常见正多面体总结-六面体八面体十二面体和二十面体
面立体构成——精选推荐
面立体构成面立体构成是指通过面材的堆积重叠,可以得到具有一定体量感的体块.利用面材重叠间距的可变性,按一定的比例有次序地排列面材,构成一个新的形态.这就是面的层排构成方法.在面的层排构成中,可以通过改变面材的基本形态,如直面曲面折面以及面的不同形状,使面的层排构成更加丰富.也可以运用不同的渐变重复发射的形式排列面材,产生丰富的层排构成形式.柱式构成是面立体构成中较为常见的一种造型样式.柱式构成的基本制作方法是把平面的面材,围绕中心轴进行折叠或弯曲并把起始边沿粘接在一起,即构成了柱式的立体造型.通常,柱式的两端是不加封闭的,因此柱式也被称为透空柱体.因折叠和弯曲的加工方法不同,构成的柱式也不同,一般可分为棱柱和圆柱第六章面材的立体构成第一节面材的分类与制作方法（一）面材的形态分析面材是以长宽为形态特征的材料，具有平薄、延展的感觉，具有分割空间、限定空间的作用。
面材可分为平面和曲面两种形态，又可分为规则面和不规则面。
1、规则面的基本形式有方形、圆形、三角形以及垂直面、水平面、倾斜面等。
方形的面给人以稳定、规范、坚定的心理感受；圆形的面给人以丰满、圆润和生命力的感受；三角形的面又具有锐利、刺激和好斗的个性；垂直的面具有刚直有力、蓬勃向上的气质，又具有平整、伸展的特性；水平的面具有稳定、平实与宁静的个性；倾斜的面具有速度、动感、热情的性格特征。
2、不规则面的基本形式是指一些毫无规律的自由形，包括任意形、偶然形和有机形。
任意形形体随意，体现的是潇洒、自如的情感。
偶然形具有不定性和偶然性，具有自然的魅力和人情味。
有机形具有自然、纯朴、流畅、圆润的特征。
（二）面材的分类按照面材的表面效果分为高反光面材、透明面材、低反光面材、光洁表面面材和粗糙表面面材等。
按照面材的物理属性分为金属面材和非金属面材等。
按照面材的加工特性分类，具有较强的可操作性，以下分门别类加以介绍。
可切割板材，如木板、金属板、纸板等几乎所有板材。
立体几何中的正六面体与正二十面体
立体几何中的正六面体与正二十面体正六面体和正二十面体是立体几何中非常重要的多面体之一。
它们由许多规则的面组成，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍正六面体和正二十面体的定义、性质和应用。
一、正六面体正六面体是一种立体几何体，也被称为正六面体立方体。
它具有六个相等的正方形面，每个角都是直角，共有八个顶点和十二条边。
正六面体的体积可以通过以下公式计算：V = a³其中，a是正六面体的边长。
由此可得，正六面体的表面积为6a²，对角线长为√3a。
正六面体的性质：1. 所有八个顶点的对称性质相同。
2. 所有十二个棱的对称性质相同。
3. 所有六个面的对称性质相同。
4. 对角线长相等的两个顶点构成了一个正四面体。
5. 以每个面的中心为顶点构成的八面体与正六面体共面。
正六面体的应用：1. 正六面体具有良好的稳定性和均匀的受力分布，因此常用作建筑物的基石或桥梁的支撑。
2. 正六面体还常用于制作游戏骰子或计算机图形学中的3D模型。
3. 在晶体学中，正六面体是一种重要的晶体形状。
二、正二十面体正二十面体是一种立体几何体，也被称为正二十面体。
它由20个相等的正等边三角形组成，共有12个顶点和30条边。
正二十面体的体积可以通过以下公式计算：V = ⅓a³√(5*(5+2√5))其中，a是正二十面体的边长。
由此可得，正二十面体的表面积为5√3a²，对角线长为√10a。
正二十面体的性质：1. 所有12个顶点的对称性质相同。
2. 所有30条边的对称性质相同。
3. 所有20个面的对称性质相同。
4. 正二十面体的每个面都与其他三个面相邻，且每个顶点都连接了五条边。
正二十面体的应用：1. 正二十面体具有一些特殊的几何性质，因此被广泛应用于化学、物理学和数学领域，如描述分子结构、全息照相、球面覆盖等。
2. 在设计艺术领域，正二十面体的美学价值和独特形状也被广泛认可，经常被运用到建筑、雕塑和产品设计中。
正多面体只有5种的又一证法
vt
= 2e ,即
v
=
2e t
.
正多面体每个面由 h 条边围成 ,则 f h =
2e ,即
f
=
2e h
.
把
v
=
2e t
,
f
=
2 e代入
h
(1)
式得
2e t
-
e
+
2e h
=
2
,
∴e
=
2
h
-
2 ht ht
+
2
t
(2)由Biblioteka (2) 得 2 h - ht + 2 t > 0 ,
32
数 学 通 讯 2003 年第 1 期
正多面体只有 5 种的又一证法
周素芬
(集美中学 ,福建 361021)
中图分类号 :O123. 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2003) 01 - 0032 - 01
瑞士数学家欧拉在 1752 年发现各种正
多面体均有的关系 :
v - e + f = 2
(1)
其中 v , e , f 分别表示凸多面体的顶点数 、棱
数及面数. (1) 式后人称为欧拉公式 , 它在空
间图形及图论中有许多重要应用.
