向量与解析几何交汇例题解析
向量与解析几何结合解答题精选
向量与解析几何结合解答题精选平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。
或者考虑向量运算的 几何意义，利用其几何意义解决有关问题。
1.已知1OF ＝（－3，0），2OF ＝（3，0），（O 为坐标原点），动点M 满足：||1＋||2MF ＝10。
（1）求动点M 的轨迹C ；（2）若点P 、Q 是曲线C 上任意两点，且·=0，求222OQOP •的值【解】（1）由||1MF ＋||2MF ＝10知： 动点M 到两定点F 1和F 2的距离之和为10根据椭圆的第一定义：动点M 的轨迹为椭圆：122=+y x （2）∵点P 、O 是1162522=+y x 上任意两点 设P(ααsin 4,cos 5)，Q(ββsin 4,cos 5)（注意：这是点在椭圆上的一种常规设法，也是椭圆的参数方程的一个应用） ∵OP ·OQ =0 得：βαβαsin sin 16cos cos 25+＝0 ①而2、22•都可以用α、β的三角函数表示，利用①可以解得：222•＝400412.已知：过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）的直线l 与⊙C ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点。
（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM ·AN 为定值；（3）若O 为坐标原点，且OM ·ON ＝12，求k 的值。
【解】∵直线l 过点A （0，1）且方向向量为＝（1，k ）∴直线l 的方程为：y ＝kx ＋1 （注意：这里已知方向向量即已知直线的斜率） 将其代入⊙C ：1)3()2(22=-+-y x ，得：07)1(4)1(22=++-+x k x k ①由题意：△＝07)1(4)]1(4[2>⨯+⨯-+-k k 得：374374+<<-k （注意：这里用了直线和方程组成方程组，方程有两根；本题还可以用圆与直线有两个交点，d<R 来解）（2）利用切割线定理可以证明|AM |·|AN |＝|AT |2=7,AT 为切线，T 为切点。
向量与解析几何的结合题 (讲解)
向量与解析几何的结合题1、设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA A ．43 B ．43-C ．3D ．－3（答案B ）2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足 OB OA OC βα+=，其中α、1,=+∈βαβ且R ，则点C 的轨迹方程为A ．01123=-+y xB ．5)2()1(22=-++y xC ．02=-y xD ．052=-+y x （答案D ）3、如图，P 为双曲线12222=-by ax （a 、b 为正常数）上任一点，过P 点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A 、B 两点．若．（1）求证：A 、B 两点的横坐标之积为常数； （2）求△AOB 的面积（其中O 为原点）．（2004年南京师大附中数学高考模拟试题）解：（1）设A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、P （0x ，0y ）．因为2=PBAP ，所以02132x x x =+，02132y y y =+．又11x ab y =，22x ab y -=．所以)2(22121x x ab y y -=+．从而)2(3210x x ab y -=．又因为P 点在双曲线上．所以1220220=-by ax ，222122219)2(9)2(ax x ax x --+221891a x x =⇒=为常数．（2）又∠α=AOX ，则ααcos ||tan 1x OAab ==⋅，αcos ||2xOB =1||||sin 22A O BS O A O B α∆=⋅⋅⋅12121sin 2tan 2cos cos x x x x αααα==⋅⋅⋅289a=ab ab 89=⋅4、．以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.设,1=⋅FG OF 点F 的坐标为（t ，0），),3[+∞∈t ，点G 的坐标为).,(00y x（1）求0x 关于t 的函数)(0t f x =的表达式，判断函数)(t f 的单调性，并证明你的判断.（2）设△OFG 的面积t S 631=，若以O 为中心，F为焦点的椭圆经过点G ，求当||OG 取得最小值时椭圆的方程.（3）在（2）的条件下，若点P 的坐标为)29,0(，C 、D 是椭圆上的两点，且)1(≠=λλPD PC ，求实数λ的取值范围.解：（1）由题意知：.1)(),0,(),,(000=-=⋅=-=t x t FG OF t OF y t x FG 则解得.1)(0t t t f x +==设)1()1()()(,322112121t t t t t f t f t t +-+=-≥>则=.1)()(212121212121t t t t t t t t t t t t --=---∵,0,01,0212121>>->-t t t t t t ∴),()(,0)()(2121t f t f t f t f >>- 函数)(t f 在区间[3，+∞）上单调递增.（2）由.331,631||21||||21000±==⨯⨯==y t y t y OF S 得∴点G 的坐标为.931)1(||),331,1(22++=±+t t OG tt ∵函数)(t f 在区间[3，+∞]上单调递增，∴当t=3时，||OG 取得最小值，此时点F 、G 的坐标分别为（3，0）、（331,310±）.由题意设椭圆方程为.192222=++by b x由点G 在椭圆上，得.1931)9(910022=++bb 解得b 2=9.∴所求椭圆方程为.191822=+yx（3）解答一：设C 、D 的坐标分别为（x ，y ）、（m ，n ）， 则).29,(),29,(-=-=n m PD y x PC由.2929,),29,()29(,+-==-=--=λλλλλn y m x n m y x PD PC 得∵点C 、D 在椭圆上，∴.19)2929(18,191822222=+-+=+λλλn mnm消去m ，得.4513λλ-=n 又∵,3||≤n ∴.551,3|4513|≤≤≤-λλλ解得∴实数λ的取值范围是].5,1()1,51[⋃解答二：设点A 、B 的坐标分别为（0，3）、（0，－3），过点A 、B 分别作y 轴的垂线，交直线PC 于点M 、N.