考研数学二(概率论与数理统计)-试卷1
[考研数学]概率论考试复习题
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概率论与数理统计练习1一、选择题：1、设随机事件A 与B 满足A B ⊃，则（ ）成立。
A.()()P A B P A +=B.()()P AB P A =C.()()P B A P B =D.()()()P B A P B P A -=-2、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被击中的概率为（ B ）。
A.0.5B.0.8C.0.55D.0.63、连续型随机变量X 的密度函数()f x 必满足条件（ D ）。
A.0()1f x ≤≤B.()f x 为偶函数C.()f x 单调不减D. ()1f x dx +∞-∞=⎰4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ 的样本，则22μσ+的矩估计量是（ D ）。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X X n =--∑ C. 221()n i i X n X =-∑ D. 211n i i X n =∑ 5、设总体(,1)X N μ ，123,,X X X 为总体X 的一个样本，若^1231123X X CX μ=++为未知参数μ的无偏估计量，则常数C =（ ） A.12 B. 13 C. 15 D. 16二、填空题：1、袋子中装有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是 0.42、设A ，B 为两个随机事件，()0.6P A =，()0.2P A B -=，则()P AB = 0.63、已知二维随机向量(,)X Y 的联合分布为则= 0.34、设总体X 服从正态分布2(2,)N σ，1216,,,X X X 是来自总体X 的一个样本，且161116i i X X ==∑，则48X σ-服从 5、若(,)X Y 服从区域22{(,)4}G x y x y =+≤上的均匀分布，则(,)X Y 的联合密度函数为三、计算题：1、设A ，B 为随机事件，且()P A p =，()()P AB P A B =，求()P B 。
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )A．X与Y一定独立．B．(X，Y)服从二维正态分布．C．X与Y未必独立．D．X+Y服从一维正态分布．正确答案：C解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确．知识模块：概率论与数理统计2．边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )A．必为二维正态分布．B．必为均匀分布．C．不一定为二维正态分布．D．由两个边缘分布确定．正确答案：C解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )A．a＞b．B．a＜b．C．a=b．D．a，b大小不能确定．正确答案：A解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X 一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b．知识模块：概率论与数理统计4．设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=( ) A．f1(x)f2(x)．B．f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C．f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．正确答案：C解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计5．设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为( ) A．fX(x)．B．fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C．．D．考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．正确答案：A解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是( )A．X+Y服从E(2λ)．B．X-Y服从E(2λ)．C．min(X，Y)服从E(2λ)．D．max(X，Y)服从E(2λ)．正确答案：C解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为F(x)=min(X，Y)的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，记FZ(z)=的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：B解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．知识模块：概率论与数理统计8．设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=，则P{min(X，Y)≤0}=( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．知识模块：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )A．[F(x)F(y)]nB．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．正确答案：B解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y} =P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)．知识模块：概率论与数理统计填空题10．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=__________。
考研数学二(概率论与数理统计)-试卷3
考研数学二（概率论与数理统计）-试卷3(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设F 1 (x)和F 2 (x)分别为X 1和X 2的分布函数，为使F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：本题考查分布函数的性质，如果X分布函数为F(x)，则F(一∞)=0，F(+∞)=1，可以得到a，b应满足的关系．由已知F 1(+∞)=F(+∞)=1，从而F(+∞)=a+b=1，满足该关系的只有(A)．3.设连续型随机变量X的分布函数和概率密度函数分别为F(x)和f(x)，则( )（分数：2.00）A.0≤f(x)≤1．B.P(X=x)≤F(x)．√C.P(X=x)=F(x)．D.P(X=z)=f(z)．解析：解析：本题主要考查连续型随机变量分布的概念和性质，分布函数是事件的概率，即F(x)=P{X≤x}，需要注意概率密度f(x)=F"(x)，其本身并不表示事件的概率．因为f(x)≥0，没有f(x)≤1的限制，故(A)错误．又F(x)=P{X≤x}，而事件{X≤x}，从而P(X=x)≤F(x)，故(B)是正确的，选项(C)错误．P(X=x)=0≤f(x)，故选项(D)错误．4.设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数u α满足P(X＞u α)=α，若使等式P(｜X｜＜x)=0．95成立，则x=( )（分数：2.00）A.u 0.475．B.u 0.975．