沈阳农业大学601数学(理)(高等数学)2014-2019年考研专业课真题试卷
2019年沈阳农业大学考研专业课真题试卷
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601 高等数学考试大纲
贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲 《高等数学》（科目代码：601） 一、考试形式与试卷结构 1. 试卷满分及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2. 答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。 二、复习要求 全日制攻读硕士学位研究生入学考试高等数学科目考试内容包括高等数学上、下册基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关理论和方法分析、解决相关的一些实际问题。 三、考试内容与要求 第一部分极限与连续 1、考试内容 函数概念及其表示法，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数，双曲函数与反双曲函数；数列极限，函数极限，极限运算法则，无穷小与无穷大量，无穷小的比较，极限存在准则及两个重要极限，函数的连续性，函数的间断点，初等函数的连续性，闭区间上函数连续的性质。 2、考试要求 2.1 理解函数的概念;了解函数的单调性、周期性、奇偶性等。 2.2. 理解反函数和复合函数的概念。 2.3. 理解基本初等函数的性质及图形。 2.4. 能列出简单实际问题中的函数关系。 2.5.了解极限的ε-N,ε-δ定义，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。
2.6 掌握极限的四则运算。 2.7 理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。 2.8 理解无穷小,无穷大的概念,掌握无穷小的比较。 2.9 理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型。 2.10 了解初等函数的连续性,知道连续函数在闭区间上的连续性(介值定理和最值定理) 等。第二部分一元函微分学 1、考试内容 导数概念，函数求导法则，基本初等函数的导数及初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，函数微分的概念，基本初等的微分及微分运算法则，微分在近似计算及误差估计中的应用；中值定理，罗必塔法则，泰勒公式，函数单调性的判定法，函数极值及其求法、最大值、最小值的求法，曲线的凹凸与拐点，函数图形的作法。 2、考试要求 2.1 理解导数和微分的概念,了解导数的几何意义及函数的可导性和连续性之间的关系,能用 导数描述一些物理量。 2.2理解导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性)和导数的基本公式,了解高阶导数的概 念,能熟练的求初等函数的一阶,二阶导数。 2.3掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶和二阶导数。 2.4 理解洛尔(Rolle)定理,拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor) 定理,会用拉格朗日定理。 2.5 掌握洛必达(L'Hospital)法则等。 2.6理解函数极值的概念,掌握求函数的极值,判断函数的增减性与函数图形的凹凸性,求函数 图形的拐点等方法,能描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线),会求简单的最大值和最小值的应用问题。 2.7 了解曲率和曲率半径的概念,并会计算曲率和曲率半径等。 第三部分一元函数积分学 1、考试内容
考研数学高等数学强化习题-不定积分
模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?
（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9） ()() 2 2 1 21---?dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 （ 6、计算下列不定积分 （1） ()1sin sin 1cos ++?x dx x x （2）3sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）211cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）22221 sin cos +?dx a x b x （7） () ()2 1 0sin cos ≠+?dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 . （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +?
重庆大学高等数学习题3-2
A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得
601_高等数学
附件2： 高等数学考试科目大纲 一、考试性质 高等数学是硕士研究生入学考试科目之一，是硕士研究生招生院校自行命题的选拔性考试。要求考生理解该课程的基本概念和基本理论，掌握该课程的基本方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 二、考试形式和试卷结构 （一）试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 （二）答题方式 答题方式为闭卷、笔试。 （三）试卷题型结构 1、选择题：8小题，每小题4分，共32分。 2、填空题：6小题，每小题4分，共24分。 3、解答题（包括证明题）：9小题，共94分。 三、考试内容 （一）函数、极限、连续 1、考试范围 函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数和基本初等函数的性质，数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限。 2、基本要求
(1)理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。 (2)了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 (3)理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 (4)掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 (5)理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。 (6)掌握极限的性质及四则运算法则。 (7)掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 (8)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 (9)理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 (10)了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 （二）一元函数微分学 1、考试范围 导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理，洛必达（L'Hospital）法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值，弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径。 2、基本要求
重庆大学高等数学习题1-5
习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-
重庆大学高等数学习题1-3
