行列式计算及克莱姆法则课件
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范德蒙行列式拉普拉斯展开克莱姆法则课件
PART 04
范德蒙行列式、拉普拉斯 展开与克莱姆法则的关系
三者之间的联系
范德蒙行列式、拉普拉斯展开与 克莱姆法则都是线性代数中的重 要概念，它们在解决线性方程组
问题中具有重要作用。
范德蒙行列式是拉普拉斯展开的 基础，而克莱姆法则则是基于范 德蒙行列式的一种求解线性方程
组的方法。
三者在形式上具有一定的相似性， 都是通过行列式或矩阵来表达线 性方程组的解。
1 2 3
拉普拉斯展开的定义 拉普拉斯展开是关于二项式系数的一种展开式， 它可以表示为$(a+b)^n$的形式，其中$a$和 $b$是常数，$n$是自然数。
拉普拉斯展开的计算 拉普拉斯展开的计算公式为$(a+b)^n = sum_{k=0}^{n} C(n,k) a^{n-k} b^k$，其中 $C(n,k)$是二项式系数。
克莱姆法则
克莱姆法则的定义
总结词
克莱姆法则是线性代数中解线性方程组的一个重要定理，它给出了线性方程组解的唯一性和存在性的条件。
详细描述
克莱姆法则指出，对于一个包含n个方程和n个未知数的线性方程组，如果系数行列式不为零，则该线性方程组有 唯一解。这个法则基于线性方程组的系数矩阵和常数列向量之间的关系，通过计算系数行列式和代数余子式来确 定解的唯一性。
克莱姆法则的条件
总结词
克莱姆法则的应用需要满足一定的条件， 以确保线性方程组有唯一解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
首先，线性方程组中的系数行列式必须不 为零，这是克莱姆法则应用的基本条件。 其次，线性方程组中的未知数个数必须与 方程个数相等，以确保方程组是确定的。 此外，还需要满足线性独立条件，即系数 矩阵的行向量必须是线性独立的。这些条 件共同保证了克莱姆法则的有效性和准确 性。
高教社2024高等数学第五版教学课件-9.2 行列式的计算与克莱姆法则
2 1
5 −7
2 4
−1
0
2 4
0
0
5
+
2
−5 1 + 23
+
2
−21
3
4
+
3
5
1
−2
−8
6 −22
+
+
4
−1
0
4 4
0
3
0
−1
0
0
0
0 3
5
8 4
4
5 −7 −8
2 4
6
0 3
5
2 1
1
1 −9 −10
0 3
5
0 3
5
−1 0
0 19 21
0 1
2 ↔ 3 −4
1 −9 −10
克莱姆法则的意义主要在于，它给出了方程组的解与系数之间的
明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中都是重要的．但是，用克
莱姆法则解一个个未知量个方程的线性方程组，就要计算 + 1个
级行列式，当甚大时,其计算量是很大的．有时候，甚至无法做到，
我们将在第十章给出线性方程组的其它解法．
值得注意的是，定理9.2只能应用于系数行列式不为零的线性方
程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在第十章的一般情
形中一并讨论．
如果线性方程组(9.9)右边的常数项全为零,则称为齐次线性方程
组．显然，齐次方程组总是有解的，因为 = 0( = 1,2, ⋯ , ) 就是
一组解，称为零解．对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，
2
2
2
2 + 1 2 + 3 2 + 5
5 −7
2 4
−1
0
2 4
0
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+
2
−5 1 + 23
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+
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0
0
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0 3
5
8 4
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5 −7 −8
2 4
6
0 3
5
2 1
1
1 −9 −10
0 3
5
0 3
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−1 0
0 19 21
0 1
2 ↔ 3 −4
1 −9 −10
克莱姆法则的意义主要在于，它给出了方程组的解与系数之间的
明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中都是重要的．但是，用克
莱姆法则解一个个未知量个方程的线性方程组，就要计算 + 1个
级行列式，当甚大时,其计算量是很大的．有时候，甚至无法做到，
我们将在第十章给出线性方程组的其它解法．
值得注意的是，定理9.2只能应用于系数行列式不为零的线性方
程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在第十章的一般情
形中一并讨论．
如果线性方程组(9.9)右边的常数项全为零,则称为齐次线性方程
组．显然，齐次方程组总是有解的，因为 = 0( = 1,2, ⋯ , ) 就是
一组解，称为零解．对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，
2
2
2
2 + 1 2 + 3 2 + 5
121行列式克莱姆法则 75页PPT文档
类似地，消 x1，去得 （ a 1 a 2 1 a 2 1 a 2 ） 2 x 1 2 a 1 b 2 1 b 1 a 2 ,1
当 a1a 1 22 a1a 2 21 0时方， 程组的解为 x1 ab111aa2222aa1122ba221，x2aa 11a 1b 1 222 a b1 1aa 2 2211.
