(暑期一日一练)2020届高考数学二轮复习 第12讲 圆锥曲线的定义、方程、几何性质学案(无答案)文
山东省2020届高考数学 权威预测 圆锥曲线的定义、性质和方程二 新人教版
2020届山东新课标高考数学权威预测：圆锥曲线的定义、性质和方程(二)【例5】已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，向量AB 与OM 是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e ；（2）设Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围；解：（1）∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=。
∵AB OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b=c,故22=e 。
（2）设1122121212,,,2,2,FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+==22222221212122121212124()24cos 11022()2r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--===-≥-=+当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2,0[π∈。
【例6】设P 是双曲线116422=-y x 右支上任一点. （1）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E ，F ，求||||PF PE ⋅的值；（2）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，且AOB PB AP ∆=求,2的面积.解：（I ）设16414),,(20202000=-⇒=y x x y x P 则 ∵两渐近线方程为02=±y x由点到直线的距离公式得.5165|4|||||2020=-=⋅∴y x PF PF（II ）设两渐近线的夹角为α，,53tan 11cos ,34|4122|tan 2=+==-+=ααα则54sin =∴α,1368,136)2(36)2(,1164,342,32,2.5||||)(,5||,5||),2,(),2,(,212212212221021*********==+-+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=∴==⋅∴==∴--=∠∴x x x x x x y x x x y x x x PB AP x x OB OA AB P x OB x OA x x B x x A AOB 即得代入又的内分点是设Θαπ2921=∴x x 95429521)sin(||||21=⋅⋅⋅=-⋅=∆απOB OA S AOB【例7】如图，已知梯形ABCD 中|AB |=2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为118，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD ⊥y 轴．因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称． 依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，B (c ，0)，其中c 为双曲线的半焦距，c =21|AB |，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为c c c x E 19711812118-=+⨯+-=， h hy E19811811180=+⨯+=． 设双曲线的方程为12222=-by a x ，则离心率a ce =．由点C 、E 在双曲线上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅=-⋅.136********,14122222222b h ac b h a c ① ②由①式得1412222-⋅=a c bh 代入②式得922=a c 所以，离心率322==ac e【例8】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y=kx+m 与椭圆C 相交于A,B 两点（A,B 不是左右顶点），且以AB 为直径的图过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：（I ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：3a c +=，1a c -=，2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-= ∴椭圆的标准方程为22143x y += （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y yx x •=---， 1212122()40y y x x x x ∴+-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++，2271640m mk k ∴++= 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭， ★★★自我提升1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是(C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 2．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A ．36B ．4C ．2D ．13．抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A )1617( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 04．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为（A ）.A 、28B 、24C 、22D 、85．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 221164+=y x ．6．过椭圆左焦点F ，倾斜角为60︒的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA |=2|FB |，则椭圆的离心率为( B )(A)23 (B) 23 (C) 12(D)22 7．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。
2020版高考数学二轮复习专题限时集训10圆锥曲线的定义方程及性质理
4.如图，椭圆x2a2＋y22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [因为b 2＝2，c ＝a2－2，所以|F 1F 2|＝2a2－2. 又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得 cos 120°＝42＋2a －42－2a2－222×4×2a －4＝－12，解得a ＝3.]5．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°B [分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′(图略)，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°，故选B.]6．[易错题]若方程x22＋m －y2m ＋1＝1表示椭圆，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 [由题意可知⎩⎨⎧2＋m ＞0，m ＋1＜0，2＋m≠－m ＋1.解得－2＜m ＜－1且m ≠－32.]7．若三个点(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线C ：x2a2－y 2＝1(a ＞0)上，则双曲线C 的渐近线方程为________．y ＝±22x [由于双曲线的图象关于原点对称，故(－2,1)，(2，－1)在双曲线上，代入方程解得a ＝2，又因为b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±22x .] 8．[易错题]若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的方程为________．x212＋y29＝1或x29＋y212＝1 [由题意，得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.所以当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x212＋y29＝1；当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆的方程为x29＋y212＝1.故椭圆的方程为x212＋y29＝1或x29＋y212＝1.][能力提升练] (建议用时：20分钟)9．(20xx·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°D [由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b2a2＝1＋tan2130°＝1＋sin2130°cos2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.故选D.]10．(20xx·珠海质检)过点M (1,1)作斜率为－13的直线l 与椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．63[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得， ⎩⎨⎧b2x21＋a2y21＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，∴b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0， ∴b 2(x 1－x 2)＝－a 2(y 1－y 2)． ∴b2a2＝－y1－y2x1－x2＝13，∴a 2＝3b 2. ∴a 2＝3(a 2－c 2)，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63.] [点评] 点差法适用范围：与弦的中点轨迹有关、与弦所在直线斜率有关. 11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1kAB ＋1kAC ＋1kBC＝________.0 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA →＋FB →＝－FC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x1－p 2，y1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－p 2，y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x3－p 2，y3，y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y2－y1x2－x1＝2p y1＋y2，k AC＝y3－y1x3－x1＝2p y1＋y3，k BC ＝y3－y2x3－x2＝2p y2＋y3，所以1kAB ＋1kAC ＋1kBC ＝y1＋y22p ＋y3＋y12p ＋y2＋y32p ＝y1＋y2＋y3p＝0.] 12．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．[解](1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a2＋9434a2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ＞0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝y1＋y22－4y1y2＝36t24＋3t22＋364＋3t2＝12t2＋14＋3t2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t2＋14＋3t2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 2＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t×0＋1|1＋t2＝11＋t2，所以r ＝22，的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点(2,1)代入可得4a2－1b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧4a2－1b2＝1，ba ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝113，b2＝11，故所求双曲线的方程为x2113－y211＝1，故③错误，又离心率e ＝b2a2＋1＝2，故①正确，综上可知①②正确．] 【押题2】 已知|MN |＝1，MP →＝3MN →，当N ，M 分别在x 轴，y 轴上滑动时，点P 的轨迹记为E .(1)求曲线E 的方程；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线MN 与E 交于P ，Q 两点，若|PN |＝|MQ |，求k . [解] (1)设M (0，m ), N (n,0)，P (x ，y )，由|MN |＝1得m 2＋n 2＝1.由MP →＝3MN →，得(x ，y －m )＝3(n ，－m )， 从而x ＝3n ，y －m ＝－3m ， ∴n ＝x 3，m ＝－y 2，∴曲线E 的方程为x29＋y24＝1.(2)直线MN 为y ＝kx ＋t ，∴n ＝－tk .①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将MN 的方程代入到E 的方程并整理，可得(4＋9k 2)x 2＋18ktx ＋9t 2－36＝0， ∴x 1＋x 2＝－18kt4＋9k2.∵|PN |＝|MQ |，所以MN 的中点和PQ 的中点重合， ∴－9kt 4＋9k2＝－t2k，② 联立①②可得k 2＝49，故k ＝±23.[点评] 向量条件转化，一是向坐标转化，建立坐标间关系，二是挖掘向量条件的几何意义如共线、中点、垂直.。
高三数学二轮复习圆锥曲线 课件
内容
难度
中等
圆锥曲线的方程与性质、弦
长问题.