C.u 0.025．√D.u 0.05．解析：解析：本题考查标准正态分布上侧分位点的概念，可以利用概率密度图形分析．如图2—1所示．由P(｜X｜＜x)=0．95，得P(｜X｜＞x)=1一P(｜X｜＜x)=0．05，故x= =u 0.025，从而应选C．5.设随机变量X的概率密度为f(x)，且有f(一x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有( ) （分数：2.00）A.F(-a)=1一∫ 0a f(x)dx．a f(x)dx．√C.F(-a)=F(a)．D.F(-a)=2F(a)-1．解析：解析：由分布函数的定义，将其用概率密度表示，再通过积分换元可得结果．因为f(-x)=f(x)，∫ -∞0f(x)dx=∫ 0+∞ f(x)dx= ．而F(一a)=∫ -∞-a f(x)dx=∫ -∞0f(x)dx+∫ 0-a f(x)dx，令x=一t，则∫ 0-a f(x)dx=一∫ 0a f(一t)dt=一∫ 0a f(t)dt=一∫ 0a f(x)dx，所以F(一一∫ 0a f(x)dx，故应选B．6.设随机变量X服从N(μ1，σ12 )，Y服从N(μ2，σ22 )，且P{｜X-μ1｜＜1)>P{｜X-μ2｜＜1)，则( )（分数：2.00）A.σ1＜σ2．√B.σ1＞σ2．C.μ1＜μ2．D.μ1＞μ2．7.设X服从N(μ，σ2 )，且P{X＜σ}＞P{x＞σ}，则( )（分数：2.00）A.μ＜σ√B.μ＞σ．C.μ=σD.μ，σ的大小关系不能确定．8.设随机变量Y在[0，1]上服从均匀分布，F(x)(0≤F(x)≤1)是严格单调递减且连续的函数，则由关系式Y=F(X)定义的随机变量X的分布函数是( )（分数：2.00）A.F(x)．B.F -1 (x)．C.1一F(x)．√D.1一F -1 (x)．解析：解析：设X的分布函数是F X(x)=P{x≤x}=P{F(X)≥F(x)}=P{Y≥F(x)}，由于Y在[0，1]上服从均匀分布，故F X=1—F(x)，因此选(C)．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设X的概率密度为f(x)，分布函数为F(x)，对固定的x 0，若使函数则k= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．）解析：解析：考查概率密度的性质．如果X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则主要利用∫ -∞+∞f(x)dx=1求取f(x)中未知参数，本题还要注意F"(x)=f(x)．由题意，要求g(x)≥0，∫ -∞+∞g(x)dx=1，即有从而k=1．10.设随机变量X的概率密度为f(x)=，表示对X出现的次数，则P{Y=2}= 1。
概率论与数理统计练习册题目
1.一箱子中盛有20个红球，10个黑球，设所有的球都是可区分的，连续地从中取球且取出后不放回去，直接取到黑球为止，试求取得的红球数恰好是 的概率。
2.将三个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率；
（1）A=“任意3个盒子中各有1球”；
（2）B=“任意一个盒子中有3个球”；
（3）C=“任意1个盒子中有2个球，其他任意1个盒子中有1个球”。
C． 两两独立D. 两两独立
四、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有
2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立的分别在两只盒子中各取一只球。
1.求至少有一只蓝球的概率；
2.求有一只蓝球一只白球的概率；
3.已知至少有一只蓝球，求一只篮球一只白球的概率。
五、甲乙两人投篮，甲投中的概率为，乙投中的概率为 。今各投三次。求：
3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意的拨号。求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少
4.某产品的合格概率是 。有一检查系统，对合格品进行检查能以的概率判为合格品，对不合格品进行检查时，仍以的概率判为合格品。求该检查系统发生错误的概率。
5.一电子器件工厂从过去经验得知，一位新工人参加培训后能完成生产定额的概率为，而不参加培训只能完成定额的概率为，假如该厂中有80%的工人参加过培训。
7.设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取两个零件，求：
（1）先取出的零件是一等品的概率p；
（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率q。
8.一试验可以独立重复进行，每次试验的成功率为p，则直到第10次试验才取得4次成功的概率为多少
考研数学二(概率论与数理统计)-试卷6
考研数学二（概率论与数理统计）-试卷6(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B，C( )（分数：2.00）A.A∪B．B.A—B．C.AB．√解析：解析：注：化简数学式子主要从两个角度着手，一是简化形式，二是简化结果．注意事件的运算满足交换律、结合律、分配律，德.3.设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是( )（分数：2.00）C.P(AB)=P(A)P(B)．D.P(A一B)=P(A)．√解析：解析：由图1—1，显然(A)不成立，由图1一2，选项(B)不成立．又AB=，故P(AB)=0，而P(A)P(B)＞0，选项(C)4.对于任意两个随机事件A和B，则( )．（分数：2.00）A.如果A，B一定独立．B.如果A，B有可能独立．√C.如果A，B一定独立．D.如果A，B一定不独立．解析：解析：一般地，随机事件互不相容与相互独立之间没有必然联系，如果 0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，且A和B相互独立，则0＜P(AB)=P(A)P(B)＜1，则AB≠．反之，如果，P(AB)与P(A)P(B)有可能相等，故应选B．5.设A为随机事件，且P(A)=1，则对于任意的随机事件B，必有( )（分数：2.00）A.P(A∪B)=P(B)．B.P(A一B)=P(B)．C.P(B一A)=P(B)．D.P(AB)=P(B)．√解析：解析：因为A A∪B，P(A)=1，从而P(A∪B)=1，而B为任意事件，所以选项(A)不正确；又P(A一B)==1一P(B)，所以选项(B)不正确；P(B—=0，而B为任意事件，所以选项(C)不正确；P(AB)=P(A)P(B)=P(B)，故应选D．注：如果知道结论“概率为0或1的事件与任意事件相互独立”，则可立刻选出正确选项．6.设随机事件A，B满足( )（分数：2.00）A.A∪B=n．√D.P(A—B)=0．解析：解析：由加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)，P(A∪B)=1得P(AB)=0．P(A∪B)=1，不能说明A∪B=Ω，故选项(A)不正确；同样P(AB)=0，也不能说明AB=，故选项(B)不正确；P(A一B)=P(A)一P(AB)=，所以选项(D)不正确；=1—P(AB)=1，故应选C．7.设A和B为随机事件，则P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是( )（分数：2.00）．B.A=B．C.P(B一A)=0．√．解析：解析：因为P(A—B)=P(A—AB)=P(A)一P(AB)，而P(A—B)=P(A)一P(B)，从而P(A—B)=P(A)一P(B)成立的充要条件是P(AB)=P(B)．又P(B—A)=P(B—AB)=P(B)一P(AB)=0，可得P(AB)=P(B)，因此应选C．8.设A、B是两个随机事件，且P(C｜AB)=1，则正确的是( )（分数：2.00）A.P(C)≤P(A)+P(B)一1．