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
性质6. 如果行列式的某一行(列)的元素可
表示成两项和的形式,则此行列式可表示成
两个行列式之和.
例如
a11 a12 (a1i a1i) a1n
Da21 a22 (a2i a2i) a2n
an1 an2 (anian i) ann
4 6 3 4 2 8 24 1.4
11 1 例3 求解方程2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12
x25x6,
由x25x0解得 x2或 x3.
补充定义一阶行列式为：a11 a11
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 次对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
当 a1a 1 22 a1a 2 21 0时方， 程组的解为 x1 ab111aa2222aa1122ba221，x2aa 11a 1b 1 222 a b1 1aa 2 2211.
a n 1 a n 2 a nn
a n 1 a n 2 a nn
性质6. 如果行列式的某一行(列)的元素可
表示成两项和的形式,则此行列式可表示成
两个行列式之和.
例如
a11 a12 (a1i a1i) a1n
Da21 a22 (a2i a2i) a2n
an1 an2 (anian i) ann
4 6 3 4 2 8 24 1.4
11 1 例3 求解方程2 3 x 0.
4 9 x2 解 方程左端
D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12
x25x6,
由x25x0解得 x2或 x3.
补充定义一阶行列式为：a11 a11
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
a 31 a 32 a 33
a 1a 1 2a 3 3 2a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 3 2a 2 3,1
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 次对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
线性代数第2讲 行列式的计算, 克莱姆法则
21 2019/1/24
证 先证(1.25)是方程组(1.23)的解, 根据(1.26) n 式,
D j b1 A1 j b2 A2 j
bn Anj bk Akj
k 1
其中Akj是系数行列式中元素akj的代数 余子式. 将 n 1 x j bk Akj ( j 1, 2, , n)代入 D k 1
a x
j 1 ij
n
j
bi
(i 1, 2,
, n)
22 2019/1/24
得
1 1 aij bk Akj aij Akj bk j 1 D k 1 D j 1 k 1
n n n n
1 n n 1 n n aij Akj bk bk aij Akj D k 1 j 1 D k 1 j 1 1 1 bk ik D (bi 1 D) bi (i 1, 2, D k 1 D
线性代数第2讲
行列式的计算, 克莱姆法则
1 2019/1/24
例1 上三角行列式(i>j时, aij=0)
a11 D
a12 a22 0
a1n a2 n ann
a11a22
ann
这是因为上三角行列式的转置是下三 角行列式.
2 2019/1/24
例2 计算4阶行列式
1 1 1 1 1 4 D 2 4 6 1 2 4 2 1 1 2
6 2019/1/24
7 17 8 7 25 8 D 0 5 5 0 0 5 3 (1)
2 1
9 5 3
2 11
3
11
2
7 25
克莱姆法则PPT课件
其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即
a11 a1,j1
Dj a 21
a2,j1
b1 a
an1 an,j1 bn an,j1 ann •2
定理中包含三个结论:
(1)方程组有解
例2 取何值时,下述齐次线性方程组有非
零解?
