2020年重庆中考复习数学函数图象专题训练一(含答案)
（2）①∵b＝8，∴y＝|﹣x2+8x﹣7|﹣4，当 x＝﹣ 时，y＝ ；当 x＝4 时，y＝5；
∴m＝ ，n＝5；②如图所示：
（3）函数关于 x＝4 对称；
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（4）当 ，|﹣x2+8x﹣7|＝m+4 有四个根，
解（1）当 x＝0 时，y＝﹣2+2+3＝3，即 m＝3， 当 x＝3 时，y＝﹣0.5+1+3＝3.5，即 n＝3.5 （2）图象如图所示：
（3）图象关于直线 x＝2 对称
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（4）∵﹣ （x﹣2）2+|x﹣2|+3＝k 有 3 个不相等的实数根，即函数 y＝﹣ （x﹣2）2+|x﹣2|+3 图象与
y＝k 图象有三个交点，由图象得，k＝3． 2、（2019 秋•北碚区校级月考）已知关于 x 函数 y＝|﹣x2+bx﹣7|﹣4，点（4，5）在函数上，且 b 为整数，
根据我们已有的研究函数的经验，请对该函数及其图象进行如下探究，并完成以下问题：
（1）求 b＝ 8 ； （2）函数图象探究：
①下表是 y 与 x 的几组对应值，请直接写出 m 与 n 的值：m＝
；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质
；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线 y＝k 与函数 y＝a|x2+bx|+c 有三个交点，则 k＝ ；
②已知函数 y＝x﹣3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 a|x2+bx|+c≤x﹣3 的解
集：
图1
（3）请结合所画函数图象，写出函数图象的一条性质； （4）解决问题：若函数y1 与y2 2a 2 至少有2 个交点，求a 的取值范围．
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4、（2019•九龙坡区模拟）小明研究一函数的性质，下表是该函数的几组对应值：
x
… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
5、（2019 秋•包河区校级月考）有这样一个问题：探究函数 y＝x+|x﹣2|的图象与性质
小明根据学习函数的经验，对函数 y＝x+|x﹣2|的图象与性质进行了探究
下面是小明的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当 x≥2 时，y＝ ；当 x＜2 时，y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在图 1 的坐标系中画出函数 y＝x+|x﹣2|的图象；
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质； （4）结合你所画的函数图象，直接写出不等式﹣|x2﹣4|＞x﹣2 的解集．
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2、（2019 秋•万州区校级月考）已知函数 y＝ +b（a、b 为常数且 a≠0）中，当 x＝2 时，y＝4；当 x
＝﹣1 时，y＝1．请对该函数及其图象进行如下探究：
②直线 y＝kx 与函数图象有三个交点，则 k＝
．
（3）结合你所画的图象与函数 y＝x﹣1 的图象，直接写出不等式 x2+bx+2﹣c|x﹣1|≥x﹣1 的解集．
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4、（2018 春•长安区期末）请根据学习函数的经验，对函数 y＝|x|+1 的图象与性质进行探究．
（1）在函数 y＝|x|+1 中，自变量 x 的取值范围是
x …﹣ 0
1 2 3 4 5 6 77
88 …
y …m 3
﹣4 1 4 n 4 1 ﹣4
35
…
②根据你喜欢的方式，在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数图象；
（3）结果函数图象，写出该函数的一条性质：
；
（4）若关于 x 的方程|﹣x2+bx﹣7|＝m+4 有四个根，则 m 的取值范围为
．
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6、（2019 秋•沙坪坝区校级月考）小新对函数 y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自 变量 x 的值为 0 或 4 时，函数值都为﹣3；当自变量 x 的值为 1 或 3 时，函数值都为 0．探究过程如下， 请补充完整．
（1）这个函数的表达式为
1
2
3…
y … ﹣2 ﹣
m2
1
2
1 ﹣ ﹣2 …
其中 m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出
该函数的图象；
（3）根据函数图象，写出：
①该函数的一条性质
；
②直线 y＝kx+b 经过点（﹣1，2），若关于 x 的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b 有 4 个互不相等的实数根，则 b
+b≥2x
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3、（2019 秋•南岸区校级期中）根据我们学习函数的过程与方法，对函数 y＝x2+bx+2﹣c|x﹣1|的图象和性
质进行探究．已知该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点．
（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中：
①请用你喜欢的方法补全这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（1）求该函数的解析式，并直接写出该函数自变量 x 的取值范围； （2）请在下列直角坐标系中画出该函数的图象；列表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0
1 2 3 4 5 6 ……
y… 描点连线：
……
（3）请结合所画函数图象，写出函数图象的两条性质； （4）请你在上方直角坐标系中画出函数 y＝2x 的图象，结合上述函数的图象，写出不等式 的解集．
2020 年重庆中考复习数学函数图象专题训练一（含答案）
类型一：函数图象与直线 y＝k 有几个不等实数根的问题
1、（2019 春•南岸区校级月考）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数 y＝﹣ （x﹣2）2+|x
﹣2|+3 的图象和性质． （1）下表是该函数 y 与自变量 x 的几组对应值；
．
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2、（2019 秋•北碚区校级月考）已知关于 x 函数 y＝|﹣x2+bx﹣7|﹣4，点（4，5）在函数上，且 b 为整数， 根据我们已有的研究函数的经验，请对该函数及其图象进行如下探究，并完成以下问题：
（1）求 b＝
；
（2）函数图象探究：①下表是 y 与 x 的几组对应值，请直接写出 m 与 n 的值：m＝ ，n＝ ；
；
③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质；
（4）如图，若直线 l：y1＝2x﹣1 与函数 y＝|x|+1 的图象有交点，请求出交点坐标，并直接写出当 y1≥y 时 x 的取值范围．
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5、（2019 秋•南岸区校级月考）已知 y＝|2x+4|+kx，当 x＝1 时，y＝5． （1）求这个函数的表达式 （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性 质； （3）已知函数 y＝ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|2x+4|+kx≥ 的解集．
0 ﹣1 0
3
0 ﹣3 ﹣6 …
（1）在平面直角坐标系中，描出以上表格中的各点，根据描出的点，画出该函数图象
（2）根据所画函数图象，写出该函数的一条性质：
；
（3）根据图象直接写出该函数的解析式及自变量的取值范围：
；
（4）若一次函数 y＝ x+n 与该函数图象有三个交点，则 n 的范围是
．
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类型二：函数 y1 y2 求 x 的范围问题
1、（2019 秋•巴南区期中）小明对函数 y＝﹣|x2﹣4|的图象和性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
0
﹣3
n
﹣3
0
﹣5
…
（1）求表中 m，n 的值； （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的图象；
x
…
﹣2
0
1
2
3
4
6
…
y
…
﹣1
m
3.5
3
n
3
﹣1
…
其中，m 的值为 ，n 的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函 数图象；
（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质
；
（4）若关于 x 的方程﹣ （x﹣2）2+|x﹣2|+3＝k 有 3 个不相等的实数根，则 k 的值为
（3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：
；
（4）结合画出的函数图象，利用图 2 解决问题，若关于 x 的方程 ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根，直接写
出实数 a 的取值范围：
．
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6、（2019 春•南岸区校级月考）小邱同学根据学习函数的经验，研究函数 y＝
的图象与性质．通