B.P(C)=P(AB)．C.P(C)=P(A∪B)．D.P(C)≥P(A)+P(B)一1．√解析：解析：因为P(C｜AB)==1，从而P(ABC)=P(AB)，由加法公式P(AB)=P(A)+P(8)一P(A∪B)≥P(A)+P(B)一1，又C，故P(ABC)≤P(C)，即P(C)≥P(A)+P(B)一1，因此选(D)．9.设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜，则( )（分数：2.00）A.事件A和B互不相容．B.事件A和B互相对立．C.事件A和B互不独立．D.事件A和B相互独立．√10.已知A，B，C三个事件中，A与B相互独立，且P(C)=0（分数：2.00）A.相互独立．√B.两两独立，但不一定相互独立．C.不一定两两独立．D.一定不两两独立．解析：解析：P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)，从而事件A，B，C一定相互独立．11.设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且P(A)≠0，0＜P(C)＜1．则在下列给定的四对事件中不一定相互独立的是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：事实上，，因此应选B．注：由已知条件，只能得到是不一定相互独立的，而不能确定一定不独立，事实上如果)=0或1，则二者就是相互独立的．12.进行一系列独立重复试验，假设每次试验的成功率为p(0＜p＜1)，则在试验成功2次前已经失败3次的概率为( )（分数：2.00）A.4p 2 (1-p) 3．√B.4p(1-p) 3．C.10p 2 (1-p) 3．D.p 2 (1-p) 3．解析：解析：考查独立重复试验事件的概率，事件“在试验成功2次前已经失败3次”是指“试验进行5次，第5次是第2次成功”，相当于事件“第5次成功，前4次成功1次”．由于是独立重复试验，故所求概率为C 41 p(1-p) 3 p=4p 2 (1-p) 3，应选A．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)13.已知A，B是任意两个随机事件，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：本题考查随机事件的概率，关键是综合运用事件的关系和运算律化简事件．14.随机地向半圆0＜y＜(a＞0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x的概率为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于”，如图1—4所示，事件A对应图中区域D，则P(A)=15.设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=，且已知P(A)= 1。
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}，下列结论正确的是( ) A．为对立事件．B．为互不相容事件．C．为相互独立事件．D．P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．正确答案：B解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选B．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，X)的分布函数G(x，y)为( )A．F(x，y)．B．F(y，x)．C．F(一x，一y)．D．F(一y，一x)．正确答案：B解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选B．知识模块：概率论与数理统计3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则常数A和B的值依次为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：V(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，满足此条件的只有(C)．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )A．FZ(2z)=2F(z)．B．FZ(2z)=[r(z)2C．FZ(2z)≤[F(z)]2．D．FZ(2z)≥[，(z)]2．正确答案：D解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}=P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(z)，从而[p(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，y≤z对应区域B，显然BA，故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．知识模块：概率论与数理统计5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是( ) A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．正确答案：D解析：由已知条件，有∫-∞+∞f1(x)dx=∫-∞+∞f2(x)dx=1，F1(+∞)=F2(+∞)=1，∫-∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞f1(x)dx+∫-∞+∞f2(x)dx=1，选项(A)不正确；例如令f1(x)=，故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．知识模块：概率论与数理统计6．已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )A．X=YB．P{X=Y}=0．?C．P{X=Y}=．D．P{X=Y}=1．正确答案：C解析：P{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{x=1，Y=1}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1} = 知识模块：概率论与数理统计7．设二维随机变量(X，Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x 轴，y轴以及直线y=2x+1所围成的三角形域，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度为( )正确答案：B解析：由已知条件，如图3—4所示。
《概率论与数理统计期末试题》(最终版本+最新考研题目)
