2015-2016学年四川省成都高一下学期末考试试卷-数学-word版含答案
成都九中2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为.2A .3B .22C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则.5A .10B .15C .20D21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a - 5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则1.2A - 3.2B 1.2C 3.2D ±6．()1cos()sin244παα-==已知,则31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为.22A .5B.3C .25D()32x y +则的最小值是 5.3A 8.3B .16C .8D 10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为 ,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为.5A .22B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题：1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面 12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB AC ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为.A 1 .B 2 .C 3 .D 4第Ⅱ卷 非选择题D 1C 1B 1A 1PQN MD C BAMDBP二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．0cos1402sin130sin10+=____________14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋 xy=网材料,为使每间虎笼面积最大,则____ 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;b a b c ac-+=①若则的最小值为228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为 其中正确结论的序号是________________三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.NMQP DCBA y y yy y x xxyx19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式;(){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等， P CD A --求二面角的正切值.21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c -+求的最大值.22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有(){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式;()()()121121.n n n n nn n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记 ,584n MM n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立? ;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.成都外国语学校2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷命题人：注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为D.2A .3B .22C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于C.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则B .5A .10B .15C .20DB21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a - 5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则A1.2A - 3.2B 1.2C 3.2D ±6．()1cos()sin244παα-==已知,则C31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有A....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为C.22A .5B.3C .25D()32x y +则的最小值是D 5.3A 8.3B .16C .8D 10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为 ,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为A.5A .22B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程B.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题： 1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面 12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB A C ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为C.A 1 .B 2 .C 3 .D 4D 1C 1B 1A 1PQN MD C BAMDBP第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．0cos1402sin130sin10+=____________12-14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋x y =网材料,为使每间虎笼面积最大,则____3215．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为06016．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;ba b c ac-+=①若则的最小值为 228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为 其中正确结论的序号是________________①②④三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.解：()()()()22210,a c a c b b a a b c ab ⇒+-+-=⇒+-=已知2221cos ,0,.223a b c C C C ab ππ+-∴==<<∴= ()22,,33C A B ππ=∴+=222sin sin sin sin sin sin cos cos sin 333A B A A A A A πππ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭31sin cos 226A A A A A π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2510,sin 1366626A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<⇒<+≤ ⎪⎝⎭sin sin .2A B ⎛∴+ ⎝的取值范围是y y yy y x xxyx18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.解：()1//,PQMN PN QM ∴证明:截面是平行四边形,,//.PN BCD QM BCD PN BCD ⊄⊂⇒又平面平面平面()()21//,PN BCD 由知平面,,//.PN ABD ABD BCD BD PN BD ⊂=∴平面平面平面()NPM PM BD ∴∠或其补角是异面直线与所成的角.045.PQMN NPM ∴∠=截面是正方形,045.PM BD ∴异面直线与所成的角是19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式; (){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值 解：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+()221242474,n n n n n a a n a a --+=≥⇒=⨯=⨯两式相减得:21,(1)174,(2)n n n n a n -⎧=⎪=∴=⎨⨯≥⎪⎩此式对不成立,()22212log log 42,,722n n n n n n n a b nb nc ++===∴==231232222n n nT ∴=++++①231112122222n nn n nT +-=++++② 22111111121.2222222n n n n n n T +++-=+++-=-①②得,222 2.22n n n n n n T T ++∴=-⇒+=N MQPDCBA20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等， P CD A --求二面角的正切值.解：()014,3,90 5.AC AB BC ABC AC ==∠==连接，由,得5,.AD E CD CD AE =∴⊥又是的中点，,,.PA ABCD CD ABCD PA CD ⊥⊂∴⊥平面平面 ,.PA AE A CD PAE =∴⊥而平面()2CD PAE PEA P CD A ⊥∴∠--平面；是二面角的平面角.,,,,.B BG CD AE AD F G PF //过点作分别与相交于连接 ()1.BG PAE ⊥由知，平面.BPF PB PAE BG AE ∴∠⊥为直线与平面所成的角.且PA ABCD PBA PB ABCD ⊥∠由平面知，为直线与平面所成的角. ,.PBA BPF Rt PBA Rt BPF PA BF ∠=∠∴∆≅∆⇒=由题意知090//,//.DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知,又3, 2.BCDG GD BC AG ∴==∴=是平行四边形.4,,,AB BG AF BG =⊥∴==2AB BF PA BG ===∴=于是CD BG CE AE ==∴===又21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c-+求的最大值. 解：(){}210|34ax bx c x x ++>-<<的解集为()0,34,34,120.b ca b a c a a a a∴<-+=--⨯=⇒=-=-<()()2223021500bx ax c b ax ax a a ∴+-+<⇔-++<<()221503,5.x x ⇔--<∴-，解集为()()()22220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立FG44tan ..55PA PEA P CD A AE ∴∠==--即二面角的正切值是11 ()()22200440240a a b a ac b a a c b >⎧>⎧⎪∴⇔⎨⎨+-≤∆=---≤⎪⎩⎩()()222241404,1c a c a a b a c a a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴≤≤-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()21,40,010.c c t a c a b c a t a a=--≥≥∴≥>⇒≥⇒≥令 ()()()()222224444,0222211a c a t t t g t t a c t t t t t -===≥+++++++令 ()()4000;0222t g t g t t t==>=≤=++当时，当时， ()224 2.a c a a c-∴+的最大值为 22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有 (){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式; ()()()121121.n n n n n n n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记,584n M M n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立? ;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅ 11111221,1,2222n n n n n n n n n a a a a a a ++++⎧⎫∴=⋅+⇒-=∴=⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为 1.2.2n n n n a n a n ∴=⇒=⋅公差为 ()()22,2221,n n n n n n n a a n b n=⋅∴=⇒=- ()()()()1111112212211144221421421n n n n n n n n n n b c b ++++++--∴====-<--- ()121211.44n n n n c c c T c c c n ∴+++<⇒=+++< 1146.5845844n M M T M ∴<⇔≥⇔≥不等式恒成立 ,146.M ∴存在满足条件的正整数其最小值为12。
2015-2016学年四川省成都市新都区高一下学期数学期末考试题(纯word版含详解)
