同济大学高等数学-第四版2-7节函数的微分
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
同济大学《高等数学》(第四版)2-1节导数的概念
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
(
x)
1
11
x2
2
1. 2x
( x1 )
(1)x11
1 x2
.
例4 求函 f(x) 数 ax(a0 ,a1 )的.导数
解 (ax)lim axhax
h0 h ax limah 1
h0 h axlna.
★ 函 数 f(x )在 点 x 0处 可 导 左 导 数 f (x 0)和 右 导 数 f (x 0)都 存 在 且 相 等 .
★ 如 果 f(x )在 开 区 间 a ,b 内 可 导 ， 且 f (a )及
f (b )都 存 在 ， 就 说 f(x )在 闭 区 间 a ,b 上 可 导 .
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
★ 单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
2.右导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★
设函f(x 数) ((x x)),,
xx0, xx0
讨论x在 0的点
可导 . 性
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
lx i0m (x0 x x )(x0)f(x0)存,在
若 lim f(x0 x)f(x0)
x 0
x
同济大学的高等数学讲义 (7)
f (b) f (a) f ′(ξ ) g′(ξ ) = 0 g(b) g(a)
由此得到公式(4).
g
注1 柯西中值定理可简单地表示为
( f , g ∈ C [a , b ] ∩ D[a , b ]) ∧
g ′( x ) ≠ 0
f (b ) f ( a ) f ′ (ξ ) x ∈ (a, b ) ∧ = . g (b ) g ( a ) g ′ (ξ )
sin x sin x 0 = = ( sin x )′ = cos ξ > cos x. x x0 x =ξ
g
例3 设函数 f (x)的导函数(-∞, +∞)内恒为常数,则 f (x) 为线性函数. 证 则 设在区间(-∞, +∞)内 f ′( x) ≡ k ,令F(x)=f(x)-kx,
F ′( x ) = f ′( x ) k = k k ≡ 0,
f ′(ξ ) =
或
f (b ) f ( a ) , ba
f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ).
g
注1 拉格朗日中值定理的几何描述 注2 当b<a时,上式仍然成立,即
f (b) f (a ) = f ′(ξ )(b a ).
公式⑴称为微分中值公式.
y y=f (x)
y= (x) o a
y
f ( x0 + x) f ( x0 ) ≤ 0,
x0 o U(x0) x
故当Dx>0时 ,
f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≤ 0; x
故当Dx<0时, f ( x0 + x ) f ( x0 ) ≥ 0; x
由函数f (x)在点x0处的可导性及极限的保号性,得
同济大学《高等数学》(第四版)2-6节_隐函数的导数_由参数方程所确定的函数的导数_相关变化率
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
d y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
2
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 方程 . 例6 求摆线 2 y a (1 cos t )
表示的中心在原点、半径为r的圆．通过参数θ 可以建立y与x的对应关系：
三、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 1 x 2 x 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
三、由参数方程所确定的函数的导数
在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示 曲线，例如，参数方程
)
tan x x (sec x ln x ) x (2)求 y x sin x 1 e x 的导数 y
2
解
1 1 1 cos x 1 e x y y 2 x sin x 2 1 e x
1 1 x ln y ln x ln sin x ln(1 e ) 2 2
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x ( t )具有单调连续的反函数 t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
同济大学-高等数学微积分教案
第一章:函数与极限1。
1 初等函数图象及性质1。
1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是（-∞ ，+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0，+∞ );当m = —1/2时，y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在（0,+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1。
1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1）叫做指数函数,它的定义域是区间（-∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x〉0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0，1）。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0<a〈1,指数函数a x是单调减少的.由于y=（1/a）—x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图］2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间（0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1，0)。
若a〉1,对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1，+∞)内函数值为正.若0<a<1,对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间(1，+∞)内函数值为负.[如图] 1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[—1,1］. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
高等数学教材第四版同济
高等数学教材第四版同济高等数学是大学本科阶段的重要基础课程之一，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力有着重要的作用。
同济大学出版社出版的《高等数学教材》第四版是一本经典的教材，本文将对该教材进行全面细致的介绍和评价。
一、教材概述《高等数学教材》第四版是由同济大学数学系编写的，主要面向经济学、物理学、力学等专业的本科生。
本教材全面、系统地介绍了高等数学的基本理论、方法和应用，具有深入浅出、逻辑严谨的特点。
二、教材结构本教材共分为十章，每章都有详细的知识点、例题和习题，使得学生可以有系统地学习和巩固知识。
第一章介绍了函数的概念和性质，承上启下，为后续章节的学习打下了基础。
第二章讲述了极限和连续函数，这是高等数学的核心内容之一，教材对此进行了深入浅出的阐述。
第三章介绍了导数和微分，将极限的概念应用到了实际问题中。
第四章详细介绍了定积分和不定积分，让学生对积分有了更深入的理解。
第五章到第七章分别介绍了常微分方程、多元函数微分学和多元函数积分学，为进一步学习微积分的应用打下基础。
第八章到第九章介绍了向量代数和空间解析几何，培养了学生的几何直观。
第十章介绍了多元函数的级数表示，为复习章节提供了重要的参考。
三、教材特点《高等数学教材》第四版同济具有以下几个特点：1. 整体性强：本教材能够全面覆盖高等数学的各个重要内容，涵盖了函数、极限、微分、积分、微分方程、向量代数、空间解析几何等多个方面。
2. 逻辑性强：教材内容呈现有严格的逻辑性，知识点的阐述合理有序，方便学生对所学知识有系统的认识。