考点1：圆锥曲线的定义及
标准方程
【例1】（1）已知P是抛物线 y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x‒3)2＋(y‒1)2＝1上
的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( A )
A．3
B．4
y
C．5
Pபைடு நூலகம்
H
Q
1
O
x=-1
N
3
x
D． 2 ＋1
2
2
2
− 2
= 1 (a>0，
b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆
A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两
点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为
2 3
________．
3
M
N
A
x
（2）在平面直角坐标系xOy中，双曲线
2
2
2
− 2
y
B
= 1 (a＞0，b＞0)的右支与焦点为F
•
计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2 ，b 2 或p．另外，当焦点位置无法确定时，
抛物线常设为y 2 ＝2px或x 2 ＝2py(p≠0)，椭圆常设为mx 2 ＋ny 2 ＝1(m>0，n>0)，双
曲线常设为mx 2 －ny 2 ＝1(mn>0)．
考点2：圆锥曲线的几何性质
y
【例2】（1）已知双曲线C：
2
（2）已知双曲线 2
2
− 2
= 1 (a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为 2 .若经过F
和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )
2020年高考数学二轮复习小题押题(12+4)专题精讲特训13-圆锥曲线定义、标准方程和几何性质
2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）专题精讲特训13（求准度，提速度）小题押题16—(13)⎪⎪圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质考查点一 圆锥曲线的定义及标准方程1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5. ∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎨⎧16p 2＋8＝r 2，p24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p 24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.2．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.3．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4. 由|MF |＝5，得⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8. 故所求C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .考查点二 圆锥曲线的几何性质4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a .由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2ab a 2＋b 2＝a ，即a 2＝3b 2.又e 2＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝63. 5．(2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )， 由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |， 则|MF |＝m (a －c )a.①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a .②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.6．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：选D 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，又因为a >0，所以a ＝1.7．(2014·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：选A 双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m ＞0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±m m x ，即my ＝±x ，不妨取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.考查点三 直线与圆锥曲线位置关系的简单应用8．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：选C 法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°， 则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 9．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1， 即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ， 解得c a ＝12，即e ＝12.10．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A .303B ．6C ．12D ．7 3解析：选C 抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 所以AB 所在的直线方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 将y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34代入y 2＝3x ， 消去y 整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝212， 由抛物线的定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.11．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：选C 如图所示，作出抛物线的准线l 1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项知选C 项．重点突破——圆锥曲线性质的2个常考点考法(一) 椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题[典例] (1)(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a . 即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.[答案] C(2)(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2 [解题方略][针对训练]1．(2017·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22B ．2－ 3 C.5－2D.6－ 3解析：选D 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝ca ＝6－ 3.2．(2018届高三·广西五校联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF ―→1·NF ―→1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则MF ―→1·NF ―→1＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0， 即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0， 故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2.考法(二) 圆锥曲线中的最值问题[典例] (1)(2016·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23C.22D ．1[解析] 如图所示， 设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)， 故直线OM 的斜率的最大值为22. [答案] C(2)(2017·南昌质检)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|PA |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 有最小值，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．[答案] (2,2) [解题方略]1．(2017·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317解析：选B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线C 的方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|PA |的最小值为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10.2．(2017·南昌模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3 B.3π4C.5π6D.2π3解析：选D 由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)． 所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎡⎦⎤32(|AF |＋|BF |)22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝⎛⎭⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π，所以∠AFB 的最大值为2π3.失误防范——警惕圆锥曲线中的3个易错点1．忽略直线斜率不存在情况致误[练1] (2017·西安八校联考)过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 4－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意． ②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k )2＝4， 即(1－4k 2)x 2－8(1－2k )kx －4(1－2k )2－4＝0(*)． 若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k ≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k )2＋16(1－4k 2)[(1－2k )2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．2．忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.[练2] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．解析：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)．答案：x 2－y 28＝1(x <0)3．忽略焦点的位置致误解析：①当椭圆的焦点在x 轴上时， 则a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时， 椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2. 又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32， 解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案：1或16[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2017·福州模拟)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±5x解析：选A ∵双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2＝4a 2，∴a 2＋b 2＝4a 2，∴a b ＝33，∴C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2018届高三·广东三市联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 由题意3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p4，将⎝⎛⎭⎫p 4，2代入y 2＝2px (p ＞0)，得p22＝2， ∵p ＞0，∴p ＝2.3．(2017·南京模拟)若双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的离心率为2，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选C 由题意得e ＝ca ＝1＋b 21＝2，解得b ＝ 3.4．(2017·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12C.23D.32解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ―→＝(1,0)，PF ―→＝(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 6．(2018届高三·张掖调研)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )A.133B.143C ．5D.163解析：选D ∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.7．(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．4或10D ．1或13解析：选D 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝29＋4＝213，由点P 在双曲线C 上，|PF 1|＝7，得|7－|PF 2||＝2a ＝2×3＝6，可得|PF 2|＝1或|PF 2|＝13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝213，或者|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝213，均能满足三角形成立的条件，选D.8．(2017·沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 作出示意图如图所示，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，∴a ＝3.9．(2018届高三·武昌调研)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D. 3解析：选A 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ′，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴2a ＝2a ′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2ac ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c 2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A.10．(2017·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足PF 2⊥x 轴．若|F 1F 2|＝12，|PF 2|＝5，则该双曲线的离心率为( )A.1312B.125C.32D ．3解析：选C 由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋5.在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即(2a ＋5)2＝52＋122，解得a ＝4.因为|F 1F 2|＝12，所以c ＝6，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32.11．(2017·福州模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2(x －1)，x ≤1得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|FQ ||FF 1|＝252＝ 5. 12．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．13．(2017·合肥模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：在双曲线中，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a2－1＝e 2－1＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .答案：y ＝±2x14．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：515．(2018届高三·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＝0.答案：016．(2017·安徽二校联考)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP ―→＝(λ－1)OA ―→(λ∈R)(O 是坐标原点)，且OA ―→·OP ―→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．解析：因为AP ―→＝(λ－1)OA ―→，所以OP ―→＝λOA ―→，即O ，A ，P 三点共线，因为OA ―→·OP ―→＝72，所以OA ―→·OP ―→＝λ|OA ―→|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP ―→||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA ―→|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号，故所求最大值为15.