若|,||||,|||PC PN PD PC ≤<则∴1.5==≤<则.151,511<≤≤<λλ若|,|||PD PC >同理可得.51,51≤<==≤<λ则综上，实数λ的取值范围是].5,1()1,51[⋃5、如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ，且0AC BC =，|BC |＝2|AC |．（I ）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（II ）如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，证明：存在实数λ，使P Q A Bλ=．解：（I ）以O 为原点，O A 为X 轴建立直角坐标系，设A （2，0），则椭圆方程为22214xy b+=∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|O C |＝|O B | 又∵0AC BC =，∴AC ⊥BC又∵|BC |＝2|AC | ∴|O C |＝|AC | ∴△A O C 为等腰直角三角形∴点C 的坐标为（1，1） ∴点B 的坐标为（－1，－1）将C 的坐标（1，1）代入椭圆方程得243b =， 则求得椭圆方程为223144xy +=（II ）由于∠PCQ 的平分线垂直于O A （即垂直于x 轴），不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为－k ，因此PC 、QC 的直线方程分别为y ＝k （x －1）+1，y ＝－k （x －1）+1由22(1)13144y k x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得（1＋3k 2）x 2－6k （k －1）x ＋3k 2－6k －1＝0 *）∵点C （1，1）在椭圆上，∴x ＝1是方程（*）的一个根，∴x P •1＝2236131k k k --+即x P ＝2236131k k k --+同理x Q ＝2236131k k k +-+∴直线PQ 的斜率为2222(31)2()213112331P Q P Q P QP Qk k ky y k x x kk k x x x x k -⋅--+-+===---+（定值）又∠ACB 的平分线也垂直于OA ∴直线PQ 与AB 的斜率相等（∵k AB =13）∴向量//P Q A B ，即总存在实数λ，使P Q A B λ=成立．。
平面向量与解析几何交汇题的分类解析
平面向量与解析几何交汇题的分类解析湖北省广水市第一高级中学 (432700) 刘才华 Email:lch2019@平面向量既有大小又有方向，它具备数与形的双重身份，因此平面向量与解析几何交汇题，要善于分析清楚向量式的几何意义，借助向量形的特征使抽象的问题直观化、形象化；也要善于运用向量的坐标运算，借助向量数的特征用代数的方法研究几何图形的性质.一、利用向量式的几何意义求解定值问题例1 已知过点(0,1)A 的直线l 与⊙c ：1)3()2(22=-+-y x 相交与M 、N 两点. 求证：AM AN ⋅为定值.解 如图1示，由于向量AM 、AN共线且同方向， ∴||||AM AN AM AN ⋅=⋅ ，作圆的切线AT ，由圆的切割线定理，则 222||||||||817AM AN AT AC r ⋅==-=-= ，∴AM AN ⋅为定值.例2 已知1OF ＝(3,0)-，2OF＝(3,0)（O 为坐标原点），动点M 的轨迹为c ，且M 满足：12||||10MF MF +=.(1) 求动点M 的轨迹方程；(2) 若点P 和Q 是曲线c 上的任意两点，且0OP OQ ⋅= ，求222PQOP OQ⋅ 的值.解 (1）∵1212||||10||6MF MF F F +=>=，∴动点M 的轨迹c 为椭圆，且210a =，26c =，∴5a =，3c =，则4b =，∴点M 的轨迹方程为2212516x y +=. (2) 向量式2222222||||()||||||||PQ PQPQ OP OQ OP OQ OP OQ ==⋅⋅⋅ 如图2示，∵0OP OQ ⋅=，∴POQ ∆为直角三角形，∴POQ ∆的面积为11||||||22S OP OQ PQ d =⋅=⋅ ，∴d =∴向量式22221PQ d OP OQ=⋅ ，即为原点到直线PQ 的距离d 的平方的倒数. 图2图1设PQ 的方程为y kx m =+，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(1625)50254000k x kmx m +++-=，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则有1222122501625254001625km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 由12121212()()OP OQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+=++⋅+221212(1)()0k x x km x x m =++++= ∴22222222540050(1)016251625b k m k m k k -+-+=++，化简得2241400(1)m k =+，即22400141m k =+，∴2222400141m d k ===+， 若斜率k 不存在，则OP 的方程为y x =，联立2212516y xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =∴直线PQ的方程为x =PQ的距离d =240041d =.∴综合上述2222141400PQ d OP OQ==⋅ . 二、利用向量的坐标运算求解轨迹方程例3 设过点(,)P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅=.求P 点的轨迹方程解 由题意设(,0)A a 、(0,)B b ，且0a >、0b >.