过分析，该函数 y 与自变量 x 的几组对应值如下表，并画出了部分函数图象如图所示．
x1
3 4 5 6…
y ﹣1 ﹣2 ﹣3.4 ﹣7.5 2.4 1.4 1 0.8 …
（1）函数 y＝
的自变量 x 的取值范围是
；
（2）在图中补全当 1≤x＜2 的函数图象；
（3）观察图象，写出该函数的一条性质：
2020年重庆中考二次函数最值专题训练(含答案)
2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。
重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)
重庆市合川区第一中学2020 年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数1、已知二次函数y=ax 2﹣ 2ax+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点C，它的极点为P，直线 CP与过点 B 且垂直于x 轴的直线交于点D，且CP： PD=2： 3（1）求 A、 B 两点的坐标；（2）若 tan ∠ PDB= ，求这个二次函数的关系式．2、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C（ 0，﹣ 6），与 x 轴的一个交点坐标是 A （﹣ 2， 0）．（1）求二次函数的分析式，并写出极点 D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当y ＜ 0 时，求 x 的取值范围．3、如图，已知抛物线y= ﹣ x2+mx+3与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为（3， 0）（1）求 m的值及抛物线的极点坐标．（2）点 P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P 的坐标．4、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3（ a≠ 0）的极点为E，该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点C，且 BO=OC=3AO，直线 y=﹣x+1 与 y 轴交于点D．（1）求抛物线的分析式；（2）证明：△ DBO∽△ EBC；（3）在抛物线的对称轴上能否存在点 P，使△ PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出切合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明原因．5、课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2．我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：（1）若 AB为 1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过计算说明．6、正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．（1）成立适合的平面直角坐标系，①直接写出 O、P、 A 三点坐标；②求抛物线 L 的分析式；（2）求△ OAE与△ OCE面积之和的最大值．[ 根源 :]7、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠ 0）与x 轴交于点A（﹣ 5， 0）和点B（3， 0），与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）若点 E 为 x 轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点 E 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，抛物线上能否存在点P，使∠BAP=∠ CAE？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明原因．8、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）经过 A（﹣ 1，0）、B（ 3，0）、C（ 0，﹣ 3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；l 上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出全部切合条件的点M （3）点M也是直线的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1 经过点A（ 4，﹣ 3），极点为点B，点 P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于y 轴的直线，过P 作PH⊥ l ，垂足为 H，连结PO．（1）求抛物线的分析式，并写出其极点 B 的坐标；（2）①当P 点运动到 A 点处时，计算： PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞” 、“＜”或“=”）；②当 P 点在抛物线上运动时，猜想PO与 PH有什么数目关系，并证明你的猜想；（3）如图 2，设点 C（ 1，﹣ 2），问能否存在点 P，使得以 P，O，H为极点的三角形与△ ABC 相像？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明原因．10 、如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ， 0 ），与 y 轴交于 C （ 0 ，﹣ 2 ）．（1 ）求抛物线的解析式；（2 ） H 是 C 关于 x 轴的对称点， P 是抛物线上的一点，当△ PBH 与△ AOC 相似时，求符合条件的 P 点的坐标（求出两点即可）；（3 ）过点 C 作 CD∥ AB， CD 交抛物线于点 D，点 M 是线段 CD 上的一动点，作直线 MN 与线段 AC 交于点 N，与 x 轴交于点 E，且∠ BME=∠ BDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐标．11、如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点A 的坐标为（﹣ 1， 0）（1）求抛物线的分析式；（2）直接写出 B、 C 两点的坐标；（3）求过 O， B， C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的极点坐标为（﹣，）12、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图搁置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1， 0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，获得平行四边形A′B′ OC′．（1）若抛物线经过点C、 A、A′，求此抛物线的分析式；（2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在哪处时，△ AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（ 1， 0），当 P、N、 B、 Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+2 过 B（﹣ 2， 6）， C（ 2， 2）两点．（1）试求抛物线的分析式；（2）记抛物线极点为 D，求△ BCD的面积；（3）若直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、 C）部分有两个交点，求 b 的取值范围．14、如图 1（注：与图 2 完整同样），二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A（ 3，0），B （﹣ 1， 0）两点，与y 轴交于点C．（1）求该二次函数的分析式；（2）设该抛物线的极点为 D，求△ ACD的面积（请在图 1 中探究）；（3）若点 P， Q同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到 t 秒时，△ APQ沿 PQ所在的直线翻折，点 A 恰巧落在抛物线上 E 点处，请直接判断此时四边形 APEQ的形状，并求出 E 点坐标（请在图 2 中探究）．15、如图，矩形的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 10， 8），沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC上的 E 处， E 点坐标为（ 6，8），抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、 E 三点．（1）求此抛物线的分析式；（2）求 AD 的长；（3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标．16、如图，抛物线 L： y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B（ 3， 0）两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C（ 0， 3），已知对称轴 x=1．（1）求抛物线L 的分析式；（2）将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△OBC内（包含△OBC的界限），求 h 的取值范围；（3）设点 P 是抛物线L 上任一点，点Q在直线 l ：x=﹣ 3 上，△ PBQ可否成为以点P 为直角极点的等腰直角三角形？若能，求出切合条件的点P 的坐标；若不可以，请说明原因．