班级 姓名 班内序号习题一 样本空间、随机事件、概率一、填空题．1．设,,A B C 为三事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件．（1）A 发生，B 与C 不发生：（2）A 与B 都发生，而C 不发生：（3）,,A B C 中至少有一个发生：（4）,,A B C 都不发生：（5）,,A B C 中不多于一个发生：（6）,,A B C 中不多于两个发生：（7）,,A B C 中至少有两个发生：2．设,A B 为两随机事件且3()7P AB =，4()()7P A P B ==，则()P A B ⋃=3．设A B ⊃，(),()P A p P B q ==，则()P A B -=4．判断下列命题的正误．（1）()A B AB B ⋃=⋃ （ ） （2）AB A B =⋃ （ ）（3）若,,AB C A BC φφ=⊂=且则（ ） （4）若B A A B A ⊂⋃=，则（ ）二、计算题．1．写出下列随机试验的样本空间Ω和下列事件所包含的样本点．（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）掷两颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点”2．设,A B 为两事件且()0.6,()0.7P A P B ==，问（1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？3．设,,A B C 为三事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====， 1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率．4．设,A B 为两事件，且()0.7,()0.3P A P A B =-=，求()P AB ．班级姓名班内序号习题二古典概型一、填空题．1．已知6只产品中有两只次品，在其中任取两只，则两只都是正品的概率是2．设一同学书桌上放着9本书，其中有3本英语书，现随机取两本，取到的全是英语书的概率为3 ．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连续抽取7张进行排列，则排列结果为ability的概率为二、计算题．1．对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）求5个人的生日都不在星期日的概率；（3）求5个人的生日不都在星期日的概率．2．从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？3．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率． (2) 求最大号码为5的概率．4．随机地向半圆0)y a <<为正常数内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率是多少？班级 姓名 班内序号习题三 条件概率、全概率公式一、计算题．1．设()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求()P B A B ⋃．2．已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品．3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，问他拨号不超过3次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？4．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？5．有两箱同种类的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取1只，作不放回抽样．求（1）第一次取到的零件是一等品的概率．（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．班级 姓名 班内序号习题四 独立性一、填空题．1．假设,A B 是两个相互独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B =2．某人向同一目标重复射击，每次命中率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第二次命中的概率为二、计算题．1．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一个能将密码译出的概率是多少？2．袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？3．甲、乙、丙3人独立地向飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率．4．证明：若()()P A B P A B =，则,A B 相互独立．（提示：()()()P AB P A P AB =-）班级姓名班内序号习题五离散型随机变量及其分布律1．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示3只求中的最大号码，写出随机变量X的分布律．2．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为=-<<．1(01)q p p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律．（此时称X服从以p为参数的几何分布）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律．（此时称Y服从以,r p为参数的巴斯卡分布）3．设离散型随机变量X 的分布律为：{},(1,2,3,)kP X k b k λ===L 且0b >，求λ的值．4．设随机变量X 服从泊松分布，且满足{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率．班级姓名班内序号习题六分布函数与连续型随机变量（一）1．将一枚硬币连抛2次，以X表示正面朝上的次数，写出X的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形．2．以X表示某商店从早晨开始营业起到直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X的分布函数是0.41,0(),0,0xXe xF xx-⎧->=⎨≤⎩求下述概率：（1）{3}P至多分钟；（2）{}P至少4分钟；（3）{3}P分钟至4分钟之间；（4）{3}} P至多分钟或至少4分钟；（5）{ 2.5}P恰好分钟3．设连续型随机变量X 的分布函数为：,0(),(0)0,0x A Be x F x x λλ-⎧+≥=>⎨<⎩（1）求常数,A B ；（2）求{2},{3}P X P X ≤>；（3）求密度函数()f x4．已知随机变量X 的密度函数为：(),()xf x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）常数A 的值；（2）{01}P x <<（3）()F x班级 姓名 班内序号习题七 连续型随机变量（二）一、填空题．1．设随机变量X 服从指数分布，其密度函数为：,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，含有变量a 的二次方程220a a X ++=有实根的概率为 2．记z α为标准正态随机变量的上α分位点，则0.01z = ， 0.003z = ，0.997z = ． 二、计算题．1．某种型号的器件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：21000,1000()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它现有一大批此种器件（设各器件损坏是否相互独立），任取5只，问其中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？2．设2~(3,2)X N ，求 （1）{25}P X <≤，{2}P X >（2）确定c 使得{}{}P X c P X c >=≤（3）设d 满足{}0.9P X d >≥，问d 至多为多少？3．设随机变量X Y 与均服从正态分布，且2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，试比较以下12p p 和的大小．12{4},{5}p P X p P Y μμ=≤-=≥+4．设随机变量2~(,)X N μσ，试问：随着σ的增大，概率{}P X μσ-<是如何变化的？班级 姓名 班内序号习题八 随机变量函数的分布1．设随机变量X 的分布律为：求2Y X =的分布律．2．