∵2BP PA =，即(,)2(,)x y b a x y -=--，∴222x a x y b y =-⎧⎨-=-⎩， 即323a x b y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴3(,0)2A x 、(0,3)B y ，3(,3)2AB x y =-又点Q 与点P 关于y 轴对称知，∴(,)Q x y -，OQ=(,)x y -，则2233(,)(,3)3122OQ AB x y x y x y ⋅=-⋅-=+= ，又302a x =>，30b y =>，∴0x >且0y >. ∴P 点的轨迹方程为223312x y +=（0x >且0y >）． 三、利用向量证明几何图形中的位置关系例4 设A 、B 分别为椭圆22143x y +=的左、右顶点，且点P 是右准线上不同点(4,0)的任意一点，若直线AP 、BP 分别与椭圆相交于异于A 、B 的点M 、N .证明：点B 在以MN 为直径的圆内.解 如图3示，要证点B 在以MN 为直径的圆内，只需证2MBN π∠>，即要证0BM BN ⋅<.由题意得(2,0)A -、(2,0)B ，右准线方程为4x =. ∴设点(4,)P t 且0t ≠，11(,)M x y 、22(,)N x y ， 则直线AP 的方程为(2)6t y x =+，PB 直线方程为(2)2t y x =-∵点M 、N 分别在直线AP 、PB 上，∴11(2)6t y x =+，22ty =∴21212(2)(2)12t y y x x =+-， 联立22(2)6143t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得到2222(27)44(27)0t x t x t +++-=， ∵2-，1x 是方程的两根，∴2124(27)227t x t --⋅=+，即2122(27)27t x t-=+， ∴11221212(2,)(2,)(2)(2)BM BN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+21212(2)(2)(2)(2)12t x x x x =--++-2112[2(2)](2)12t x x x =-++-=2225(2)27t x t -+ ∵22(,)N x y 是椭圆上异于A 、B 的点，∴22x <.又0t ≠，∴BM BN ⋅=2225(2)027t x t -<+． ∴点B 在以MN 为直径的圆内.图3。
周青 向量与解析几何交汇例题解析
向量与解析几何交汇例题解析上海市新场中学 周青教学内容：1.会用向量法解决解析几何问题2.会解决与向量有关的解析几何问题教学目标：1．灵活运用平面向量的运算的几何意义及圆锥曲线的定义； 2．掌握平面向量的坐标运算及解析几何的基本解题方法；3．通过运用向量解题，培养学生生善于思考、乐于探究、敢于创新的思想品质。
教学重点：平面向量的运算的几何意义及坐标运算 教学难点：灵活运用平面向量处理解析几何问题。
教学过程：向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是高考命题改革的发展方向和创新的趋势之一。
有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
上海二期课改教材注重于虽然利用向量解决解析几何问题，但课本上例题还不是很多，因此学生对于利用向量解决解析几何问题的能力还不高，本节课通过将向量与解析几何相结合处理问题，旨在使学生树立并增强应用向量的意识和能力。
回归课本引例：（高二课本例题）已知椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，椭圆上的点P 的坐标(,)P P x y ，且∠F 1P F 2为钝角，求P x 点P 横坐标的取值范围解：因为点(,)P P P x y 在椭圆上，所以22449P Py x =-焦点12(F F ，1,)P P PF x y =- （，2,)P P PF x y =- 21PF F ∠ 为钝角∴ 12,),)0P P P P PF PF x y x y ⋅-⋅-<=（化简得225PP x y +< 224459P P x x +-< 得259Px <解得：P x <<∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）例题1：已知常数0m > ，向量(0,1),(,0)a b m = =，经过点(,0)A m ，以a b λ+ 为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中R λ∈．求点P 的轨迹解：∵(,)a b m λλ+=，∴ 直线AP 方程为λ()y x m m=-；……①又4(,4)b a m λλ-=- , ∴ 直线NP 方程为4()y x m mλ=-+；……②由①、②消去λ得 22224()y x m m =--，即 22214x y m +=． 故当2m =时，轨迹E 是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：224x y +=；当2m >时，轨迹是以原点为中心，以(0)为焦点的椭圆：当02m <<时，轨迹是以中心为原点，焦点为(0,的椭圆．例题2(2007年全国高考Ⅱ·理科·12题)．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= （ ）A ．9B ．6C ．4D ．3例题3：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心变式训练1、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()AB AC OP OA AB ACλ=++，)0λ⎡⎣∈∞，＋，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心变式训练2：已知ABC ∆的三个顶点的坐标是(1,2)A ，(3,1)B --，(9,6)C -，求ABC ∠的平分线的方程。
试析近年高考解析几何题与平面向量交汇问题
例２ （ ２ ０ １ ４ 年 高考安徽卷 理科第 １ ０ 题） 在 平 面直 角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中，已知 向量 、 ｂ ，
１
蚪
ｌ ｌ ＝Ｉ ｂ ｌ ＝１ ， ・ ｂ＝ ０ ， 点Ｑ满足（ ＝ ） Ｑ＝ 、 ／ ／ ２ （ ＋ｂ ） ，曲线Ｃ ＝ ＰＩ （ 二 ） ｐ ＝－ ａ ＿ ÷ ｃ ｏ ｓ ＋