参照答案 :1、解：（ 1）过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，∵y=ax 2﹣ 2ax+c ，∴该二次函数的对称轴为： x=1，∴O E=1∵OC∥ BD，∴CP： PD=OE：EB，∴OE： EB=2： 3，∴E B= ，∴O B=OE+EB=，∴B（，0）∵A 与 B 对于直线x=1 对称，∴A（﹣，0）；（2）过点 C 作 CF⊥ BD于点 F，交 PE于点 G，令 x=1 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，∴y=c ﹣ a，令 x=0 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，∴y=c∴P G=a，∵CF=OB= ，∴t an ∠ PDB= ，∴F D=2，∵PG∥ BD∴△ CPG∽△ CDF，∴= =∴PG= ，∴a=，∴y= x2﹣ x+c ，把 A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c， [ 根源 : ]∴解得： c=﹣ 1，∴该二次函数分析式为：y= x2﹣x﹣ 1．2、解：（ 1）∵把 C（ 0，﹣ 6）代入抛物线的分析式得：C=﹣6，把 A（﹣ 2，0）代入 y=x 2+bx ﹣6得： b=﹣ 1，∴抛物线的分析式为 y=x 2﹣ x﹣6．∴y= （ x﹣）2﹣．∴抛物线的极点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（ x+2）2﹣．令 y=0 得：（ x+2）2﹣=0，解得： x1=，x2=﹣．∵a＞ 0，∴当 y＜ 0 时， x 的取值范围是﹣＜x＜．3、解：（ 1）把点 B 的坐标为（ 3， 0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得： 0=﹣ 32 +3m+3，解得： m=2，∴y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴极点坐标为：（ 1， 4）．（2）连结 BC交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC的值最小，设直线 BC的分析式为： y=kx+b ，∵点 C（ 0， 3），点 B（ 3，0），∴，解得：，∴直线 BC的分析式为：y= ﹣x+3，当x=1 时， y=﹣1+3=2，∴当 PA+PC的值最小时，求点P 的坐标为：（1， 2）．4、解：（ 1）∵抛物线y=ax2 +bx﹣ 3，∴c= ﹣ 3，∴C（ 0，﹣ 3），∴O C=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3， AO=1，∴B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0），∵该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，∴，∴，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 2x﹣3，（2）由（ 1）知，抛物线分析式为 y=x2 ﹣2x﹣ 3=（ x﹣ 1）2﹣4，∴E（ 1，﹣ 4），∵B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0）， C（ 0，﹣3），∴BC=3 ， BE=2 ，CE= ，∵直线 y=﹣ x+1 与 y 轴交于点 D，∴D（ 0， 1），∵B（ 3， 0），∴O D=1， OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△ BCE∽△ BDO，（3）存在，原因：设P（ 1，m），∵B（ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△ PBC是等腰三角形，①当 PB=PC时，∴=，∴m=﹣ 1，∴P（ 1，﹣ 1），②当 PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（ 1，）或P（1，﹣），③当 PC=BC时，∴3 = ，∴m=﹣ 3±，∴P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣），∴切合条件的P点坐标为 P（ 1，﹣ 1）或 P（ 1，）或 P（ 1，﹣）或 P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣）5、解：（ 1）由已知可得： AD= ，则 S=1×2 m，（2）设 AB=xm，则 AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当 x= m时，且 x= m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．6、解：（ 1）以 O点为原点，线段OA所在的直线为x 轴，线段OC所在的直线为y 轴成立直角坐标系，以下图．①∵正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，∴点 O的坐标为（ 0， 0），点 A 的坐标为（ 4， 0），点 P 的坐标为（ 2，2）．②设抛物线L 的分析式为y=ax 2+bx+c ，∵抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，∴有，解得：，∴抛物线L 的分析式为y=﹣+2x．（2）∵点 E 是正方形内的抛物线上的动点，∴设点 E 的坐标为（ m，﹣+2m）（ 0 ＜ m＜ 4），∴S +S = OA?y + 2 2OC?x =﹣m+4m+2m=﹣（ m﹣ 3） +9，△ OAE OCE E E∴当 m=3时，△ OAE与△ OCE面积之和最大，最大值为9．7、解：（1）把 A、 B 两点坐标代入分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y= x2+x﹣ 5；2（2）在 y= x + x﹣ 5 中，令 x=0 可得 y=﹣ 5，∴C（ 0，﹣ 5），∵S△ABE=S△ABC，且 E 点在 x 轴下方，∴E 点纵坐标和 C 点纵坐标同样，当 y=﹣ 5 时，代入可得x2+ x=﹣ 5，解得 x=﹣ 2 或 x=0（舍去）， [ 根源 : ] ∴E 点坐标为（﹣2，﹣ 5）；（3）假定存在知足条件的 P 点，其坐标为（ m， m2+ m﹣ 5），如图，连结 AP、CE、 AE，过 E 作 ED⊥ AC于点 D，过 P作 PQ⊥ x 轴于点 Q，则 AQ=AO+OQ=5+m，PQ=| m2+m﹣ 5| ，在 Rt △ AOC中， OA=OC=5，则 AC=5，∠ ACO=∠ DCE=45°，由（ 2）可得 EC=2，在 Rt △ EDC中，可得 DE=DC=，∴AD=AC﹣ DC=5﹣=4，当∠ BAP=∠ CAE时，则△ EDA∽△ PQA，∴=，即=，∴2（ 5+m）或2m+ m﹣5= m+ m﹣ 5=﹣（5+m），当2m﹣5= （ 5+m）时，整理可得2或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m﹣ 5m﹣ 75=0，解得 m=舍去），当2m﹣5=﹣（ 5+m）时，整理可得2或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m+11m﹣ 45=0，解得 m=舍去），8、解：（ 1）将 A（﹣ 1， 0）、B（ 3， 0）、 C（ 0，﹣ 3）代入抛物线y=ax2 +bx+c 中，得：，解得：故抛物线的分析式：y=x2﹣ 2x﹣3．（2）当 P 点在 x 轴上， P，A，B 三点在一条直线上时，点P 到点 A、点 B的距离之和最短，此时 x=﹣=1，故 P（ 1， 0）；（3）以下图：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设 M（ 1， m），已知 A（﹣ 1， 0）、C（ 0，﹣3），则：22222 2MA=m+4，MC=（ 3+m） +1=m+6m+10， AC=10；2 2①若 MA=MC，则 MA=MC，得：2 2m+4=m+6m+10，解得： m=﹣ 1，2 2②若 MA=AC，则 MA=AC，得：2m+4=10，得： m=±；2 2③若 MC=AC，则 MC=AC，得：2m+6m+10=10，得： m1=0，m2=﹣ 6；当 m=﹣ 6 时， M、 A、 C 三点共线，构不可三角形，不合题意，故舍去；综上可知，切合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．9、（ 1）解：∵抛物线y=ax2 +1 经过点 A（ 4，﹣ 3），∴﹣ 3=16a+1，∴a=﹣， [ 根源 : 学 , 科 , 网 Z,X,X,K]∴抛物线分析式为y=﹣x2+1，极点 B（ 0， 1）．（2）①当 P 点运动到 A 点处时，∵ PO=5， PH=5，∴PO=PH，故答案分别为 5， 5， =．②结论： PO=PH．原因：设点 P 坐标（ m，﹣ m2+1），∵PH=2﹣（﹣m2+1） =m2+1PO=2 = m+1，∴PO=PH．（3）∵ BC==，AC==，AB==4 ∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以 P， O， H为极点的三角形与△ABC相像，∴PH与 BC， PO与 AC是对应边，∴=，设点P（m，﹣m2+1），∴=，解得 m=± 1，∴点 P 坐标（ 1，）或（﹣1，）．