答案：15[B 级——中档小题强化练]1．(2018届高三·菏泽摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )A. 6B.233C.10D. 3解析：选C 由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，可得ba ＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2，亦即c 2＝10a 2，故离心率为e ＝ca ＝10.2．(2017·云南模拟)以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点，与y 轴交于P ，Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3C ．2 D. 5解析：选B 设圆M 与双曲线C 相切于点F (c,0)，则MF ⊥x 轴，于是可设M (c ，t )(t ＞0)，代入双曲线方程中解得t ＝b 2a ，所以|MF |＝b 2a ，所以|PQ |＝2⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2.因为△MPQ 为等边三角形，所以c ＝32×2⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2，化简，得3b 4＝4a 2c 2，即3(c 2－a 2)2＝4a 2c 2，亦即3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，所以3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13或e 2＝3，又e＞1，所以e ＝ 3.3．(2017·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．4．(2017·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞C.⎝⎛⎦⎤1，53 D.⎝⎛⎦⎤1，54 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ， 不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca . 因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54. 5．(2018届高三·武汉调研)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．解析：由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线于点M ，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |， ∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2,22m )(m ＞0)， 则m 2＋2＝4，解得m ＝2，故△PFK 的面积S ＝4×22×2×12＝8.答案：86．(2016·石家庄模拟)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N两点，且MF ―→·NF ―→＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF ―→·NF ―→＝0，所以MF ―→⊥NF ―→.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： 2[C 级——压轴小题突破练]1．(2018届高三·河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－⎪⎪⎪⎪x Q ＋12＝⎪⎪⎪⎪3－12＝52. 2．(2017·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y ＜b a x ，y ＞－b a x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.3．(2018届高三·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝ca＝ 5.4．(2017·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OF ―→＝0，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OF ―→)＋(OB ―→－OF ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4， ①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0， ②由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝5x 218＋1＝94. 答案：94。
2020年高考数学二轮复习小题押题(12+4)跟踪检测12 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质
2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）跟踪检测12 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质[A 级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2017·福州模拟)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±5x解析：选A ∵双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2＝4a 2，∴a 2＋b 2＝4a 2，∴a b ＝33，∴C 的渐近线方程为y ＝±33x .2．(2018届高三·广东三市联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 由题意3x 0＝x 0＋p 2，即x 0＝p4，将⎝⎛⎭⎫p 4，2代入y 2＝2px (p ＞0)，得p22＝2， ∵p ＞0，∴p ＝2.3．(2017·南京模拟)若双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的离心率为2，则b ＝( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选C 由题意得e ＝ca ＝1＋b 21＝2，解得b ＝ 3.4．(2017·长沙模拟)A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12C.23D.32解析：选D 法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ―→＝(1,0)，PF ―→＝(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 6．(2018届高三·张掖调研)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )A.133B.143C ．5D.163解析：选D ∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.7．(2017·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．4或10D ．1或13解析：选D 由一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0和b ＝2可得a ＝3，|F 1F 2|＝29＋4＝213，由点P 在双曲线C 上，|PF 1|＝7，得|7－|PF 2||＝2a ＝2×3＝6，可得|PF 2|＝1或|PF 2|＝13，根据|PF 1|＝7，|PF 2|＝1，|F 1F 2|＝213，或者|PF 1|＝7，|PF 2|＝13，|F 1F 2|＝213，均能满足三角形成立的条件，选D.8．(2017·沈阳模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C 的焦点不重合，点M 关于F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN |－|BN |＝12，则a ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 作出示意图如图所示，设MN 的中点为P .∵F 1为MA 的中点，F 2为MB 的中点，∴|AN |＝2|PF 1|，|BN |＝2|PF 2|，又|AN |－|BN |＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝6＝2a ，∴a ＝3.9．(2018届高三·武昌调研)已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|>|PF 2|，线段PF 1的垂直平分线过F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2e 1＋e 22的最小值为( )A ．6B ．3 C. 6D. 3解析：选A 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a ′，半焦距为c ，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ′，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴2a ＝2a ′＋4c ，∴2e 1＋e 22＝2ac ＋c 2a ′＝2a ′＋4c c ＋c 2a ′＝2a ′c ＋c 2a ′＋4≥2＋4＝6，当且仅当c ＝2a ′时取“＝”，故选A.10．(2017·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线上一点P 满足PF 2⊥x 轴．若|F 1F 2|＝12，|PF 2|＝5，则该双曲线的离心率为( )A.1312B.125C.32D.3解析：选C 由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋5.在Rt △PF 2F 1中，|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即(2a ＋5)2＝52＋122，解得a ＝4.因为|F 1F 2|＝12，所以c ＝6，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝64＝32.11．(2017·福州模拟)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若射线y ＝2(x －1)(x ≤1)与C ，l 分别交于P ，Q 两点，则|PQ ||PF |＝( ) A. 2 B ．2 C. 5D ．5解析：选C 由题意，知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，设准线l ：x ＝－1与x 轴的交点为F 1.过点P 作直线l 的垂线，垂足为P 1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2(x －1)，x ≤1得点Q 的坐标为(－1，－4)，所以|FQ |＝2 5.又|PF |＝|PP 1|，所以|PQ ||PF |＝|PQ ||PP 1|＝|FQ ||FF 1|＝252＝ 5. 12．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9. 故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．13．(2017·合肥模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：在双曲线中，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a2－1＝e 2－1＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x . 答案：y ＝±2x14．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.答案：515．(2018届高三·湘中名校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＝0.答案：016．(2017·安徽二校联考)已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP ―→＝(λ－1)OA ―→(λ∈R)(O 是坐标原点)，且OA ―→·OP ―→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．解析：因为AP ―→＝(λ－1)OA ―→，所以OP ―→＝λOA ―→，即O ，A ，P 三点共线，因为OA ―→·OP ―→＝72，所以OA ―→·OP ―→＝λ|OA ―→|2＝72，设A (x ，y )，OA 与x 轴正方向的夹角为θ，线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP ―→||cos θ|＝|λ||x |＝72|x ||OA ―→|2＝72|x |x 2＋y 2＝721625|x |＋9|x |≤72216×925＝15，当且仅当|x |＝154时取等号，故所求最大值为15.答案：15[B 级——中档小题强化练]1．(2018届高三·菏泽摸底)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( )A. 6B.233C.10D. 3解析：选C 由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，可得ba ＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2，亦即c 2＝10a 2，故离心率为e ＝ca ＝10.2．(2017·云南模拟)以双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点，与y 轴交于P ，Q 两点．若△MPQ 为正三角形，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选B 设圆M 与双曲线C 相切于点F (c,0)，则MF ⊥x 轴，于是可设M (c ，t )(t ＞0)，代入双曲线方程中解得t ＝b 2a ，所以|MF |＝b 2a ，所以|PQ |＝2⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2.因为△MPQ 为等边三角形，所以c ＝32×2⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2，化简，得3b 4＝4a 2c 2，即3(c 2－a 2)2＝4a 2c 2，亦即3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，所以3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13或e 2＝3，又e＞1，所以e ＝ 3.3．(2017·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C 的离心率的取值范围为(1,3]．4．(2017·湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥35|CD |，则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫53，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫54，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤1，53 D.⎝⎛⎦⎤1，54 解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ，不妨取A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，所以|AB |＝2b 2a . 将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，得y ＝±bca ， 不妨取C ⎝⎛⎭⎫c ，bc a ，D ⎝⎛⎭⎫c ，－bc a ，所以|CD |＝2bca.因为|AB |≥35|CD |，所以2b 2a ≥35×2bc a ，即b ≥35c ，则b 2≥925c 2，即c 2－a 2≥925c 2，即1625c 2≥a 2，所以e 2≥2516，所以e ≥54.5．(2018届高三·武汉调研)已知抛物线Γ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 在Γ上且|PK |＝2|PF |，则△PKF 的面积为________．解析：由已知得，F (2,0)，K (－2,0)，过P 作PM 垂直于准线于点M ，则|PM |＝|PF |，又|PK |＝2|PF |， ∴|PM |＝|MK |＝|PF |，∴PF ⊥x 轴，△PFK 的高等于|PF |，不妨设P (m 2， 22m )(m ＞0)， 则m 2＋2＝4，解得m ＝2，故△PFK 的面积S ＝4×22×2×12＝8.答案：86．(2016·石家庄模拟)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N两点，且MF ―→·NF ―→＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF ―→·NF ―→＝0，所以MF ―→⊥NF ―→.设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c .不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a ＝1，所以e ＝ca ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： 2[C 级——压轴小题突破练]1．(2018届高三·河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－⎪⎪⎪⎪x Q ＋12＝⎪⎪⎪⎪3－12＝52. 2．(2017·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，54 D.⎝⎛⎭⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎨⎧y ＜b ax ，y ＞－b a x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2b a ，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.3．(2018届高三·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝ca ＝ 5.4．(2017·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OF ―→＝0，则弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OF ―→)＋(OB ―→－OF ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋1)，即x 2－4kx －4＝0，x 1x 2＝－4， ①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0， ②由①②解得x 21＝2，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[(y 1＋1)＋(y 2＋1)]＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝5x 218＋1＝94. 答案：94。