( 1)x1 x2 x3 0 x1 ( 1)x2 x3 0 x1 x2 ( 1)x3 0
解:
1 1 1
D 1 1 1 =(+3)2
1 1 1
齐次线性方程组有非零解 D=0
= 3或0•10
(2)解是唯一的
(3)解由公式
xj
Dj D
( j=1,2,...,n)给出
注: 用克莱姆法则解线性方程组必须有两 个前提条件:
(1)未知数个数等于方程个数
(2)系数行列式D0
•3
2 x1 x2 5 x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 3 2x2
x2 x3
6 x4 2 x4
9 5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
解: 方程组的系数行列式
2 1 5 1
1 3 0 6
D
=27 0
0 2 1 2
1 4 7 6 •4
由克莱姆法则知,方程组有唯一解
8 1 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6 2
=81
x1
D1 D
81 27
0 4 7 6
=3
2 8 5 1
1 D2 0
一、克莱姆法则
定理二(克莱姆法则) 设线性方程组
行列式计算及克莱姆法则课件
行列式的计算方法有多种，如展开法、递推法、化简法等。其中，展开法是最基本的计算方法，通过逐行展开计 算行列式的值；递推法则是利用行列式的性质将高阶行列式转化为低阶行列式进行计算；化简法则是在计算过程 中不断化简行列式的值，使其更容易计算。
02
克莱姆法则
克莱姆法则的概述
01 02
克莱姆法则定义
克莱姆法则是线性代数中的一个基本法则，用于解决线性方程组的问题 。它指出，对于一个给定的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零 ，则该方程组有唯一解。
线性方程组解的判定定理
唯一解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 不为0时，线性方程组有唯 一解。
无解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且不满秩时，线性方程 组无解。
无数解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且满秩时，线性方程组 有无数解。
04
矩阵的逆与行列式的关 系
矩阵的逆的定义与性质
定义
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵） ，则称B是A的逆矩阵。
利用伴随矩阵的性质计算逆矩 阵。
迭代法
利用迭代公式计算逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将矩阵分 块处理，然后分别求出各块的 逆矩阵，再组合起来得到原矩
阵的逆矩阵。
05
总结与展望
行列式计算及克莱姆法则的重要性和应用领域
线性代数基础
行列式计算是线性代数中的基础概念 ，对于理解矩阵、向量等概念至关重 要。
数值分析
行列式计算在数值分析中有着广泛的 应用，例如在求解线性方程组、计算 特征值和特征向量等方面。
工程领域
在工程领域中，行列式计算是解决各 种实际问题的关键工具，如结构分析 、流体动力学等。
02
克莱姆法则
克莱姆法则的概述
01 02
克莱姆法则定义
克莱姆法则是线性代数中的一个基本法则，用于解决线性方程组的问题 。它指出，对于一个给定的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零 ，则该方程组有唯一解。
线性方程组解的判定定理
唯一解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 不为0时，线性方程组有唯 一解。
无解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且不满秩时，线性方程 组无解。
无数解判定定理
当系数矩阵A的行列式值 为0且满秩时，线性方程组 有无数解。
04
矩阵的逆与行列式的关 系
矩阵的逆的定义与性质
定义
设矩阵A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵） ，则称B是A的逆矩阵。
利用伴随矩阵的性质计算逆矩 阵。
迭代法
利用迭代公式计算逆矩阵。
分块法
对于大型矩阵，可以将矩阵分 块处理，然后分别求出各块的 逆矩阵，再组合起来得到原矩
阵的逆矩阵。
05
总结与展望
行列式计算及克莱姆法则的重要性和应用领域
线性代数基础
行列式计算是线性代数中的基础概念 ，对于理解矩阵、向量等概念至关重 要。
数值分析
行列式计算在数值分析中有着广泛的 应用，例如在求解线性方程组、计算 特征值和特征向量等方面。
工程领域
在工程领域中，行列式计算是解决各 种实际问题的关键工具，如结构分析 、流体动力学等。
行列式的计算及克莱姆法则.ppt
齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零 解，下面给出定理
定理1.3 已知有n个线性方程式构成的n元齐次 线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
如果有非零解，则系数行列式D=0； 如果系数行列式D=0，则有非零解。
4 (1)21 5 3 (1)22 6 2 (1)23 7 1 (1)24 8 8
70 40
例3 计算四阶行列式 1 0 5 2
3 1 1 6
80 50
70 40
1 0 5 2 （按第2列展开）
解：3 1 1 6 ======== 0 A12 0 A22 (1) A32 0 A42
例7 计算n阶行列式
000 b00
0 0
1 0
