=+，同理2P 28x 4k 1=+，推得P A x =从而P AP A P B P Ax x x x PA PB x x x x --==-+可求；②设()00P x y ，，直线1l 的方程为()010y y k x x -=- 即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程得()222114k 1x 8k tx 4t 40+++-=，由0=，得2214k t 10-+=，再将010t y k x =-代入得()222010010x 4k 2x y k y 10--+-=，同理，得到关于12k k ，为根的方程()2220000x 4k 2x y k y 10--+-=，由韦达定理及点P 在椭圆上化简即可求得121k k 4⋅=-为定值 【详解】（1）设椭圆C 2的焦距为2c，由题意，a =，c a 2=，222a b c =+，解得b =C 2的标准方程为22x y 182+=．（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，PA 1=，PB 1=，则PA 3PB ==- 2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y kx =， 代入椭圆C 1的方程，消去y ，得()224k 1x 4+=， 所以2A 24x 4k 1=+，同理2P 28x 4k 1=+．所以22P A x 2x =，由题意，P A x x 与同号，所以P A x =，从而P A P A P B P A x x x x PA 3PB x x x x --====--+所以PA3PB=-为定值． ②设()00P x y ，，所以直线1l 的方程为()010y y k x x -=-，即1010y k x y k x =+-，记010t y k x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得()222114k 1x 8k tx 4t 40+++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以()()()222118k t 44k 14t 40=-+-=，即2214k t 10-+=，将010t y k x =-代入上式，整理得，()222010010x 4k 2x y k y 10--+-=，同理可得，()222020020x 4k 2x y k y 10--+-=，所以12k k ，为关于k 的方程()2220000x 4k 2x y k y 10--+-=的两根， 从而201220y 1k k x 4-⋅=-．又点在()00P x y ，椭圆C 2：22x y 182+=上，所以22001y2x4=-，所以212212x114k kx44--⋅==--为定值．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为2cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的极坐标方程为2cos2sinρθθ=-.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程，并求出曲线C上到直线l的距离最大的点的坐标，（2）求曲线C的极坐标方程，并设,A B为曲线C上的两个动点，且0OA OB→→⋅=，求2||AB→的取值范围.【答案】（1）曲线22:14xC y+=，直线:220l x y--=，2(2,2P（2）16[,55]【解析】分析：（1）先消参得到曲线C的直角坐标方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程,再利用三角函数的图像和性质求出曲线C上到直线l的距离最大的点的坐标.(2)转化成求22212||ABρρ=+的值.详解：（1）曲线22:14xC y+=，直线:220l x y--=，则曲线C上点到直线l的距离2cos2sin22sin14555dθθπθ--⎡⎤⎛⎫===-+⎪⎢⎥⎝⎭⎦，当34πθ=时，d最大，此时，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）曲线C 的极坐标方程为2222cos 4sin 4ρθρθ+=，即222244cos 4sin 3sin 1ρθθθ==++. 设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22212222442016||[,593sin 13cos 15sin 244AB ρρθθθ=+=+=∈+++ ]. 点睛：（1）本题主要考查参数方程极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)对于第（2）问，可以利用直角坐标，也可以利用极坐标解答，直接利用极坐标解答简洁一些.23．已知函数()2f x x a =+．（1）当1a =时，解不等式()5f x x ≥+；（2）若0a >，0b >，()()2g x f x x b =+-的最小值为1，证明：33184a b +≥． 【答案】（1）(][),24,-∞-⋃+∞；（2）证明见解析；【解析】（1）当1a =时，原不等式即为215x x +≥+，分两种情况讨论，分别计算可得；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 2g x a b =+，即21a b +=，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）当1a =时，()21f x x =+，所以()5f x x ≥+，即215x x +≥+，所以12215x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥+⎩或()12215x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+≥+⎩，解得4x ≥或2x -≤，所以原不等式的解集为(][),24,-∞-⋃+∞（2）由题意得()()22222222g x f x x b x a x b x a x b a b =+-=++-≥+-+=+，当且仅当2a xb -≤≤时等号成立，所以21a b +=，所以()()333332186286a b a b ab a b a b ab+==+++=++233332383824a b a b a b +⎛⎫≤++⨯=++ ⎪⎝⎭，当且仅当11,24a b ==时等号成立， 所以33184a b +≥【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，属于中档题.。
厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查理科参考解答
在 HON 中： NH = 1 NF = 3 ， OH = 1 BM = 1 AN = 3 ， NO = 6
2
2
2
所以 cos HON = 6 + 3 − 3 = 2 ------------------------------------------------------------------------------ 11 分 2 6 3 2
2
2
2
所以 sin B = 2sin B cos B ------------------------------------------------------------------------------------------- 3 分
2
22
又 sin B 0 ，所以 cos B = 1 -------------------------------------------------------------------------------------- 4 分
所以二面角 N − BE − M 的余弦值为 2 .------------------------------------------------------------------------12 分 2
19．本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数
厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查
数 学（理科）试题参考解答
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号 1
2
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福建省厦门双十高三数学第一次月考理新人教A版