四川省成都市新都区2016年(春)高一年级期末测试题数学试题一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，请将答案涂写在答题卡相应位置上)1、 sin 15°的值为( )ABCD2、 设x 、y ∈R ＋，且x ≠y ，a ＝2x y +，bc ＝211x y+，则a ，b ，c 的大小关系为( )A 、a ＜b ＜cB 、a ＞b ＞cC 、b ＜a ＜cD 、b ＜c ＜a3、 如图为某四面体的三视图(都是直角三角形)，则此四面体的表面三角形为直角三角形的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、44、 空间三条不同直线l ，m ，n 和三格不同的平面α，β，γ，给出下列命题：①若m ⊥l 且n ⊥l ，则m ∥n ； ②若m ∥l 且n ∥l ，则m ∥n ； ③若m ∥α且n ∥α，则m ∥n ； ④若m ⊥α且n ⊥α，则m ∥n ； ⑤若α⊥γ且β⊥γ，则α∥β； ⑥若α∥γ且β∥γ，则α∥β； ⑦若α⊥l 且β⊥l ，则α∥β. 其中正确的个数为( )A 、6B 、5C 、4D 、3 5、 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列关系正确的是( )正视图左视图俯视图A 、a ＝bsinC ＋csinB B 、a ＝bcosC ＋ccosB C 、a ＝bcosB ＋ccosCD 、a ＝bsinB ＋csinC 6、 函数f (x )＝asinx ＋cosx 关于直线x ＝4π对称，则a 的取值集合为( ) A 、{1} B 、{－1，1} C 、{－1} D 、{0} 7、 等差数列{a n }和等比数列{b n }中，给出下列各式：①a 7＝a 3＋a 4；②a 2＋a 6＋a 9＝a 3＋a 4＋a 10；③b 7b 9＝b 3b 5b 8；④b 64＝b 2b 9b 13.其中一定正确的个数为( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、 数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2a n 且a 1＝2，则( )A 、a n ＝4(1)n n + B 、a n ＝21n + C 、a n ＝41n + D 、a n ＝22n9、 给出下列命题.①若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ②若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b | 其中一定正确的命题为( )A 、②④B 、①③C 、①②D 、③④10、 对于非零向量,,a b c，则( )A 、()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B 、若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =C 、||||||a b a b ⋅=⋅D 、若|+|||a b a b =-，则a b ⋅ ＝011、 若sin α，sin 2α，sin 4α成等比数列，则cos α的值为( )A 、1B 、0C 、－12 D 、－12或1 12、 点O ，I ，H ，G 分别为△ABC (非直角三角形)的外心、内心、垂心和重心，给出下列关系式①0GA GB GC ++= ②sin 2A ·OA ＋sin 2B ·OB ＋sin 2C ·0OC =③0aIA bIB cIC ++= ④tanA ·HA ＋tanB ·HB＋tanC ·0HC =其中一定正确的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应横线上) 13、 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝81，a k －4＝191，S k ＝10000，则k 的值为________.14、 三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠APC ＝∠CPB ＝40°，P A ＝5，PB ＝6，PC ＝7，点D ，E 分别在PB ，PC 上，则△ADE 周长的最小值为_____________.15、 若平面向量,a b满足：|2a b - |≤3，则a b ⋅ 的最小值为__________.16、 已知函数f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ，给出下列4个结论：①f (x )的值域为[0，2]； ②f (x )的最小正周期为2π； ③f (x )的图象对称轴方程为x ＝4k π(k ∈Z )； ④f (x )的图象的对称中心为(5+,848k ππ)(k ∈Z ). 其中结论正确的番号是___________(写出全部正确结论的番号)三、解答题(本大题共6个小题，满分70分.请将答案写在答题卡相应位置上) 17、 (本小题满分10分)若对任意实数x ，不等式x 2－mx ＋(m －1)≥0恒成立(1)求实数m 的取值集合；(2)设a ，b 是正实数，且n ＝11()()a mb b ma++，求n 的最小值. 18、 (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 中，若∠DAB ＝60°，∠ABC ＝30°，∠BCD ＝120°，AD ＝2，AB ＝5. (1)求BD 的长；(2)求△ABD 的外接圆的半径R ； (3)求AC 的长.19、 (本小题满分12分)△ABC 中，a ＝4，b ＝5，C ＝23π，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在边AB 上，且23AD DB =. (1)用CA 和CB 表示CD ；(2)求|CD |.20、 (本小题满分12分)四面体ABCD 中，已知AB ⊥面BCD ，且∠BCD ＝2π，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5. (1)求证：平面ABC ⊥平面ACD ； (2)求此四面体ABCD 的体积和表面积；(3)求此四面体ABCD 的外接球半径和内切球半径.21、 (本小题满分12分)△ABC 中(非直角三角形)，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanAtanBtanC ；ABCDABCD(2)若tanA ∶tanB ∶tanC ＝6∶(－2) ∶(－3)，求a ∶b ∶c .22、 (本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n ＋r (r 为常数)，记b n ＝1＋log 2a n .(1)求r 的值；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n ； (3)记数列{1nb }的前n 项和为P n ，若对任意正整数n ，都有P 2n ＋1＋1n ≤k ＋P n ，求实数k 的最小值.四川省成都市新都区2016年(春)高一年级期末测试题数学参考答案一、选择题： 1、【答案】C【解析】sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝1222-=选C 2、【答案】B【解析】由基本不等式可知a ＞b即2x y +>2x y >+，两边同乘以xy2211xy x y x y>=++，即b ＞c .故选B 3、【答案】D【解析】根据三视图可得四面体的直观图如图所示 其中∠P AB ，∠P AC ，∠PBC ，∠ABC 都是直角 即四面体的四个面都是直角三角形.选D 4、【答案】C【解析】空间中，垂直于同一直线的两条直线的位置关系是任意的，故①错误； 根据公理四(平行公理)，可知②正确；空间中，平行于同意平面的两条直线的位置关系是任意的，故③错误；根据直线与平面垂直的性质，可知垂直于同一平面的两条直线互相平行，故④正确； 空间中，垂直于同一平面的两个平面位置关系是任意的，故⑤错误； 空间中，平行于同意平面的两个平面互相平行，故⑥正确； 空间中，垂直于同一直线的两个平面互相平行，故⑦正确. 综上，正确的命题编号为②④⑥⑦，共4个.选C 5、【答案】B【解析】如图，作AD ⊥BC 于DPA BCABCD则a ＝BC ＝BD ＋CD ＝bcosC ＋ccosB当∠A 是直角或钝角时，结论仍然成立，故选B 6、【答案】A【解析】a ＝1时，f (x )＝sinx ＋cosx (x ＋4π)，它的一条对称轴为x ＝4π，故a ＝1满足条件当a ＝－1时，f (x )＝－sinx ＋cosx (x －4π)，x ＝4π不是它的对称轴，故a ＝－1不满足条件.故选A 7、【答案】A【解析】a 7＝a 1＋6d ，a 3＋a 4＝2a 1＋5d ，故①不一定正确； a 2＋a 6＋a 9＝3a 1＋14d ，a 3＋a 4＋a 10＝3a 1＋14d ，故②一定正确； b 7b 9＝b 12q 14，b 3b 5b 8＝b 13q 13，故③不一定正确； b 64＝(b 1q 5)4，b 2b 9b 13＝b 13q 21，故④不一定正确.选A 8、【答案】A【解析】因为S n ＝n 2a n ，故S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， 两式相减得：a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n 即n (n ＋2)a n ＋1＝n 2a n 即(n ＋2)a n ＋1＝na n ∴a n ＝1231121231111n n n n n n n n n a a a n n n n n n ---------=⋅=⋅⋅+++-＝…… ＝111232124...=1143(1)(1)n n n a a n n n n n n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=+-++.选A 9、【答案】B【解析】由a 2＞b 2，可得|a |＞|b |≥b ，故①正确；在|a |＞b 中，若b ＜0且|b |＞|a |时，不能得到a 2＞b 2，故②错误； 由a ＞|b |，则必有a ＞0，两边平方得a 2＞b 2，故③正确； 在a 2＞b 2中，若a ＜0，则不能得到a ＞|b |，故④错误.选B 10、【答案】D【解析】因为a ·b 是一个实数，故(a ·b )·c 是与c 共线的向量，同理，a ·(b ·c )是与a 共线的向量，它们不一定相等，故A 错误；由a ·b ＝a ·c ，可得|a ||b |cos <a ，b >＝|a ||c |cos <a ，c > 即|b |cos <a ，b >＝|c |cos <a ，c >，不能得到b ＝c ，故B 错误；|a ·b |＝|a ||b ||cos <a ，b >|≤|a ||b |，故C 错误；根据向量加减法的几何意义，可知|a ＋b |和|a －b |分别是以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线长度，它们相等，意味着四边形为矩形，故a ⊥b ，于是a ·b ＝0，故D 正确. 11、【答案】C【解析】由已知，sin 22α＝sin αsin 4α 即4sin 2αcos 2α＝sin α·4sin αcos αcos 2α由题意，等比数列各项均不为0，有sin α≠0，cos α≠0， 故cos α＝cos 2α＝2cos 2α－1 解得cos α＝1或－12但cos α＝1时有sin α＝0，与题意不符，故舍去.选C 12、【答案】D【解析】因为G 是重心，也就是中线的三分点于是211()=()333AO AD AB AC OB OA OC OA ==+-+-(其中D 为BC 中点)整理得：+=0OA OB OC +，故①正确因为O 是外心，故|OA |＝|OB |＝|OC |于是S △BOC :S △COA :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠COA :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B :sin 2C在平面内取点A '，B '，C '，使得'sin 2,'sin 2,'sin 2OA OA A OB OB B OC OC C ===不难得：S △B 'OC '＝S △C 'OA '＝S △A 'OB '，可知O 点是△A 'B 'C '的重心于是'+'+'0OA OB OC =即sin 2+sin 2+sin 2=0OA A OB B OC C，②正确因为I 是三角形的内心，也即是角平分线的交点 于是S △BIC :S △CIA :S △AIB ＝a :b :c仿②可得+b +c =0aIA IB IC，故③正确因为H 是三角形的垂心，于是S △BHC :S △CHA :S △AHB ＝tanA :tanB :tanC同②得tan +tanB +tanC =0AHA HB HC，故④正确.二、填空题 13.【答案】100【解析】等差数列中，S 9＝81，由等差中项性质可得9a 5＝81，即a 5＝9 于是a 1＋a k ＝a 5＋a k －4＝9＋191＝200 S k ＝1()2k k a a +＝100k ＝10000，故k ＝100. 14.【答案】35【解析】沿棱P A 将三棱锥侧面剪开并展平，可得展开图如图 此时，|P A |＝|P A '|＝5，且∠AP A '＝120° |AA '|＝35即为所求△ADE 的最小周长.15.【答案】89-【解析】由题意，4a 2－4a ·b ＋b 2≤9 即4a ·b ＋9≥4a 2＋b 2≥4a ·b 于是a ·b ≥89-. 16. 【答案】②③④【解析】f (x )＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x )3＋(cos 2x )3 ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 4x －sin 2xcos 2x ＋cos 4x ) ＝1·[(sin 2x ＋cos 2x )－3sin 2xcos 2x ]＝1－34sin 22x ＝1－3(1cos 4)8x - ＝53cos 4+88x因为cos 4x ∈[－1，1]，故值域为1[,1]4，①错误；最小正周期T ＝2=42ππ，②正确； 令4x ＝k π，可得x ＝4k π(k ∈Z )为函数图象的对称轴，故③正确；令4x ＝k π＋2π，可得x ＝+48k ππ，故对称中心为(5+488k ππ，)(k ∈Z )，故④正确. 三、解答题17.解：(1)由题意得：0)1(4)(2≤---=∆m m 2分 即：0)2(2≤-m ，2=m 2分 所求m 的取值集合为}2{ 1分PABCA 'DE(2)由(1)得：)212)(1(ab b a n ++= abab ab ab n 212225212212∙+≥+++= 2分 即 29≥n (当且仅当21=ab 时，等号成立) 2分 29=小n 即为所求n 的最小值. 1分 18．解：(1)在ABD ∆中，由余弦定理得： 19cos 2||22=∠∙-+=BAD AD AB AD AB BD 即为所求BD 的长. 4分(2)在ABD ∆中，由余弦定理得：3572sin ||2=∠=BAD BD R 3分 357=R 即为所求外接圆半径1分 (3)0180=∠+∠BCD BAD四边形ABCD 是圆内接四边形. 1分 在ABC ∆中，由由余弦定理得：3572sin ||2=∠=ABC AC R 2分 357||=AC 即为所求AC 的长. 1分 19. 解:(1) ∵D 在边AB 上，且32=DB AD . ∴ DB AD 23= 2分∴)(2)(3CD CB CA CD -=- 2分∴5253+= 即为所求 2分 (2)由(1)得： 22)23(251||CD += 2分 ∴21169||(9254161254cos )2525CD C =⨯+⨯+⨯⨯⨯=3分 13||5CD =即为所求CD 的长. 1分 20．(1)证明：CD AB BCD CD BCD AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面面1分CABDBDCACD BC BCD ⊥⇒=∠︒90 1分ABC CD 面⊥∴ 1分CD ACD ⊂ 面∴ABC ACD ⊥平面平面 1分 (2)1061=∙∙=CD BC AB V ABCD 即为所求体积. 2分CD BC CD AC BD AB BC AB S S S S S BCDACD ABD ABC ABCD ∙+∙+∙+∙=+++=∆∆∆∆21212121 )41357(21)5454354343(212222+=⨯+⨯+++⨯+⨯=ABCD S即为所求表面积. 2分 (3)外接球直径为252222=++=CD BC AB R225=R 即为所求外接球半径. 2分 ABCD ABCD rS V 31=解得：164119411920-=+=r 即为所求内切球半径. 2分 21. (1)证∵ABC ∆中，π=++C B A 1分B A B A B A B AC tan tan 1tan tan )tan()](tan[tan -+-=+-=+-=π 2分∴ )t a n (t a n )t a n t a n 1(t a nB A B AC +-=- 1分 又∵C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++∴ 原命题成立 1分 (2) ∵tan :tan :tan 6:(2):(3)A B C =--， 令k A 6tan =∴k B 2tan -=，k C 3tan -= 1分 又∵由(1)得：)3)(2(6326k k k k k k --=--， ∴ 0=k 或61=k 或61-=k 2分高一数学试题及参考答案 第11页ABC ∆中，至多一个钝角，61-=k 1分 21tan ,31tan ,1tan ==-=C B A 1分 105255sin ,1010sin ,102522sin =====C B A 1分 由余弦定理得：52:10:25sin :sin :sin ::==C B A c b a 即为所求. 1分22.解：(1)当2≥n 时，111(2)(2)2n n n n n n a S S r r ---=-=+-+= 1分∵数列}{n a 是等比数列，∴ 12111==-a 1分而r S a +==1112，∴1-=r 2分(2)由(1)得：n b n = 1分∴12102232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T ①nn n n n T 22)1(22212121⋅+⋅-++⋅+⋅=- ②由②－①得：n n n n T 222221110⋅-++++=-- ∴12)1(22121+⋅-=⋅+---=n n nn n n T 即为所求数列}{n n b a 的前n 项和 . 3分 (3)∵nP n 131211++++= ∴ 不等式n n P k n P +≤++112 即为k n n n n n ≤++++++++1212121111 1分 令1212121111)(++++++++=n n n n n n f 0121211321221)()1(=-+<-+++=-+n n n n n n n f n f )(n f 随正整数n 递减 2分611312111)1(|)(=++==f n f 大，∴611=小k 即为所求实数K 的最小值. 1分 【注：所有答案给分是细化的，实际给分按学生解题累计给分.学生用其它解法，只要方法正确，运算准确，均得该题相应小问的满分.】。
