2006—数一真题、标准答案及解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题

一、填空题

(1) lim Xln(1 x)

X 01 COSX -----------------

(2 )微分方程y y(1 x)的通解是__________________ .

X

(3)设是锥面z x2—y2( 0 z 1)的下侧，贝U xdydz 2ydzdx 3(z 1)dxdy

(4)点(2,1, 0)到平面3x 4y 5z 0的距离z =

(5 )设矩阵A E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E ,贝U B

(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则P max{X,Y} 1 = ______________

、选择题

(7)设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0, f (x) 0 ,x为自变量x在x0处的增量, y与dy

(A) 0 dx y. (B) 0 y dy

(C)y dy 0. (D)dy y 0

1

04d 0f(rcos，rsin )rdr等于

(A) 02dx x f (X, y)dy.

(B) 0勺x°1x2f(x,y)dy.

(C) 0「y1y2f(x,y)dx. (C) ^dy J 7 f(x, y)dx. 【】

(9)若级数a n收敛，则级数

n 1

(A) a n收敛.

n 1

(C) a n a n 1收敛. (B) ( 1)n a n收敛.

n 1

(D) 3n 3n 1收敛. 【

】

分别为f(x)在点X。处对应的增量与微分，若x 0，则(8)设f(x, y)为连续函数，则

(10)设f (x, y)与(x, y)均为可微函数，且y (x, y) 0 •已知(x 0, y 0)是f (x, y)在约束条件

(x, y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是 0，则 f y (x 0, y 0) 0 0，则 f y (x 0, y 0) 0

0，则 f y (x 0, y 0) 0

0，则 f y (x 0, y 0) 0

(A) 若a !, a 2,L , a,线性相关，则 (B) 若a !, a ?丄，a,线性相关，则 (C) 若印，玄2丄，a,线性无关，则

(A ) P(A B) P(A). (B )

P(A B)

P(B). (C ) P(A B) P(A).

(D )

P(A B)

P(B). 【

】

14 )设随机变量

X 服从正态分布

N( 1, 2

12

) ， Y 服从正态分布

N( 2, 2

)，且

P{| X

1

| 1} P{| Y 2

| 1},

(A ) 1 2.

(B ) 1 2.

( C )

1

2.

(D )

1 2.

【 】

(12 )设A 为

3 阶矩阵，将

A 的第 2 行加到第 1 行得

B ，再将B 的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得

C ，记

1 10

P

0 1 0 ，则

0 01

(A ) C

P 1

AP.

(B ) C PAP 1

.

(C )

C P T AP . (

D )

C PAP T .

【】

13)设 A, B 为随机事件，且

p(B) 0, p(A|B)

1

， 则必有

(D) 若a !, a ?丄，a,线性无关，则

】

(A) 若 f x (x 。，y 。)

(B) 若 f x (x 。，y o )

(C) 若 f x (X o , y o )

，

(11)设a i , a ?丄,a,均为n 维列向量,

A 是m n 矩阵，下列选项正确的是

Aa 1, Aa 2,L , Aa, 线性相关 • Aa 1, Aa ?,L , Aa, 线性无关 • Aa 1, Aa ?,L , Aa, 线性相关 • Aa 1, Aa ?,L , Aa, 线性无关 •

解答题

15设区域D= x, y x 2 2 . y 1,x 0 ,计算二重积分I

1 xy D

1 x2

—dxdy . y 16设数列x n满足0 % ,x 1

求：（I）证明lim x n存在拼求之•

x

（n）计算

lim X n

17 将函数f—展开成

x

x的幕级数.

18 设函数f在0, 内具有二阶导数,且z x2y2满足等式2

-z 0. y

）验证f 0.

0, f 1 1,求函数f u的表达式.

19设在上半平面D= x, y y 0内，数f x, y 是有连续偏导数，且对任意的t>0都有f tx,ty t2f x,y .

证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有

L

yf (x, y)dx xf (x, y)dy 0.

20已知非齐次线性方程组

x j x2 x3 x4 1

4x1 3x2 5x3 x41有3个线性无关的解

ax-! x2 3x3 bx4 1

I证明方程组系数矩阵A的秩r A 2

n求a,b的值及方程组的通解

21设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量1

T

1,2, 1 , 2 T

0, 1,1是线性方程组A x =0

的两个解，（I ）求A的特征值与特征向量（n ）求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得Q T AQ A.