（ ｍ ＋ ２ ｎ ， ２ ｍ ￣ 礼 ） ， ． ・ ． ｛
减得 ， ｍ ～ｎ＝Ｙ—Ｘ
３
２
： 两 式 相
＞
～
０
一
／
图ｌ
令Ｙ —Ｘ＝ ｔ ， 由图 １ 知， 当直 线 Ｙ＝ Ｘ＋ 过
简要分析．
一
点 Ｂ（ ２ ， ３ ） 时， ｔ 取得最大值 １ ， 故 ｍ ～ｎ的最大
坐标系 ｘ Ｏ ｙ中， 已知点 Ａ （ １ ， １ ） 、Ｂ（ ２ ， ３ ） 、 ｃ（ ３ ， ２ ） ， 点Ｐ（ ｘ ， Ｙ ） 在 ＡＡ ＢＣ三边围成的区域（ 含边
界１ 上．
— － －－ — — — — —— —－ － — — ｝ — －— —
（ １ ） 若 Ｐ ＋ ＰＢ ＋ ＰＣ ＝ ０， 求Ｊ ＯＰ Ｊ ；
向量 在前， 学 习解析几 何在后 ， 而 且教材 中有 关 两 者 知 识 整 合 的 题 目不 多 ．很 多学 生 在 学 习 中就只是 “ 平 面 向量” 解平面 向量题 ， 不会应用 平面 向量去解 决解 析几何 问题． 用 向量法解决 解析 几何 问题思路清 晰， 过程 简洁， 有 意想不 到的神奇效果． 著名教育 家布鲁纳说过 ： “ 学习 的最好刺激 是对所学材料 的兴趣 ， 简单 的重 复 将会引起学生大脑疲劳， 学 习兴趣衰退． ”这充 分 揭 示 方 法 求 变 的重 要 性 ．如 果 我 们 能重 视 向 量 的教学， 必然 能 引导学生拓 展思路 ， 减轻负 担．高考对 解析几何 与 向量进行 综合考 查， 采 取 了新 旧结合 、 以旧带新 的方式， 使新 的内容 和 旧的内容有机地结合在一起 设 问， 形成 了新 的高考 命 题 热 点 ． 平 面 向量是高 中数学 的新增 内容， 也是 新 高考 的一个亮 点．向量 知 识 、 向量 观 点在 数 学 、物理等 学科 的很 多分支有着 广泛 的应用， 它具有代 数形式和几何形式 的“ 双 重 身 份” ，能 融数形 于一体， 能与中学数学教学 内容 的许 多 主干知 识融合， 形成 知识 的交汇 点．下面就近 几年的高考解析几何题与平面 向量交汇 问题做
例析向量与解析几何的交汇问题
例 析 向 量 与 解 析 几 何 的 交 汇 问 题
祁 玺
（ 肃 省 通渭 县第 一 中学 ， 肃 通 渭 甘 甘 ７ ３０ ） ４ ３ ０
向量 这 几 年 时 间 逐 渐 成 为 高 考 中 的重 要 角 色 ，很 多 时候 向量 与 解 析 几 何 在 一起 。 为 解 析 几 何 的一 部 分 ， 纵 观 与 向 成 但 量 与 解 析 几何 的 问题 ． 外 乎 以 下几 类 。 不 第 一 类是 可 以 转 化 为 平 面 几 何 语 言 的 ；第 二 类 是 不 可 以 或 者 转 化 比较 麻 烦 ； 有 一 类 是 平 面 几 何 背 景 问题 ， 是 我 们 还 但 转 化 为 用 向量 来 解 决 比较 方 便 。 对 于第 一 类 和第 三类 ． 们 常 常 要 进 行 转 化 ， 是 把 向量 我 或 问题 转化 为平 面 几何 问 题 ．然 后 用平 面 几 何 的 知 识 和 方 法 解 互 １ ０ 决 问 题 ； 是 把 平 面 几 何 问题 转 化 为 向量 问题 ， 助 向量 来 解 或 借 决 平 面 几 何 问 题 。 比较 这 两 个 方 法 ，用 向 量 来 解 决 有 以下 优 在 点 ： 去 讨 论 斜 率 是 否 存 在 的 问题 ； 用 向 量 方 法 同时 存 在 缺 免 但 椭 点 ： 向量 会 涉 及 到 两 个 变 量 ， 常 会 不 利 于求 解 。 圆 用 常
（ ） 点 Ｐ ｘ Ｙ 的轨 迹 Ｃ １求 （， ） 的方 程 。 。 ．
解 ： 题意 。 依 可设 直 线Ａ Ｂ的方 程 为 ｖ ｋ＋ ＝ ｘ ｍ，代 入 抛 物 线 方 程 ｘ－ ｙｇｘ一 ‘４ ￣ ‘ ｝
（） 果 过点Ｑ（ ， Ｈ方 向向量 为 ｃ （，） ２如 ０ｍ） ＝ １ １的直 线ｌ 点Ｐ 与 的 轨迹 交 于Ａ， 两点 ， △Ａ Ｂ 面积取 到 最大 值 时 ， Ｂ 当 Ｏ 的 求ｍ的值 。 解 ：１‘ ： ｘ ｘ ３ ）＋ ｊ Ｉｌ（＋ ／３）＋ ｊ ￣ １＋ｂ ４ （ ）‘ （— ／ ｉｙ ， ＝ ｘ ｘ ． ａ ｂ ｉｙ ，１ ｌｌ＝ 。 ． ａ ｌ
解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题(原卷版)
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。
它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．3y x =± D ．33y x =±【来源】陕西省西安市长安区2021届高三下学期二模理科数学试题 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛⎤⎥ ⎝⎦ C ． 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ） A ．22B ．23C ．4D ．25 3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线交该双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为__________．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】若椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点5(2,)3到右准线的距离为52，过点()0,1M 的直线l 与C 交于两点,A B ，且23AM MB =，则l 的斜率为 A ．13B ．13±C ．12±D ．19【来源】江苏省无锡市八校联盟2020-2021学年高三上学期第三次适应性检测数学试题 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ）A ．1B ．2C ．1D ．22.（2020南充模拟）已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 13．