10 、解：（ 1 ）∵抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 4 ， 0），∴设抛物线的解析式为： y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），把（ 0 ，﹣ 2 ）代入 y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），∴a= ，∴抛物线的解析式为： y= x 2﹣x ﹣ 2 ；（2 ）当△ PBH 与△ AOC 相似时，∴ △ AOC 是直角三角形，∴ △ PBH 也是直角三角形，由题意知： H（ 0 ，2 ），∴ OH=2，∵ A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ，0 ），∴ OA=1， OB=4 ，∴∵ ∠ AOH=∠ BOH，∴ △ AOH∽ △ BOH，∴ ∠ AHO=∠ HBO，∴ ∠ AHO+∠ BHO=∠ HBO+∠ BHO=90 °，∴ ∠ AHB=90 °，设直线 AH 的解析式为： y=kx+b，把A（﹣ 1 ， 0 ）和 H（ 0 ， 2 ）代入 y=kx+b ，∴，∴ 解得，∴直线 AH 的解析式为： y=2x+2，联立，解得： x=1或x=﹣8，当x= ﹣ 1 时，y=0 ，当x=8 时，y=18∴ P 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ）或（ 8， 18 ）（ 3 ）过点 M 作 MF⊥ x 轴于点 F，设点 E 的坐标为（ n ， 0 ）， M 的坐标为（ m， 0 ），∵ ∠ BME=∠ BDC，∴ ∠ EMC+∠ BME=∠ BDC+∠ MBD，∴ ∠ EMC=∠ MBD，∵CD∥ x 轴，∴ D 的纵坐标为﹣ 2 ，令 y= ﹣ 2 代入 y= x 2﹣x ﹣ 2 ，∴ x=0或x=3，∴ D（ 3，﹣ 2 ），∵ B（ 4， 0），∴由勾股定理可求得： BD=，∵ M（ m， 0），∴MD=3﹣ m， CM=m（ 0 ≤ m≤ 3 ）∴由抛物线的对称性可知：∠ NCM=∠ BDC，∴△ NCM∽ △ MDB，∴，∴，∴ CN= =﹣（ m﹣）2+ ，∴当 m= 时， CN 可取得最大值，∴此时 M 的坐标为（，﹣ 2 ），∴ MF=2， BF= ， MD=∴由勾股定理可求得： MB= ，∵E（ n， 0），∴ EB=4 ﹣ n，∵CD∥ x 轴，∴ ∠ NMC=∠ BEM，∠ EBM=∠ BMD，∴ △ EMB∽ △ BDM，∴，∴MB2 =MD? EB，∴= ×（ 4 ﹣ n ），∴n= ﹣，∴ E 的坐标为（﹣， 0 ）．11、解：（ 1）由 A（﹣ 1， 0），对称轴为 x=2，可得，解得，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 4x﹣5；（2）由 A 点坐标为（﹣ 1，0），且对称轴方程为 x=2，可知 AB=6，∴OB=5，∴B 点坐标为（ 5， 0），∵y=x 2﹣ 4x﹣ 5，∴C 点坐标为（ 0，﹣ 5）；（3）如图，连结BC，则△ OBC是直角三角形，∴过 O、 B、 C 三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt △ OBC中， OB=OC=5，∴BC=5 ，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π．12、解：（ 1）∵平行四边形 ABOC绕点 O顺时针旋转 90°，获得平行四边形 A′ B′OC′，且点 A 的坐标是（ 0， 4），∴点 A′的坐标为：（ 4， 0），∵点 A、 C的坐标分别是（0， 4）、（﹣ 1， 0），抛物线经过点C、 A、 A′，设抛物线的分析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的分析式为：y=﹣ x2+3x+4；（2）连结 AA′，设直线AA′的分析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线 AA′的分析式为：y=﹣ x+4，设点 M的坐标为：（ x，﹣ x2+3x+4），则S△AMA′= × 4×[ ﹣ x2+3x+4﹣（﹣ x+4） ]= ﹣ 2x2+8x=﹣2（ x﹣ 2）2+8，S△AMA′ =8，∴当 x=2 时，△ AMA′的面积最大，最大值∴M的坐标为：（2， 6）；（3）设点 P 的坐标为（ x，﹣ x2+3x+4），当 P， N， B， Q构成平行四边形时，∵平行四边形 ABOC中，点 A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），∴点 B 的坐标为（ 1， 4），∵点 Q坐标为（ 1， 0）， P 为抛物线上一动点， N为 x 轴上的一动点，①当 BQ为边时， PN∥ BQ， PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣ x2+3x+4= ± 4，当﹣ x2+3x+4=4 时，解得： x1=0， x2=3，∴P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）；2 ﹣ 4 时，解得： x = ， x = ，当﹣ x +3x+4=3 2∴P3（，﹣ 4）， P4（，﹣ 4）；②当 PQ为对角线时， BP∥ QN， BP=QN，此时 P 与 P ， P 重合；1 2综上可得：点P 的坐标为： P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）， P3（，﹣ 4）， P4（，﹣4）；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0， 0）或（ 3， 0）．13、解：（ 1）由题意解得，∴抛物线分析式为y=x2﹣ x+2．（2）∵ y= x2﹣ x+2= （ x﹣1）2+ ．∴极点坐标（1，），∵直线 BC为 y=﹣ x+4，∴对称轴与BC的交点 H（ 1， 3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=?3+?1=3．（3）由消去y获得x2﹣x+4﹣2b=0，当△ =0 时，直线与抛物线相切，1﹣ 4（ 4﹣2b） =0，∴b= ，当直线 y=﹣x+b 经过点 C 时， b=3，当直线 y=﹣x+b 经过点 B 时， b=5，∵直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤ 3．[ 根源 : ZXXK]14、解：（ 1）∵二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（﹣ 1， 0），∴，解得：，∴y= x2﹣ x﹣ 4；（2）过点 D 作 DM⊥ y 轴于点 M，∵y= x2﹣x﹣ 4=（x﹣1）2﹣，∴点 D（ 1，﹣）、点C（0，﹣4），则S△ACD=S 梯形AOMD﹣ S△CDM﹣ S△AOC= ×（ 1+3）×﹣×（﹣4）× 1﹣× 3× 4=4；（3）四边形APEQ为菱形， E 点坐标为（﹣，﹣）．原因以下如图 2， E 点对于 PQ与 A 点对称，过点Q作， QF⊥ AP于 F，∵A P=AQ=t， AP=EP， AQ=EQ∴A P=AQ=QE=EP，∴四边形 AQEP为菱形，∵FQ∥ OC，∴== ，∴==∴AF= t ， FQ= t ?∴Q（ 3﹣t ，﹣t ），∵E Q=AP=t，∴E（ 3﹣t ﹣ t ，﹣t ），∵E 在二次函数y= x2﹣x﹣ 4 上，∴﹣t=（3﹣t ）2﹣（3﹣t ）﹣ 4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴E（﹣，﹣）．15、解：（ 1）∵四边形ABCD是矩形， B（ 10， 8），∴A（ 10， 0），又抛物线经过A、 E、 O三点，把点的坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线的分析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知： AD=DE，BE=10﹣ 6=4， AB=8，设AD=x，则 ED=x， BD=AB﹣ AD=8﹣ x，在 Rt △ BDE中，由勾股定理可知2 2 2 2 2 2，解得 x=5，ED=EB+BD，即 x =4 +（ 8﹣ x）∴AD=5；（3）∵ y=﹣∴其对称轴为x2+x=5，x，∵A、 O两点对于对称轴对称，∴PA=PO，当P、 O、 D 三点在一条直线上时， PA+PD=PO+PD=OD，此时△ PAD的周长最小，如图，连结 OD交对称轴于点 P，则该点即为知足条件的点 P，由（ 2）可知 D点的坐标为（10， 5），设直线 OD分析式为y=kx ，把 D 点坐标代入可得5=10k，解得 k=，∴直线 OD分析式为y= x，令x=5，可得 y= ，∴P 点坐标为（ 5，）．16、解：（ 1）∵抛物线的对称轴x=1， B（3， 0），∴A（﹣ 1， 0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 C（ 0，3）∴当 x=0 时， c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）∴，∴∴抛物线的分析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC分析式为y= ﹣x+3，∵y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴极点坐标为（ 1， 4）∵对于直线BC：y=﹣ x+1，当 x=1 时， y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度， [ 根源 : 学 * 科*网 ]∴当 h=2 时，抛物线极点落在BC上；当 h=4 时，抛物线极点落在OB上，∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△的界限），OBC内（包含△OBC则 2≤ h≤ 4；（3）设 P（ m，﹣ m2+2m+3）， Q（﹣ 3， n），①当 P 点在 x 轴上方时，过 P 点作 PM垂直于 y 轴，交 y 轴与 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP 的延伸线于 N 点，以下图：∵B（ 3， 0），∵△ PBQ是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形，∴∠ BPQ=90°， BP=PQ，则∠ PMQ=∠ BNP=90°，∠ MPQ=∠ NBP，在△ PQM和△ BPN中，，∴△ PQM≌△ BPN（ AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=﹣ m2+2m+3，依据 B 点坐标可得PN=3﹣m，且 PM+PN=6，重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)2∴﹣ m+2m+3+3﹣ m=6，解得： m=1或 m=0，∴P（ 1， 4）或 P（ 0， 3）．②当 P 点在 x 轴下方时，过 P 点作 PM垂直于 l 于 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP的延伸线与N 点，同理可得△ PQM≌△ BPN，∴PM=BN，2∴PM=6﹣（ 3﹣m） =3+m， BN=m﹣2m﹣ 3，2则 3+m=m﹣ 2m﹣ 3，解得 m=或．∴P（，）或（，）．综上可得，切合条件的点P 的坐标是（ 1，4），（ 0，3），（，）和（，）．。