俯视图高三第一次月考 数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是 （ ） A ．→--AB ＝→--DCB ．→--AD ＋→--AB ＝→--ACC ．→--AB －→--AD ＝→--BDD ．→--AD ＋→--CB ＝→0 2．函数y=)23(log 21-x 的定义域是（ ）A ．［1，+∞）B ．（32,+∞）C ．［32，1］D ．（32,1］3．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ）ABC D ．83 4．已知向量,a b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b-等于（ ）A B C D ．45．已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥-3D ．a ≤-36．设函数⎩⎨⎧<--≥+=1,22,1,12)(2x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围 （ ）A ．),1()1,(+∞--∞B ．[)+∞--∞,1)1,(C ．),1()3,(+∞--∞D ．[)+∞--∞,1)3,( 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 和C 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ．12C ．—2D ．—128．定义21---=⊗ka ab b a ，则方程x x ⊗=0有唯一解时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．}5,5{- B ．]2,1[]1,2[ --C ．]5,5[-D ．]5,1[]1,5[ --9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置． 11．函数176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在[]1,3-∈x 上的值域为 ．12．设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 13．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[-1，1]上至少存在一个实数c使f （c ）>0，则实数p 的范围 ．15．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中正确．．的是 ． 若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n ○2若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n若⊥m βα⊥m ,，则α∥β ○4若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ16．研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：解：由02>+-c bx ax ⇒0)1()1(2>+-xc x b a ，令x y 1=，则)1,21(∈y ， 所以不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,21(．参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++cx bx a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。
2020届福建省厦门高三12月月考数学（理）试题
2020届福建省厦门第一中学高三12月月考数学（理）试题一、单选题1．若i 是虚数单位，且复数()(12)z a i i =-+为实数，则实数a 等于（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2【答案】C【解析】先根据复数乘法运算法则化简复数，再由虚部为0，列出式子解出a 即可. 【详解】()(12)(2)(21)z a i i a a i =-+=++-，因为复数z 为实数， 故210a -=，解之得12a =. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，解题关键是正确区分实数、虚数、纯虚数的概念，属于基础题. 2．已知0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】根据特殊值0和1与指数函数对数函数的单调性逐一比较大小. 【详解】对于0.7log 0.8a =，0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=1.1 1.1log 0.9log 10b =<= 0.901.1 1.11c =>=所以：b a c << 故选：A 【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于根据函数单调性和特殊函数值的大小关系，利用不等式的传递性解题.3．设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+，向量AM 与AB 夹角的余弦值为（ ）A ．63B ．3 C ．1912D ．41919【答案】D【解析】根据向量的平方等于模长的平方得到19AM =，再将1123AM AB AC=+两边用AB 点乘，2,3AB AM ⋅=由向量点积公式得到夹角的余弦值. 【详解】22211||()()23AM AM AB AC ==+22111119()()2232336AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=，196AM =，对1123AM AB AC =+两边用AB 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=与AB 夹角的余弦值为419AM AB AM AB ⋅=. 故选D. 【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）.4．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）A ．12B ．32C ．116D ．1136【答案】C【解析】根据三视图得到原图，再由割补法得到体积. 【详解】该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，由直三棱柱的体积减去小三棱锥的体积即可得到结果，则其体积为111112*********V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选C. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,其准线与双曲线2213y x -=相交于M 、N 两点,若MNF △为直角三角形,其中F 为直角顶点,则p =A ．6B ．33C 3D ．3【答案】D【解析】分析：写出抛物线的准线方程，代入双曲线方程求出,M N 的纵坐标，由MNF ∆是直角三角形，知它是等腰直角三角形，从而有2MN p =，由此可解得p ．详解：抛物线的准线是2p x =-，代入双曲线方程得，22134y p -=，23(4)p y +=，∵MNF ∆是直角三角形，∴它是等腰直角三角形，23(4)p p +=，解得23p = 故选D ．点睛：本题考查抛物线的准线方程，解题关键是由MNF ∆是直角三角形，知它是等腰直角三角形，从而有2MN p =，因此只要求出M 点坐标即可得结果，本题是解析几何的基本题型．6．各项均为正数的等差数列{a n }中，a 4a 9=36，则前12项和S 12的最小值为（ ） A ．78 B ．48C ．60D ．72【答案】D【解析】试题分析：利用基本不等式，结合等差数列的求和及通项公式，即可求出前12项和S 12的最小值． 解：由题意，a 4+a 9≥2=12， ∴S 12=（a 1+a 12）=6（a 4+a 9）≥72，故选D ．【考点】等差数列的性质．7．已知函数()sin()f x A x ωφ=+，且()(),()()3366f x f x f x f x ππππ+=--+=-，则实数ω的值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到263T k π=-，再结合2T πω=求得63k ω=-，从而求得结果.详解：根据题意可知，点(,0)3π是图像的一个对称点，直线6x π=是图像的一条对称轴，所以会有214366k T πππ-=-=，从而可以求得263T k π=-()k N *∈，所以有22()63k N k ππω*=∈-，从而得63k ω=-，从而可以求得可以是3，故选B. 点睛：该题考查了三角函数图像的对称性、周期性等，在做题的过程中，需要我们注意对称中心与对称轴的距离与周期的关系，还有要注意就是取值可以是谁这些关键字. 8．