3. 应用性强：教材通过大量实例和习题的设计，使学生能够将所学的数学知识应用到实际问题中去，提高解决实际问题的能力。
四、教材实用性评价《高等数学教材》第四版同济实用性较高，适合本科阶段的学生使用。
该教材在内容选择上覆盖了大部分高等数学的核心知识点，并通过实例和习题的设计帮助学生巩固和应用所学知识。
同时，教材的语言简明易懂，对于刚接触高等数学的学生来说很友好。
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)1_1 函数-PPT精选文档
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B
同济高数
具体内容一、函数与极限二、导数与微分三、导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用六、空间解析几何七、多元函数的微分学八、多元函数积分学九、常微分方程十、无穷级数导数的概念1.图书信息编辑推荐内容简介目录2.图书信息基本信息内容简介目录3.图书信息基本信息内容简介目录4.图书信息基本信息内容简介目录（下册）5.图书信息基本信息内容简介目录最新版图书信息内容简介图书目录5图书信息内容简介高等数学的特点如何学好高等数学具体内容一、函数与极限二、导数与微分三、导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用六、空间解析几何七、多元函数的微分学八、多元函数积分学九、常微分方程十、无穷级数导数的概念1.图书信息编辑推荐内容简介目录2.图书信息基本信息内容简介目录3.图书信息基本信息内容简介目录4.图书信息基本信息内容简介目录（下册）5.图书信息基本信息内容简介目录最新版图书信息内容简介图书目录5图书信息内容简介展开编辑本段高等数学的特点初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是不匀变量。
高等数学（它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。
作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。
抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。
严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。
所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。
人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。
尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。
因此，学好高等数学对我们来说相当重要。
编辑本段如何学好高等数学平心而论，高等数学确实是一门比较难的课程。
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2.从几何意义, f上 (x0来 )是看 曲y线 f(x)在 点(x0, f(x0))处切线的 ,而斜微 d率 yf(x0) (xx0)是曲y线 f(x)在点 (x0, f(x0))处的切 方程在 x0的 点纵坐标 . 增量
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
结论：无论 x是自变量还是中 , 函间数变量 y f(x)的微分形式d总 yf是 (x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 y s u , i u 2 n x 1 . dycousd uc2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x 2co 2xs 1 ()d.x 例4 设 ye as x ibn ,求 xd.y 解 d e y a c xb o ( b x ) s s x d b i e n a x d ( x a )x
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
）
o
x0 x0x
x
当x很小,时 在点 M的附,近
切线M 段可 P 近似代替M 曲N.线段
五、微分的求法
d yf(x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
e a c xb o b x s s d b ix e n x a ( x a ) dx e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
例5 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 d y (x 3) x3x2x.
dyx2 3x2xx2 0.2.4
x0.02
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的微
记作 dx, 即dxx.
d yf(x)d.x
dy f(x). dx
即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 " 商 .
解 ( 1 ) d ( s t ) i c n t o ,d s t
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
d(1si n tC)co tsd. t
(2)dd(s( inxx)2)2xc1oxsd2xdx4x xcox2s, 2x
d (s x 2 ) i( 4 n x x cx o 2 ) d (s x ).
x 0 x
x 0 x
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
(2) 充分性 函 f(x ) 数 在 x 0 可 点 , 导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0 ( x 0 ),
e 1 3 x(3 co x s six )n d.x
六、微分形式的不变性
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数
(1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x
(2)若 x是中间,变 即量 另时 一 t的 变 可 量
微函 x数 (t),则d yf(x ) (t)dt
(t)d td,x d yf(x)d.x
七、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可.微
★ 导数与微分的区别:
1.函数 f(x)在点 x0处的导数是一 f(个 x0),定 而微d分 y f(x0)(xx0)是x的线性,函 它数 的 定义域 R,实 是际,它 上是无.穷小
d( ) v
v2
例2 设 yln x (ex2)求 , d.y
解
y
12xex2 xex2
,
12xex2 dy xex2 dx.
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
( e 1 3 x ) 3 e 1 3 x ,(x c ) s o x . is n d c y x o ( 3 e 1 s 3 x ) d e 1 x 3 x ( sx ) i d n x
1.基本初等函数的微分公式
d(C)0
d(x)x1dx
d(sixn)coxsdx d(coxs)sinxdx
d(taxn)se2cxdx d(coxt)cs2cxdx
d(sexc)sexctanxdxd(csxc)csxccoxt dx
d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
同济大学高等数学-第四版2-7节函数的微分
•
•
三、可微的条件
定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件 数f(x)在点 x0处可, 导 且Af(x0).
证 (1) 必要性 f(x )在 x 0可 点 , 微
y A x o ( x ), yA(x),xx则 lim yA lim o( x)A.
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 x 0 可 数 ,且 f 点 ( x 0 ) 微 A .
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ). 函y数 f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d yf(x)x.
例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 .