重庆市第一一〇中学2020年九年级数学函数综合复习测试卷(含答案)
函数综合复习测试卷一、选择题（48分）1.下列函数关系式中：；；；；；表示一次函数的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.3.函数中自变量x 的取值范围是A. B. 且 C. D. 且4.若反比例函数的图象经过点，则k 的值为A. 5B.C. 6D.5.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20min到一个离家900m的报亭看10min报纸后，用15min返回家里，图中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是A. B.C. D.6.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是A. B. C. D.7.如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；其中，正确的结论是A.B.C.D.8.x 0 1 3y 1 3 1下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为；当时，函数值y随x 的增大而增大；方程有一个根大于其中正确的结论有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB，BC分别相交于M，N两点．的面积为若动点P在x轴上，则的最小值是A.B. 10C.D.10.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：、b同号；当和时，函数值相等；；当时，其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.如图，在平面直接坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中根据这个规律，则第2016个点的横坐标为A. 44B. 45C. 46D. 4712.一次函数与的图象之间的距离等于3，则b的值为A. 或4B. 2或C. 4或D. 或6二、填空题（24分）13.抛物线的顶点坐标是______．14.将抛物线向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是______．15.如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是______．16.如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是______．17.若函数是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限．18.如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x 轴上，若的面积为1，则k的值为______．三、解答题（78分）19.设一次函数的图象经过、两点，求此函数的解析式．20.若二次函数的图象经过和两点，求此二次函数的表达式．21.如果二次函数的图象过点，求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．22.已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，试确定m的取值范围．23.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的交点．求反比例函数和一次函数的解析式；求的面积．直接写出一次函数值大于反比例函数值时的x的取值范围24.已知一次函数图象经过点两点．求一次函数解析式．若图象与x轴交与点A，与y轴交与点B，求出点A、B的坐标，并画出图象。
2020年中考数学一轮复习二次函数专练(50题)含答案
2020年中考数学一轮复习二次函数专练（50题）含答案一、选择题（共20题）1.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和反比例函数的图象大致是（）A. B. C. D.2.把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（）A. 向左平移个单位，再向下平移个单位B. 向左平移个单位，再向上平移个单位C. 向右平移个单位，再向上平移个单位D. 向右平移个单位，再向下平移个单位3.二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A. B.C. D.4.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1，0)和点(3，0)，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.5.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣26.抛物线的对称轴是直线，且过点（1，0）.顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：① 且；② ；③ ；④ ；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为、，则.其中正确的个数有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个7.如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ③④⑤8.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A. (1，3)B. （1，-3)C. （-1，3）D. （-1，-3）9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A. x1＜﹣1＜2＜x2B. ﹣1＜x1＜2＜x2C. ﹣1＜x1＜x2＜2D. x1＜﹣1＜x2＜211.如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A. B. C. D. 或12.如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是关于的一元二次方程的一个根.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.14.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度ℎ时，．其中正确的是( )A. ①④B. ①②C. ②③④D. ②③15.北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A. B. C. D.16.如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A. B. C. D.17.二次函数＝的部分图象如图所示，有以下结论：① ﹣＝；② ﹣；③ ﹣；④ ，其中错误结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 418.如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为 ，的面积为 ，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（）A. B.C. D.19.如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y=2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形.若A点坐标为（-3，0），则此抛物线与y轴的交点坐标为何？（）A. B. C. D.20.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共15题）21.将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________．22.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，正确的是________（填写序号）.23.如图，若被击打的小球飞行高度ℎ（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为ℎ，则小球从飞出到落地所用的时间为________ .24.已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于，则代数式的最小值是________.25.二次函数的图象如图所示，若，﹣.则、的大小关系为________ .(填“ ”、“ ”或“ ”)26.如图，抛物线与x轴相交于两点，与轴相交于点，点在抛物线上，且. 与轴相交于点，过点的直线平行于轴，与拋物线相交于两点，则线段的长为________.27.二次函数的最大值是________.28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+ (a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M。
重庆市合川中学2019-2020年中考九年级数学典型压轴题专练：一次函数与反比例函数(含答案)