若函数22()log 2ax f x x x +=+-为奇函数，其中0a >，则使不等式21()log 60f m ->成立的m 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．1(,1)2C ．(0,1)D ．(1,)+∞【答案】B【解析】利用函数22()log 2ax f x x x +=+-为奇函数，求出a ，不等式21()log 60f m->，即不等式21()log 6(1)f f m >=，又22()log 2x f x x x+=+-在()2,2-上单调递增，即可求出m 的取值范围． 【详解】∵函数22()log 2axf x x x+=+-为奇函数， ∴()()f x f x -=-,即2222log log 22ax axx x x x-+-+=--+-，0a >，∴1a =，所以22()log 2xf x x x+=+-，2222(1)1log 3log 2log 3log 6f =+=+=， 不等式21()log 60f m ->，即不等式21()log 6(1)f f m>=， 函数22()log 2xf x x x+=+-的定义域为(1,1)-， ∵22()log 2xf x x x+=+-在()2,2-上单调递增， ∴121m>>， ∴112m <<，即1(,1)2m ∈.故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.9．函数()y f x =的定义域为R ，且()()()x f x f x a ϕ=-+，对任意0a <，()x ϕ在R 上是增函数，则函数()y f x =的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于四个选项，举出对应的具体函数()f x ，然后利用函数的单调性验证()x ϕ是否在R 上递增，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，取()2xf x =，则()()22222122xx ax a x a x x ϕ+=-=-⋅=-⋅，由于0a <，故120a ->，故()()122axx ϕ=-⋅为增函数，符合题意.对于B 选项，取()122xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()11111122222x a xa x x ϕ⎛⎫=-+⋅=-⋅ ⎪⎝⎭，由于10,102a a -，故()11122ax x ϕ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭为减函数，不符合题意.对于C 选项，取()3f x x =，则()()332233x x x a ax a x a ϕ=-+=---，这是一个开口向上的二次函数，在对称轴两侧单调性相反，不符合题意.对于D 选项，取()f x x =，则()x a ϕ=-，是常数函数，不符合题意.综上所述，选A. 【点睛】本小题考查函数的图像与性质，考查利用特殊值法解选择题，考查了函数单调性.属于中档题.10．已知函数()f x kx =，ln ()x g x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)eD ．1(,)e+∞【答案】A【解析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过导数研究函数的单调性即极值，通过对k 与函数()h x 的极值的大小关系的讨论得到结果. 【详解】易知当k ≤0时，方程只有一个解， 所以k >0．令2()ln h x kx x =-，21211)()2kx h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得x =，x =为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()001h e h e h e e≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A. 【点睛】该题考查的是有关根据方程在某个区间上的根的个数求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意将根的个数转化为函数图象交点的个数来完成，属于中档题目. 11．函数()tan()f x x ωϕ=+(0||,0)2πϕω<<>某相邻两支图象与坐标轴分别交于点2(,0),(,0),63A B ππ则方程()cos(2),[0,]3f x x x ππ=-∈所有解的和为（ ）． A ．56πB ．2π C ．512π D ．4π 【答案】A【解析】利用函数()f x 某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得2ω=，从而得到()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出函数()f x 及()g cos 23x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称点，从而发现它们都关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，在同一坐标系中，作出()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，结合图像即可求解． 【详解】由函数()()tan 0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+< ⎪⎝⎭某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点2,0,,063A B ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：236T πππω=-=.解得：2ω=.所以()()tan 2f x x ϕ=+ 将,06A π⎛⎫⎪⎝⎭代入上式得：tan 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0，解得：3πϕ+=()k k z π∈，又02πϕ<<，所以3πϕ=-.所以()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令23x π-=2k ππ+，则()5122k x k z ππ=+∈ 所以()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于点5,0122k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称． 令()g cos 23x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且23x π-=2k ππ+，解得：()5122k x k z ππ=+∈. 所以()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于点5,0122k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭对称. 所以函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 在同一坐标系中，作出()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，如图：由图可得：函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与()g cos 23x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像在[]0,x π∈上有两个交点，这两个交点关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 所以方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭有且只有两个零点12,x x ，且 125212x x π+=. 所以方程()[]cos 2,0,3f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭所有解的和为：1256x x π+=. 故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题．