习题1-3 A 组 1.试用“εδ-”语言证明 （1）2365lim 45x x x x →--+=-- （2）3 3lim 27 x x →= （3）4 lim 12 x x x →∞+=+ 解析：考查函数极限的证明，“εδ-”语言和数列中的“N ε-”语言有类似的地方，不同的是自变量的趋势不同，同样关键在于找到自变量的取值范围，即δ的值 证明：（1）要使265 435 x x x x ε-++=+<-，则可以取δε= 0ε?>，δε?=，当0(3)x δ<--<时，恒有 265 45 x x x ε-++<-成立 则2365 lim 45 x x x x →--+=--成立 （2）要使3227(3)(39)273x x x x x ε-=-++=-<，则可以取27 ε δ= 0ε?>，27 ε δ?= ，当03x δ<-<时，恒有327x ε-<成立 则3 3 lim 27x x →=成立 （3）由 42 122x x x ε+-=<++，得22x ε<+，则可以取22 X ε=+ 0ε?>，22 X ε ?= +，当x X >时，恒有 4 12 x x ε+-<+成立 则4 lim 12 x x x →∞+=+成立 2.设函数223,1(),1222,2x x x f x x x x x ?+-≤? =<
重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
食品原料学题库
一类课程建设课程组--题库 推荐单位食品学院 所属教研室食品科学 课程名称食品原料学 课程组负责人谢宏 沈阳农业大学教务处制 二ΟΟ一年十一月八日
试题一 一、名词解释（共计12分，每小题3分） 1.豆类：豆类作物包括一些双子叶植物，其特点是种子无胚乳，却有两片发达的子叶，子叶中含有丰富的蛋白质（20%-40%）和脂肪。 2.淀粉的糊化：淀粉颗粒不溶于冷水，将其放入冷水中，经搅拌可形成悬浮液。如停止搅拌，淀粉粒因比水重则会慢慢下沉。如将淀粉乳浆加热到一定的温度，则淀粉粒吸水膨胀，晶体结构消失，互相接触融为一体，悬浮液变成黏糊的糊状液体，虽停止搅拌，淀粉也不会沉淀，这种黏糊的糊状液体称为淀粉糊，这种现象称为淀粉的糊化。 3.果蔬品质：是指果蔬满足某种使用价值全部有利特征的总和，主要是指食用时果蔬外观、风味和营养价值的优越程度。 4.小麦面筋：将小麦面粉加水和成面团，静止后，把面团放在流动的水中揉洗，面团中的淀粉粒和麸皮微粒都随水渐渐被冲洗掉，可溶性物质也被水溶解，最后剩下来的一块柔软的有弹性的软胶物质就是面筋。 二、单项选择题（共计20分，每小题2分） 1.粮油食品原料中的简单蛋白质能溶于水的是( A ) A.清蛋白 B.球蛋白 C.胶蛋白 D.谷蛋白 2.大多数粮油籽粒的基本结构是一致的，一般都由皮层、胚、______3个部分构成。 A.胚乳 B.糊粉层 C.胚芽 D.子叶(A) 3.果蔬在储藏过程中______含量变化不大，而且多以弱碱性有机酸盐的形式存在。 A.有机酸 B.蛋白质 C.矿物质 D.糖分(C) 4. 葡萄中含有的主要有机酸是(a) A酒石酸 B.柠檬酸 C.水杨酸 D.草酸 5.作物中蛋白质含量最高的是( C ) A.小麦 B.大米 C.大豆 D.玉米 6.下列淀粉酶中能将支链淀粉水解成葡萄糖的是( C ) A.α-淀粉酶 B.β-淀粉酶 C.葡萄糖淀粉酶 D.异淀粉酶 7.面粉中含量最高的成分是( C ) A.水分 B.蛋白质 C.碳水化合物 D.纤维素 8.面筋的弹性与面筋蛋白质分子中的___________密切相关。( A ) A.二硫键 B.氢键 C.盐键 D.疏水作用力 9.果蔬中有机酸含量通常以果实中含量最多的一种有机酸表示，如柑橘以柠檬酸表示，葡萄以何种有机酸表示？( B ) A.柠檬酸 B.酒石酸 C.苹果酸 D.草酸 10.粮油籽粒中占全粒重量最多的是( C ) A.皮层 B.胚 C.胚乳 D.胚芽
考研数学高等数学强化习题-不定积分
考研数学高等数学强化习题-不定积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?
（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）()() 2 2 1 21---? dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++? x dx x x （2）3 sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）21 1cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）2222 1 sin cos +?dx a x b x （7）() ()2 1 0sin cos ≠+? dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +? 四．根式的处理
2019考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学(十六)-7页精选文档
第 1 页 钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六） 万学海文 在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形． 【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞=0，则可直接利用公式，由||lim 1n n n a a +∞→=ρ，得收敛半径为ρ1 =R ，收敛区间为),(R R -． 【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120220,++∞ =∞=∑∑n n n n n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数)(1x u n n ∑∞=，由比值判别法，先求|) ()(| lim )(1x u x u x n n n +∞→=ρ，再令1)( 第 2 页 求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是： （1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性． （2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题： ①若n n n x a ∑∞=0的收敛域为],[R R -，则幂级数10 -∞=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -． ②设幂级数n n n x a ∑∞ =0在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ． ③设幂级数n n n n n n x b x a ∑∑∞=∞=00,的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0+∑∞ =的收敛半径为},min{21R R R =． A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---= （6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =- 重庆大学 高等数学Ⅱ-1 课程试卷 juan A卷 B卷 2012 ~2013 学年 第 1学期 开课学院： 数学 课程号： 10019565 考试日期： 20130114 考试方式： 开卷闭卷 其他 考试时间： 120 分钟 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设()232x x f x =+-，则当0x →时，有【B 】 A ．()f x 与x 是等价无穷小 B ．()f x 与x 是同阶无穷小，但不等价 C ．()f x 是x 的高阶无穷小 D ．()f x 是x 的低阶无穷小 因为：()000()232 lim lim lim 2ln 23ln 3ln 2ln 3x x x x x x x f x x x →→→+-==+=+ 2.设()f x 为可导函数，且满足条件0 (1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处的切线的钭率为【D 】 A ．