四川省成都市锦江区20152016学年高一数学下学期期末考试试题文.doc
四川省成都市锦江区2015-2016 学年高一数学下学期期末考试试题文一、选择题（每小题 5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 2s in cos 的值是（）12 12A. 18B.14C.12D.12. 已知数列a n 满足 2a1 1,a n a n 1 1,(n 2,n N ) 则a3的值为（）A.0B.-1C.1D. 1 23. 已知a b 0，则下列不等式正确的是（）A． 2 2a b B ．1 1a ba b D ．C．2 22 ab b4．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边边长与圆的直径均为2 ，则该几何体体积为（）A. 32 8 33B.32 33C. 4 3 33D.4 335. 已知某正方体的外接球的表面积是16 ，则这个正方体的棱长是( )A．2 23B ．2 33C ．4 23D ．4 336. 为了得到函数πy sin(2 x )的图象，只需把函数y sin 2x 的图象上所有的点3（）A. 向左平行移动π个单位长度 B. 向右平行移动3π个单位长度3C.向左平行移动π个单位长度 D. 向右平行移动6π个单位长度67. 已知两条直线m,n，两个平面, ，给出下面四个命题：①m / /n, m n ②/ / ,m,n m / /n③m / /n, m / / n / / ④/ / , m / / n,m n其中正确命题的序号是（）A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③8. 对于任意实数x ，不等式 2a 2 x 2 a 2 x 4 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A．( 2, 2) B ．( 2, 2] C ．( , 2) D ．( , 2]9. 已知等差数列{ }a 中，S n 是它的前n 项和，若S16 0, S17 0 ，则当S n 取最大值时，n 的值为n( )A．8 B ．9 C ．10 D ．1610．设x 0, y 0 且x y 1 ，函数y 4 1x y的最小值为( )A．10 B ．9 C ．8 D．272 11. ABC外一点的O，OA = OB OC 2 , AO AB AC ，且OA AB ，则C A在CB方向上的投影为( )A．1 B ．2 C ． 3 D ．312. 如图，点列{ A n} ，{ B n} 分别在某锐角的两边上，且 A A1 A 1A2 ,A A 2,nn n n n n n* N，B B 1 B 1B 2 ,B B 2, n n n n n n n* N（P Q表示点P与Q不重合）.若d A B ，S 为△A B B 的面积，则（）n n n n n n n 1A．{ }S 是等差数列 B ．n2{ S n } 是等差数列C．{ d } 是等差数列 D ．n2{d} 是等差数列n二、填空题（每小题 4 分，共16 分，把答案填在横线上）13. 已知函数 f (x) sinx 3 c o x s，则 f (x) 的最大值A为．24514、如图OAB 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，O B 其原来平面2图形面积是.15．等比数列a n 的各项均为正数，且a5a6 a4a7 18，则l og a log a log a .3 1 3 2 3 10216、在△ABC中，令a AB,b AC ，若AD xa yb(x, y R) ．现给出下面结论：①若AC AB 0 则ABC 为锐角三角形；②当1 1x ，y 时，点D是△ABC的重心；3 3③记△ABD，△ACD的面积分别为S ，ABDSS ，当x 1,y 2 时，ABD 2 ACDSACD；③若AD AE ，其中点E在直线BC上，则当x 4，y 3 时， 5 ．其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分12 分）设集合(1) 求集合A B ；2A {x x 2x 0} ， B4{x 1}x 3(2) 若不等式 23x ax b 0 的解集为 B ，求a,b 的值．18．（本小题满分12 分）如图，AB (6,1), BC (x, y),CD ( 2, 3) ，( Ⅰ) 若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系；( Ⅱ) 在（I ）的条件下，若有AC BD ，求x,y 的值及四边形ABCD的面积._w w. k#su.c o*m19．（本小题满分12 分）如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1 中(侧棱垂直于底面) ，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1) 求证：AC⊥BC1；(2) 求证：AC1 ∥平面CDB1；(3 ) 求异面直线AC1 与B1C所成角的余弦值．320. （ 12 分）所 示 ， 城 D C地上建造一个三角志 ， 小 李 、 小计的 底 座 形 状为 ABA B,C A ，B 经D 测量 A D B D7 米 ， BC5 米 ，AC 8米， C D . （Ⅰ）求 A B 度； （Ⅱ志的底座每平方米5000 元，其他因素，小李、计使建造说明理由低多少？（ 3 1.732 ） n 121．S n 满足 b n 2b b 0 (n N*) ，且 b 2 =4 。
2015-2016学年四川省成都市郫县高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年四川省成都市郫县高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}2．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a3+a11=50，a4=13，则公差d=（）A．1 B．4 C．5 D．63．（5分）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图所示，则该圆锥的侧面积是（）A．B．12πC．15πD．24π4．（5分）设向量均为单位向量，且||=，则与的夹角为（）A．B．C． D．5．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等关系正确的是（）A．ab＞a＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞ab2＞a D．a＞ab2＞ab6．（5分）如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在点C测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a n=，则S6=（）A．B．C．D．8．（5分）设正方体的所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．12πa29．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＜0，S9=S12，则当S n取最小值时，n等于（）A．10 B．11 C．9或10 D．10或1110．（5分）的值是（）A．B．C．D．11．（5分）在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知A，B，P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=．14．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为．15．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则=．16．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是一个等差数列（1）a1=1，a4=7，求通项公式a n及前n项和S n；（2）设S7=14，求a3+a5．18．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高AA1=2．求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）若P为C1D1上的任意一点，求四面体P﹣ABD的体积．19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．20．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=0，n•a n+1=S n+n（n+1），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和；（3）设P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2，Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．2015-2016学年四川省成都市郫县高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1}B．{x|x＜1或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}【解答】解：不等式对应的方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得方程的根为x=2或x=1，∴不等式x2﹣3x+2＜0的解为1＜x＜2，即不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：D．2．（5分）已知数列{a n}是等差数列，且a3+a11=50，a4=13，则公差d=（）A．1 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a3+a11=50，a4=13，∴2a1+12d=50，a1+3d=13，可得：6d=24，则公差d=4，故选：B．3．（5分）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图所示，则该圆锥的侧面积是（）A．B．12πC．15πD．24π【解答】解：由圆锥的正视图数据得到圆锥的底面直径为6，高为4，所以母线长为=5，所以该圆锥的侧面积是：；故选：C．4．（5分）设向量均为单位向量，且||=，则与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：向量均为单位向量，且||=，则与的夹角为θ，则||2=（）2，则||2+4||2+4||•||cosθ=3，∴4cosθ=﹣2，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=，故选：D．5．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等关系正确的是（）A．ab＞a＞ab2B．ab2＞ab＞a C．ab＞ab2＞a D．a＞ab2＞ab【解答】解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞a，a＜ab2，ab＞ab2，∴ab＞ab2＞a故选：C．6．（5分）如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵△BCD 中，∠BCD=75°，∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣∠BCD ﹣∠BDC=45°，在△CBD 中，CD=a ，根据正弦定理可得BC===a ，∵Rt △ABC 中，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan ∠ACB=a•tan60°=a ，即旗杆高为 a ．故选：B ．7．（5分）已知a n =，则S 6=（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：a n ==，∴S 6=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣==．故选：A ．8．（5分）设正方体的所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2B ．2πa 2C ．3πa 2D ．12πa 2【解答】解：正方体的对角线就是球的直径，2R=a ⇒R=a ⇒S=4πR 2=3πa 2．故选：C ．9．（5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＜0，S 9=S 12，则当S n 取最小值时，n 等于（ ）A．10 B．11 C．9或10 D．10或11【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＜0，S9=S12，则d=12a1+d，化为：a1+10d=0，∴a11=0，a10＜0，a12＞0．∴当S n取最小值时，n等于10或11．故选：D．10．（5分）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：原式======．故选：C．11．（5分）在锐角△ABC中，A=2B，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故选：B．12．（5分）已知A，B，P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：A、B、P是直线l上三个点，且正实数x，y满足，可得：，则=（）（）=++≥+2==，当且仅当，即y=x，此时x=4﹣2，y=4﹣4时取等号．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=．【解答】解：∵知tan（α+β）=，tan（β+）=，则tan（α﹣）=tan[（α+β）﹣（β+）]===，故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则的值为3+2．【解答】解：依题意可得2×（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1±，∵各项都是正数，∴q＞0，q=1+，∴==q2=3+2．故答案为：3+215．（5分）在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足，则= 18．【解答】解：如图，根据已知条件知，A为线段BM中点，||=3，∠CAB=45°；∴==9+3=18．故答案为：18．16．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是一个等差数列（1）a1=1，a4=7，求通项公式a n及前n项和S n；（2）设S7=14，求a3+a5．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则，∴；（2）∵，∴a1+a7=4，由等差数列的性质，得a3+a5=a1+a7=4．18．（12分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，底面是边长为1的正方形，高AA1=2．求：（1）异面直线BD与AB1所成角的余弦值；（2）若P为C1D1上的任意一点，求四面体P﹣ABD的体积．【解答】解：（1）∵BD∥B1D1，AB1=AD1，∴∠AB1D1（或其补角）为异面直线BD与AB1所成的角，∵，∴．=S△ABD•h==．（2）V P﹣ABD19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）∵m∥n∴asinA=bsinB即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．∴a=b∴△ABC为等腰三角形．（2）由题意，m•p=0∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0∴a+b=ab由余弦定理4=a2+b2﹣2ab•co s∴4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab∴（ab）2﹣3ab﹣4=0∴ab=4或ab=﹣1（舍去）∴S=absinC△ABC=×4×sin=20．