12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 的动点，则下列4个命题中正确的有（ ）个（1）11DC D P ⊥ （2）平面11D A P ⊥平面1A AP（3）1APD ∠的最大值为90 （4）1AP PD +22+A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】分别连接1CD ，1DC ，作出图形后逐一分析：对于（1），利用线面垂直的判定定理可证1DC ⊥平面11A BCD ，而1D P ⊂平面11D DCC ，故（1）正确；对于（2），11D A ⊥平面11A ABB ，而平面11A ABB ，就是平面1A AP ， 故平面11D A P ⊥平面1A AP ，从而可判定（2）正确； 对于（3），当1202A P <<时，1APD ∠为钝角，故可判断（3）错误； 对于（4），将面1AA B 与面11A BCD 沿1A B 展成平面图形，线段1AD 即为1AP PD +的最小值，通过解三角形11AA D 可求得122AD =+，可判断（4）正确．【详解】分别连接1CD ，1DC ，如图：对于（1），∵11A D ⊥平面11D DCC ，1DC ⊂平面11D DCC ，∴111A D DC ⊥ ,又11A B DC ⊥ ，1111A D A B A = ，∴1DC ⊥ 平面11A BCD ，1D P ⊂ 平面11D DCC ，∴11DC D P ⊥，正确； 对于（2），∵平面11D A P 即为平面11D A BC ，平面1A AP 即为平面11A ABB ， 且11D A ⊥ 平面11A ABB ， ∴平面11D A BC ⊥ 平面11A ABB ， ∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，正确；对于（3），在1D AP ∆中，由余弦定理可知，当1202A P <<时，1APD ∠为钝角，错误；对于（4），将面1AA B 与面11A BCD 沿1A B 展成平面图形，线段1AD 即为1AP PD +的最小值，在11AA D ∆中，利用余弦定理解三角形得122AD =+，正确.故选：C. 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查空间几何体中直线和平面的位置关系，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值为________ 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.14．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组()22224011x y x x y ⎧+≤⎪⎪≤⎨⎪++≥⎪⎩或()2211x y +-≤来表示，设(),x y 是阴影中任意一点，则2z x y =+的最大值为___________.【答案】15+【解析】直接利用线性规划知识求最值． 【详解】如图，作出直线l ：20x y +=，当直线l 往上平移至与阴影部分的圆()2211x y +-=的边界相切时，z 最大， 此时圆心()0,1到直线2x y z +=的距离等于半径1，即：2201121z +-=+.解得：15z =+ 【点睛】本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题．15．已知1F 、2F 为双曲线C ：2221(0)2x y b b -=>的左、右焦点，点A 为双曲线C 右支上一点，1AF 交左支于点B ，2AF B ∆是等腰直角三角形，22AF B π∠=，则双曲线C 的离心率为____． 【答案】3【解析】根据双曲线的定义得1221222AF AF BF BF a -=-==，根据2AF B ∆是等腰直角三角形得22AF BF =,解得224BF AF ==，1422BF =-，1422AF =+，42AB =，再由余弦定理可得到结果.【详解】设双曲线的实半轴长为a ，半焦距为c .如图，根据双曲线的定义得1221222AF AF BF BF a -=-==2AF B ∆是等腰直角三角形得22AF BF =，解得224BF AF ==，1422BF =-，1422AF =+，42AB =.在12AF F中，由余弦定理得(222212||444F F c ==++(244cos244π-⨯⨯+⨯=，解得c =则双曲线C的离心率为c a ==【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 16．已知数列{}n b 的前n 项和n S 满足：(1)(2)n n nS b n n =-++，则n S 为__________．【答案】111()22n n S n +=-+ 【解析】当2n ≥时，1n n n b S S -=-，将已知式子变形得：1((1)(2))n n n n S S S n n -=--++，继而推出1112()2(1)2n n S S n n --=-+-+，可知数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解n S 即可. 【详解】当2n ≥时，1n n n b S S -=-，∴1((1)(2))n n n n S S S n n -=--++，也即：12(1)(2)n n nS S n n -++=+，1112()2(1)2n n S S n n -∴-=-+-+，即：111212(1)2n n S n S n --+=--+， 当1n =时，1116S b =-，解得：1112S =，11134S -=-，∴数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭是以14-为首项，公比为12的等比数列， ∴111()22n n S n +-=-+，即111()22n n S n +=-+. 故答案为：111()22n n S n +=-+.【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是由1(2)n n n b S S n -=-≥，将已知式子变形得：1((1)(2))n n n n S S S n n -=--++，进一步得出数列12n S n ⎧-+⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，考查逻辑思维能力和运算能力，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1AD =，2DC =，求AC 的长. 【答案】（1）sin 1sin 2B C ∠=∠；（2）1AC =.【解析】（1）先根据面积比得到2AB AC =，再根据平分关系和正弦定理得到sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠；（2）根据边角关系，设AC x =，2AB x =， 由ADB ADC π∠+∠=，知cos cos ADB ADC ∠=-∠，由余弦定理得到cos ADB ∠和cos ADC ∠，建立方程求解即可. 【详解】 （1）由题1sin 2ABDS AB AD BAD =⋅⋅∠，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABDACDSS=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =，由正弦定理可知：sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠；（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，2DC =，∴BD = 设AC x =，则2AB x =，在ABD ∆与ACD ∆中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅，22223cos 2xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠223x -=解得1x =，即1AC =. 【点睛】本题考查正、余弦定理和三角形中的几何计算，考查计算能力，属于常考题. 18．已知数列{}n a ，{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 的前n 项和2n n S n a = *()n N ∈，数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）1(1)n a n n =+，2nn b =；（2）()()21243421,43242143n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩为奇数，为偶数. 