00 00 ab 0a
§1.4 克莱姆法则
行列式的一个重要应用就是解线性方程组。 本节我们就从最简单的二元线性方程组入手， 讨论如何运用行列式解线性方程组。
对于二元线形方程组
aa1211xx12
a12 x2 a22 x2
b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时，此线形方程组仅有唯一 解
564
a11 a12 a13 对于三阶行列式 a21 a22 a23
a31 a32 a33
三组同学分别计算
第一组：a11 A11 a12 A12 a13 A13 第二组：a21 A21 a22 A22 a23 A23 第三组：a31 A31 a32 A32 a33 A33
结论：
定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一行（列） 各元素与其代数余子式乘积之和，即
x1
定理1.3 已知有n个线性方程式构成的n元齐次 线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
如果有非零解，则系数行列式D=0； 如果系数行列式D=0，则有非零解。
4 (1)21 5 3 (1)22 6 2 (1)23 7 1 (1)24 8 8
70 40
例3 计算四阶行列式 1 0 5 2
3 1 1 6
80 50
70 40
1 0 5 2 （按第2列展开）
解：3 1 1 6 ======== 0 A12 0 A22 (1) A32 0 A42
例7 计算n阶行列式
000 b00
0 0
1 0
00 00 ab 0a
§1.4 克莱姆法则
行列式的一个重要应用就是解线性方程组。 本节我们就从最简单的二元线性方程组入手， 讨论如何运用行列式解线性方程组。
对于二元线形方程组
aa1211xx12
a12 x2 a22 x2
b1 b2
当 a11a22 a12a21 0 时，此线形方程组仅有唯一 解
564
a11 a12 a13 对于三阶行列式 a21 a22 a23
a31 a32 a33
三组同学分别计算
第一组：a11 A11 a12 A12 a13 A13 第二组：a21 A21 a22 A22 a23 A23 第三组：a31 A31 a32 A32 a33 A33
结论：
定理1.2 n阶行列式D等于它的任意一行（列） 各元素与其代数余子式乘积之和，即
x1
行列式的性质克莱姆法则和行列式的逆序定义PPT课件
x1 4x2 7x3 6x4 0
解：
2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 (2) (1) 1 3 0 6
D
0 2 1 2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
第14页/共32页
7 5 13 3 5 3 3 3
2 1 2 0 1 0
27,
7 2
7 7 12 7 7 2
五、主要结论
定理：对换改变排列的奇偶性。
第22页/共32页
分析： 1.相邻对换
设某一n级排列：
ij ji
除i和 j相对位置改变外，其余任两数顺序都没改变，
逆序增加或减少一个。
结论：相邻对换改变排列的奇偶性。
2.一般对换
奇数次
共经过 2次s+相1 邻对换。
ik1k2 ks j jk1k2 ksi
N (i1i2 in ) i11 i2 2
ainn
an1 an2 ... ann
(1) a a a N (i1i2in )N ( j1 j2jn )
i1 j1 i2 j2
in jn
i1i2in
j1 j2 jn
练习：课本11页第1题第（3）、（4）题，第3题，
第4题。
第31页/共32页
感谢您的观看！
第17页/共32页
（推论1的逆否命题）
推论2：若齐次线性方程组(1)有非零解，则其系数
行列式D . 0
例：若方程组
x1 2x1
x2
x2
2x3 0 有3非x3零解0 ，求
.
2x1 2x2 2x3 0
解：方程组有非零解时
D0
1 1 2 2 (2) 1 1 2
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即： D (ai aj) 1jin
证毕
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17
例 计算行列式
11 1 1 4 3 6 2 D 16 9 36 4 64 27 216 8
解：由范德蒙行列式的计算公式有：
D ( a 2 a 1 ) a 3 ( a 1 ) a 4 ( a 1 ) a 3 ( a 2 ) a 4 ( a 2 ) a 4 ( a 3 ) ( 3 4 ) ( 6 4 ) ( 2 4 ) ( 6 3 ) ( 2 3 ) ( 2 6 )
PPT学习交流
6
练习7 计算行列式
3 1 1 2
化零降阶法
2 1 2 1 D
1 0 1 1 1 3 3 1
解：根据行列式性质
5 1 3 2
c1 c 4
5 1 3
1 1 c3 c4 3 1
D
(1)34 1 1 3
00 0 1
2 3 2
2 3 2 1
( 1 )3 4 [ 1 0 9 6 ( 6 2 4)5 ]
故
D n 1 D n 1 1 1 D n 2 ( n 1 ) D 1 ( n 1 ) 2 n 1 C n 1 C n 1 1 1 C n 2 ( n 1 ) C 1 ( n 1 ) 2 n 1
即：Dn=Cn
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10
Dn1
(ai aj)
1jin1
下证k=n时，公式成立
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13
1
a1 D
a
n 1
2
a
n 1
1
a1n10a1a1n2
1
a2
a
n 2
2
a