（12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．【解答】解：（I）当x=0时，C=8，因为，所以k=40，故C…（3分）∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和∴．…（6分）（II），…（9分）当且仅当时取得最小值．…（11分）即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R）（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）所以函数f（x）的最小正周期为π．因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+）又因为f（x0）=，所以sin（2x0+）=由x0∈[，]，得2x0+∈[，]从而cos（2x0+）=﹣=﹣．所以cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=0，n•a n+1=S n+n（n+1），（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和；（3）设P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2，Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．【解答】解：（1）把n=1，代入n•a n=S n+n（n+1）得：1•a2=S1+1=a1+1=2+1=3，+1即a2﹣a1=2，=S n+n（n+1）①，∴n≥2时，（n﹣1）•a n=S n﹣1+n（n﹣1）②，∵n•a n+1﹣（n﹣1）•a n=a n+2n，①﹣②得：n•a n+1化简得：a n﹣a n=2（n≥2），+1∵a2﹣a1=2，∴a n+1﹣a n=2（n∈N+），即数列{a n}是以0为首项，2为公差的等差数列，∴a n=0+2（n﹣1）=2（n﹣1）；（2）由a n+log3n=log3b n得：b n=n•32n﹣2（n∈N*）T n=b1+b2+b3++b n=30+2•32+3•34+…+n•32n﹣2，①∴9T n=30+2•32+3•34+…+n•32n，②②﹣①得：8T n=n•32n﹣（30+32+34+…+32n﹣2）=n•32n﹣∴T n=；（3）∵a n=2（n﹣1），∴P n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2==n（3n﹣3），Q n=a10+a12+a14+…+a2n+8==n（2n+16）∴P n﹣Q n=n（3n﹣3）﹣n（2n+16）=n2﹣19n若n2﹣19n＞0，即n＞19时，P n＞Q n；若n2﹣19n=0，即n=19时，P n=Q n；若n2﹣19n＜0，即1≤n＜19时，P n＜Q n．。
四川省成都七中2015-2016学年高一下学期数学期末考试
成都七中2015-2016学年度下学期期末考试高一年级数学试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卷上。
1．已知1|01x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1B =-，则()card A B =（ ） .0A .1B .2C .3D答案：C2．设(1,2),(1,1),a b c a kb ===+，若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ）3.2A -5.3B -5.3C 3.2D 答案：A3.已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于( ).21n A -.51n B -.31n C -.41n D -答案：A4.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）.A 若,αβ垂直于同一平面，则α与β平行 .B 若,m n 平行于同一平面，则m 与n 平行.C 若,αβ不平行，则在α内不存在与β平行的直线.D 若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面答案：D 5.若，则( )64.25A 48.25B .1C 16.25D 答案：A6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）.14A 斛 .22B 斛 .36C 斛 .66D 斛 答案：B7.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为（ ）.1A.2B.C .3D 答案：A8.如右图所示，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）.3A π.6B π.4C π.2D π答案：B 提示：找到球心与球的半径即可求解.9.在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和为n S 满足2(1)n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是（ ）..10A .11B .12C .9D答案：A 10.如果函数在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为（ ）.16A .18B .25C 81.2D答案:B解析:当2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.2262m nm n +⋅≤≤18mn ∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤2292n m n m +⋅≤≤.812mn ∴≤. 由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218(2,8)m n m n +=<>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B .11.已知梯形ABCD 中，3,3,c o s,(01)A B A D A B D C D A C B E m B C m⊥=∠==<<，若A E A C A B=，则CECB=（ ） .A 1.7B 2.3C .D 答案：A解：法一：以A 为原点，建立如图直角坐标系，依题意，30DAC ∠=，不妨设1DC =，则AD =2,3AC AB ==， 故(1(3,0)C B ，故(2,CB =，则7CB =由题知E 为线段BC上的点，设(01)CECBλλ=<<，故(2,)CE λ=，故(21)E λ+； 依题意，2AE AC AB =⋅，即)22(21)23λ++=⨯，展开得27220λλ--=，因为01λ<<，故λ=CE CB =法二：选定,ACAB 为基向量表达AE ，然后表达条件AE AC AB =，即可以求解.12.正方体1111ABCD A BC D -P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，平面α截正方体的表面得到一个多边形，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设B P x =，当15,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域为（）[].1,3A .B.C ⎣.D 答案：B提示：此题先通过证明教材必修2第79页B 组第2题找到两个垂直于体对角线1BD 的垂面1ACB和垂面11AC D 作为辅助，而且该题告诉我们1BD与两平面的交点正好是线段1BD 三等分点，分别讨论：如图所示：①当1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是三角形EFG ，由相似可得到周长范围为；y D1②当()1,2x ∈时，截面多边形是六边形HIJKLM，由相似可得到周长大小不变为 ③当52,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，截面多边形是三角形NQR，由相似可得到周长范围为⎣；二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案写在答题卷指定横线上. 13.已知1tan 2,tan()7ααβ=-+=，则tan β的值为_______. 答案：314.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m . 答案：15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足54323a a a =+，存在两项,m n a a 127a ，则14m n +的最小值为 答案：171516.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，其中正确的命题有（填序号） ①已知60,4A b ∠==,2c =，则ABC ∆有两解；②若90,A ∠=3,4b c ==，ABC ∆内有一点P 使得,,PA PB PC 两两夹角为120，则22230PA PB PC ++=；③若90,A ∠=1,b c ==ABC ∆内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90， PA 与PC 夹角为120， 则tan PAC ∠=④已知60,4A b ∠==，设a t =，若ABC ∆是钝角三角形，则t 的取值范围是(43,)+∞；答案：③④提示：①已知两边及夹角，三角形只有一解；1②分别在,,PAB PAC PBC ∆∆∆利用余弦定理将三式相加建立关系，再通过,,PAB PAC PBC ∆∆∆的面积之和等于ABC ∆的面积建立关系，整体求解；③设PAC θ∠=，在,,PAB PAC PBC ∆∆∆中，分别把每个三角形角用θ表达出来，然后用正弦定理求解；④如右图可得，要使ABC ∆是钝角三角形有可能B ∠是钝角，还有可能C ∠是钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，把答案写在答题卷指定位置上. 17. （本题满分10分）已知向量()sin ,cos ,(3,1),3m A A n m n ==⋅=，且A 是锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24sin sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ）由题已知:⋅=m n 分. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分 由A 为锐角得. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5分. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分x ∈R ,[]sin 11x ∴∈-,,因此,,()f x 有最大值当sin 1x =-时,()f x 有最小值3-, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 故所求函数()f x 的值域是. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分18.（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为22n n S a =-，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列，（1）求出数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求证：3121235nnb b b b a a a a ++++<. 解：（1）22n n S a =-┈① ， *1122(2,)n n S a n n N --∴=-≥∈┈② ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1分由①式-②式可得*1122(2,)n n n n S S a a n n N ---=-≥∈，即*12(2,)n n a a n n N -=≥∈，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3分 而当1n =时，带入①式，可得12a =，所以数列{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列，2n n a ∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分根据题意，12b =，23111b b b =⋅，又因为{}n b 是公差不为零的等差数列，设公差为d ， 则满足()()2222210d d +=+，即23d d =，所以3d =，则31n b n =-综上所述2,31n n n a b n ==-； ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 （2）令31223123258312222n n nn b b b b n T a a a a -=++++=++++┈① 则234112583122222n n n T +-=++++┈② ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅8分 则由①式-②式可得2312333222222n n T =++++-分即213333122222n n nn T --=++++-则11113122231212n n n n T -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--35552n n +=-<，得证 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，(1)ABADλλ=>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角. （1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[2,3]λ∈时，求cos θ取值范围；解：（1） 二面角E AB C --为直二面角，BC AB ⊥ ⊥∴BC 平面ABE AE ⊂平面ABE AE BC ⊥∴C CE BC CE AE =⋂⊥, ⊥∴AE 平面BCE 又AE ⊂平面ACE∴平面⊥ACE 平面BCE ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分（2）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系， 则λ=AB )0,0,21(),0,0,0(),1,0,1(),0,0,1(),0,1,0(222---λλλF E C B A则)1,0,1(),0,1,0(2-==λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅7分设平面EAC 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅-=0102z x y λ，取1=x ，则)1,0,1(2--=λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分同理设平面FAC 的法向量为)1,1,2(22---=λλ2cos 2||||m n m n θλ⋅∴===⋅⋅]410,35[cos ]3,2[∈∴∈θλ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20．（本题满分12分）如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45方向匀速直线航行，速度为里/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1(tan )2θθ=的方向匀速直线航行，速度为m 海里/小时. （1）若两船能相遇，求m 的值；（2）当m =两船出发后多少小时距离最近，最近距离为多少海里. 解：（1）设t 小时后，两船在点M 处相遇，所以sin sin(45)AMB θ∠=-=分由sin sin AM ABAMBθ=∠得AM =BM =所以8,33t m ====分（2）以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在1122(,),(,)P x y Q x y 处，则,AP BQ ==， 由任意角三角函数的定义可得，点P 的坐标是(15,15)t t ，点Q 的坐标是(10,2040)tt -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅9分 所以PQ===当且仅当4t =时，PQ 取得最小值即两船出发后4小时距离最近，最近距离为海里. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 21.（本题满分12分）如右图所示，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=.,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2 2.CD DE CE EB ====（1）证明：DE ⊥平面PCD （2）求二面角A PD C --的余弦值。