重庆市合川中学2019-2020 学年中考九年级数学典型压轴题专练：一次函数与反比率函数1、如，在平面直角坐系xOy 中，双曲y=与直y=2x+2 交于点 A（ 1，a）．（1）求 a， m的；（2）求双曲与直 y= 2x+2 另一个交点 B 的坐．2、如，已知直y1=x+1 与 x 交于点A，与直y2=x 交于点 B．（1）求△ AOB的面；（ 2）求 y1＞ y2x 的取范．3、在平面直角坐系中，把横坐都是整数的点称“整点”．（1）直接写出函数 y= 象上的全部“整点” A1， A2， A3，⋯的坐；（2）在（ 1）的全部整点中任取两点，用状或列表法求出两点对于原点称的概率．4、环保局对某公司排污状况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超出最高同意的 1.0mg/L ．环保局要求该公司立刻整顿，在15 天之内（含15 天）排污达标．整悔过程中，所排污水中硫化物的浓度y（ mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，此中线段AB表示前 3 天的变化规律，从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间 x 成反比率关系．（1）求整悔过程中硫化物的浓度y 与时间 x 的函数表达式；（2）该公司所排污水中硫化物的浓度，可否在15天之内不超出最高同意的1.0mg/L ？为什么？5、如图，在平面直角坐标xOy 中，正比率函数y=kx 的图象与反比率函数y=的图象都经过点 A（ 2，﹣ 2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线 OA向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比率函数图象在第四象限内的交点为 C，连结 AB， AC，求点 C 的坐标及△ ABC的面积．6、请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，k≠ 0）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；（2）对于函数y=，当自变量x 的值增大时，函数值y 如何变化？7、△ ABC的极点坐标为 A（﹣ 2，3）、B（﹣ 3，1）、C（﹣ 1，2），以坐标原点 O为旋转中心，顺时针旋转 90°，获得△ A′B′ C′，点 B′、 C′分别是点 B、 C 的对应点．（1）求过点 B′的反比率函数分析式；（2）求线段 CC′的长．8、如图，已知一次函数y= x+b 的图象与反比率函数y=（x＜0）的图象交于点A（﹣ 1，2）和点 B，点 C 在 y 轴上．（1）当△ ABC的周长最小时，求点 C 的坐标；（2）当x+b＜时，请直接写出x 的取值范围．9 、如图，直线 AB 与坐标轴分别交于 A（﹣ 2 ， 0 ）， B（ 0 ， 1 ）两点，与反比率函数的图象在第一象限交于点 C（ 4 ， n ），求一次函数和反比例函数的解析式．10、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点A，与反比率函数 y=的图象在第二象限交于点C， CE⊥ x 轴，垂足为点E， tan ∠ ABO= ， OB=4，OE=2．（1）求反比率函数的分析式；（2）若点 D 是反比率函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点F，连结OD、 BF．假如 S△BAF=4S△DFO，求点 D的坐标．11、如图，直线y=x﹣与x，y轴分别交于点A， B，与反比率函数y=（k＞0）图象交于点 C， D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比率函数图象于点E．（1）求点 A 的坐标．（2）若 AE=AC．①求 k 的值．②试判断点 E 与点 D 能否对于原点 O成中心对称？并说明原因．12、在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（ a≠ 0）的图形与反比率函数y=（k≠ 0）的图象交于第二、四象限内的A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH⊥ y 轴，垂足为H，OH=3， tan ∠ AOH= ，点 B 的坐标为（ m，﹣ 2）．（1）求△ AHO的周长；（2）求该反比率函数和一次函数的分析式．13、如图， Rt△ ABO的极点 O在座标原点，点B在 x 轴上，∠ ABO=90°，∠ AOB=30°， OB=2，反比率函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点 C，交 AB于点 D．（1）求反比率函数的关系式；（2）连结 CD，求四边形CDBO的面积．14、如图，直线y=ax+b 与反比率函数y=（x＞0）的图象交于A（ 1， 4）， B（ 4， n）两点，与 x 轴、 y 轴分别交于C、 D 两点．（1） m= x2，则 y1 ，n=；若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比率函数图象上两点，且y2（填“＜”或“ =”或“＞”）；0＜ x1＜（2）若线段CD上的点 P 到 x 轴、 y 轴的距离相等，求点P 的坐标．15、如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、 B 两点．（1）求∠ ABO的度数；（2）过 A 的直线 l 交 x 轴半轴于 C， AB=AC，求直线 l 的函数分析式．16、如图，点A（ m， 4）， B（﹣ 4， n）在反比率函数y=（k＞0）的图象上，经过点A、 B的直线与x 轴订交于点C，与 y 轴订交于点D．（1）若 m=2，求 n 的值；（2）求 m+n的值；（3）连结 OA、OB，若 tan ∠ AOD+tan∠ BOC=1，求直线 AB的函数关系式．17、如图 1 所示，已知：点A（﹣ 2，﹣ 1）在双曲线C： y=上，直线l 1： y=﹣ x+2，直线l 2与 l 1对于原点成中心对称，F1（ 2， 2）， F2（﹣ 2，﹣ 2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B， P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过P 作 x 轴平行线分别交l 1，l 2于 M， N 两点．（1）求双曲线 C 及直线l 2的分析式；（2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；（3）如图 2 所示，△ PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点 B 重合．（参照公式：在平面坐标系中，如有点A（ x1， y1）， B（ x2，y2），则 A、 B 两点间的距离公式为AB= ．）参照答案：1、解：（ 1）∵点 A 的坐标是（﹣1， a），在直线y=﹣2x+2 上， [ 根源 :Z 。
重庆中考数学专题训练函数型问题(含答案)
第2课时函数型问题我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
1.（•赣州市）年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.（•莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。
每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线2y ax bx c=++的顶点坐标是24 (,) 24b ac ba a--3.（·贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四 存在探索性函数问题存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.（•杭州市）在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
2020年重庆中考数学第10题反比例函数(含答案)-个人用心整理
反比例函数一、反比例的定义反比例的三种表达式①y=xk（k ≠0） ②y=kx -1(k ≠0) ③xy=k(定值)（k ≠0）例1、 已知函数y=3mx m+4是反比例函数，则m=_________ 二、反比例函数的图像与性质xk y =k ＞0k ＜0图象性质当k ＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大；y 随x 的增大而减小是错误的例2、已知反比例函数xky -=3函数图象位于第一、三象限，则k .例3、当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=在同一坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．三、用待定系数法求反比例的解析式例4、.已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB的面积；四、K的几何意义2.与k相关的面积问题的基本图形例5.如图， Rt AOB 的一条直角边OB 在x OA 中点C ，与另一直角边交于点D ，若9OCDS =，则k 的值为__________．例3.如图，在平面直角坐标系中， Rt ABO ∆的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，90ABO ∠=︒, OA 与反比例函数()0ky k x=≠的图像交于点D ，且2OD AD =，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C .若ABCD S 四边形=10，则k 的值为___________2019年真题（A 卷）9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴上，对角线BD ∥x 轴，反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象经过矩形对角线的交点E ．若点A （2，0），D （0，4），则k 的值为（ ）A ．16B ．20C ．32D ．409．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（）A．10 B．24 C．48 D．