【解析】（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{}n a 的通项公式，12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，由此求出{}n b 的通项公式； （2）当n 为奇数时，()241131113n n n T b b b a a na -⎛⎫=+++++++⎪⎝⎭，当n 为偶数时，()241311113(1)n n n T b b b a a n a -⎡⎤=+++++++⎢⎥-⎣⎦，由此能推出数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）因为2n n S n a =*()n N ∈， 当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-， 所以2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，所以1(1)(1)n n n a n a -+=-，即111n n a n a n --=+， 又112a =，所以12321123211232111.11432(1)n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=⋅⋅⋯⋅⋅=⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=+-+， 当1n =时，上式成立， 所以1(1)n a n n =+，因为12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn b =； （2）当n 为奇数时，()()24124113111[24(1)]2223n n n n T b b b n a a na --⎛⎫=+++++++=++++++++ ⎪⎝⎭()122141421143421221443n n n n n n --⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭=⋅+=+--， 当n 为偶数时，()()2424131111(24)2223(1)n n n n T b b b n a a n a -⎡⎤=+++++++=+++++++⎢⎥-⎣⎦()2241422421221443nn n n n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=⋅+=+--， 因此()()21243421,43242143n n n n n n T n n n -⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩为奇数，为偶数. 【点睛】本题考查用累乘法求数列的通项公式，考查数列的求和方法，考查了推理能力和计算能力，属于常考题.数列求和的方法一般有：倒序相加法、分组（并项）求和法、裂项相消法、错位相减法等.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，,AD BC λ=//,AD BC 90,BCD ∠=M 为线段PB 上一点．(1)若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90角，二面角B PC D --的余弦值为1010-，求CD 的长． 【答案】（1）存在，点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点；（2）2. 【解析】(1) 延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ．通过证明AMPE 及13AD BC =，AD BC 可得M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P ．(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面1PBC n 法向量和平面PCD 的法向量2n ，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t 的值，进而求得CD 的长． 【详解】解：（1）延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD . 若AM平面PCD ，由平面PBE ⋂平面PCD PE =，AM ⊂平面PBE ，则AM PE .由13AD BC =，AD BC ，则13PM EA PB EB ==， 故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点.（2）∵PA AD ⊥，PA CD ⊥，AD CD D ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥平面ABCD以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0D ，(),1,0C t ，1,1,0B t λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则10,2,0BC λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),1,2PC t -，(),0,0CD t -设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =.由1n BC ⊥，1n PC ⊥得1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112020y tx y z λ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+-=⎩， 令11x =，则12t z =，故11,0,2t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理可求得()20,2,1n =.于是1212cos n n n n θ⋅=，2102152t t =⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭解之得2t =±（负值舍去），故2t =.∴2CD =. 【点睛】本题考查了立体几何的证明，空间向量在夹角问题中的综合应用，法向量的求法与用法，属于中档题．20．动点P 到(1,0)F 距离与到直线4x =的距离之比为12，记动点P 的轨迹为C . （1）求出曲线C 的方程，并求出||2||PA PF +的最小值，其中点(1,1)A（2）,M N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点1(0,)2，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠，若存在，请求出定点Q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=，最小值为3；（2）存在，定点(0,6)Q .【解析】（1）设动点为(,)P x y ，设点P 到直线4x =的距离为d ，由动点P 到(1,0)F 距离与到直线4x =的距离之比为12，利用直接法求出点的轨迹；又||2||||PA PF PA d +=+，||PA d +的最小值即为点A 到直线4x =的距离；（2）假设存在满足题意的定点Q ，设(0,)Q m ，设直线l 的方程为12y kx =+， 11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x ，得()22344110k x kx ++-=，利用韦达定理以及MQO NQO ∠=∠，得直线MQ 与NQ 的斜率和为零，建立方程求解m 即可. 【详解】（1）设动点(,)P x y ，设点P 到直线4x =的距离为d ，由已知||12PF d =12=， 化简得到轨迹C 的方程为：22143x y +=，所以||2||||PA PF PA d +=+，||PA d +的最小值即为点A 到直线4x =的距离，最小值为3；（2）假设存在满足题意的定点Q ，设(0,)Q m ，设直线l 的方程为12y kx =+， 11(,)M x y ，22(,)N x y ，由2214312x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去x ，得()22344110k x kx ++-=， 由直线l 过椭圆内一点1(0,)2作直线，故>0∆， 由韦达定理得：122434k x x k -+=+，1221134x x k-⋅=+， 由MQO NQO ∠=∠，得直线MQ 与NQ 的斜率和为零，所以有：1212MQ NQ y m y mk k x x --+=+， ()121212121211122220kx x m x x kx m kx m x x x x ⎛⎫+-++-+- ⎪⎝⎭=+==， 故：()1212222111144(6)22023423434k k m kx x m x x k m k kk ---⎛⎫⎛⎫+-+=⋅+-⋅== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，6m ∴=,所以存在定点(0,6)，当直线l 斜率不存在时定点(0,6)也符合题意， 综上所述，定点(0,6)Q . 