设随机变量X 服从（0，1）上均匀分布． （1）求XY e =的概率密度．（2）求2ln Y X =-的概率密度．3．设~(0,1)X N ，求Y X =的概率密度．4．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,xx f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度．5．设随机变量X 服从参数为12的指数分布，证明：21X Y e -=-在区间 （0，1）上的均匀分布．班级 姓名 班内序号习题九 二维随机变量和边缘分布一、填空题．1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为2(,)(arctan )(arctan ),(,)22x F x y A B y x y R π=++∈则常数A = B =2．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{,}P a X b Y d <≤≤=二、计算题．1．箱子中装有12只开关，其中2只次品，取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样（2）不放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取的是正品若第一次取的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取的是正品若第二次取的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出,X Y 的联合分布律．2．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它（1）确定常数k ； （2）求{1,3}P X Y <<；（3）求{ 1.5}P X <； （4）求{4}P X Y +≤．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 ,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它（1）求随机变量X 的密度()X f x ； （2）求{1}P X Y +≤．班级 姓名 班内序号习题十 条件分布、相互独立的随机变量1． 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下：(1)求X Y 和的边缘分布；(2)求在0.4Y =的条件下X 的分布律；(3){50.4}P X Y ≥=；（4）判断X Y 和是否相互独立．2． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其它（1）求条件概率密度(),()Y X X Y f y x f x y ；（2）判断X Y 和是否相互独立．3． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：2221,1(,)40,x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1）求边缘概率密度；（2）判断X Y和是否相互独立．4．在（0，1）上随机取两个数，求这两个数之差的绝对值小于12的概率．5．设X Y和是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为：21,0 ()20,0yYe yf yy-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）求X Y和的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为220a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率．6*．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X Y 和的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．班级 姓名 班内序号习题十一 随机变量函数的分布一、填空题．1、 设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间（0，3）上的均匀分布， 则{max(,)1}P X Y ≤=2、 设X Y 与为两个随机变量，且3{0,0},7P X Y ≥≥=4{0}{0},7P X P Y ≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=二、计算题1．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它， ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它求随机变量Z X Y =+的概率密度．2．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，,0(),(,0)0,0y Y e y f y y μμμλ-⎧>=>⎨≤⎩为常数引入随机变量 1,0,X YZ X Y ≤⎧=⎨>⎩，（1）求条件概率密度()X Y f x y ；（2）求Z 的分布律和分布函数．3．设某种型号的电子元件的寿命（于小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率．4．设X Y 与相互独立，1{},(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为 1,01()0,Y y f y ≤≤⎛=⎝其它，记Z X Y =+， （1）求1{0}2P Z X ≤=；（2）用全概率公式计算{ 1.4}P Z ≤5．设随机变量,X Y 相互独立，且服从同一分布．试证明： 22{min(,)}[{}][{}]P a X Y b P X a P X b <≤=>->班级 姓名 班内序号习题十二 数学期望一、填空题．1．X 服从参数为1的指数分布，则2(23)XE X e-+=2．~(1)X π，则{2()}P X E X ==二、计算题．1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X ．（设各产品是否为次品是相互独立的）2．设随机变量X Y 与的联合概率分布如下：求()E X ，()E Y ，()E XY ．3．设(,)X Y 的概率密度为： 212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +．4．将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X ．班级 姓名 班内序号习题十三 方差一、填空题．1．设~(,)X b n p ，则()E X = ，()D X = 2．设~()X πλ，则()E X = ，()D X = 3．设~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X =4．设X 服从参数为θ的指数分布，则()E X = ，()D X = 5．设2~(,)X N μσ，则()E X = ，()D X = 6．已知随机变量~(3,1),~(2,1)X N Y N -，且,X Y 相互独立，27Z X Y =-+，则~Z二、计算题．1．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,i i E X i D X i ==-(1,2,3,4)i =．设12341232Y X X X X =-+-，求(),()E Y D Y ．2．卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X （以公斤计）服从2(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05．