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程 【例3】已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的直线与该抛物线相交于A ，B 两点，点M 是线段AB 的中点，以AB 为直径的圆与y 轴相交于P ，Q 两点，若2AF FB =，则sin MPQ ∠=（ ） A ．59B ．37C ．917D ．513【来源】山西省太原市2021届高三一模数学（理）试题 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为,A B ，直线l 过A 点且与x 轴垂直，P 为直线l 上的任意一点，若122AB F F =，则12F PF ∠的取值范围是（ ） A ．[0,]6πB ．[0,]4πC ．[0,]3πD ．7[0,]12π【来源】数学-学科网2021年高三5月大联考（广东卷） 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52⎫-⎪⎪⎝⎭ B ． 52⎛- ⎝⎭ C ． 51⎛- ⎝⎭ D ． 51⎫-⎪⎪⎝⎭2.已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞ 类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【举一反三】已知,A B 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点，点A 在第一象限且3AF FB =，以AB 为直径的圆与准线的公共点为C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．1B ．43C ．3D ．233【来源】四川省宜宾市2021届高三二模（理科）试题三．强化训练一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ）5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．6.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =±C ． 62y x =± D ． 6y x =± 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ． 9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．23 B ．4 C ．43 D ．811．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3B ．23C ．2D ．-312.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，点P 是双曲线C 右支上异于顶点的点，点H 在直线x a =上，且满足1212PF PF PH PF PF λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，R λ∈.若125430HP HF HF →++=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第三次联考理科数学试题14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左､右顶点分别为,A B 点,P Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，且直线PQ 经过点F .如果M 是线段FQ 上靠近点Q 的三等分点，E 在y 轴的正半轴上，且E A M ,,三点共线，,,P E B 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．26D ．6【来源】河南省安阳市2021届高三一模数学（文）试题15．已知点F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 的直线l 与曲线C 的一条渐近线垂直，垂足为N ，与C 的另一条渐近线的交点为M ，若3MN FN =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ） A ．233B ．62C ．2D ．5【来源】贵州省毕节市2021届高三三模数学（文）试题16．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________17．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________．18．（2020·北京高考模拟（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点O （0，0），M （-4，0），N （4，0），P （0，-2），Q （0，2），H （4，2）．线段OM 上的动点A 满足()()01OA OM λλ=∈，；线段HN 上的动点B 满足HB HN λ=．直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k'，则k•k'的值为______；当λ变化时，动点L 一定在______（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．19．（2020·江苏高考模拟）已知点()0,5Q ，若P R 、分别是22:4O x y +=和直线34y x =上的动点，则QP QR +的最小值为_____.20．（2020·湖南长沙一中高考模拟（理））设F 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过F且斜率为ab的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且||2||AF BF =，则双曲线C 的离心率为________.21．（2020·河南高考模拟（理））物线22(0)x py p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足60AFB ∠=，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则AB CD的最小值为22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的一条渐近线交于B 点，且1BA AF =，若12BF F △是等腰三角形，且12cAF =，则双曲线C 的离心率为___________.