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的几何性质，考查椭圆中满足某种条件的定点问题，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题.21．已知定义域为R 的函数()nn f x x =（*n N ∈，2n ≥）（1）设21()()(1)n n F x f x f x -=⋅-，求()F x 的单调区间；（2）设'()n f x 为()n f x 导数，（i ）证明：当2a ≥，0x >时，1x a x a +>+；（ii ）设关于x 的方程''11(1)21(1)21n n n n f x f x +++-=+-的根为0x ，求证：001x << 【答案】（1）当n 为奇数时()F x 的增区间为21(,)31n n --∞-，减区间为21(,)31n n -+∞-；当n 为偶数时()F x 的增区间为21(,)31n n --∞-及(1,)+∞，减区间为21(,1)31n n --．（2）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析． 【解析】（1）对()()211nn F x x x -=-，求导可得()()()12221'31131n n n F x n x x x n ---⎛⎫=---- ⎪-⎝⎭，分当n 为大于1的奇数，和n 为偶数时两种情况讨论可得()F x 的单调区间； （2）（i ）设()1x x ax a ϕ+=--，0x >，求导得()1'ln 1x x a a ϕ+=-，根据()'x ϕ研究()x 的单调性，ϕ即可得到所证结论；（ii ）()'1n nfx nx-=，原方程化为()()()()()11121112111n n nn n x nn x n x -++-==++-++解得()()()0121121n nn x n -+=+-，因为2n ≥，所以00x >；作差得，()()10221121n n n x n ++--=+-，由（i ）知，可得122n n +>+，所以010x -<，即可得证. 【详解】（1）()()211nn F x x x -=-， 当*n N ∈，2n ≥时()()()()22121'2111n nn n F x n x nx x ---=----即()()()()()()11222221'121131131n n n n n F x x x n x nx n x x x n -----⎛⎫⎡⎤=----=---- ⎪⎣⎦-⎝⎭（a ）当n 为大于1的奇数时，1n -是偶数，()110n x --≥，220n x -≥，310n ->当2131n x n -<-时，()'0F x >，当2131n x n ->-时()'0F x < 故()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，减区间为21,31n n -⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当n 为偶数时，1n -是奇数，由于21131n n -<-，所以 当2131n x n -<-或1x >时，()'0F x >，当21131n x n -<<-时()'0F x < 故()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭及()1,+∞，减区间为21,131n n -⎛⎫⎪-⎝⎭综上，当n 为奇数时()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，减区间为21,31n n -⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭， 当n 为偶数时()F x 的增区间为21,31n n -⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭及()1,+∞，减区间为21,131n n -⎛⎫⎪-⎝⎭， （2）（i ）证明：设()1x x ax a ϕ+=--，0x >，则()1'ln 1x x a a ϕ+=-，因为21a ≥>，ln ln20a ≥>，故()'x ϕ在()0,+∞是增函数， 从而()()''0ln 1x a a ϕϕ>=-，由于2a ≥，ln ln20a ≥> 所以ln 2ln ln41a a a >=>，()'0x ϕ>所以()x ϕ在()0,+∞是增函数，()()00x ϕϕ>=，即1x a x a +>+（ii ）()'1n nfx nx-=，原方程化为()()()()()11121112111n n nn n x nn x n x -++-==++-++ 解得()()()0121121n n n x n -+=+-，因为2n ≥，所以00x >；作差得，()()10221121n n n x n ++--=+-，由（i ）知，当2a ≥，0x >时，1x a x a +>+，令2a =，x n =，故有122n n +>+，所以010x -<，01x <， 综上，001x << 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为622x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）．现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cosθ． （Ⅰ） 写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 过点M （-1，0）且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求|AB |． 【答案】（Ⅰ）x -y -6=0．x 2+y 2-6x =0（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）消去参数方程中的参数可得直线的普通方程，将曲线的极坐标方程变形后结合转化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）由直线l 1与直线l 平行可得直线l 1的参数方程，代入曲线C 的方程后根据参数的几何意义可求得弦长AB ． 【详解】（Ⅰ）由6x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得直线l 的普通方程为60x y --=．又由6cos ρθ=得26cos ρρθ=，将222,cos x y x ρρθ=+=代入上式得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=．（Ⅱ） 由题意得过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线l 1的参数方程为12.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将其代入2260x y x +-=整理得270t -+=， 设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12127t t t t +==，所以122AB t t =-==． 【点睛】直线的参数方程中，只有当参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：||t 是直线上任一点(,)M x y 到000(,)M x y 的距离，即0||||M M t =，利用此几何意义可解决弦长问题． 23．已知()21f x x x =+-． (1)解关于x 的不等式()4f x >；(2)对任意正数a b 、，求使得不等式()223338f x ab a b <++恒成立的x 的取值集合M . 【答案】（1）1x <-或53x >；（2）24{|}33M x x =-<<.【解析】(1)对x 的范围分类，分段表示出()f x ，即可求解()4f x >。
福建省厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查数学(理科)试题及答案
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力、
推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想．满分 12 分．
解：（1）依题设及正弦定理可得， sin Acos A + C = sin B sin A ------------------------------------------------ 1 分 2
因为 sin A 0，所以 cos A + C = cos − B = sin B --------------------------------------------------------- 2 分
M
故 ABC 为等腰三角形.