2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题10 圆锥曲线的性质及其应用(解析版)
专题10 圆锥曲线的性质及其应用专题点拨1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线的轨迹定义来解决问题.2．弦长公式：斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则截得的弦长: |AB |＝2212121()4k x x x x ++- =1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|(k ≠0)． 3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解. 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．真题赏析1．(2018·上海)双曲线﹣y 2=1的渐近线方程为 ．【答案】12y x =±【解析】由a=2,b=1，故渐近线方程为12y x =±.2． (2017·上海)设双曲线x 29－y 2b 2＝1(b >0)的焦点为F 1、F 2，P 为该双曲线上的一点，若|PF 1|＝5，则|PF 2|＝__________． 【答案】3【解析】依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF →1|＋|PF 2→|＝2a |PF 1→|·|PF 2→|＝18|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.例题剖析【例1】设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA ＝π4，若AB ＝4，BC ＝2，则Γ的两个焦点之间的距离为________．【答案】436【解析】如图所示：设D 在AB 上，且CD ∠AB ，AB ＝4，BC ＝2，∠CBA ＝45°∠CD ＝1，DB ＝1，AD ＝3，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系得C (1，1)，2a ＝4，把C (1，1)代入椭圆标准方程得1a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2∠b 2＝43，c 2＝83∠2c ＝436.【变式训练1】 设P 是椭圆²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A. 【答案】C【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为【例2】已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线的右支分别交于A ，B 两点，△12AF F 的内切圆半径为1r ，△12BF F 的内切圆半径为2r ，若122r r =，则直线l 的斜率为 ．【答案】±【解析】记△12AF F 的内切圆圆心为C ，边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为M 、N 、E ， 易见C 、E 横坐标相等， 则||||AM AN =， 11||||F M F E =， 22||||F N F E =，由12||||2AF AF a -=，即12||||(||||)2AM MF AN NF a +-+=， 得12||||2MF NF a -=，即12||||2F E F E a -=，记C 的横坐标为0x ，则0(E x ，0)， 于是00()2x c c x a +--=，得0x a =，同样内心D 的横坐标也为a ，则有CD x ⊥轴，设直线的倾斜角为θ，则22OF D θ∠=，2902CF O θ∠=︒-，在2CEF ∆中，12tan tan(90)2||r CF O EF θ∠=︒-=，在2DEF ∆中，22tan tan 2||r DF O EF θ∠==， 由122r r =，可得2tan tan(90)cot 222θθθ=︒-=，解得tan22θ=则直线的斜率为22tan2tan 1122tan θθθ===-- 由对称性可得直线l的斜率为±故答案为：±【变式训练2】已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________． 【答案】y ＝±32x 【解析】 设C 1的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则它的渐近线为y ＝±b a x ，即b ＝3a .有x 2a 2－y 23a 2＝1，又∠P 的纵坐标是Q 的2倍，横坐标相同．∠C 2的方程为x 2a 2－()2y 23a 2＝1，故渐近线方程为y ＝±32x .【例3】在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 ． 【答案】4【解析】Q 抛物线242y x px ==， 2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，||15PF x ∴=+=， 4x ∴=，故答案为：4．【变式训练3】已知抛物线24y x =的焦点为F ，该抛物线上点P 的横坐标为2，则||PF = ． 【答案】3【解析】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，P Q 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，||213PF ∴=+=．故答案为：3．【例4】椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,0M ，且右焦点为()1,0F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点()4,3P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ； (1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；(3)探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出12k k +的取值范围；【解析】(1)2,1a c ==Q ，b ∴=22143x y +=.(2)直线l ：1y x =-+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得27880x x --=，有1287x x +=，1287x x =-，所以()()121212121212121212243322144444162x x x x y y x x k k x x x x x x x x +++------⋅=⋅=⋅==-----++.(3)当直线AB 的斜率不存在时，不妨设31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则13312412k -==-，23332412k +==-，故122k k +=.当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线AB ：()1y k x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，由()221143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得()()22224384120k x k x k +-+-=，有2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+，则()()()()1212121212121212122538333334444416kx x k x x k y y kx k kx k k k x x x x x x x x -++++------+=+=+=-----++ ()()227212361k k +==+.巩固训练一、填空题1.已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 ． 【答案】90︒【解析】双曲线2211x y -=的两条渐近线的方程为：y x =±， 所对应的直线的倾斜角分别为90︒，∴双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角为90︒，故答案为：90︒．2.若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =r，则直线l 的方程为 ．【答案】10x y --=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)，方向向量为(1,1)d =r 的直线l 的斜率为 1，故直线l 的方程是01(1)y x -=-g ，即1y x =-， 故答案为：10x y --=．3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是 ．【答案】221520x y -=【解析】抛物线220y x =的焦点为(5,0)， 则双曲线的焦点在x 轴上，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为2y x =，可得2b a =，由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =5=，解得a =b =，则双曲线的方程为：221520x y -=．故答案为：221520x y -=．4.已知点O ，A ，B ，F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 的平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若AB OP λ=u u u r u u u r，则实数λ的值为 ．【解析】如图，(,0)A a -，(0,)B b ，(,0)F c ，则2(,)b P c a，∴(,)AB a b =u u u r ，2(,)b OP c a=u u u r ，由AB OP λ=u u u r u u u r ，得2a c b b a λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，即b c =，22222a b c b ∴=+=，ab=则abλ=5.已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是 ．【解析】由直线l 的方程与椭圆的方程可以知道，直线2180lx y ++=与椭圆不相交， 设直线m 平行于直线l ，则直线m 的方程可以写成20x y k ++= (1) 由方程组2219420x y x y k ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩消去x ，得2225164360y ky k ++-= (2) 令方程(2)的根的判别式△0=，得22216425(436)0k k -⨯-= (3) 解方程(3)得15k =或25k =-，∴当15k =时，直线m 与椭圆交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为250x y ++=，直线m 与直线l间的距离d ==，． 二、选择题6.已知椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到x 轴的距离为( ) A ．95B ．4 CD ．165【答案】D【解析】设椭圆短轴的一个端点为M ． 由于5a =，4b =， 3c b ∴=<； 1290F MF ∴∠<︒，∴只能1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒．令3x =±，得2165b y a ==，故选：D ．7.点A 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与A 重合)，若0(PO PA O =u u u r u u u r g 是坐标原点)，则(cc a 为半焦距)的取值范围是(( )A ．1(,1)2B．(2C． D ．以上说法都不对【答案】B【解析】Q 设(,)P x y ，Q 0(PO PA O =u u u r u u u rg 是坐标原点)，∴22222322222222()024a a x y c x a x a b b x a y a b ⎧-+=⎪⇒-+=⎨⎪+=⎩， 22()()0c x ab x a ⇒--=．x a ⇒=，22ab x c =，220ab a c∴<<．22b c ∴<．∴c a >∴则ca的取值范围是(2，1)故选：B ．8.已知M(00,x y )是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<u u u u r u u u u r ，则0y 的取值范围是( )A.(B.(，3) D.(3-，3) 【答案】A【解析】由题意()1F，)2F ，220012x y -=，所以())120000,,MF MF x y x y ⋅=-⋅-u u u u r u u u u r2220003310x y y =+-=-<，解得0y <<. 9.已知点E 是抛物线2:2(0)C y px P =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=∠g ，则μ的最大值为( )A ．2B C D 【答案】C【解析】过(P x 轴上方)作准线的垂线，垂足为H ，则由抛物线的定义可得||||PF PH =，由sin sin EFP FEP μ∠=∠g ， 则PFE ∆中由正弦定理可知：则||||PE PF μ=， ||||PE PH μ∴=，设PE 的倾斜角为α，则1cos PH PE αμ==， 当μ取得最大值时，cos α最小，此时直线PM 与抛物线相切， 设直线PM 的方程为2px ty =-，则， 即2220y pty p -+=，∴△222440p t p =-=，1k ∴=，即tan 1α=，则cos 2α=则μ， 故选：C ． 三、解答题10.已知椭圆的两个焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F，且椭圆过点． (1)求椭圆的方程．(2)已知斜率为(0)k k ≠的直线11过2F ，与椭圆分别交于P ，Q ；直线2l 过2F ，与直线11垂直，与椭圆分别交于M ，N ，求四边形PMQN 面积的函数解析式()f k ．【解析】(1)设椭圆的方程为22221x y a b+=，0a b >>由题意可得2222211112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得22a =，21b =(2)设直线1l 的方程为(1)y k x =-，则直线2l 的方程为1(1)y x k=--设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立方程2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得2222(21)4220k x k x k +-+-=．则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+，12||||PQ x x ∴=-22112k k +==+g ， 同理，得221||2k MN k+=+g ， ()()222214(1)2122PMNQk S PQ MN k k +∴===++四边形， 22224(1)()(12)(2)k f k k k +∴=++，0k ≠． 11.已知抛物线2y x =上的A ，B 两点满足2OA OB =u u u r u u u rg ，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F ． (1)当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；(2)抛物线上是否存在点M ，使得||||(0)MF MO λλ=>，若请说明理由；(3)设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标． 【解析】(1)由题意知，(2,4)B ，设2(,)A t t ，由2OA OB =u u u r u u u r g ，得2242t t +=，解得：12t =(舍)或1t =-， (1,1)A ∴-；(2)由条件知222221()()4x x x y λ+-=+，把2y x =代入得22211(1)()0216y y λλ-+-+=，∴223()4λλ=-V ，当1λ=，M有两个点，当λ，M 点存在，1λ<<，M 点有四个，当1λ>，M 点有二个，当0λ<<，M 点不存在； (3)设211(,)B x x ，222(,)A x x ，由题意得：2212122x x x x +=，解得122x x =-． 设直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，得20x kx m --=， 得12x x m =-，又122x x =-，2m ∴=，则直线经过定点(0,2)，OAB OBC OAB OBF OABC S S S S S ∆∆∆∆∴=+=+四边形12111111922()32248x x x x x =⨯⨯-+⨯⨯=+=…， 当且仅当143x =等号成立，四边形OABC 面积最小， 4(3B ∴，16)9．12.已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点()2,3，两条渐近线的夹角为60o，直线l 交双曲线于A ,B 两点；(1)求双曲线C 的方程；(2)若l 过原点，P 为双曲线上异于A ,B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；(3)若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=u u u r u u u r成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意得：224913a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,3a b ==，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.(2)证明：设()00,A x y ，由双曲线的对称性可得()00,B x y --，设(),P x y ，则2202PA PBy y k k x x -⋅=-，因为220033y x =-，2233y x =-，所以220203PA PBy y k k x x -⋅==-.