n 2
1
1
an
a
n n
2
a
n n
1
aa2n2n12(aa21aa2n1)2
从最后一行开始，每一行减去它相邻的前 一行乘以a1,即作线性运算 ri a 1 ri 1(2in)
74
PPT学习交流
7
练习8 求证Cn=Dn
2 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0
Dn
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 2
2 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 2 1 0 0 0
Cn
0 0 0 0 1 2 1
注：归纳法和递推法适用于原行列式能转化为
结构相同的低阶行列式的情况。
例 计算行列式 P18
1 1 1
a1 D a12
a2 an
a
2 2
a
2 n
a n 1 1
a n 1 2
a n 1 n
分析行列式结构和规律
我们把这个行列式称作n阶范德蒙行列式
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11
该行列式的值为： D
(ai aj )
1 0 0 a
PPT学习交流
5
按第一 1 0 0 1a1 0 1a1 0
行展开
(a1)31a1 01 0 01 0 a1
1 0 a11 0 a11 0 0
(a 1 )3 (a 1 )2 (a 1 )2 (a 1 )2
(a1)2(a2)
镶边法适用于相同元素较多的行列式
a11
D1 b 1
11c
2
练习4 计算行列式
123 D1 3 6 9
211
a2 a2 a a1 1
b2 b2 D2 c2 c2
b c
b1 1(设abcd1) c1 1
d2 d2 d d1 1
解：根据行列式性质
D1 0
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3
练习5 计算行列式 1a1 a2 an
行和相同 D a1 1a2 an
a1 a2 1an
1jin
即： D n ( a 2 a 1 )a 3 ( a 1 )( a n a 1 ) j=1
(a3a2)(ana2) j=2
(an an1) j=n-1
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解：（归纳法）
1 当k=2时，有： D2 a1
公式成立.
1 a2 a2 a1
假设当k=n-1时，公式成立，即
每一列均可提取公因子，则：
1 1
D(a2 a1) (a3 a1)(an
a1)
a2
an
n-1阶范德蒙行列式 a2n2 ann2
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故有：
1 1
a2
an
(a2a1)(a3a1)(an a1)Dn1
a2n2 ann2
(a 2 a 1 )a 3 ( a 1 )(a n a 1 ) (a i a j) 2 j i n
0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
C n2C n1C n2
归纳法
由归纳假设Dn-1=Cn-1， Dn-2=Cn-2，故Dn=Cn
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证明：（递推法）把Dn，Cn，按第一行展开有：
D n2D n1D n2 C n2C n1C n2
D n D n 1 D n 1 D n 2 D n 2 D n 3 D 2 D 1 3 2 1 C n C n 1 C n 1 C n 2 C 2 C 1 3 2 1
0 0 0 0 0 1 2
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证明：当n=1,2时，D1=2=C1,
2 D21
1
2
23C21
1 2
假设当k≤n-1时，等式成立，即Dk=Ck
当k=n时，把Dn，Cn，按第一行展开有：
归纳假设
1 1 0 0 0 0 2 1 0 0
Dn
2Dn1
(1)12
0
1
2
0
0 2Dn1 Dn2
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1
1
1
0 ri a1ri 1
(2i n)
a2 a1
an a1
D
0 a22(a2 a1) an2(an a1)
0 a2n1(a2 a1)，有：
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a2 a1 an a1
D a2(a2 a1) an(an a1)
a2n2(a2 a1) ann2(an a1)
解：
1ai
D 1ai
1ai
a2 1a2
a2
an an 1an
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4
例6 计算行列式
a11
镶边法
D1 a 1
11a
解：根据行列式展开定理，可作变换
1 1 1 1 ri r1
1 111
0 a 1 1 1 (i 1,2 ,3,4 ) a 0 0
D 01a1
1 0 a 0
011a
第一周作业点评
作业：P22 1（1） 7 （1）
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1
复习
1、 n阶行列式的展开定理
n
D , 当i j ,
aik A jk
k 1
0 ,
当i
j
，
n
D , 当i j ,
aki A kj
k 1
0
,
当i
j
2、行列式的计算方法（三类）
1. 定义 2. 性质 3. 展开（降阶）.
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