则 c = a ， BM
=a
A
C
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 分
2
在 MBC 中由余弦定理可得， MC2 = BM 2 + BC2 − 2BM BC cos B
解法 2：
设
P(
x0
,
y0
)
，
F1
(−
c,
0)
，
F2
(c,
0)
，依题意得
M
(
2
x0 − 3
c
,
2 y0 3
福建省厦门双十中学2020届高三模拟考试数学（理）试题含答案
高三第•次模拟测试理科数学一、选择题（本小题共12小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知金集U = R,集合J = (1,2,33,5),集合B = {x|x>2),下图中阴影部分所表示的集合为（「~. ...5.函数/（.v ）=2sin.v-ln （l + x ）的部分图像大致是（）A. {0,1,2} C.{1}D.{0,l}2.复数z = i 2-—,在复平面上对应的点位于（ ）1+7A.第一象限B.第二象限 c.第三象限D.第四象限3.若sino + cosa = — , 6ZG(0,zr),则 tana =()A. VJ B. — VJ c 四D.W 334.已知命题p ：玉，使得x + -<2, X命题 q:PxeR,x 2+x + l>0,下列命题为真的是（A. pzq B.(—tp)/\g C ”（F ）d (w )H f )6. 在 AABC 中，C = 45°,则 sin 2 J + sin 2 5 - 71 s in J sin B =（ ）7. 已知5是平面内两个互相垂直的单位向量.若向量Z 满足@-】）0-；）=0,则日的最大值是（A.lB.—C.2D.a /228. 已知B, C,。
是同一球面上的四个点，其中MBC 是正角形，JD1T 面A8C, AD = 2LB = 6, 则该球的表面积为( )A. 16^-B.24)C.32立兀D.48々9. 在二项式(右 + j)的展开式中，各项系数之和为M,各项二项式系数之和为M 且M + N = 72,则展开式中常数项的值为( )A.18B.12C.9D.6】0.已知函数/(.V)=sin + cosry.r (6»0)，如果存在实数由，使得对任意的实数x,都有/(.r,)</(x)</(^+2012)^,则c 的最小值为()1 4 八 1 n A.---- B.---- C.---- D.----2012 2012 4024 402411•设4，%为椭圆的与+写=1(。
双十中学2020 届高三 (下)理科数学第 一 次 月考试卷数 学(理科)
?211正(主)视图俯视图双十中学2020 届高三 （下）理科数学第 一 次 月考数 学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合{|13}A x x =-<<，{|1}B x y x ==-，则()R A C B =I ( ) A ．{|13}x x << B ．{|13}x x ≤< C ．{|11}x x -<≤D ．{|11}x x -<<2．若复数i z )54(cos 53sin -+-=θθ是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．34B ．34-C ．43D ．43-3. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如右图所示，若这个四棱锥的 体积为2，则此四棱锥最长的侧棱长为（ ）A. 231113104. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn,若10S =23803(6),2x dx a a ++⎰则=( ) A. 3 B. 6 C.9 D. 125. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A.24 B.48 C. 60 D.726. 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年 （B ）2019年 （C ）2020年 （D ）2021年8. 秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利 用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为( ) （A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）3 59.双曲线E:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,P 是E 的左支上一点，且112||||PF F F = ,直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的其中一条渐近线斜率为（ ）A.342 C.43310．在棱长为1的正方体ABCD-1111ABCD A B C D -中，E,F 分别是1DD 和AB 中点， 若线段CD 上存在点G ，使得//BG 平面1B EF ，则DG =( ) A. 14 B. 13 C. 12D. 011.函数()sin(2)(||,0)2f x A x A πϕϕ=+<>的部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的12,[,]x x a b ∈ ，若12()()f x f x = ，有12()3f x x +=，则 ()f x 在(0,)2π上的值域为（ ）A ． (3,3)-B ．(1,1)-C ．(3,2]-D ．(1,2]-12.已知函数()f x 的图像在点00(,())x f x 处的切线方程:()l y g x = ，若函数()f x 满足x I ∀∈(其中I 为()f x 的定义域)，当0x x ≠时，0[()()]()0f x g x x x --> 恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”。
福建省厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查 数学(理科)(含答案)
A. x1 +x2=2
B. e x1 e x2 > 2e
ln x1 C. x1 +x2lnx2 < 0
二、填空题：本大题共 4 小题。，每小题 5 分，共 20 分。
e D. x1x2 > 2
13．己知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn=9-2an，则 a3=
.