(3)由(1)得点()12,0F ，当直线l 的斜率存在时，设直线方程()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将方程()2y k x =-与双曲线方程联立消去y 得：()222234430k x k x k --++=，所以22121222443,33k k x x x x k k ++=⋅=--，假设存在定点M ，使MA MB ⊥恒成立，设为(),M m m ，则()()()()1212220MA MB x m x m k x n k x n ⋅=--+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦u u u r u u u r，故得()()222224512310m n m k nk m n +----+-=，对任意的23k >恒成立，因此222245012010m n m n m n ⎧+--=⎪=⎨⎪+-=⎩，解得1,0m n =-=.所以当()1,0M -时，MA MB ⊥恒成立.当直线l 斜率不存在时，由()()2,3, 2.3A B -知点()1,0M -使得MA MB ⊥也成立.又因为点()1,0M -是双曲线C 的左顶点，所以存在定点()1,0M -，使得MA MB ⊥恒成立.新题速递1．(2020•闵行区一模)在正四面体A ﹣BCD 中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，θ∈(0，π2)，则动点P 的轨迹不可能是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出P 的轨迹方程，可得其轨迹．【解答】解：由题正四面体A ﹣BCD 中，顶点A 在底面BCD 的射影O 为下底面的中心，则以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OA 为z 轴，如图所示的空间直角坐标系， 延长BO 交CD 与E ，设OB ＝1，据题意得：OB =23BE =23×√32BC =√33BC ⇒BC =√3⇒AO =√(√3)2−12=√2． 所以B (1，0，0)，A (0，0，√2)，设P (x ，y ，0) 则AB →=(1，0，−√2)，AP →=(x ，y ，−√2)， ∴|cos θ|=|AB →⋅AP→|AB →|×|AP →||=√3×√⇒3cos 2θ(x 2+y 2+2)＝(x +2)2⇒(3cos 2θ﹣1)x 2+3cos 2θy 2﹣4x +6cos 2θ﹣4＝0；∵θ∈(0，π2)⇒0＜cos θ＜1⇒﹣1＜3cos 2θ﹣1＜2，当3cos 2θ﹣1小于0时，表示双曲线， 当其等于0时，表示抛物线； 当其大于0时，表示椭圆． 故选：A ．2.(2020•浦东新区一模)以抛物线y 2＝4x 的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为( ) A ．x 216+y 215=1 B ．x 216+y 24=1C ．x 24+y 23=1D ．x 24+y 2=1【分析】由抛物线方程求得焦点坐标，可得椭圆半焦距c ，又长轴为4，得a ＝2，由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求．【解答】解：抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1，0)， ∴所求椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1， 又2a ＝4，∴a ＝2，则b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3． ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故选：C ．3．(2020•徐汇区一模)若圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(﹣9，11)B ．(﹣25，﹣9)C ．(﹣∞，﹣9)∪(11，+∞)D ．(﹣25，﹣9)∪(11，+∞)【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【解答】解：化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为(x ﹣3)2+(y ﹣4)2＝25+k ， 则k ＞﹣25，圆心坐标为(3，4)，半径为√25+k ， 圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为(0，0)，半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点， 则|C 1C 2|＞√25+k +1或|C 1C 2|＜√25+k −1， 即5＞√25+k +1或5＜√25+k −1， 解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11．∴实数k 的取值范围是(﹣25，﹣9)∪(11，+∞)． 故选：D ．4．(2020•青浦区一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点作两条相互垂直的弦AB 和CD ，则1|AB|+1|CD|的值为( ) A ．p2B ．2pC ．2pD ．12p【分析】直接利用直线和曲线的位置关系式的应用建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】解：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为(p2，0)，所以设经过焦点直线AB 的方程为y ＝k (x −p 2)，所以{y =k(x −p2)y 2=2px，整理得k 2x 2−(k 2p +2p)x +k 2p 24=0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以|AB|=x 1+x 2+p =(2k 2+2)pk2，所以1|AB|=k 2(2k +2)p，同理设经过焦点直线CD 的方程为y =−1k (x −p2)， 所以{y =−1k (x −p2)y 2=2px，整理得x 2−(p +2k 2p)x +p 24=0，所以：|CD |＝p +(p +2k 2p )，所以|CD|=12p+2k 2p，则则1|AB|+1|CD|=(1+k 2)2p(1+k )=12p．故选：D ．5．(2020•奉贤区一模)若双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，它的焦距为2√10，则该双曲线的标准方程为 ．【分析】利用双曲线的焦距求出c ，通过渐近线方程，求出a 、b 关系，然后求出a ，b ，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦距为2√10，可得c =√10，双曲线的焦点坐标在x 轴上时， 渐近线方程为y ＝±3x ，可得ba =3，a 2+b 2＝10，所以a ＝1，b ＝3，当双曲线的焦点坐标在y 轴上时，可得ab=3，a 2+b 2＝10，所以b ＝1，a ＝3，所以所求双曲线方程为：x 2−y 29=±1． 故答案为：x 2−y 29=±1． 6．(2020•静安区一模)设双曲线x 2a −y 2a+1=1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为 ．【分析】利用已知条件PF 1⊥PF 2，点P 到坐标原点O 的距离为c ，转化求解c 的最小值即可． 【解答】解：双曲线x 2a −y 2a+1=1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到坐标原点O 的距离为c ， 所以c =√a 2+a +1=√(a +12)2+34≥√32，当且仅当a =−12时，取得最小值：√32． 故答案为：√32． 7．(2020•青浦区一模)已知点P 在双曲线x 29−y 216=1上，点A 满足PA →=(t ﹣1)OP →(t ∈R )，且OA →•OP →=60，OB →=(0，1)，则|OB →⋅OA →|的最大值为 ．【分析】由PA →=(t ﹣1)OP →，得到OA →=tOP →，则|OA →|=|t|⋅|OP →|，设A (x A ，y A )，P (x P ，y P )，可得{x P =xAt y P =y A t，将点(x A t，y At)代入双曲线中得x A 2=9y A216+9t 2，结合OA →•OP →=60，可得|y A |≤8，从而得到|OB →⋅OA →|＝|y A |≤8．【解答】解：∵PA →=(t ﹣1)OP →=tOP →−OP →，∴OA →−OP →=tOP →−OP →， 则OA →=tOP →，∴|OA →|=|t|⋅|OP →|， 设A (x A ，y A )，P (x P ，y P )， ∴(x A ，y A )＝t (x P ，y P )，则{x A =tx Py A =ty P ，即{x P =xA t y P =y At，将点(x A t ，y A t )代入双曲线中得： x A 29t 2−y A 216t 2=1，∴x A2=9y A 216+9t 2⋯①，∵OA →•OP →=60，∴|OA →|•|OP →|=|t|⋅|OP →|2=|t|⋅(x P 2+y P 2)＝|t |•(x A 2t 2+y A 2t2)=60…②，由①②得60＝|t |•(9y A 216t 2+y A 2t 2+9)=|t |•(25y A 216t 2+9)=25y A 216|t|+9|t|≥152|y A |，∴|y A |≤8，∴|OB →⋅OA →|＝|y A |≤8． 则|OB →⋅OA →|的最大值为8． 故答案为：8． 8．(2020•杨浦区一模)椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若|PF 1|＝5，则cos ∠F 1PF 2＝ ．【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理转化求解即可． 【解答】解：椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若|PF 1|＝5，可得|PF 2|＝6﹣5＝1，|F 2F 1|＝2c ＝2√5，由余弦定理可得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=25+1−202×5×1=35． 故答案为：35．9．(2020•松江区一模)已知椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上的点P 满足|PF 1|＝2|PF 2|，则|PF 1|＝ ．【分析】利用椭圆的定义，结合已知条件转化求解即可． 【解答】解：椭圆x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足|PF 1|＝2|PF 2|，因为|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 1|＝4． 故答案为：4．10.(2020•奉贤区一模)平面内任意一点P 到两定点F 1(−√3，0)、F 2(√3，0)的距离之和为4． (1)若点P 是第二象限内的一点且满足PF 1→⋅PF 2→=0，求点P 的坐标；(2)设平面内有关于原点对称的两定点M 1、M 2，判别PM 1→⋅PM 2→是否有最大值和最小值，请说明理由？ 【分析】由题意知曲线是焦点为F 1(−√3，0)与F 2(√3，0)、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C 的方程．(1)结合数量积为0以及椭圆方程的运用即可求出点的坐标； (2)设出两点的坐标，结合椭圆中变量的取值范围即可求解．【解答】解：∵曲线C 上任意一点P 到两定点F 1(−√3，0)与F 2(√3，0)的距离之和为4， ∴曲线是焦点为F 1(−√3，0)与F 2(√3，0)、长轴长为4的椭圆， 设椭圆的方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，由2a ＝4，a ＝2，c =√3， b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 2＝1；(1)设p (x ，y )，则PF 1→=(x +√3，y )，PF 2→=(x −√3，y )⇒PF 1→•PF 2→=x 2+y 2﹣3； ∵PF 1→⋅PF 2→=0， ∴x 2+y 2﹣3＝0联立x 24+y 2＝1⇒x 2=83，y 2=13；∵点P 是第二象限内的一点； ∴x =−2√63，y =√33， 所以点P (−2√63，√33)；(2)设M 1(m ，n )，则M 2(﹣m ，﹣n )；∴PM 1→⋅PM 2→=(m ﹣x ，n ﹣y )•(﹣m ﹣x ，﹣n ﹣y )＝x 2+y 2﹣(m 2+n 2) ①； ∵x 24+y 2＝1 ②；②代入①∴PM 1→⋅PM 2→=1+34x 2﹣(m 2+n 2)； 又因为﹣2≤x ≤2；∴当x ＝±2时，PM 1→⋅PM 2→最大值4﹣(m 2+n 2)， 当x ＝0时PM 1→⋅PM 2→是最小值1﹣(m 2+n 2)．。
新高考2020高考数学二轮复习小题考法专训七圆锥曲线的方程与性质
小题考法专训（七） 圆锥曲线的方程与性质A 级——保分小题落实练一、选择题1．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1 C.x 216－y 210＝1 D ．y 216－x 210＝1 解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1. 2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2020届高三·江西七校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为 3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x解析：选D 因为双曲线中c 2＝a 2＋b 2，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝3，所以b a＝±2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选D.4．已知m 是3与12的等比中项，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率是( )A ．2B ．63C.24D ．2或63解析：选D 因为m 是3与12的等比中项，所以m 2＝3×12＝36，解得m ＝±6.若m ＝－6，则曲线的方程为y 22－x 26＝1，该曲线是双曲线，其离心率e ＝2＋62＝2；若m ＝6，则曲线的方程为x 26＋y 22＝1，该曲线是椭圆，其离心率e ＝6－26＝63.综上，所求离心率是2或63. 5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．已知F 1，F 2是双曲线E 的左、右焦点，点P 在双曲线E 上，∠F 1PF 2＝π6且(F 2F 1―→＋F 2P ―→)·F 1P―→＝0，则双曲线E 的离心率e ＝( )A.5－1 B ．3＋1 C.5＋12D ．3＋12解析：选D 由题意知，△F 2PF 1是等腰三角形，|F 1F 2|＝|F 2P |＝2c ，因为∠F 1PF 2＝π6，所以|PF 1|＝23c ，由双曲线的定义，可得23c －2c ＝2a ，所以双曲线E 的离心率e ＝ca＝3＋12，故选D.7．(2019·大连二模)焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14 B ．13 C.12D ．23解析：选C 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C. 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个顶点分别为A ，B ，点P 为双曲线上除A ，B外任意一点，且点P 与点A ，B 连线的斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选C 设点P (x ，y )，由题意知k 1·k 2＝yx －a ·yx ＋a ＝y 2x 2－a 2＝y 2a 2y 2b 2＝b 2a 2＝3，所以其渐近线方程为y ＝±3x ，故选C.9．已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两支分别交于M ，N 两点，且MF 1，NF 2都垂直于x 轴(其中F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ． 5 C.5－1D ．5＋12解析：选D 根据题意及双曲线的对称性，可知直线l 过坐标原点，|MF 1|＝|NF 2|.设点M (－c ，y 0)，则N (c ，－y 0)，c 2a 2－y 20b 2＝1，即|y 0|＝c 2－a 2a .由直线l 的倾斜角为45°，且|MF 1|＝|NF 2|＝|y 0|，得|y 0|＝c ，即c 2－a 2a ＝c ，整理得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)，故选D.10．(2019·石家庄模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则椭圆的离心率为( ) A.12 B ．22 C.14D ．32解析：选B ∵FP 的斜率为－b c ，FP ∥l ，∴直线l 的斜率为－b c.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，得y 21b 2－y 22b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21a 2－x 22a 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2).∵AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴－b c ＝－2b 2a 2，∴a 2＝2bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴椭圆的离心率为22，故选B.11．(2019·合肥模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．4或8B ．2或4C ．2或8D ．4或16解析：选C 抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2.如图，设准线与x 轴的交点为K ，则|KF |＝p .过M 作MP 平行于x 轴交准线于P ，则|MP |＝|MF |＝5.取MF 的中点为N ，过N 作NQ 平行于x 轴交准线于Q ，交y 轴于A ，则|NQ |＝|MP |＋|FK |2＝52＋p2，|AN |＝|NQ |－p 2＝52＝|MF |2，∴以MF 为直径的圆与y 轴相切，A 为切点，A (0,2)，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p2，4，∴16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，p 2－10p ＋16＝0，∴p ＝2或p ＝8，故选C.12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 是椭圆上一点，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，若∠PF 2F 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 解析：选D 根据题意有|PF 1|＝2a －2c ，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋4c 2－(2a －2c )22×4c 2＝c 2－a 2＋2ac 2c 2＝12＋2ac －a 22c 2＝12＋1e －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，因为∠PF 2F 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π，所以cos ∠PF 2F 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，所以－1＜12＋1e －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＜12，又e ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋2e －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＞0，1e －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－2e －3＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2－2e＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －21e＞0⇒2＜1e ＜3⇒13＜e ＜12，故选D.