3．设随机变量,X Y 相互独立，且~(6,16),~(1,9)X N Y N ，求 （1）{}P X Y >，（2）{7}P X Y +>4．设X 为随机变量，C 为常数，证明2(){()}D X E X C ≤-．班级 姓名 班内序号习题十四 协方差与相关系数一、填空题．1．设()1,()1,()1,()2,(,)1E X D X E Y D Y Cov X Y =-====， 则(34)E X Y += ，(34)D X Y -= 2．设()2,()3,(,)1D X D Y Cov X Y ===-， 则(321,43)Cov X Y X Y -++-=3．设~(0,1),~(1,4)X N Y N ，1xy ρ=，则{21}P Y X =+=4．设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X Y 和相互独立的充要条件是ρ=二、计算题．1．设随机变量(,)X Y 具有概率密度：1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ，()E Y ，(,),,().XY Cov X Y D X Y ρ+2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互独立的．3．设(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X Y D X D Y σσ==，证明当222/X Y a σσ=时随机变量W X aY X aY =-=+与V 相互独立．班级 姓名 班内序号习题十五 大数定律与中心极限定理一、填空题．1．设随机变量X 具有2(),()E X D X μσ==，则有切比雪夫不等式，有{3}P X μσ-≥≤2．设12,,,,n X X X L L 相互独立同分布，且()n E X =0，则1lim {}ni n i P X n →∞=<=∑二、计算题．1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数．设所有舍入误差是独立的且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布．（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？2．设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中，至少有多少人能够进入？3．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？4．一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？班级 姓名 班内序号习题十六 样本及抽样分布（一）一、填空题．1．设12,,,n X X X L 为来自总体2(0,)N σ的样本，且随机变量221()~(1)ni i Y C X χ==∑，则常数C =2．设1234(,,,)X X X X 取自正态总体2~(0,2)X N 的样本，且22123411(2)(34)20100Y X X X X =-+-，则，~Y 分布． 二、计算题．1．在总体2(52,3)N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率．2．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．3．设1210,,,X X X L 为2(0,0.3)N 的一个样本，求1021{ 1.44}ii P X=>∑．4．设总体2~()X n χ，1210,,,X X X L 是来自X 的样本，求2(),(),()E X D X E S ．班级 姓名 班内序号习题十七 样本及抽样分布（二）二、填空题．1．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，则22221()(1)~ni i X X n S σσ=--=∑分布，221()~ni i X μσ=-∑分布．2．记()t n α为t 分布的上α分位点，则0.995(29)t = 3．已知~(),X t n 则2~X 分布． 二、解答题．1．设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X L 是来自X 的样本． （1）求12(,,,)n X X X L 的分布律；（2）求1nii X=∑的分布律；（3）求2(),(),()E X D X E S ．2．设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ均为未知．（1）求222{ 2.041},S P S σ≤其中为样本方差；（2）求2()D S3．设总体2~(,)X N μσ，1234,,,X X X X 为来自X 的样本，Y =~(2).Y t班级 姓名 班内序号习题十八 点估计1． 设12,,,n X X X L 为总体X 的一个样本，X 的密度函数为：1,01(),(0)0,x f x θ≤≤=>⎝其它，求θ的矩估计和最大似然估计．2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 2()2,(;)0,x e x f x θθθ--⎧>=⎨⎩其它其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．3．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，且~()X πλ．求{0}P X =的最大似然估计．4．设总体X 具有分布律（如下表）其中(01)θθ<<为未知参数．已知取得了样本值1231,2,1x x x ===．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．班级 姓名 班内序号习题十九 估计量的评价标准一、填空题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体(,)B n p 的样本，若2X kS +为2np 的无偏估计，则k =2．设12,,,n X X X L 是来自总体2(,)N μσ的样本，若21()n i i aX μ=-∑和21()n i i b X X =-∑都是2σ的无偏估计，则a = ，b = 二、解答题．1．设12,,,n X X X L 是来自总体X 的一个样本，设2(),()E X D X μσ==（1）确定常数c 使1211()n i i i cX X -+=-∑为2σ的无偏估计；（2）确定常数c 使22()X cS -为2μ的无偏估计．2．设1234,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本．其中θ未知．设有估计量： 1123411()()63T X X X X =+++， 212341(234)5T X X X X =+++， 312341()4T X X X X =+++ （1）指出中哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计量中指出哪一个较为有效．3．设ˆθ是参数θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>，试证^22ˆ()θθ=不是2θ的无偏估计．班级 姓名 班内序号习题二十 正态总体均值与方差的区间估计1．设总体~(,8)X N μ，1236(,,,)X X X L 为其简单随机样本，[1,1]X X -+是μ的一个置信区间，求该置信区间的置信水平．2．设某种油漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为： 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.3设干燥时间总体服从正态分布2(,)N μσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间．