502018年真题（A卷）11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数kyx=（0k>，x>）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x∥轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（）A. 54B.154C. 4D. 511如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A. B. 3 C. D. 52017年真题（A卷）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数（k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC =，cos∠ACH =，点B 的坐标为（4，n ） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△BCH 的面积．[来源:学+科+网]重庆八中2019级数学初三下入学考试9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣1，1），点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8k y x4555答案解析2019年真题（A卷）9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（）A．16 B．20 C．32 D．40【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20．故选：B．2019年B卷9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），sin∠COA＝．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于（）A．10 B．24 C．48 D．50【分析】由菱形的性质和锐角三角函数可求点C（6，8），将点C坐标代入解析式可求k的值．【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，∵菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10，0），∴OC＝OA＝10，∵sin∠COA＝＝．∴CE＝8，∴OE＝＝6∴点C坐标（6，8）∵若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）经过点C，∴k＝6×8＝48故选：C．2018年真题（A卷）11.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数kyx=（0k>，x>）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x∥轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（）A. 54B.154C. 4D. 5【答案】D 【解析】【分析】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，BM=4-1=3，AM=m-n，由菱形的面积可推得m-n=154，再根据反比例函数系数的特性可知m=4n，从而可求出n的值，即可得到k的值.【详解】设A(1，m)，B(4，n)，连接AC交BD于点M，则有BM=4-1=3，AM=m-n，∴S菱形ABCD=4×12 BM•AM，∵S菱形ABCD=452，∴4×12×3（m-n）=452，∴m-n=154，又∵点A，B在反比例函数kyx ，∴k=m=4n，∴n=54，∴k=4n=5，故选D.【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、菱形的性质、菱形的面积等，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.2018年真题（B卷）11.如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE=3DE，则k的值为（）A. B. 3 C. D. 5【答案】C【解析】【分析】由已知，可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．【详解】过点D做DF⊥BC于F，由已知，BC=5，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=5，∵BE=3DE，∴设DE=x，则BE=3x，∴DF=3x，BF=x，FC=5-x，在Rt△DFC中，DF2+FC2=DC2，∴（3x）2+（5-x）2=52，∴解得x=1，∴DE=1，FD=3，设OB=a，则点D坐标为（1，a+3），点C坐标为（5，a），∵点D、C在双曲线上，∴1×（a+3）=5a，∴a=，∴点C坐标为（5，）∴k=.故选C．2017年真题（A卷）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为M，BM=OM，A的纵坐标为4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，求四边形MBOC的面积．【答案】（１）反比例函数的解析式为y=4x，一次函数的解析式为y=2x+2；（2）4.【解析】试题分析：（1）根据题意可得B的坐标，从而可求得反比例函数的解析式，进行求得点A 的坐标，从而可求得一次函数的解析式；学*科网（2）根据（1）中的函数关系式可以求得点C，点M，点B，点O的坐标，从而可求得四边形MBOC的面积．试题解析：（1）由题意可得，BM=OM，∴BM=OM=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），[来源:学科网ZXXK]即一次函数的解析式为y=2x+2；（2）∵y=2x+2与y轴交与点C，∴点C的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），∴OM=2，OC=2，MB=2，∴四边形MBOC的面积是：2222 2222OM OC OM MB⨯⨯⨯⨯+=+＝4．考点：反比例函数与一次函数的交点问题. 2017年真题（B卷）22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=ACH=，点B的坐标为（4，n）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH的面积．【答案】（1），y=﹣2x+4；（2）8．试题解析：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=，cos∠ACH=，∴，解得：HC=4，∵点O是线段CH的中点，∴HO=CO=2，∴AH=8，∴A（﹣2，8），∴反比例函数解析式为：，∴B（4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y=kx+b，则：，解得：，∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；（2）由（1）得：△BCH的面积为：×4×4=8．kyx=516yx=-45555545HCAC==22AC HC-16yx=-2844k bk b-+=⎧⎨+=-⎩24kb=-⎧⎨=⎩12考点：反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．重庆八中2019级数学初三下入学考试9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】作辅助线，构建全等三角形：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，证明△AGD≌△DHC≌△CMB，根据点D的坐标表示：AG＝DH＝﹣x﹣1，由DG＝BM，列方程可得x的值，表示D和E的坐标，根据三角形面积公式可得结论．【解答】解：过D作GH⊥x轴，过A作AG⊥GH，过B作BM⊥HC于M，设D（x，），∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，易得△AGD≌△DHC≌△CMB（AAS），∴AG＝DH＝﹣x﹣1，∴DG＝BM，∵GQ＝1，DQ＝﹣，DH＝AG＝﹣x﹣1，由QG+DQ＝BM＝DQ+DH得：1﹣＝﹣1﹣x﹣，解得x＝﹣2，∴D（﹣2，﹣3），CH＝DG＝BM＝1﹣＝4，∵AG＝DH＝﹣1﹣x＝1，∴点E的纵坐标为﹣4，当y＝﹣4时，x＝﹣，∴E（﹣，﹣4），∴EH＝2﹣＝，∴CE＝CH﹣HE＝4﹣＝，∴S△CEB＝CE•BM＝××4＝7；故选：C．。
2020重庆市中考数学试题(word版含答案)共2套
重庆市中考数学试题（一）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：1.4的倒数是 （ D ） A.-4 B.4 C.41-D.41 2.下列交通指示标识中，不是轴对称图形的是（ C ）3.据重庆商报2016年5月23日报道，第十九届中国（重庆）国际驼子曁全球采购会（简称渝洽会）集中签约86个项目，投资总额1636亿元人民币，将数1636用科学记数法表示是（ B ） A.0.1636×104 B.1.636×103 C.16.36×102 D.163.6×104.如图，直线a ，b 被直线c 所截，且a//b ，若∠1=55°，则∠2等于（ C ）A.35°B.45°C.55°D.125°5.计算（x 2y ）3的结果是（ A ）A.x 6y 3B.x 5y 3C.x 5y 3D.x 2y 36.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是 （ D ） A.对重庆市居民日平均用水量的调查 B.对一批LED 节能灯使用寿命的调查C.对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查D.对某校九年级（1）班同学的身高情况的调查7.若二次根式2 a 有意义，则a 的取值范围是（ A ） A.a ≥2 B.a ≤2 C.a>2 D.a ≠28.若m=-2，则代数式m 2-2m-1的值是（ B ） A.9 B.7 C.-1 D.-99.观察下列一组图形，其中图形1中共有2颗星，图形2中共有6颗星，图形3中共有11颗星，图形4中共有17颗星，。