二、填空题13．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2，准线方程与双曲线方程联立可得x 23－p 212＝1，解得x ＝±3＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以32|AB |＝p ，即32×23＋p 24＝p ，解得p ＝6.则抛物线焦点坐标为(0,3)，因为双曲线渐近线方程为y ＝±x ，所以抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32＝322.答案：632214．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.解析：化双曲线的方程为x 22－y 22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－162×22×42＝34.答案：3415．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为________．解析：由题意知F 1(－c,0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在椭圆上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt△MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115，即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115，又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0，又e ＞1，所以e ＝153. 答案：15316．(2019·武汉调研)已知F 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，M为线段OF 的垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若cos ∠MOF ＝37，则椭圆C 的离心率为________．解析：设F (c,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y 0，将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y 0代入椭圆C 的方程得c 24a 2＋y 20b 2＝1，即b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 24a 2＝y 20.设E 为线段OF 的垂直平分线与x 轴的交点，则△MOE 为直角三角形，由于cos ∠MOF ＝37，所以不妨设c2＝3，则|OM |＝7，c ＝6.由勾股定理可得|ME |＝|y 0|＝72－32＝210，即b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 24a 2＝40，得b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9a2＝40，又a 2－b 2＝36，所以a 4－85a 2＋324＝0，解得a 2＝81或a 2＝4＜c 2＝36(舍去)，故a ＝9，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝69＝23.答案：23B 级——拔高小题提能练1．[多选题]已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( )A ．|OA |·|OB |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥2 2C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点 D ．O 到直线AB 的距离小于等于1解析：选ABD 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则OA ―→·OB ―→＝0，即x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 21(1＋x 21)·1x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，故A 正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，故B 正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1(x －x 1)，不过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，故C 错误；对于D ，O 到直线AB ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 12＋1≤1，故D 正确．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点分别为A 1，A 2，F 为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF 上(不含端点)存在两点P 1，P 2，使得∠A 1P 1A 2＝∠A 1P 2A 2＝π2，则双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5＋12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3＋12 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，5＋12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，32 解析：选A 不妨设点F 为双曲线的左焦点，点B 在y 轴正半轴上，则F (－c,0)，B (0，b )，直线BF 的方程为bx －cy ＝－bc .如图，以O 为圆心，A 1A 2为直径，作圆O ，则P 1，P 2在圆O 上，由图可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＞a ，bcb 2＋c 2＜a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＞a ，b 2c 2＜a 2b 2＋a 2c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞a ，(b 2－a 2)c 2－a 2b 2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞a ，(b 2－a 2)(b 2＋a 2)－a 2b 2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＞a ，b 4－a 4－a 2b 2＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b a ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＜0，解得1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＜5＋12， 即双曲线的渐近线斜率k 的平方的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5＋12，故选A. 3．已知以圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为焦点的抛物线C 1与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线C 2：x 2＝8y 上任意一点，BM 与直线y ＝－2垂直，垂足为M ，则|BM |－|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．8解析：选 A 易知抛物线C 1的焦点为(1,0)，所以抛物线C 1的方程为y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，(x －1)2＋y 2＝4及点A 位于第一象限可得点A (1,2)．因为抛物线C 2：x 2＝8y 的焦点F (0,2)，准线方程为y ＝－2，所以由抛物线的定义得|BM |＝|BF |.如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C 2及相应的图形，可得|BM |－|AB |＝|BF |－|AB |≤|AF |(当且仅当A ，B ，F 三点共线，且点B 在第一象限时，不等式取等号)．故所求最大值为|AF |＝1，故选A.4．(2018·北京高考)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．解析：法一：如图，∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， ∴n m＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝0，解得b2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 22＝1－b 2a2＝4－2 3.∴e 2＝3－1.法二：∵双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n mx ， 则n m＝tan 60°＝ 3.又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2.如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点， 则|EF |＋|EC |＝2a ， 即1＋3＝2a ，a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.答案：3－1 25．已知M 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过点M ，∠MFA ＝60°，则C 的离心率为________．解析：如图，设双曲线C 的左焦点为F 1，连接MF 1，由题意知|MF |＝a ＋c ，|MF 1|＝3a ＋c ， 在△MF 1F 中，由余弦定理得|MF 1|2＝|F 1F |2＋|MF |2－2|F 1F ||MF |cos 60°，所以(3a ＋c )2＝(2c )2＋(a ＋c )2－2×2c (a ＋c )×12，整理得4a 2＋3ac －c 2＝0，因为e ＝c a ，所以e 2－3e －4＝0，因为e ＞1，所以e ＝4.答案：4。
第12讲 解析几何之圆锥曲线的方程(学生版)
第12讲解析几何之圆锥曲线的方程一．基础知识回顾（一）椭圆与椭圆的方程：1．椭圆的概念：在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若________，则集合P为椭圆；(2)若________，则集合P为线段；(3)若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质线方程：1．双曲线的概念：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；(1)当________时，P点的轨迹是________；(2)当________时，P点的轨迹是________；(3)当________时，________．三．抛物线与抛物线的方程1．抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方二．典例精析探究点一：圆锥曲线的定义及应用例1：（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．（2）已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．（3）已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1：（1）求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程． （2）已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．（3）已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)探究点二：求圆锥曲线的标准方程例2求满足下列各条件的圆锥曲线标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆方程(2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.的椭圆方程（3）已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且过点P (4,3)的双曲线方程．(4) 与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程(5)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点的抛物线方程 (6)过点P (2，－4)的抛物线方程变式迁移2：(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．（3）已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，求双曲线的方程(4)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)，求双曲线的方程(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．探究点三：圆锥曲线的几何性质 例3：（一）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．（二）已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．（三）过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2； (2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3：（一）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ； (2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．（二）已知双曲线C ：x 22－y 2＝1.(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)已知M 点坐标为(0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围．（三）已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求四．课后作业设计1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫π2，πB.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C. ⎝⎛⎭⎫3π4，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 4．椭圆x 212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍5．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 56．已知双曲线x 22－y2b2＝1 (b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．－12B ． 0C ．－2D ．4 7．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ． 38．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．49．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( ) A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3| B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2 C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|10．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN 必是( )A ． 直角B ．锐角C ．钝角D ．以上皆有可能11．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝12．设圆过双曲线x 29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为13．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为14．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则|AB |＝ 15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为16．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．17．已知定点A (－1,0)，F (2,0)，定直线l ：x ＝12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N . (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．18．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹C 于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．。
2020版高考数学二轮复习专题限时集训圆锥曲线的定义方程及性质文
