信息光学公式整理1

信息光学公式 1·矩形函数

⎪

⎩⎪⎨

⎧

≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-其它

,

021,10

0a x x a x x rect

F { a sinc(a x ) } = rect(f /a )

F ⎪⎭

⎫ ⎝⎛Λ=

b f b 1

(bx)}{sinc

2

2·inc s 函数

()()a x x a x x a 0

00sin x x sinc --=

⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ 3·三角形函数 ⎪

⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ其它

,

0,1a x a x

a x

4·符号函数

()⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0,10,00,

1sgn x x x x

5·阶跃函数

()⎩

⎨⎧<>=0,00

,1x x x step

6·圆柱函数

⎪⎩

⎪⎨⎧<+=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+其它

,0,

12

22

2a

y

x a y x circ

极坐标内

⎩⎨

⎧><=⎪⎭⎫ ⎝⎛a

r o a r a r ,

,1circ

7·δ函数的定义 普通函数形式的定义

()()⎪⎪⎭⎪⎪

⎬⎫

=⎩

⎨

⎧==∞≠≠=∞

∞

-⎰⎰

1

,0,0,0,

0,dxdy y x y x y x y x δδ

广义函数形式的定义

()()()0,0,,φφδ=∞

∞

-⎰⎰

dxdy y x y x

其中()y x ,φ在原点处连续 δ函数的性质

设函数()y x f ,在()00,y x 点出连续，则有 筛选性质

()()()y x f dxdy y y x x y x f ,,,00=--∞

∞

-⎰⎰

δ

坐标缩放性质 ()()y x ab

by ax ,1,δδ=

可变性 ()()()y x y x δδδ=, 8·梳状函数性质

()()()∑∑∞

-∞

=∞∞

-=-=

m nx j m x x πδ2exp comb

()∑∞

∞

-∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x m x x x x δcomb

()∑∞

-∞=⎪⎭

⎫

⎝⎛

∆-∆=∆m x

m x x δ1

xx comb ()()ξcomb x comb −−→←ℑ

()ξx comb x x comb ∆∆−−→←⎪⎭

⎫ ⎝⎛∆ℑx ()()()y x comb comb y x,comb =

9·傅里叶变换

()()(){}dxdy y x j y x f F ηξπηξ+-=∞

∞-⎰⎰

2exp ,, ()()()[]ηξηξπηξd d y x j F y x f +=

∞

∞

-⎰⎰

2exp ,,

10·阶跃函数step(x)的傅里叶变换

(){}(){}()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-=

+=ℑℑπξξδj 21x sgn 12

1

x step

11·卷积的定义

()()()()()x h x f d x h f x g *=-=

⎰∞

∞

-α

αα

定义()x f 和()x h 的二维卷积：

()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=

⎰⎰∞

∞

-β

αβαβα

卷积的几个重要性质： 线性性质：

{)

,(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+卷积符合交换律：

,(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*

卷积符合结合律：

[][]

),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则

),(1

),(),(by ax g ab

by ax h by ax f =

*（a,b 均不等于0）

卷积位移不变性：若),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*，

则

)

,(),(),(),(),(000000y y x x g y y x x h y x f y x h y y x x f --=--*=*--函数),(y x f 与δ函数的卷积： ),(),(),(0000y y x x f y y x x y x f --=--*δ

12·米尔对称性

()()ηξηξ--=*

,,F

F

13·卷积定理

()()()x rect x rect *=Λx

(){}(){}(){}()ξ2

sinc x rect x rect ==Λℑℑℑx

()(){}()()()ξξξrect rect rect sin x sinc ==*ℑx c

()()(){}()x sinc rect sinc sinc 1

==*-ℑξx x

14·线性平移不变系统

()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,,,,,*=--=

∞

∞

-⎰⎰

β

αβαβα

15·函数变换

输入函数 ()()y x y x f 002cos ,ηξπ+= 其频谱函数

()()()[]0000,,2

1,ηηξξδηηξξ

δηξ-++--=

F

16·单色光波场的复振幅

复振幅 ()()

r k j r

a P U *=exp 0

光强 *

==UU U

I 2

17·X 方向的空间频率的相关公式

等相线位方程 c kx =αcos λπ2=

k αλc o s =X X 方向的空间频率λ

αξcos 1=

=X 18·整个空间的空间频率

()()[]z y x j a Z Y X U ζηξπ++=2exp ,, 2

2

1

λ

ζ

η

ξ

=

++2

2

19·泰伯效应()()jkz d n c n n

G exp ⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=∑∞

-∞

=ξδξ 泰伯距离 λ2

2d

z T =

20·相干截止频率 f D λρ2c =

非相干截止频率 f D λρρ22c oc == 21·相干面积 ()

()S

S

C A Z A Ω≈

=λλ2

第二章

2·1夫琅禾费近似

()()()

()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=

y y x x z k j y x z k j z

j jkz y x y x h 002200exp 2exp exp ,,λ； 2·2菲涅尔衍射

()()()()()0

020200002exp ,exp ,dy dx z y y x x jk y x U z

j jkz y x U ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-+-=

∞

∞

-⎰⎰

λ傅里叶变换

()()()

()()

()0

0002020000

222exp 2exp ,2exp

exp

1,dy dx y y x

x z j

y x z k j y x U

y x z k j jkz z

j y x U ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+-⨯⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=

∞

∞

-⎰⎰

λπλ

2·3透镜系统

（1）输入平面位于透镜前焦面 这时f d =0得 ()()000000exp ,,dy dx f y y x x jk y x t c y x U ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

+-'=∞

∞

-⎰⎰ （2）输入面紧贴透镜 这时00=d 得 ()()0000002

2exp ,2exp ,dy dx q y y x x jk y x t q

y x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+'=∞

∞

-⎰⎰ （3）物在透镜后方

()()()0000000022exp ,2exp ,dy dx d q y y x x jk y x t d q y x jk c y x U ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+'=∞∞-⎰⎰ 4·1希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统，该系统的脉冲响应为

t t h π1)(-= 而 )()()(t u t j t t u r *⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+=πδ

脉冲响应对应的传递函数为

()()νπνn j t F H sg 1=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=

4·2互相干函数

时间的平均值

⎰

-∞

→=T

T

T dt t f T

t f )(21lim

)(

光场的互相干函数

()

)

(,),(),(),(12

*

*

2*

12211ττΓ

=+--t P u t P u t t P u t t P u *

＝