【来源】湖南省2021届高三下学期4月联考数学试题23．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，以双曲线E 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为过双曲线E 的右焦点F 作双曲线E 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另一条渐近线交于点B ，若FA AB =，则双曲线E 的标准方程为___________．【来源】文科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）24．已知抛物线24y x =，斜率小于0的直线l 交抛物线于()1,2A 、B 两点，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足2QC CP =，则直线OP 的斜率的最大值为________．【来源】江西省重点中学盟校2021届高三第二次联考数学（理）试题25．如图，已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴相交于点A ，点Q （Q 在第一象限）在抛物线C 上，射线FQ 与准线l 相交于点B ，2BQ QF =，直线AQ 与抛物线C 交于另一点P ，则||||||||PQ BP AQ PF +=________．【来源】甘肃省金昌市2021届高三第二次联考理科数学试题。
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(原卷版)
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF 1F 2是以为F 1F 2斜边的直角三角形．由此设运用勾股定理算出与，得到结论．【举一反三】1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 321,4⎛ ⎝⎦C ． 324⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥u u u r u u u r系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ． 51+ C ． 5 D ． 15+【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值． 【举一反三】1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．2.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =u u u r ，把AB u u u r绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+u u u r，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -= D ． 221y x -=【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】【广东省江门市2019届高考一模】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化【例4】【福建省莆田市2019届高三下学期检测】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】本题主要结合题意，绘制图形，利用抛物线的性质，建立方程，将几何问题代数化，计算p 值.求解此类问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．【举一反三】已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=u u u v u u u v u u u u v，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 32y x =±B ． 3y x =C ． 62y x =± D ． 6y x =类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b a c =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查． 【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,1⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B ． 520,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答． 【举一反三】【上海市闵行区七宝中学2019届高三3月月考】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.三．强化训练 一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=u u u v u u u v u u u v，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．【山东省烟台市2019届高三高考一模】已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ）A ．12B ．C ．24D ．3．【贵州省2019年高考适应】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．【广西壮族自治区柳州市2019届3月模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．【山东师范大学附属中学2019届高三四模】已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是 A ．B ．2C ．D ．26．