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案.doc
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分得sin()1,66t ππ-= ,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分 21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos 2θθ∴-=……………10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]2313(2cos 2)222)23x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。
(2021年整理)四川省成都市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
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2015-2016学年四川省成都市高一(上）期末数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A=｛﹣1,0，1，2｝，B={x|x＜2}，则A∩B=（)A．{﹣1，0，1｝B．{﹣1，0，2｝C．｛﹣1，0｝D．{0，1}2．sin150°的值等于（）A．B．C．D．3．下列函数中,f（x)与g（x）相等的是( ）A．f（x）=x,g(x）=B．f(x）=x2，g（x）=()4C．f（x）=x2，g（x）=D．f（x)=1，g（x）=x04．幂函数y=x a(α是常数）的图象( ）A．一定经过点（0，0）B．一定经过点（1，1）C．一定经过点（﹣1，1) D．一定经过点（1，﹣1）5．下列函数中，图象关于点（，0）对称的是( )A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣）C．y=sin（x+）D．y=tan（x+）6．已知a=log32，b=（log32)2，c=log4，则（)A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c7．若角α=2rad（rad为弧度制单位），则下列说法错误的是（）A．角α为第二象限角B．α=()°C．sinα＞0 D．sinα＜cosα8．下列函数中,是奇函数且在（0，1］上单调递减的函数是（ ） A ．y=﹣x 2+2x B ．y=x+ C ．y=2x﹣2﹣xD ．y=1﹣9．已知关于x 的方程x 2﹣kx+k+3=0，的两个不相等的实数根都大于2，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ＞6 B ．4＜k ＜7 C ．6＜k ＜7 D ．k ＞6或k ＞﹣210．已知函数f(x ）=2log 22x ﹣4λlog 2x ﹣1在x∈[1，2］上的最小值是﹣，则实数λ的值为（ ）A ．λ=﹣1B ．λ=C ．λ=D ．λ=11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f(x+2）=f(x),当x∈［﹣3，﹣2]时，f （x ）=x 2+4x+3，则y=f ［f(x ）]+1在区间［﹣3,3］上的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．4个 D ．6个12．已知函数f （x ）=，其中[x]表示不超过x 的最大整数,如，[﹣3•5]=﹣4,［1•2］=1，设n∈N ＊，定义函数f n （x ）为：f 1（x ）=f （x ），且f n （x)=f ［f n﹣1（x ）］（n≥2），有以下说法：①函数y=的定义域为{x|≤x≤2}；②设集合A=｛0,1，2}，B={x ｜f 3(x ）=x ，x∈A｝,则A=B ； ③f 2015(）+f 2016（）=;④若集合M=｛x ｜f 12（x ）=x,x∈[0,2］}，则M 中至少包含有8个元素． 其中说法正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数y=的定义域是．14．已知α是第三象限角,，则sinα=．15．已知函数f（x）（对应的曲线连续不断)在区间［0，2］上的部分对应值如表：x00.881。
2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一(下)期末数学试卷(文科)解析版
2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）已知平面向量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣42．（5分）（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．（5分）（2015•驻马店一模）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|4．（5分）（2016•广元二模）计算：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=（）A．0 B．C．D．5．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）对于直线m，n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥m，那么n∥α7．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）函数y=2sin2x+2sinx•cosx的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π8．（5分）（2015•铜川模拟）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°9．（5分）（2013•绵阳二模）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形10．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）A．2 B．1 C．D．﹣111．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣12．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C． D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）等差数列{a n}中，若a2+a5+a8=27，则a5=．14．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）15．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．16．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）已知圆O的半径长为3，圆内一点A到圆心O的距离是，点P是圆上的动点，当∠OPA取最大值时，PA=．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）（2016春•龙泉驿区期末）已知函数f（x）=x2+2x+a，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．19．（12分）（2016春•龙泉驿区期末）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．20．（12分）（2016春•龙泉驿区期末）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；（2）若P是CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．21．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．22．（12分）（2016春•龙泉驿区期末）已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．2015-2016学年四川省成都市龙泉驿区高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）已知平面向量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．4 C．﹣1 D．﹣4【分析】根据向量平行的坐标公式进行求解即可．【解答】解：∵量=（3，﹣6），=（﹣2，m），且∥，∴3m﹣（﹣2）（﹣6）=0，即3m+12=0，则m=﹣4，故选：D．【点评】本题主要考查向量平行的坐标公式的应用，比较基础．2．（5分）（2007•山东）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．3．（5分）（2015•驻马店一模）若＜＜0，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．a+b＜0 D．|a|+|b|＞|a+b|【分析】由题意可得a和b为负数且a＞b，由不等式的性质逐个选项验证可得．【解答】解：∵＜＜0，∴a和b为负数且a＞b，∴a2＜b2，故A正确；再由不等式的性质可得ab＜b2，B正确；由a和b为负数可得a+b＜0，故C正确；再由a和b为负数可得|a|+|b|=|a+b|，D错误．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质，属基础题．4．（5分）（2016•广元二模）计算：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=（）A．0 B．C．D．【分析】利用互余两角的诱导公式，算出cos66°=sin24°、cos54°=sin36°．将此代入题中式子并利用两角和的余弦公式加以计算，可得所要求的值．【解答】解：∵24°+66°=90°，∴cos66°=sin24°，同理可得：cos54°=sin36°．由此可得：cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=cos24°cos36°﹣sin24°sin36°=cos（24°+36°）=cos60°=．故选：D．【点评】本题求三角函数式的值，着重考查了互余两角的诱导公式、两角和的余弦公式和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．5．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）关于x的不等式≥0的解为﹣1≤x＜2或x≥3，则点P（a+b，c）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】现根据条件求得a、b、c的值，可得点P的坐标，从而得出结论．【解答】解：由于不等式≥0的解集为﹣1≤x＜2或x≥3，如图所示：故有a=﹣1、b=3、c=2；或者a=3、b=﹣1、c=2．故有a+b=2，且c=2，故点P的坐标为（2，2），显然点P在第一象限，故选：A．【点评】本题主要考查用穿根法解分式不等式、高次不等式，属于中档题．6．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）对于直线m，n和平面α，下列命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥m，那么n∥α【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α可能相交；故A错误；对于B，如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交或者n∥α；故B错误；对于C，如果m⊂α，n∥α，m、n共面，根据线面平行的性质定理，得到m∥n；故C正确；对于D，如果m⊂α，n∥m，那么n∥α或者n⊂α；故D错误；故选：C．【点评】本题考查了空间线面平行的判定定理和性质定理的运用；数量掌握线面平行的相关定理是关键．7．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）函数y=2sin2x+2sinx•cosx的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出揭露．【解答】解：函数y=2sin2x+2sinx•cosx=2•+sin2x=sin（2x﹣）+1 的最小正周期是=π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin （ωx+φ）的周期为，属于基础题．8．（5分）（2015•铜川模拟）△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°【分析】由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或，故选B．【点评】本题考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角的大小，由sinB的值求出B的大小是解题的易错点．9．（5分）（2013•绵阳二模）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【分析】设BC的中点为D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．【解答】解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到△ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键．10．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）已知数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），a2016=（）A．2 B．1 C．D．﹣1【分析】求前几项可得数列{a n}是周期数列，从而得出结论．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=﹣1，a n=1﹣（n＞1），∴a2=2，a3=，a4=﹣1，∴数列{a n}是周期为3的数列，∵2016=672×3，∴a2016=a3=，故选：C．【点评】本题考查周期性的判断与应用，考查归纳推理的应用，属于基础题．11．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）如图，AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（+）•的最小值等于（）A．﹣ B．﹣2 C．﹣1 D．﹣【分析】由题意可得+=2，从而把要求的式子化为﹣2||•||，再利用基本不等式求得||•||≤，从而求得则（+）•的最小值．【解答】解：∵+=2，∴（+）•=2•=﹣2||•|，∵||+||=||=1．再利用基本不等式可得1≥2，故有||•||≤，﹣||•||≥﹣，∴（+）•=﹣2||•||≥﹣，故选：A．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、以及基本不等式的应用问题，属于中档题目．12．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）设各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，若，则的最小值为（）A．7 B．8 C． D．【分析】利用递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n}的前n项之积为T n，，∴a1=T1=22=4．