（1）若由以往的经验知σ=0.6（小时）；（2）若σ为未知．3．随机地取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信水平为0.95的置信区间．4．研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05/cm s ，取样本容量为1220n n ==，得燃烧率的样本均值分别为1218/,24/x cm s x cm s ==，求两燃烧率总体均值差12μμ-的置信水平为0.99的置信区间．5．设2~(,)X N μσ，2σ已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信水平为1α-，且置信区间的长度不大于L ？班级 姓名 班内序号习题二十一 单侧置信区间1．为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行使到磨损为止，所行使的路程为1216,,,X X X L ，假设这些数据来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ未知，计算得出41117,1347X S ==，试求：（1）求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限；（2）求方差2σ的置信水平为0.95的单侧置信上限．2．设两位化验员,A B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为220.5419,0.6065A B S S ==．设22,A B σσ分别为,A B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，（1）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的置信区间；（2）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的单侧置信上限．班级 姓名 班内序号习题二十二 假设检验一、填空题．1．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则犯第一类错误指的是 不真，接受 ；犯第二类错误指的是 不真，接受 ．2．设12(,,,)n X X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，2σ已知，现要检验假设00:H μμ=，则应选取的统计量是 ；当0H 成立时，该统计量服从 分布．3．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 ．二、计算题．1．已知某炼钢厂铁水含碳量服从正态分布2(4.55,0.108)N ，现在测定了9种铁水，其平均含碳量4.84．若估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）？2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩仍为70分？（给出检验过程）3．要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时。
考研数学概率论与数理统计全套练习题复习题-数一数三文都高联新东方有道考研
a=
：若事件A与B相互独立，则α ＝
ห้องสมุดไป่ตู้
三． 解答题 1.一负责人到达办公室的时间均匀分布在上午8-12点之间，他的秘书到达办
9
的概率与B发生 A不发生的概率相等，则P(A)=
2. A和B为任意两随机事件，则 P((A+B)(A+B）（立 ＋ B)(A+B））＝ 一一
3.设 10件产品中有4件不合格，－从中任取两件，己知所取两件产品中有一件 事不合格产品，则另 一件也是不合格产品的概率
4. 现有甲乙两人独立的射击同一目标，其命中率分别是 0.6和0.5，现已知目 标被击中，则它是 己击中的概率是
B. 若 AB＊ ②，则A, B有可能独立
c. 若 AB ＝ ②，则A, B 一定独立
D. 若 AB ＝ 白，则A, B 一定不独立
7.设A,B,C三个事件两两独立，则A,B,C相互独立的充分必要条件是（
）
A. A与BC独立
B. AB与Aue独立
C. AB与AC独立
D. AuB与Aue独立
8.对任意两事件 A,B，与AuB=B不等价的是（
5. 从 0,1,2，…，9 十个数中任选三个不同的数字，三个数字中不含 0 或 5 的概率
为
6.己知A,B是两个随机事件，P(A）＝α， P(AB)=c(a=t:O，作的，
） P(AIB)=P(AIB ，则 P(A+B)=
（ 7. 设P(A）＝α， P(B)=0.3, P 互 UB)=0.7，若事件 A 与 B互不相容，则
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考研数学二（概率论与数理统计）-试卷1(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设X 1，X 2，…，X n (n＞1)相互独立同分布，概率密度为f(x)=2x -3，x≥1，i=1，2，…，则有( ) （分数：2.00）A.对每一个X i都满足切比雪夫不等式．B.X i都不满足切比雪夫不等式．√C.X 1，X 2，…，X n满足切比雪夫大数定律．D.X 1，X 2，…，X n不满足辛钦大数定律．解析：解析：由于切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律要求随机变量序列的期望和方差存在．由题设条件E(X i发散，从而D(X i )不存在，因此(A)、(C)不正确，而辛钦大数定律仅要求E(X i )存在，从而(D)也不正确，因此应选B．3.设X 1，X 2，…，X n相互独立，且X i (i=1，2，…)服从参数为λ(＞0)的泊松分布，则下列选项正确的是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：由于E(X i )=λ，D(X i )=λ，从而=nλ，由列维一林德伯格中心极限定理，近似服从N(0，1)，因此选4.设随机变量X 1，X 2，…，X n，…相互独立，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当n定充分大时，X 1 +X 2+…+X n近似服从正态分布，只要X i (i=1，2，…)满足条件( )（分数：2.00）A.具有相同的数学期望和方差．B.服从同一离散型分布．C.服从同一连续型分布．D.服从同一指数分布．√解析：解析：列维-林德伯格中心极限定理要求随机变量序列相互独立同分布，期望与方差存在，满足这三个条件的只有(D)．5.设X 1，X 2，X 3，X 4为来自总体N(1，σ)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的( ) （分数：2.00）A.N(0，1)．B.t(1)． (c)χ2 (1)．√C.F(1，1)．D.考查产生t分布的典型模式．解析：解析：由于X服从N(1，σ2 )，i=1，2，3，4，且相互独立，所以X。
