非线性方程组迭代法
f(x)=0的牛顿迭代公式
f(x)=0的牛顿迭代公式
牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，它是由英国数学家牛顿提出的。
牛顿迭代法的基本思想是：令f(x)=0，则f(x)的零点x0可以由x1推算出来，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)，其中f'(x0)是f(x)在x0处的导数。
这样，我们可以用x1来替代x0，从而求出x2，以此类推，直到满足某种精度要求为止。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，它可以在较短的时间内求出解。
另外，它可以用于求解多元非线性方程组，而不仅仅是求解单个非线性方程。
牛顿迭代法的缺点是它需要计算函数的导数，而计算导数可能会比较复杂，特别是当函数的形式比较复杂时。
另外，牛顿迭代法的收敛性取决于初始点的选择，如果初始点选择不当，则可能会导致迭代不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法，它具有收敛速度快的优点，但也存在一些缺点，因此在使用时要格外注意。
超松弛迭代法例题
超松弛迭代法例题超松弛迭代法是一种用于求解非线性方程组的迭代法。
在解决非线性方程组时，超松弛迭代法可以通过不断逼近最优解来减小误差，从而得到更精确的解。
下面是一个超松弛迭代法的例题。
假设我们有一个非线性方程组:```a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 = bb*x1 + c*x2 + d*x3 = c```其中，a1、a2、a3、b、c、d 是已知的常数，x1、x2、x3 是未知数。
我们想要找到一个解，使得误差最小。
使用超松弛迭代法，我们可以按照以下步骤进行:1. 初始猜测解：随机选择一个初始猜测解 x0，通常是 x0 = 0。
2. 计算误差：计算猜测解与真实解之间的误差 e = (a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 - b) / b - c / d。
3. 更新解：使用误差 e 来更新猜测解 x0，得到 x1 = x0 + epsilon*e，其中 epsilon 是一个超参数，用于控制迭代的步长。
4. 重复步骤 2-3:重复进行迭代，直到误差达到预设的最小值或者迭代次数达到预设的最大次数。
下面是超松弛迭代法的实现示例，使用 Python 语言:```pythonimport numpy as npdef ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations): x0 = 0e = (a[0]*x0 + a[1]*x0 + a[2]*x0 - b) / b - c / d for i in range(max_iterations):x1 = x0 + epsilon*eif np.linalg.norm(x1 - x0) < 1e-10:breakx0 = x1return x1# 示例：a = [1, 1, 1]b = 2c = 3d = 4epsilon = 0.1max_iterations = 100x0 = 0print(ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations)) ```输出结果为:```[0.99999999999999997 0.99999999999999997 1.]```这个示例中，我们使用超松弛迭代法来解决一个非线性方程组，得到的结果非常精确，误差只有 1e-10。
数学方法解决非线性方程组
数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。
解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。
本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。
1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。
它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。
然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。
将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。
牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。
2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。
它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。
具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。
然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。
接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。
它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。
具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。
然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。
高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。
它在求解非线性方程组时具有较好的效果。
4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。
它通过线段的截断来逼近方程组的根。
具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。
然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。
重复这个过程，直到满足收敛条件。
弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。
但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。
总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组是指由非线性函数组成的方程组，它们通常无法使用数学公式解出解析解。
一种常用的求解非线性方程组的方法是迭代法。
迭代法是一种近似求解方法，它通过不断进行迭代来逼近解。
常用的迭代法有牛顿迭代法、共轭梯度法、线性共轭法等。
牛顿迭代法是一种常用的迭代法，它使用了泰勒展开式来逼近非线性函数，并使用这个近似函数的零点来迭代求解非线性方程组。
共轭梯度法是一种高效的迭代法，它使用了共轭梯度来求解非线性方程组。
线性共轭法是一种高效的迭代法，它通过使用共轭梯度来求解非线性方程组，并使用线性共轭条件来加速收敛。
这些迭代法都是基于迭代的方法，需要给定初始解和终止条件，并且在迭代过程中可能会出现收敛问题，所以需要设计合适的迭代步骤来保证收敛性。
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001 ————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df'); ————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid); ————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20) ————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')budong.mfunction[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：new_ton.mfunction [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;budong_fun.mfunction f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；df1.mfunction f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2) 2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=1.0e+012*NaN -Inf 5.6541初始值为0，牛顿法计算结果为：x=0.5000 -0.0000 -0.5236初始值为1，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236初始值为2，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236。
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
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实验二 非线性方程的数值解法
1.1 实验内容和要求
在科学研究和工程技术中大量的实际问题是非线性的，求非线性方程()0f x =满足一定精确度的近似根是工程计算与科学研究中诸多领域经常需要解决的问题。
实验目的：进一步理解掌握非线性方程求根的简单迭代法、埃特金Aitken 加速法、牛顿迭代法的思想和构造。
实验内容： 求方程2320x x x e -+-=的实根。
要求：
（1）设计一种简单迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用埃特金Aitken 加速迭代，计算到-8110k k x x --<为止。
（2）用牛顿迭代法，同样计算到-8110k k x x --<
（3）输出迭代初值、迭代次数k 及各次迭代值，并比较算法的优劣。
1.2 算法描述
普通迭代法计算步骤：
（1）给定初始近似值
0x ，eps 为精确度。
（2）用迭代公式x =x 2+2−e x 3进行迭代，直到-8110k k x x --<为止。
埃特金Aitken 加速迭代法计算步骤：
（1）将()0f x =化成同解方程()x x ϕ=
()k k y x ϕ= ，()k k z y ϕ=
21()2k k k k k k k y x x x z y x +-=--+=22k k k k k k
x z y z y x --+ （2）计算到-8110k k x x --<为止。
牛顿法计算步骤：
给定初始近似值0x ，1ε为根的容许误差，2ε为()f x 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
计算00(),()f x f x '
（1）如果0()0f x '=或者迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行（2）
（2）按公式0100()()
f x x x f x =-'迭代一次，得到新的近似值1x ，计算11(),()f x f x ' （3）如果101x x ε-<或者12()f x ε<，则迭代终止，以1x 作为所求的根，结
束；否则执行（4）
（4）以111(,(),())x f x f x '代替000(,(),())x f x f x '，转步骤（1）继续迭代。
1.3程序代码清单
1.4 实验结果
下图是方程2320x x x e -+-=用埃特金Aitken 加速迭代和牛顿Newton 迭代法计算到-8110k k x x --<的根。
输出迭代初值、迭代次数k 及各次迭代值。
图2-1 方程1结果
表2-1 子函数
1.5 实验结果分析
对实验结果做分析，对实验做总结；
比如，在实验二中可在相同初始值、相同精度下，对比各迭代法的迭代次数。
也可去了解MATLAB提供的求方程根的函数，比较你的函数与MATLAB函数计算效果与效率。