|BF |＝x A ＋x B ＋4＝9.故选C.]4．(20xx·青岛模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y2a2＋x2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点.且该抛物线的准线与椭圆相交于A .B 两点.若△FAB 是正三角形.则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32C [如图.由|AB |＝2b2a .△FAB 是正三角形.得32×2b2a ＝2c .化简可得(2a 2－3b 2)(2a 2＋b 2)＝0.所以2a 2－3b 2＝0.所以b2a2＝23.所以椭圆的离心率e＝c a＝1－b2a2＝33.故选C.] 5．(20xx·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x24－y25＝1的一个焦点.点P 在C 上.O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |.则△OPF 的面积为( )A.32 B.52 C.72D.92B [由F 是双曲线x24－y25＝1的一个焦点.知|OF |＝3.所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限.P (x 0.y 0).x 0＞0.y 0＞0. 则⎩⎪⎨⎪⎧x20＋y20＝3，x204－y205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x20＝569，y20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53. 所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.故选B.]6．(20xx·延安一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F .过F 作直线l 交抛物线C 于A .B 两点.若|AF |＝23.|BF |＝2.则p ＝________.1 [如图.设A (x 1.y 1).B (x 2.y 2). ∵|AF |＝23.|BF |＝2.∴根据抛物线的定义可得x 1＝23－p 2.x 2＝2－p2.∴y21y22＝x1x2＝23－p22－p 2＝19.∴9⎝ ⎛⎭⎪⎫23－p 2＝2－p 2. ∴p ＝1.]7．(20xx·长春模拟)如图所示.A .B 是椭圆的两个顶点.C 是AB 的中点.F 为椭圆的右焦点.OC 的延长线交椭圆于点M .且|OF |＝ 2.若MF ⊥OA .则椭圆的方程为________．x24＋y22＝1 [∵F 为椭圆的右焦点.|OF |＝ 2.∴c ＝ 2. 设椭圆方程为x2b2＋2＋y2b2＝1(b ＞0).∵A .B 为椭圆的两个顶点.C 是AB 的中点.OC 交椭圆于点M .MF ⊥OA . ∴A 是长轴右端点.2b2＋2＋y2M b2＝1.∴y M ＝b2b2＋2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，b2b2＋2. ∵A (b2＋2.0).B (0.b ).∴C ⎝⎛⎭⎪⎫b2＋22，b 2. ∵k OM ＝k OC .∴b2b2＋22＝b2b2＋22. ∴b ＝ 2.∴所求椭圆方程是x24＋y22＝1.]8．(20xx·全国卷Ⅲ)设F 1.F 2为椭圆C ：x236＋y220＝1的两个焦点.M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形.则M 的坐标为____________．(3.15) [设F 1为椭圆的左焦点.分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上.即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x236＋y220＝1上.所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＋y2＝64，x236＋y220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限.所以点M 的坐标为(3.15)．][能力提升练] (建议用时：15分钟)9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F .抛物线C 上存在一点E (2.t )到焦点F 的距离等于3.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P 在抛物线C 上且异于原点.点Q 为直线x ＝－1上的点.且FP ⊥FQ .求直线PQ 与抛物线C 的交点个数.并说明理由．[解] (1)抛物线C 的准线方程为x ＝－p2.所以点E (2.t )到焦点F 的距离为2＋p2＝3.解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)直线PQ 与抛物线C 只有一个交点． 理由如下： 设点P ⎝⎛⎭⎪⎫y204，y0.点Q (－1.m )． 由(1)得焦点F (1,0).则FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y204－1，y0.FQ →＝(－2.m ).由题意可得FP →·FQ →＝0. 故－2⎝⎛⎭⎪⎫y204－1＋my 0＝0.从而m ＝y20－42y0.故直线PQ 的斜率k PQ ＝y0－m y204＋1＝2y0.故直线PQ 的方程为y －y 0＝2y0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y204. 得x ＝y0y 2－y204.①又抛物线C 的方程为y 2＝4x .②所以由①②得(y －y 0)2＝0.故y ＝y 0.x ＝y204.故直线PQ 与抛物线C 只有一个交点．10．(20xx·永州三模)已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1.F 2.椭圆过点(0,2).点Q 为椭圆上一动点(异于左、右顶点).且△QF 1F 2的周长为4＋4 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 1.F 2分别作斜率为k 1.k 2的直线l 1.l 2.分别交椭圆E 于A .B 和C .D 四点.且|AB |＋|CD |＝6 2.求k 1k 2的值．[解] (1)由题意可知.⎩⎨⎧b ＝2，2a ＋2c ＝4＋42，a2＝b2＋c2，解之得a ＝2 2.b ＝2.所以椭圆E 的方程为x28＋y24＝1.(2)由题意可知.F 1(－2,0).F 2(2,0).设直线AB 的方程为y ＝k 1(x ＋2).A (x 1.y 1).B (x 2.y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2y2＝8，y ＝k1x ＋2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0.∴Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－8)＝32(k 21＋1)＞0. 则x 1＋x 2＝－8k211＋2k21.x 1x 2＝8k21－81＋2k21.|AB |＝1＋k21|x 1－x 2|＝1＋k21[x1＋x22－4x1x2]＝421＋k211＋2k21.同理联立方程.由弦长公式可知.|CD |＝421＋k221＋2k22.∵|AB |＋|CD |＝6 2. ∴421＋k211＋2k21＋421＋k221＋2k22＝6 2. 化简得k 21k 2＝14.则k 1k 2＝±12.。
最新高考数学2轮复习练习：专题限时集训12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质 Word版含答案
专题限时集训(十二) 圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第141页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 （高|考）达标]一、选择题1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点 ,曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴 ,那么k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2D [∵y 2＝4x ,∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴 , ∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)得k ＝2.应选D.]2．过点A (0,1)作直线 ,与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点 ,那么符合条件的直线的条数为( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．无数C [过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点 ,这样的直线有两条 ,过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点 ,这样的直线也有两条 ,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的焦距为2 5 ,且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直 ,那么双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1D.3x 25－3y220＝1 A [由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直 ,所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2,解得a ＝2 ,b ＝1 ,所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.]4．设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点 ,F 1 ,F 2分别是椭圆的左 ,右焦点 ,I 为△PF 1F 2的内心 ,假设S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF 1F 2 ,那么该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3－12A [因为S △IPF 1＋S △IPF 2＋S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2 ,所以3S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2 ,设△PF 1F 2内切圆的半径为r ,那么有32×2c ×r ＝12×(|PF 1|＋|PF 2|＋2c )×r ,整理得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ,即2a＝4c ,所以e ＝12.]5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点 ,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16 ,那么椭圆C 的方程为( ) 【导学号：68334127】 A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 D [椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32,所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0 ,所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第|一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫255b 255b ,所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第|一象限局部的面积为255b ×255b ＝4 ,所以b 2＝5 ,所以a 2＝4b 2＝20.所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.应选D.]二、填空题6．双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ,记|F 1F 2|＝2c ,以坐标原点O 为圆心 ,c 为半径的圆与双曲线M 在第|一象限的交点为P ,假设|PF 1|＝c ＋2 ,那么P 点的横坐标为________．3＋12[根据双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2 ,又|PF 1|＝c ＋2 ,所以|PF 2|＝c ,由勾股定理得(c ＋2)2＋c 2＝4c 2,即c 2－2c －2＝0 ,解得c ＝3＋1 ,根据△OPF 2是等边三角形得P 点的横坐标为3＋12.] 7．F 1 ,F 2为x 2a 2＋y 216＝1的左、右焦点 ,M 为椭圆上一点 ,那么△MF 1F 2内切圆的周长等于3π ,假设满足条件的点M 恰好有2个 ,那么a 2＝________.【导学号：68334128】25 [由题意得内切圆的半径等于32 ,因此△MF 1F 2的面积为12×32×(2a ＋2c )＝3a ＋c2 ,即3a ＋c2＝12×|y M |×2c ,因为满足条件的点M 恰好有2个 ,所以M 为椭圆短轴端点 ,即|y M |＝4 ,所以3a ＝5c 而a 2－c 2＝16 ,所以a 2＝25.]8．(2021·绍兴一中（高|考）考前适应性考试)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点A 作l 的垂线 ,垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72p 0 ,AF 与BC 相交于点E .假设|CF |＝2|AF | ,且△ACE 的面积为3 2 ,那么p 的值为________．6 [由抛物线y 2＝2px 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2 0 ,那么|CF |＝7p 2－p 2＝3p ,又|CF |＝2|AF | ,那么|AF |＝3p 2 ,由抛物线的定义得|AB |＝|AF |＝3p2 ,所以x A ＝p ,那么|y A |＝2p .由CF ∥AB 得△ABE ∽△FCE ,从而得|EF ||EA |＝|CF ||AB |＝|CF ||AF |＝2 ,所以S △CEF ＝2S △CEA ＝6 2 ,S △ACF ＝S △AEC ＋S △CFE ＝9 2 ,所以12×3p ×2p ＝9 2 ,解得p ＝ 6.]三、解答题9．(2021·温州市普通高中（高|考）模拟考试)A ,B ,C 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上三个不同的点 ,且AB ⊥AC .(1)假设A (1,2) ,B (4 ,－4) ,求点C 的坐标；(2)假设抛物线上存在点D ,使得线段AD 总被直线BC 平分 ,求点A 的坐标．图125[解] (1)∵A (1,2)在抛物线上 ,∴p ＝2.2分设C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t 24 t ,那么由k AB k AC ＝－1 ,得t ＝6 ,即C (9,6).4分(2)设A (x 0 ,y 0) ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 212p y 1 ,C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 222p y 2 ,那么直线BC 的方程为(y 1＋y 2)y ＝2px ＋y 1y 2 , 6分由k AB k AC ＝y 1－y 0y 212p －y 202p ·y 2－y 0y 222p －y 202p＝－1 , 得y 0(y 1＋y 2)＋y 1y 2＋y 20＝－4p 2, 8分代入直线BC 的方程 ,得(y 1＋y 2)(y ＋y 0)＝2p (x －2p －x 0) , 故直线BC 恒过点E (x 0＋2p ,－y 0) , 因此直线AE 的方程为y ＝－y 0p(x －x 0)＋y 0 ,10分代入抛物线的方程y 2＝2px (p ＞0) ,得点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2px 0＋p 2y 20－2p x 0＋p y 0. 因为线段AD 总被直线BC 平分 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋2p ＝x 0＋2p x 0＋p 2y 20－2y 0＝y 0－2px 0＋p y 013分解得x 0＝p2,y 0＝±p即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫p 2 ±p .15分10．椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上 ,A 是E 的左顶点 ,斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点 ,点N 在E 上 ,MA ⊥NA .(1)当t ＝4 ,|AM |＝|AN |时 ,求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时 ,求k 的取值范围． [解] 设M (x 1 ,y 1) ,那么由题意知y 1>0. (1)当t ＝4时 ,E 的方程为x 24＋y 23＝1 ,A (－2,0).2分由及椭圆的对称性知 ,直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127 ,所以y 1＝127.4分 因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.5分(2)由题意t ＞3 ,k ＞0 ,A (－t ,0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t 3－tk 23＋tk2, 故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t 1＋k23＋tk2. 7分由题设 ,直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋t ) ,故同理可得|AN |＝6k t 1＋k23k 2＋t.由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t , 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立 ,因此t ＝3k 2k －1k 3－2.9分t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝k －2k 2＋1k 3－2＜0 ,即k －2k 3－2＜0. 