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．7．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A．-2 B．1 C．4 D．9．【江西省南昌市2019届高三一模】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．10．【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．11.【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研】已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、填空题12．【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________13．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．14．【福建省永安市第三中学2019届高三4月测试】已知分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.15．【贵州省2019年高考适应】抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.16．【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．17．【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.。
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向量与解析几何交汇例题解析上海市新场中学 周青教学内容：1.会用向量法解决解析几何问题2.会解决与向量有关的解析几何问题教学目标：1．灵活运用平面向量的运算的几何意义及圆锥曲线的定义； 2．掌握平面向量的坐标运算及解析几何的基本解题方法；3．通过运用向量解题，培养学生生善于思考、乐于探究、敢于创新的思想品质。
教学重点：平面向量的运算的几何意义及坐标运算 教学难点：灵活运用平面向量处理解析几何问题。
教学过程：向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是高考命题改革的发展方向和创新的趋势之一。
有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
上海二期课改教材注重于虽然利用向量解决解析几何问题，但课本上例题还不是很多，因此学生对于利用向量解决解析几何问题的能力还不高，本节课通过将向量与解析几何相结合处理问题，旨在使学生树立并增强应用向量的意识和能力。
回归课本引例：（高二课本例题）已知椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，椭圆上的点P 的坐标(,)P P x y ，且∠F 1P F 2为钝角，求P x 点P 横坐标的取值范围解：因为点(,)P P P x y 在椭圆上，所以22449P Py x =-焦点12(F F ，1,)P P PF x y =--（，25,)P P PF x y =-（ 21PF F ∠ 为钝角∴ 12,),)0P P P P PF PF x y x y ⋅-⋅-<=（化简得225P P x y +<224459P P x x +-< 得259Px <解得：P x <<∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-）例题1：已知常数0m > ，向量(0,1),(,0)a b m = =，经过点(,0)A m ，以a b λ+为方向向量的直线与经过点(,0)B m -，以4b a λ-为方向向量的直线交于点P ，其中R λ∈．求点P 的轨迹解：∵(,)a b m λλ+=，∴ 直线AP 方程为λ()y x m m=-；……① 又4(,4)b a m λλ-=-, ∴ 直线NP 方程为4()y x m m λ=-+；……② 由①、②消去λ得 22224()y x m m=--，即 22214x y m +=． 故当2m =时，轨迹E 是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：224x y +=；当2m >时，轨迹是以原点为中心，以2(4,0)m -为焦点的椭圆： 当02m <<时，轨迹是以中心为原点，焦点为2(0,4)m -的椭圆．例题2(20XX 年全国高考Ⅱ·理科·12题)．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3例题3：已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心变式训练1、（20XX 年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()AB ACOP OA AB ACλ=++，)0λ⎡⎣∈∞，＋，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心变式训练2：已知ABC ∆的三个顶点的坐标是(1,2)A ，(3,1)B --，(9,6)C -，求ABC ∠的平分线的方程。
解：(4,3)BA = ，(12,5)BC =-，单位向量43(,)55BA BA =，125(,)1313BC BC=-， 向量11214(,)6565BA BCn BABC=+=是角B 平分线的一个方向向量，于是角B 平分线点方向式方程是：31112146565x y ++=，化简得到：角B 平分线方程为850x y --=。
例题4：如图：ABC ∆中，,AB a AC b ==，M 是ABC ∆内部一点，且,(,)AM pa qb p q R =+∈，求点(,)p q 在直角坐标系中所围成区域的面积。
解：因为M 是ABC ∆内部一点，必有0,0p q >>，设D 是直线AM 与BC 的交点，设 ()(1)AD a BD a BC a b a a b λλλλ=+=+=+-=-+， 又 AM pa qb =+∵//AD AM ，∴有1p q λλ-=，得到qp qλ=+ ∴11()p q AD a b pa qb AM p q p q p q p q=+=+=++++，即()AM p q AD =+ ∵M 是ABC ∆内部一点，所以1p q +<∴点(,)p q 在区域001p q p q >⎧⎪>⎨⎪+<⎩内，其面积为12。