所谓正多面体是指多面体的各个面均是
全等正多边形 , 每个正多面体的各边的长和 顶角的交角均相等. 那么空间有多少种不同 正多面体 ? 本文对此问题给出了一种新的简 便论证方法.
正四面体 正八面体 正六面体
正十二面体 正二十面体 图 1 正多面体
参考文献 :
多面体公式计算大全
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1.正方体：
-面数：6面
-边数：12条
-顶点数：8个
-表面积：每个面都是边长的平方，总表面积等于6倍的边长平方。
-体积：边长的立方。
2.正四面体：
-面数：4面
-边数：6条
-顶点数：4个
-表面积：底面积加上3个侧面积，底面积是边长的平方再乘以根号3除以4
-体积：边长的立方再乘以根号2除以12
3.正六面体（立方体）：
-面数：6面
-边数：12条
-顶点数：8个
-表面积：每个面都是边长的平方，总表面积等于6倍的边长平方。
-体积：边长的立方。
4.正八面体：
-面数：8面
-边数：12条
-顶点数：6个
-表面积：底面积加上6个侧面积，底面积是边长的平方再乘以根号3
-体积：边长的立方再乘以根号2除以3
5.正十二面体：
-面数：12面
-边数：30条
-顶点数：20个
-表面积：每个面都是边长的平方再乘以根号3除以4，总表面积等于12倍的边长平方乘以根号3
-体积：边长的立方再乘以根号2除以3
6.正二十面体：
-面数：20面
-边数：30条
-顶点数：12个
-表面积：每个面都是边长的平方再乘以根号3除以4，总表面积等于20倍的边长平方乘以根号3
-体积：边长的立方再乘以根号2除以3
除了以上常见的多面体，还有其他更复杂形状的多面体需要使用更复杂的计算公式。
在实际计算中，我们也可以使用符号计算软件、几何计算器等工具进行更准确和复杂的计算。
希望以上多面体的计算公式可以对您有所帮助。
几种正多面体的相互呼应
几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校 韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。
1、 常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。
在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。
图（1） 图（2） 图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。
2、应用呼应解题在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。
例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。
例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2a πB ．222a π C ．221a πD ．241a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为a 22的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。
例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。
立体几何欧拉定理与球
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。
常见正多面体总结-六面体八面体十二面体和二十面体
序号
区分
棱长
图示 顶点
特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8 6 12 6 8 12 20 12 30 12 20 30
面积S
体积V
备注 多面体欧拉公式：
1
正六面体
a
面 棱 顶点
6a²
a³
顶点数+面数-棱数=2
2
正八面体
a
面 棱 顶点
2√3*a²
√2*a³/3
1.它由八个等边三角形构成； 2.也可以看做上、下两个正方椎 体黏合而成，每个正方椎体由四 个三角形与一个正方形组成； 3.正八面体内嵌在立方体中时，6 个顶点分别位于立方体的面心。
3
正十二面体
a
面 棱 顶点
4
正二十面体
a
面 棱
正十二面体是 正二十面体的对偶多面体
空间几何中的多面体与空间多面体
空间几何中的多面体与空间多面体多面体是空间几何中的一种重要的几何形体，它由多个平面多边形（面）组成，并且这些面之间的边、角都满足特定的条件。
在本文中，将介绍多面体的概念、特征以及常见的空间多面体。
一、多面体的概念与特征多面体是指由多个平面多边形组成的立体图形，其中每个多边形被称为一个面，相邻面之间共享一条边，且每条边有且只有两个相邻的面。
除了顶点处的面可以是两个或两个以上相邻面外，其他面都是三个或三个以上的面的共享面。
多面体是空间中的一个封闭体，不包含任何空洞。
多面体的边界由面和边界上的顶点组成。
多面体有一些特征，首先，多面体的面都是平面多边形，其边数可以是相同的，也可以是不同的。
其次，多面体的顶点数和面的数目满足欧拉公式：顶点数 + 面的数目 - 边的数目 = 2。
这个公式描述了多面体的特征性质，使得我们可以通过已知的信息来求解未知的属性。
二、常见的空间多面体1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且在每个顶点处相交的面数相同。
常见的正多面体有正四面体、正六面体、正八面体和正十二面体。
2. 正四面体正四面体由四个全等的正三角形构成，每个顶点相交的面数为三。
正四面体具有四面等边、四顶点共面、对称性等特点。
3. 正六面体正六面体由六个全等的正方形构成，每个顶点相交的面数为三。
正六面体具有六个面相等、八个顶点、十二条棱等特点。
4. 正八面体正八面体由八个全等的正三角形构成，每个顶点相交的面数为四。
正八面体具有六个面相等、六个顶点、十二条棱等特点。
5. 正十二面体正十二面体由十二个全等的正五边形构成，每个顶点相交的面数为五。
正十二面体具有十二个面相等、二十个顶点、三十条棱等特点。
以上所述的正多面体是最常见的空间多面体，它们具有特定的对称性和美学价值，在科学和艺术领域有着广泛的应用。
三、空间多面体的应用空间多面体不仅在几何学中有着重要的地位，还在许多领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用：1. 导航与地图空间多面体可以用于导航和地图制作中，通过多面体的特征性质和拓扑结构，可以更好地理解地理空间关系，为导航和地图提供准确、直观的信息。