11分由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2＞0 k 3－2＜0 或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0 k 3－2＞0解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32 ,2).15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2021·湖州调测)点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点 ,O 为坐标原点 ,假设以点M (0,8)为圆心 ,|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ,B 两点 ,且△ABO 为等边三角形 ,那么p 的值是( ) A.38B ．2C ．6D.23D [由题意知|MA |＝|OA | ,所以点A 的纵坐标为4 ,又△ABO 为等边三角形 ,所以点A 的横坐标为433 ,又点A 是抛物线C 上一点 ,所以163＝2p ×4 ,解得p ＝23.]2．焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1 ,随着a 的增大该椭圆的形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆D [由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0 ,解得2－3＜a ＜2＋ 3 ,又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a ＝1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－ 3 ,1)时 ,e 越来越大 ,当a ∈(1,2＋3)时 ,e 越来越小 ,应选D.] 3．F 1 ,F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0 ,b ＞0)的左、右焦点 ,对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴) ,那么此双曲线的离心率e 的取值范围是( ) 【导学号：68334129】 A ．(1 ,＋∞) B ．(2,3] C ．(1,3]D ．(1,2]C [由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义 ,得|PF 2|＝2a ＋|PF 1| ,所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a2|PF 1|＋4a ＝8a ,所以|PF 1|＝2a ,|PF 2|＝4a ,在△PF 1F 2中 ,|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2| ,即2a ＋4a ≥2a ,所以e ＝c ae ＞1 ,所以1＜e ≤3.应选C.]4．(2021·嘉兴调测)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,点A ,B 为抛物线上的两个动点 ,且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,那么|MN ||AB |的最|大值为( ) A.33B ．1C.233D ．2A [设AF ＝a ,BF ＝b ,由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ,∴|AB |2≥34|2MN |2,∴|MN ||AB |≤33.]二、填空题5．设F 1 ,F 2是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点 ,过F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点 ,假设|AF 1|＝3|F 1B | ,且AF 2⊥x 轴 ,那么b 2＝________.23[由题意F 1(－c,0) ,F 2(c,0) ,AF 2⊥x 轴 ,∴|AF 2|＝b 2 ,∴A 点坐标为(c ,b 2) ,设B (x ,y ) ,那么|AF 1|＝3|F 1B | ,∴(－c －c ,－b 2)＝3(x ＋c ,y ) ,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－53c －13b 2,代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b2＝1.∵1＝b 2＋c 2 ,∴b 2＝23.]6．(2021·杭州学军中学高三模拟)抛物线y ＝x 2和直线l ：y ＝kx ＋m (m ＞0)交于两点A ,B ,当OA →·OB →＝2时 ,直线l 过定点________；当m ＝________时 ,以AB 为直径的圆与直线y ＝－14相切．(0,2) 14 [设A ,B 的坐标分别为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,联立方程y ＝x 2与y ＝kx ＋m ,消去y得x 2－kx －m ＝0 ,那么x 1＋x 2＝k ,x 1x 2＝－m ① 所以y 1y 2＝m 2,y 1＋y 2＝k 2＋2m ②又OA →·OB →＝(x 1 ,y 1)·(x 2 ,y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝2 ,所以m 2－m －2＝0 ,又m ＞0 ,所以m ＝2 ,那么直线的方程为y ＝kx ＋2 ,故过定点(0,2)．以AB 为直径的圆与直线y ＝－14相切 ,故满足方程2⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋14＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2 ,将①②代入 ,得4m 2－2m ＋14＝0 ,解得m ＝14.]三、解答题7．如图126 ,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ,右顶点、上顶点分别为点A ,B ,且|AB |＝52|BF |.图126(1)求椭圆C 的离心率；(2)假设点M⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1617217在椭圆C 内部 ,过点M 的直线l 交椭圆C 于P ,Q 两点 ,M 为线段PQ 的中点 ,且OP ⊥OQ .求直线l 的方程及椭圆C 的方程．【导学号：68334130】[解] (1)由|AB |＝52|BF | ,即a 2＋b 2＝52a , 2分4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2, ∴e ＝ca ＝32. 4分(2)由(1)知a 2＝4b 2,∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2P (x 1 ,y 1) ,Q (x 2 ,y 2) ,由x 214b 2＋y 21b 2＝1 ,x 224b 2＋y 22b2＝1 ,可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b 2＝0 , 即x 1＋x 2x 1－x 24b2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0 ,即－3217x 1－x 24＋417(y 1－y 2)＝0 ,从而k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2 , 6分 ∴直线l 的方程为y －217＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617 ,即2x －y ＋2＝0. 8分由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0 x 24b 2＋y 2b2＝1⇒x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0 ,即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0 ,9分Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0⇔b ＞21717 ,x 1＋x 2＝－3217 ,x 1x 2＝16－4b217.11分∵OP ⊥OQ ,∴OP →·OQ →＝0 ,即x 1x 2＋y 1y 2＝0 ,x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0,5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0 ,13分从而516－4b 217－12817＋4＝0 ,解得b ＝1 ,椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 15分8．抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1 ,l 2分别交C 于A ,B 两点 ,交C 的准线于P ,Q 两点．(1)假设F 在线段AB 上 ,R 是PQ 的中点 ,证明：AR ∥FQ ；(2)假设△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍 ,求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 0.设l 1：y ＝a ,l 2：y ＝b ,那么ab ≠0 ,且A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 22 a ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 22 b ,P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 a ,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 b ,R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 a ＋b 2.记过A ,B 两点的直线为l ,那么l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分(1)由于F 在线段AB 上 ,故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1 ,FQ 的斜率为k 2 ,那么k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .4分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0) ,那么S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12 ,S △PQF ＝|a －b |2. 6分 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2 , 8分所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ,y )． 当AB 与x 轴不垂直时 , 9分由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ,所以y 2＝x －1(x ≠1). 11分当AB 与x 轴垂直时 ,E 与D (1,0)重合． 所以 ,所求轨迹方程为y 2＝x －1. 15分。
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第12讲 圆锥曲线的定义、方程、几何性质
学习目标
【目标分解一】圆锥曲线的定义、标准方程
【目标分解二】圆锥曲线的几何性质 重点
圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质
【课前自主复习区】
■核心知识储备
提炼1 圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系
①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2
；离心率为e ＝c
a ＝1－
b 2
a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋
b 2
；离心率为e ＝c
a ＝
1＋b 2
a 2.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b
a x ；焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)； ②双曲线y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线y 2
＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
±p 2，0，准线方程为x ＝∓p 2；
②抛物线x 2
＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为y ＝∓p 2.
提炼2 弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k 的直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝ 或|AB |＝ (2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 2
4，y 1y 2＝－p 2；②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2
p ；④以弦AB 为直径的圆与准线相切．
[高考真题回访]
1.(2013·全国卷Ⅰ改编)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则C 的方程为________．
2.(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x y a
=22
2
-1的离心率的取值范围是 A. 2+∞（，） B. 22（，） C. 2（1，）
D. 12（，） 3.(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：13
22
=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐
标是(1，3)，则△APF 的面积为（ ）
A ．13
B ．1 2
C ．2 3
D ．3 2
4.．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直
径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A ．
63
B ．
33
C ．
23
D ．13
5.(2017·全国卷Ⅲ)．双曲线22
219
x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = .
6.(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.3
4
【课堂互动探究区】
【目标分解一】圆锥曲线的定义、标准方程
题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”．即“先定型，后计算”
【例1】（1）(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1
2x ，则该双曲线的标准方程为________．
(2)(2017·哈尔滨模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF
是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C.x 2
3－y 2＝1
D ．x 2－y 2
3＝1
★(3)(2016·通化一模)已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( )
A.72 B ．3 C.5
2 D ．2 【我会做】
(1)(2016·郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x 2
＋(y －2)2
＝1相切的双曲线的标准方程为( )
A.x 2
113
－y 211＝1 B.x 2
2－y 2
＝1
C.y 2
113
－x 211＝1 D.y 211－x 2
113
＝1
★★(2)(2017·衡水模拟)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )
A.x 212＋y 211＝1
B.x 236－y 2
35＝1
C.x 23－y 2
2＝1
D.x 23＋y 2
2＝1
【目标分解二】圆锥曲线的几何性质
题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a ，c 的方程或不等式是求解的关键．
【例2】1(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，
sin ∠MF 2F 1＝1
3，则E 的离心率为( )
A. 2
B.3
2 C.
3 D ．2
★2.(2017·合肥二模)已知椭圆x 2a 2+y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满
足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q →＝2QP →.若F 1P →·F 2Q →
＝0，则e 2＝( )
A.2－1 B ．2－ 2
C ．2－ 3 D.5－2
3. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π2的直线l 过F 2且与双曲线交
于M ，N 两点，且△F 1MN 是等边三角形，则双曲线的渐近线方程为________．
【我会做】
1．如图121，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支
分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．
★2.(名师押题)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两
点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A.2
2 B ．2－
3 C.5－2 D.6－ 3
【我能做对】
1．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为1
2，E 的右焦点与抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点重合，
A ，
B 是
C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
★2.(2016·唐山二模)椭圆y 2＋x 2
m 2＝1(0＜m ＜1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1
D.⎝ ⎛⎦⎥⎤
0，12
★★2．(2017·上饶一模)设F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2
b 22
＝1(a 2＞0，b 2＞0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2＝90°，若椭圆的离心率e 1＝34，则双曲线C 2的离心率e 2为( )。