2 B ．1- C ． 1 2 D ．2- 因为：00(1)(1)1(1)(1)1 1lim lim (1)(1)2222 x x f f x f x f f f x x →→----''-===?=-- 3.设2sin ()sin x t x F x e tdt π += ? ，则()F x 【A 】 A ．为正常数 B ．为负常数 C ．恒为零 D ．不为常数 因为：222sin sin sin sin 00 ()sin sin sin sin x t t t t x F x e tdt e tdt e tdt e tdt πππ π π += = =+? ??? 后一式作代换t u π-=，有 2sin sin 0 sin sin t u e tdt e udu π π π -=-??，故 sin sin 0 ()()sin 0t t F x e e tdt π -=->? 4.0 1 lim arctan x x →为【D 】 A ． 2 π B ．2π- C ．1 D ．不存在 因为：左右极限存在不相等 5.函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数为【B 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 因为：22 2 2(2)(1)(1), 1 (2)(1)(1), 10()(2)(1)(1),01(2)(1)(1), 1x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ?--+-<- ?-+--≤ 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在 研究生入学考试数学试题难度较大，平均分不到40分，而高等数学又是考研数学的重中之重。根据笔者多年的辅导经验，在重点复习阶段，备考高等数学要特别注意以下3个方面。第一，按照大纲准确把握数学的基本概念、基本方法、基本定理。 数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有深入理解基本概念，牢牢记住基本定理和公式，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。2001年数学（一）的填空题与选择题满分共30分，考生平均得分较低，客观地讲，这些题不是难题。数学的概念和定理是组成数学试题的基本元件，数学思维过程离不开数学概念和定理，因此，正确理解和掌握好数学概念、定理和方法是取得好成绩的基础和前提。 第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。 综合题的考查内容可以是同一学科的不同章节，也可以是不同学科的内容。近几年试卷中常见的综合题有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；线性代数与空间解析几何的综合题；以及微积分与微分方程在几何上、物理上、经济上的应用题等等。 在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关的数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。 第三，重视历年试题的强化训练。 统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50％左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。所以希望考生一是要注意年年考到的内容，对往年考题要全部消化巩固；二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。这样，通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提炼题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。 数学（一）为主总结高等数学各部分常见的题型。 一、函数、极限与连续1．求分段函数的复合函数；2．求极限或已知极限确定原式中的常数；3．讨论函数的连续性，判断间断点的类型；4．无穷小阶的比较；5．讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 二、一元函数微分学 1．求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论； 2．利用洛比达法则求不定式极限； 3．讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式； 4．利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数； 5．几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函 A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '， 证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明 证明：设3 2 ()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =， x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明：设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'= 1、设每次射击的命中率为0.6，射击10次，则至少有1次命中的概率为？ 2、若事件A 、B 相互独立。P(A)=0.3 P(B)=0.8 则P(A-B)=0.06 解：P(A-B)=P(A )=P(A)P( )=0.3*(1-0.8)=0.06 若求：P( =1-P(AB)-1-P(A)P(B)=1-0.3*0.8=0.76 3、设X,Y 相互独立，Ex=2,EY=7,E(x,y)=14 解：E （x,y)=(Ex)-(EY)=14 [-3,4] Px= (4) E(2x-3)=2Ex-3=2*4-3=5 4、设X 为10次射击，命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.3 求E(X)=3 E(X 2)=11.1 E(X)=np=10*0.5=3 n=10 p=0.3 E(x 2）=DX+(EX)2=np(1-p)+(np)2=10-0.3-0.7+32=11.1 5、 (4), (2,6),求E(X-2Y)=4 E(x-2Y)=EX-2EY=4-2* =-4 6、X 与Y 相互独立 ，DX=6,DY=3,求D （2x-y) 解： D （2x-y)=D(2x)+D(Y)=4DX+DY=4*6+3=27 7、设随机变量 （U,δ2)且方程Y 2+4Y+X=0，有实根的概率为1/2，求U 的值。（ ） 解：方程Y 2+4Y+X=0有实根，当且公当其判别式△≧0，即42-4*1*X=16-4X ≧0 得X ≦4 由已知：P{X ≦4}= ,由 (U,δ2)即有F(4)=ф( )= ，而ф(0)= ,故 =0，所以U=4 8、三人独立地完成同一个任务，他们能完成这个任务的概率分别为 ， ， ，求任务被完成的概率。 解：设A,B,C 分别表示 三人独立完成此任务，则A,B,C 相互独立 而P(A)= ,P(B)= ,P(C)= 所求为P(A ∪B ∪C)=1- P( )=1-P( )-P( )P( )P( ) =1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1- )(1- )(1- )=1- * *= 10） 4.0（1-)(1)(----?-=?B A P B A ?~x ]4,3[71]4,3[0{ -∈-∈X X P X ~),(~p n B X p x ~U Y ~2 62+N X ~AC 4132-=?21N X ~σu -42121σu -4213161213161A B C A B C 213161213265181321 -B -B 1813重庆大学高等数学习题2-2
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