n≥2时，a n===22n=4n．当n=1时上式也成立，∴a n=4n．则===g（n），考察函数f（x）=x+（x≥2）的单调性，f′（x）=1﹣==，当2≤x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当＜x，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．又g（2）=22+=7，g（3）=23+=＞g（3）．∴的最小值为7．故选：A．【点评】本题考查了递推关系、利用导数研究函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）等差数列{a n}中，若a2+a5+a8=27，则a5=9．【分析】利用等差数列的通项公式的性质即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}中，a2+a5+a8=27，∴3a5=27，解得a5=9．故答案为：9．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m，AB=，根据正弦定理，，得BC===60m．故答案为：60m．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．15．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．16．（5分）（2016春•龙泉驿区期末）已知圆O的半径长为3，圆内一点A到圆心O的距离是，点P是圆上的动点，当∠OPA取最大值时，PA=．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用正弦定理，求出当∠OPA取最大值时∠A的值，从而求出PA的值．【解答】解：如图所示，△OPA中，OP=3，OA=，由正弦定理得，=，所以sin∠OPA==；又OP＞OA，所以当∠OPA取最大值时，sin∠A=1，即∠A=90°，所以PA===．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理与勾股定理的应用问题，是基础题目．三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）（2016春•龙泉驿区期末）已知函数f（x）=x2+2x+a，（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞1可化为x2+2x﹣2＞1，解不等式可得答案；（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣2x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣2x，分析函数在区间[1，+∞）上的单调性，进而可得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞1可化为x2+2x﹣2＞1，即x2+2x﹣3＞0，解得{x|x＞1或x＜﹣3}．（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣2x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1则g（x）在区间[1，+∞）上为减函数当x=1时g（x）取最大值为﹣3，∴a得取值范围为{a|a＞﹣3}．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，解二次不等式，恒成立问题，难度不大，属于基础题．18．（12分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．19．（12分）（2016春•龙泉驿区期末）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．【分析】（1）运用向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方，计算即可得到；（2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到；（3）运用向量的夹角公式和夹角的范围，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====，||====；（3）cos＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量的夹角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20．（12分）（2016春•龙泉驿区期末）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；（2）若P是CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．【分析】（1）由正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图得到正方体为正方体ABCD﹣EFGH，由AC∥EG，AH∥BG，得到平面BEG∥平面ACH；（2）由HF∥BD，得∠PDB是正方体中DP与HF所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出正方体中DP与HF所成角的余弦值．【解答】解：（1）平面BEG∥平面ACH．证明如下：由正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图得到正方体为正方体ABCD﹣EFGH，∵AC∥EG，AH∥BG，AC∩AH=A，EG∩BG=G，AC、AH⊂平面ACH，EG、BG⊂平面BEG，∴平面BEG∥平面ACH．（2）∵HF∥BD，∴∠PDB是正方体中DP与HF所成角（或所成角的补角），连结PB，设正方形的棱长为2，则BD=2，PB=PD==，∴cos∠PDB===．∴正方体中DP与HF所成角的余弦值为．【点评】本题考查面面位置关系的判断，考查正方体中异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．21．（12分）（2013•四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，由余弦定理可知．解得c=1，c=﹣7（舍去）．向量在方向上的投影：=ccosB=．【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．22．（12分）（2016春•龙泉驿区期末）已知数列{a n}满足=a n+1（n∈N*），且a1=．（I）求证：数列{}是等差数列，并求通项a n．（2）若b n=，c n=b n•（）n，（n∈N*），且T n=c1+c2+…+c n，求证：1≤T n＜3．【分析】（I）由已知，转化构造得出=+，求得=1006，故数列{}以1006为首项，以为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得a n；（2）将a n代入b n，得b n=n+1，即可求得c n，根据T n=c1+c2+…+c n，采用错位相减法，即可求得T n，根据函数的单调性，即可求得的T n取值范围．【解答】解：（I）证明：将=a n+1（n∈N*），两边取倒数，移项整理=+，=1006，故数列{}以1006为首项，以为公差的等差数列，=1006+（n﹣1）=，∴数列{a n}的通项公式，a n=，（2）将a n代入b n，得b n==n+1，∴c n=b n•（）n=（n+1）•（）n，T n=c1+c2+…+c n，=2×+3×（）2+4×（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2×（）2+3×（）3+4×（）4+…+（n+1）•（）n+1，两式相减得：T n=1+（）2+（）3+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，=﹣，∴T n=3﹣＜3，由函数单调性可知，当n=1时，取最小值，T1=1∴1≤T n＜3．【点评】本题考查等差数列的定义，判断、通项公式求解，错位相消法求和，考查通过对递推式变形，构造出特殊的数列来解决问题的能力，计算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
[精品]2015-2016年四川省成都七中高一下学期期末数学模拟试卷及解析答案word版
2015-2016学年四川省成都七中高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题1．（5分）不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]2．（5分）已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．3 D．﹣33．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是（）A．|a+b|＞a﹣b B．|a+b|＜|a|+|b| C．D．5．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．187．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）8．（5分）若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A．24 B．25 C．28 D．309．（5分）如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（）A．B．C．D．10．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N 为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二、填空题13．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．14．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是．15．（5分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．（10分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4．（1）求角A的度数；（2）求四边形ABCD的面积．19．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．21．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF 的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．22．（12分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣2n=S n，（1）求证：数列{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（2）求：数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}中b n=，求：b n的最小值．2015-2016学年四川省成都七中高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]【解答】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选：D．2．（5分）已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3【解答】解：由题意可得，解得．因此该等差数列的公差为3．故选：C．3．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A．4．（5分）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是（）A．|a+b|＞a﹣b B．|a+b|＜|a|+|b| C．D．【解答】解：当a＞0，b＞0时，|a+b|=|a|+|b|，故B选项中的不等式不正确．故选：B．5．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【解答】解：①根据面面平行的性质可知，若α∥β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l∥β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l∥m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α∥β不一定成立，所以④错误．故选：B．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．7．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．8．（5分）若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A．24 B．25 C．28 D．30【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=xy，∴．则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．故选：B．9．（5分）如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（）A．B．C．D．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，∵长方体共顶点的三个面的面积分别是，∴xy=，yz=，xz=，解之得x=，y=1，z=，可得长方体的对角线长l=．设长方体外接球的半径为R，则2R=l=，可得R=，故选：B．10．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||2=（﹣）2=﹣2•+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选：D．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N 为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：∵MN与DB1相交，故MN在平面D1B1D，即平面DBB1D1内，∴点N定在BD上∵N为线段AC上的动点，故点N定为AC与BD的交点O，∵MN与B1D互相平分，在矩形DBB1D1内可知M必为B1D1的中点O1∴符合条件的线段MN只有一条即OO1故选：B．12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a 16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．二、填空题13．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为[﹣1，1] ．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为[﹣1，0]；当x＞0时，f（x）=﹣x+2，代入不等式得：﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]14．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，∴该圆柱的高h=1，底面周长2πr=1，∴底面半径r=，∴该圆柱的体积V=π••1=故答案为：．15．（5分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴==（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）==（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a=2时，y=f（x）=5x2﹣8x+4=，∵0≤x≤1，∴当x=时，f（x）取得最小值；又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题17．（10分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n ﹣3）×2n﹣3．∴．18．（12分）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4．