，按此规律，图形8中星星的颗数是（ C ）A.43B.45C.51D.5310.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图形阴影部分的面积是（ A ） A.π9-318 B.π3-18 C.29-39πD.π3-31811.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆低端D 到大楼前梯砍底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1:3，则大楼AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：45.2673.1341.12≈≈≈，，） （ D ） A.30.6米 B.32.1 米 C.37.9米 D.39.4米12.如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<+--≥-1243,4)(2x x x x a 的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a 的积是 （ D ） A.-3 B.0 C.3 D.9 二、填空题13.在21-，0，-1,1这四个数中，最小的数是__-1___. 14.计算：02-3)1(318--+⎪⎭⎫⎝⎛+π=____8______.15.如图，CD 是○O 的直径，若AB ⊥CD ，垂足为B ，∠OAB=40°，则∠C=__25__度.16.点P 的坐标是（a,b ），从-2，-1,0,1,2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a ,b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是_51____. 17.为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练。
重庆市北碚区江北中学2019-2020年中考九年级数学一次函数和反比例函数综合题强化训练(含答案)
重庆市北碚区江北中学2019-2020学年中考九年级数学一次函数和反比例函数综合题强化训练1、如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），∴点D的坐标是（1，2），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）∵直线AC交y轴于点E，∴S△C D E =S△E D A+S△A D C=，即△CDE的面积是3．2、如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；（3）求△AOB的面积；（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解得：．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）：∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，∴方程kx +b ﹣=0的解是x 1=﹣4，x 2=2． （3）∵当x =0时，y =﹣2． ∴点C （0，﹣2）． ∴OC =2．∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6；（4）不等式kx +b ﹣＜0的解集为﹣4＜x ＜0或x ＞2．3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与Y 轴交于点D ，点B 的坐标为（m ，-4），连接AO ，AO=5，sin ∠AOC=53。
2020年中考专题复习——分段函数专题训练(一)(解析版)
2020中考复习——分段函数专题训练（一）班级：___________姓名：___________ 得分：___________一、选择题1.某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.如图所示图象描述了他上学的情景，下列说法中错误的是()．A. 修车时间为13minB. 自行车发生故障时离家距离为1000mC. 学校离家的距离为2000mD. 到达学校时共用时间20min2.5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都．描述上述过程的大致图象是()A. B.C. D.3.小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.右图描述了他上学的情景，下列说法中正确的个数为()(1)学校离家的距离为2000米(2)到达学校时共用时间20分钟(3)修车时间为15分钟(4)自行车发生故障时离家距离为1000米A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个.他估计步行不能准时到达，于是改4.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14乘出租车前往考场．这名考生的行程与时间关系如图所示(假定总路程为1)，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了()A. 26分钟B. 24分钟C. 20分钟D. 16分钟5.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是()A. 轮船的速度为20千米/时B. 快艇的速度为40千米/时C. 轮船出发3.9小时后与快艇相遇D. 快艇比轮船早到2小时6.下图①是某一数值转换流程图，图②是反映图①中y与x函数关系的图象：根据如上的流程图，若想输出y=9，则输入x的值为()A. 4B. 3或4C. 4或8D. 3或4或87. 定义新运算：则函数y =3@x 的图象大致是( )A. B.C. D.8. 已知函数y ={x 2−x (x ≥0)−x 2−x (x <0)，当a ≤x ≤b 时，−14≤y ≤2，则b −a 的最大值为( )A. 52B. 52+√22C. 32D. 2二、填空题9. 根据图中的程序，当输入x =3时，输出的结果y =______．10. “龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y 1表示乌龟所行的路程，y 2表示兔子所行的路程).有下列说法： ①兔子和乌龟同时从起点出发； ②“龟兔再次赛跑”的路程为1000米； ③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是______.(把你认为正确说法的序号都填上)11.如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，下列结论：①若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；②若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；③若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；④若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．其中正确结论的序号是.12.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地的距离为y1(km)，慢车离乙地的距离为y2(km)，行驶的时间为x(ℎ)，两车之间的距离为s(km)，y1，y2与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数关系图象如图2所示，则当x=________时，两车相距60km．13.已知y1=x+1，y2=−2x+4，对任意一个x，取y1，y2中的较大的值为m，则m的最小值是______ ．14.某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物的总额，规定相应的优惠方法：①若不超过500元，则不给予优惠；②若超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③若超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元．若合并付款，则她们总共只需付款_______________元．15.小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米/分，下坡速度是450米/分，则小明这次行程的平均速度是______．三、解答题16.某星期天早晨，小华从家出发步行前往体育馆锻炼，途中在报亭看了一会儿报，如图所示是小华从家到体育馆这一过程中所走的路程S(米)与时间t(分)之间的关系．(1)体育馆离小华家_______米，从出发到体育馆，小华共用了______分钟；(2)小华在报亭看报用了多少分钟？(3)小华看完报后到体育馆的平均速度是多少？17.小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小红家到舅舅家的路程是______米，小红在商店停留了______分钟；(2)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了______米；一共用了______分钟．18.为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分 2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a+0.25(1)若甲用户3月份的用气量为60m，则应缴费______ 元；(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？19.如图是小明的爸爸骑一辆摩托车从家里出发，离家的距离(千米)随行驶时间(分)的变化而变化的情况：(1)图象表示了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)小明的爸爸从出发到最后停止共经过了多少分钟？离家最远的距离是多少千米？(3)摩托车在哪一段时间内速度最快？最快速度是多少千米/小时？20.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。