例题5：（20XX 年高考全国卷改编题）给定抛物线C ：24y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点。
（1）设直线l 的斜率为k ， OA 与OB 的夹角能否为直角？证明你的结论。
（2）设直线l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小； （3）若BB l '⊥，垂足为B '，证明,,A O B '三点共线（4）设FB AF λ=，若[4,9]λ∈，求直线l 在y 轴上截距的变化范围。
（5）已知M 是直线l 与抛物线准线的交点，1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值。
解：（1）设直线l 的方称为：(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y24(1)y x y k x ⎧⎪⎨⎪⎩==-⇒22222(2)0k x k x k -++=，…………()*212224k x x k ++=，121x x =12121230OA OB x x y y x x =-=-<⋅=+，∴OA 与OB 的夹角为钝角，不可能是直角。
（2）l 的方程为.1-=x y将1k =代入方程()*得： 2610.x x -+= 则有 .1,62121==+x x x x3.OA OB ⋅=-21||||OA OB x ===(,)||||cos OA OB OA OB OA OB ⋅==⋅所以与夹角的大小为.41143arccos -π （3）11(,)OA x y =，21(,)OB y -'=若120,0y y ≠≠，∵121x x =，∴1121y x y ==-，即1121x y y =- ∴//OA OB ，∴,,A O B '三点共线若120,0y y ==，显然,,A O B '三点共线（4） 解法一： 由FB AF λ=得到：21211(1)(1)(2)x x y y λλ-=-⎧⎨=-⎩又 212212(3)1(4)24k x x kx x ⎧⎪⎨⎪= ⎩++=， 由(1)(3)(4)消去12,x x 得：224(1)k λλ=-，[4,9]λ∈22441(1)2k λλλλ==-+-，∵[4,9]λ∈，∴24916[,]11692k λλ=∈+- ⇒4334[,][,]3443k ∈--所以直线l 在y 轴上得截距4334[,][,]3443b k =-∈--解法二：由FB AF λ=可知：FB AF λ=⇒211(1)x x λ+=+，又211(1)x x λ-=- 即21211(1)1(1)x x x x λλ-=-⎧⎨+=+ ⎩⇒121x x λλ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以 2122124k x x k λλ=+++=⇒2412k λλ=+-，[4,9]λ∈，以下解法同解法一。
（5）解法一：由1MA AF λ=，2MB BF λ=得到1211221)1)(1(1x x x x λλ⎧⎪⎨⎪⎩+=-+=- 1212121212112(1)011(1)(1)x x x x x x x x λλ++-=+==----+ 所以120λλ=+解法二：由 1MA AF λ=，2MB BF λ=，⇒12MAAFMBBF λλ=-， 由MA AA MBBB '='，AF AA BFBB '='⇒120λλ=+学生课内外练习1、（20XX 年天津）已知常数0>a ，向量(0,)(1,0)c a ==，i ，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．试问：是否存在两个定点F E 、，使得PE PF +为定值，若存在，求出F E 、的坐标；若不存在，说明理由．2、如果把直线20x y c -+=沿向量()1,2a =-平移,所得直线与圆22240x y x +--=相切,则实数c 的值是多少？3、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos ()C B AB AC OP OA AB ACλ=++，)0λ⎡⎣∈∞，＋，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心4、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知)3,1(),1,3(-B A ，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )A. 01123=-+y xB. 5)2()1(22=-+-y xC. 02=-y xD. 052=-+y x5、已知点G 是△ABC 的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x 轴上有一点M ，满足|MA |=|MC |，GM AB =λ (λ∈R)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P ，Q ，且满足|AP |=|AQ |，试求k 的取值范围．6、在直角坐标平面中，ΔABC 的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,77(-A ，)0,77(B ，两动点N M ,满足MA +MB +MC =0，|NC |=7|NA |=7|NB |，向量与平行。
(1)求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；(2)若过点)1,0(P 的直线与(1) 轨迹相交于F E ,两点，求·的取值范围；7、已知两定点())12,F F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点，如果AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和ABC ∆的面积S ． 课时小结向量具有数形兼备的特点，成为了作为联系众多知识的桥梁，向量与三角、解析几何、立体几何的交汇是当今高考命题的必然趋势,本节课利用向量解决解析几何中有关轨迹、角平分线、平行、共线、角度、垂直以及综合应用等问题。