（1）求角A的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由余弦定理得BD2=4+16﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，又BD2=16+36﹣2×4×6cosC=52﹣48cosC，∵A+C=180°，∴20﹣16cosA=52+48cosA，∴，∴A=120°．（2）S ABCD=S△ABD+S△CBD=．19．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S=，△VAB∵OC⊥平面VAB，∴V C=•S△VAB=，﹣VAB=V C﹣VAB=．∴V V﹣ABC21．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF 的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．22．（12分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣2n=S n，（1）求证：数列{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（2）求：数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}中b n=，求：b n的最小值．【解答】解：（1）证明：∵，∴．两式相减得，∴=，∵，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，即．（3），∴b n +1﹣b n =2（﹣）=．令n 2+3n ﹣18≥0解得n ≥3，令n 2+3n ﹣18＜0解得n ≤2． ∴n=1，2，3时，数列递减；n=4，5，6，…时，数列递增； ∵，，∴当n=3或n=4时，（b n ）min =14．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015-2016学年四川省成都市新都区高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lga＞lgb D．2﹣a＜2﹣b2．（5分）下列说法不正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．5．（5分）在锐角三角形中，角A、B所对的边分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．或π6．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．47．（5分）平面上A、B、C三点不共线，O是不同于A、B、C的任意一点，若（+）•（+）=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形8．（5分）在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．1049．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值11．（5分）若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式log a（t2+2t﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣3，1）B．C．D．12．（5分）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3 B．C．4 D．2（+1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．13．（5分）已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差数列中项，则b2b16=．14．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），如图所示，则该几何体的侧面积为cm．15．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=．16．（5分）如下命题中：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；②若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个，则；③在等比数列{a n}中，若其前n项和S n=3n+a，则实数a=﹣1；④若向量，，则向量在向量方向上的投影是；⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则该球的体积为π；其中正确的命题序号有（把你认为正确的命题序号填在横线上）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知O、A、B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足：2+=．（1）用向量，表示向量；（2）若||=1，||=2且向量，的夹角为，求||．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），且（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．21．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（﹣C）+cos（C﹣）=．（1）求角C；（2）若c=2，点O满足||=||=||，求•（+）的取值范围．22．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1，数列{b n}满足：b n=a，其中a＞0且a≠1，n∈N*（1）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若a=2，记c n=，数列{C n}的前n项和为T n，数列的前n 项和为R n，若对任意n∈N*，不等式λnT n+＜2（λn+）恒成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年四川省成都市新都区高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lga＞lgb D．2﹣a＜2﹣b【解答】解：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴2﹣a＜2﹣b．故选：D．2．（5分）下列说法不正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面【解答】解：对于A，符合棱柱的定义，A正确；对于B，由圆锥的结构特征、母线长相等知：过轴的截面是一个等腰三角形，B 正确；对于C，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，C不正确；对于D，由圆台的结构特征知：圆台平行于底面的截面是圆面，D正确；故选：C．3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，n⊥α，则m⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n，或m，n相交、异面，故不正确；对于B，若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故不正确；对于C，因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直，故正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m、β相交或平行，或m⊂β，故不正确．故选：C．4．（5分）下列各式中，值为的是（）A．sin15°cos15° B．C．D．【解答】解：A选项，sin15°×cos15°=sin30°=，不正确；B选项，=，不正确；C选项，=，正确；D选项，≠，不正确．综上知C选项正确故选：C．5．（5分）在锐角三角形中，角A、B所对的边分别为a、b，若2asinB=b，则角A等于（）A．B．C．D．或π【解答】解：将2asinB=b，利用正弦定理化简得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，△ABC为锐角三角形，∴sinA=，则A=．故选：B．6．（5分）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4【解答】解：平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，可得：1×m=﹣2×2．解得m=﹣4．故选：B．7．（5分）平面上A、B、C三点不共线，O是不同于A、B、C的任意一点，若（+）•（+）=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【解答】解：如图所示D为BC边的中点，∵（+）•（+）=0，∴2•2=0，∴•=0，∴OD⊥AD，∴AD⊥平面OBC，∴AD⊥BC，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，故选：A．8．（5分）在等差数列{a n}中，有3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则此数列的前13项和为（）A．24 B．39 C．52 D．104【解答】解：∵3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，利用等差数列的性质可得，6a4+6a10=48∴a1+a13=a4+a10=8∴故选：C．9．（5分）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）=故选：C．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选：D．11．（5分）若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式log a（t2+2t﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣3，1）B．C．D．【解答】解：∵不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4a＜0，解得0＜a＜1，∵log a（t2+2t﹣2）＞0=log a1，∴，解得﹣3＜t＜﹣1﹣或﹣1+＜t＜1，故选：B．12．（5分）已知正数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则S=的最小值为（）A．3 B．C．4 D．2（+1）【解答】解：由题意可得0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，∴z（1﹣z）≤（）2=，当且仅当z=（1﹣z）即z=时取等号，又∵x2+y2+z2=1，∴1﹣z2=x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，∴≥1，∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x=y=且z=时取等号，∴S=的最小值为4故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．13．（5分）已知数列{b n}是等比数列，b9是1和3的等差数列中项，则b2b16= 4．【解答】解：∵b9是1和3的等差数列中项，∴2b9=1+3，解得b9=2．由等比数列的性质可得：b2b16==4．故答案为：4．14．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），如图所示，则该几何体的侧面积为80cm．【解答】解：三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm，底面边长是8cm，侧面积为×4×8×5=80（cm2）；故答案为：80．15．（5分）在△ABC中，A，B，C成等差数列，则=．【解答】解：A，B，C成等差数列∴2∠B=∠A+∠C又∵∠B+∠A+∠C=180°∴∠B=60°∠A+∠C=120°=tan（）（1﹣tan tan）+tan tan=（1﹣tan tan）+tan tan=故答案为．16．（5分）如下命题中：①在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；②若满足条件C=60°，AB=，BC=a的△ABC有两个，则；③在等比数列{a n}中，若其前n项和S n=3n+a，则实数a=﹣1；④若向量，，则向量在向量方向上的投影是；⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则该球的体积为π；其中正确的命题序号有①③⑤（把你认为正确的命题序号填在横线上）．【解答】解：①在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理得a＞b，则A＞B成立，故①正确，②若满足条件C=60°，AB=，BC=a，则三角形的高AD=h=asinC=a，若满足条件的△ABC有两个，则，即，得＜a＜2故②错误，③在等比数列{a n}中，若其前n项和S n=3n+a，可得a1=3+a，当n≥2时，a n=S n ﹣S n=2•3n﹣1，a2=6，a3=18，则62=18（3+a），解得a=﹣1，因此正确；﹣1④若向量，，则向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞==，故④错误；⑤空间中长度分别为1，2，3的线段OA、OB、OC两两相互垂直，若四点O、A、B、C在球面上，则以OA、OB、OC为棱的长方体的体对角线为直径，即2R==．则球半径R=，则该球的体积为π（）3=π；故⑤正确，故答案为：①③⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知O、A、B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足：2+=．（1）用向量，表示向量；（2）若||=1，||=2且向量，的夹角为，求||．【解答】解：（1）由2+=，A为BC中点，∴+=2，∴=2﹣，（2）由（1）知=2﹣，||=1，||=2且向量，的夹角为∴||2=|2﹣|2=4||2+||2﹣4||•||cos=4+4﹣4×1×2×=4，∴||=2．18．（12分）已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．∁R A={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．19．（12分）已知向量=（cosα，﹣1），=（2，sinα），且（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【解答】解：∵=（cosα，﹣1），=（2，sinα），且，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．（1）tan（α+）=；（2）==．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求PB和平面PAC所成的角的正切值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=60°，AB=BC=PA∴△ABC为等边三角形，∴PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE又∵AE⊥PC，PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD．（II）取AC中点F，连接BF、PF，∵AB=BC，F为AC中点，∴BF⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，BF⊂底面ABCD，∴PA⊥BF，又∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BF⊥平面PAC．∴∠BPF为PB与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PA⊥AC．设PA=AB=BC=AC=2a，∴AF=a，PF==，∴，∴PB和平面PAC所成的角的正切值为．21．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（﹣C）+cos（C﹣）=．（1）求角C；（2）若c=2，点O满足||=||=||，求•（+）的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin（﹣C）+cos（C﹣）=，得，即，∴cosC=，∵0＜C＜π，∴C=；（2），由||=||=||，可知O为△ABC的外心，∴求•（+）==．由，可得，∴•（+）=．∴•（+）的取值范围是（0，12]．22．（12分）设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1，数列{b n}满足：b n=a，其中a＞0且a≠1，n∈N*（1）求证：数列{a n+1}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）试问数列是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；（3）若a=2，记c n=，数列{C n}的前n项和为T n，数列的前n 项和为R n，若对任意n∈N*，不等式λnT n+＜2（λn+）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2a n+2，即a n+1+1=2（a n+1），又∵a1+1=1+1=2，∴数列{a n+1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n+1=2n，a n=﹣1+2n；（2）结论：数列是公差为log a2的等差数列．理由如下：∵b n=log a，∴==log a（a n+1）=nlog a2，∴数列是等差数列，公差为log a2；（3）解：由（1）、（2）可知c n==，∵T n=2•+3•+…+（n+1）•，2T n=2•1+3•+…+（n+1）•，∴T n=2++…+﹣（n+1）•=1+﹣（n+1）•=3﹣，由（2）可知R n=，又∵对任意n∈N*，不等式λnT n+＜2（λn+）恒成立，∴对任意n∈N*，不等式λn（3﹣）+＜2（λn+）恒成立，∴对任意n∈N*，不等式λ＜恒成立，从而问题转化为求f（n）=的最小值，∵f（1）=，f（2）=﹣，f（3）=﹣，f（4）=﹣，且当n≥4时f（n）=随着n的增大而增大，∴λ＜f（3）=﹣．。