(1 x)(2 1 )6
D，O 点为坐标原点．
15 (1)若|AB|= 2 ，求 l 的方程； (2)已知 P 为 AB 的中点，y 轴上是否存在定点 Q，使得 OP PQ =0?若存在，求 Q 的坐标；若不存
在，说明理由． 20.（12 分） 小明和爸爸玩亲子游戏，规则如下：袋中装有 3 个大小相同的球，1 个白球，2 个红球，每次摸出 一个球，记下颜色后放回，若摸出白球，则下一次由原摸球人继续摸球；若摸出红球，则下一次由 对方摸球，规定摸球 m 次，最后一次由谁摸球就算谁获胜，第一次由小明摸球．
冥王星轨道的半长轴长约为 60 亿千米，则冥王星的运行周期约为
A. 150 年 B. 200 年 C．250 年 D. 300 年 6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是
A. -3
1 B. 2
1 C． 3
D．2
7．如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为 1 的正三角形，圆锥表面上的点 M、N 在正视
4．A、B 两名同学 6 次的跳高成绩如图所示，且这 6 次成绩的平均分分别为 xA , xB ，标准差分别
为σA，σB，则
A. xA , > xB , σA <σB B. xA , < xB , σA<σB
C. xA , > xB , σA>σB D. xA , < xB , , σA>σB
2020年福建省厦门市高三毕业班第一次质量检测 理科数学试题
22.在直角坐标系
xOy
下，曲线
C1
的参数方程为
x y
= =
cosα sin α
,
（
α
x′ = 2x
为参数），曲线
C1 在变换
T：
y′
=
y
的
作用下变成曲线 C2．
（1）求曲线 C2 的普通方程；
（2）若 m>1，求曲线 C2 与曲线 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数．
23.已知函数 f ( x) = x − 2 + 3x +1 − m ．
n
∑ (ui − u )(vi − v )
βˆ = i=1 n
， αˆ=
∑ (ui − u )2
i =1
v − βˆu ．
20.在平面直角坐标系 xOy 中，圆 A : (x −1)2 + y2 = 16 ，点 B(−1, 0) ，过 B 的直线 l 与圆 A 交于点 C, D ，
过 B 做直线 BE 平行 AC 交 AD 于点 E ． （1）求点 E 的轨迹τ 的方程； （2）过 A 的直线与τ 交于 H 、 G 两点，若线段 HG 的中点为 M ，且 MN = 2OM ，求四边形 OHNG 面积
的最大值．
21.已知函数 f (x) = lnx + ax +1有两个零点 x1, x2 . （1）求 a 的取值范围； （2）记 f (x) 的极值点为 x0 ，求证： x1 + x2 > 2ef ( x0 ) .
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一 个题目计分．
厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检测
福建厦门市2020年高三数学(理)第一次质量检测卷
福建厦门市2020年高三数学（理）第一次质量检测卷全卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．己知集合A={x ∈N|x 2+x-6<0}，B={x ∈R|-1≤x≤3}，则A∩B=A. {x|-l<x<2}B.{0,1,2} C ．{x|-1≤x≤3} D.{0,1,2,3}2．若复数z 满足|z-l+i|=l ，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则A. (x+1)2+(y+1)2=1B. (x+1)2+(y-1)2=1C ．(x-1)2+(y-1)2=1D ． (x-1)2+(y+1)2=13.己知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3 =7，S 8=80，则a 6=A ．17B ．15C ．13D ．114．A 、B 两名同学6次的跳高成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为B A x x ,，标准差分别为σA ，σB ，则A. ,A x >,B x σA <σBB. ,A x <,B x σA <σBC. ,A x >,B x σA >σBD. ,A x <,B x , σA >σB5.1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星， 其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方（a 3）与它的公转周期（单位：秒）的平方（T 2）之比是一个常量，即2234,πGM k k T a ==（其中k 为开普勒常数，M 为中心天体质量，G 为引力常量）。
已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为A. 150年B. 200年 C ．250年 D. 300年6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A. -3B. 21- C ．31 D ．2 7．如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M 、N 在正视图上的对应点分别是A 、B ．则在此圆锥的侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A. 1B. 2C. 2D.π8．在直角△ABC 中，A=90°，AB=6，AC=8，D 是△ABC 的内心，则= A. AC AB 4132+-B ．AC AB 4132- C ．AC AB 3132+-D ．AC AB 3132- 9．关于函数f(x)=|cos x|+|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(0，2π)上是增函数；③f(x)的最大值为2；④f(x)的周期为2π 其中所有正确结论的编号是A.①② B ．①④ C ．①③④ D.②③④10.己知点M(1，2)，点P 在抛物线y 2= 8x 上运动，点Q 在圆(x-2)2+y 2 =1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．511．在四面体ABCD 中，AB=CD=2，AC=BD=5，AD=BC=7．若平面α同时与直线AB 、直线CD 平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为A ．833B ．23 C ．835 D ．837 12．己知直线y=-x+2分别与函数y=e x 和y=lnx 的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则下列结论错误的是A. x 1 +x 2=2B. 21x x e e +> 2eC. 11ln x x +x 2lnx 2 < 0D. x 1x 2 >2e 二、填空题：本大题共4小题。