一X服从N(0，2σ2 )，X 3 +X 4一2服从N(0，2σ2 )．6.设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X 1，X 2，…，X 2n(n≥2)为来自总体X的简单随机样本，统计量T 1，则有( )（分数：2.00）A.E(T 1 )＞E(T 2 )，D(T 1 )＞D(T 2 )．B.E(T 1 )＞E(T 2 )，D(rm)＜D(T 2 )．C.E(T 1 )＜E(T 2 )，D(T 1 )＞D(T 2 )．D.E(T 1 )＜E(T 2 )，D(T 1 )＜D(T 2 )．√解析：解析：D(T 1 )＜D(T 2 )，从而应选D．二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{｜X—Y｜＞6}≤ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(x)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而E(X-Y)=2-2=O，D(X-Y)=D(X)+D(Y)一2ρXY=1+4-2×0．5×1×2=3．由切比雪夫不等式，P{｜X—Y．8.在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1 000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0．975．）解析：解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从β(1 000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250． P{400＜X ＜600}=P{一100＜X-500＜100} =P{｜X一500｜＜100)．由切比雪夫不等式，有P{400＜X＜600}=P{｜X一500=U．975．三、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：10.设随机变量X 1，X 2，…，X n相互独立同分布，且E(X i k )=a k (k=1，2，3，4)，证明当n充分大时，随机变量Z n近似服从正态分布，并指出其分布参数．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题意，X 12，X 22，…，X n2相互独立同分布，且E(X i2)=a 2，D(X i2)=E(xi 2 )一[E(Xi2 )] 2 =a4一a 22，又)解析：11.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20％，以X表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数．(1)写出X的概率分布；(2)利用德莫弗一拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)索赔户为X，则X～B(100，0．2)，(2)由De Moivre—Laplace) 解析：12.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去．已知每个元件的进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95％的把握保证一年够用(假定一年按照2 000个工作小时计算)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：假设一年需要n个元件，则预算经费为na故年预算至少应为64a元．) 解析：13.一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设平均重50千克，标准差为5千克．如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0．977，(2)=0．977．)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设X i是装运的第i箱的重量，n是箱数，且E(X i )=50，=5，i=1，2…，n． P{T n，解得n＜98．019 9，即最多可以装98箱．)解析：14.在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0．2 2)，表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{｜一a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值应不小于多少? （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：15.设X 1，X 2，…，X 6是来自正态总体N(0，3 2)的一个简单随机样本，求常数a，b，c使T=aX 1+b(X2 +X3 ) 2 +c(X4 +X5 +X6 )2服从χ(3)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题意X 1服从N(0，3 2 )，X 2 +X 3服从N(0，18)，X 4 +X 5 +X 6服从N(0，27)，)解析：解析：考查产生χ2分布的典型模式．χ2分布是由相互独立的服从标准正态分布的随机变量序列的平方和得到的，按照该定义，求出a，b，c．16.设随机变量X服从T(N)，判断Y=X 2，（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于X服从t(n)，设U服从N(0，1)，V服从χ2 (n)，且Y与Z相互独立，则X可表示为服从F(n，1)．)解析：解析：考查产生F分布的典型模式．17.设和S 2分别是来自正态总体N(0，σ2 )的样本均值和样本方差，样本容量为n，判断所服从的概率分布．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：18.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，σ2 )，而X 1，X 2，X 3，X 4与Y 1，Y 2，Y 3，Y 4分别是来自总体X和Y的两个简单随机样本，判断统计量服从的分布．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.已知二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布N(0，1，2 2，3 2，0)，判断（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由题意X服从N(0，2 2 )，Y服从N(1，3 2 )，且相互独立，)解析：解析：由随机变量F的形式可推断其服从F分布．20.设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0，9)，而X 1，…，X 9与Y 1一，Y 9分别是来自总体X和Y的两个简单随机样本，判断统计量所服从的分布．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：21.设X 1，X 2，…，X n (n＞1)是取自总体X的一个简单随机样本，．在下列四种情况下，分别求，E(S 2 )．(1)X服从B(1，p)；(2)X服从E(λ)；(3)X服从N(μ，σ2 )．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于样本X 1，X 2，…，X n(n＞1)是相互独立的，并且与总体服从相同的分布，)解析：22.设总体X服从β(n，p)，又X 1，X 2，…，X n为取自总体X的一个简单随机样本，统计量T 1—S 2，求E(T 1 )和E(T 2 )．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：23.设总体X服从N(0，σ)，X 1，X 2，…，X n为取自总体X的一个简单随机样本，与S 2分别为样本均值和样本方差，统计量 T=(n一，求E(T)和D(T)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()结论结合期望和方差的性质求出E(T)和D(T)．24.设总体X服从N(μ1，σ2 )，Y服从N(μ2，σ2 )，又X 1，X 2，…，X n和Y 1，Y 2，…，Y n分别为取自总体X和Y的简单随机样本．求。