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2015-2016学年四川省成都市树德中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞02．（5分）已知=（sin20°，cos160°），=（sin140°，sin50°），则•=（）A．﹣B．C．D．﹣3．（5分）已知数列{a n}满足，a1=1，a2=2，a n=，（n≥3，n∈N*）．则a2016=（）A．1 B．2 C．D．2﹣20164．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③5．（5分）规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜26．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．37．（5分）如图，已知=，=，且||=2||=2，任意点M关于点A的对称点为N，点N关于点B的对称点为P，则•（+）=（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣38．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．249．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心）B．直线OB∥平面ACDC．OD⊥平面ABCD．直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为11．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．412．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，5）．则cosA=；△ABC的边AC上的高h=．14．（5分）四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测法，画出这个梯形的直观图O1A1B1C1，在直观图中梯形的高为．15．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3=5，则S9﹣S6的最小值为．16．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A=，D是BC边上一点（D与B，C不重合），且||2=||2+•，若2m=+，则m=．三、解答题（共70分）17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1与底面ABC成角为θ，AB⊥AC．（1）若θ=，求证：AC⊥BA1；（2）若M为A1C1的中点，问：A1B上是否存在点N，使得MN∥平面BCC1B1？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程++…+=的n的值．20．（12分）如图，△ABC中，sin∠ABC=，AB=2，点D为线段AC上一点，过D作DE垂直于AB与E，作DF垂直于BC与F．（1）若AD=2DC，则BD=，求BC的长．（2）在（1）的结论下，若点D为线段AC上运动，求△DEF面积的最大值．21．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．（1）若E为线段AN上任意一点，求证：ME⊥BD；（2）若θ=，求AB与平面BCD所成角的正弦值．（3）P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得==λ（λ∈R）．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的取值范围．22．（12分）数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．令b n=a n sin（1）证明：数列{+（﹣1）n}为等比数列；（2）设c n=n•（﹣1），求数列{c n}的前n项和S n；（3）数列{b n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．2015-2016学年四川省成都市树德中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0【解答】解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．2．（5分）已知=（sin20°，cos160°），=（sin140°，sin50°），则•=（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：=（sin20°，cos160°），=（sin140°，sin50°），则•=sin20°sin140°+cos160°sin50°=sin20°cos50°﹣cos20°sin50°=sin（20°﹣50°）=﹣sin30°=﹣，故选：D．3．（5分）已知数列{a n}满足，a1=1，a2=2，a n=，（n≥3，n∈N*）．则a2016=（）A．1 B．2 C．D．2﹣2016【解答】解：∵数列{a n}满足，a1=1，a2=2，a n=，（n≥3，n∈N*），∴a3==2，a4==1，a5==，a6==，a7==1，a8==2，a9==2，故周期是6，2016÷6=336，∴a2016=a6=，故选：C．4．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③【解答】解：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．5．（5分）规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2【解答】解：∵定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），1⊙k2＜3，∴＜3，化为（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，∴|k|＜1，∴﹣1＜k＜1．故选：A．6．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．3【解答】解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选：C．7．（5分）如图，已知=，=，且||=2||=2，任意点M关于点A的对称点为N，点N关于点B的对称点为P，则•（+）=（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【解答】解：由题意可知AB是△PMN的中位线，∴=2=2（﹣）=2（﹣），∴•（+）=2（﹣）•（+）=2（||2﹣||2）=2×（4﹣1）=6，故选：A．8．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．24【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S===1．△ABC∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，【解答】解：△ABC中，∵S△ABC且2S=（a+b）2﹣c2，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选：C．10．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心）B．直线OB∥平面ACDC．OD⊥平面ABCD．直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．OD⊥平面ABC，正确；对于D，CD在平面ABC上的射影为，∴直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为，正确．故选：B．11．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．12．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a 3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，5）．则cosA=；△ABC的边AC上的高h=．【解答】解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，1）、C（4，5），∴AB=3，BC=4，AC=5；根据余弦定理得cosA==；∵直线AC的斜率为，∴AC的直线方程为y﹣1=（x﹣1）即4x﹣3y﹣1=0．∴△ABC的边AC上的高h=．故答案为：；．14．（5分）四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测法，画出这个梯形的直观图O1A1B1C1，在直观图中梯形的高为．【解答】解：∵四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，故OABC的高为2，面积S=×（2+6）×2=8，故其直观图的面积S′=8×=2，设直观图的高为h，则×（2+6）×h=2，解得：h=，故答案为：15．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3=5，则S9﹣S6的最小值为20．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q＞0，q≠1．∵S6﹣2S3=5，∴﹣=5．∴=5．∴q＞1．则S9﹣S6=﹣=•q6==5+10≥5×+10=20，当且仅当q3=2，即q=时取等号．∴S9﹣S6的最小值为20．故答案为：20．16．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A=，D是BC边上一点（D与B，C不重合），且||2=||2+•，若2m=+，则m=．【解答】解：如图所示，作高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q ﹣x，则AD2=AE2+DE2=h2+（p﹣x）2，AB2=AE2+BE2=h2+（p+q﹣x）2，所以AB2﹣AD2=（p+q﹣x）2﹣（p﹣x）2=2pq﹣2xq+q2，∵=+•，∴pq=•=q（q+2p﹣2x），∵q≠0，∴p=q+2p﹣2x，∴x==，即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形；∵顶角为，∴底角B=；又=+，代入2m=+中，得2m（+）=+，由⊥，得•=0，两边同乘以，化简得：2m（•+•）=•+，即m=•+，∴m=||×||cosB+，即m•a2=•c•a•cosB+•a2，由正弦定理化简得m•sin2A=•sinC•sinA•cosB+•sin2A，由sinA≠0，两边同时除以sin2A得：m=，∴m===sinB=sin=sin（+）=sin cos+cos sin=．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1与底面ABC成角为θ，AB⊥AC．（1）若θ=，求证：AC⊥BA1；（2）若M为A1C1的中点，问：A1B上是否存在点N，使得MN∥平面BCC1B1？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：θ=时，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABCD，∴AA1⊥AC，又AB⊥AC，AA1∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1．（2）解：，即点N为线段BA1的中点．在△A1BC1中，连接MN，则MN∥BC1．又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1．∴MN∥平面BCC1B1．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程++…+=的n的值．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由，得．当n≥2时，∵，，∴，即．∴．∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故．（7分）（Ⅱ），b n=，（9分）（11分）解方程，得n=100（14分）20．（12分）如图，△ABC中，sin∠ABC=，AB=2，点D为线段AC上一点，过D作DE垂直于AB与E，作DF垂直于BC与F．（1）若AD=2DC，则BD=，求BC的长．（2）在（1）的结论下，若点D为线段AC上运动，求△DEF面积的最大值．【解答】解：（1）因为sin∠ABC=，由二倍角公式可知：所以cos∠ABC=1﹣2×=．△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得：9b2=a2+4﹣①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB=，cos∠DBC=．因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有=﹣．，所以3b2﹣a2=﹣6，②由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（2）令DE=d1，DF=d2，则△ABC的面积为×2×3×=2=，从而可得，而△DEF的面积为（当且仅当时取等）．△DEF面积的最大值．21．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．（1）若E为线段AN上任意一点，求证：ME⊥BD；（2）若θ=，求AB与平面BCD所成角的正弦值．（3）P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得==λ（λ∈R）．令PQ与BD 和AN所成的角分别为θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的取值范围．【解答】证明：（1）取BC的中点N，连接AN交BD于M，∵BC=2AD=2AB=2，∴四边形ABND是正方形，∴AM⊥BD，MN⊥BD，∵AM∩MN=M，∴BD⊥平面AMN，∵ME⊂平面AMN，∴BD⊥ME，解：（2）若θ=，由（1）知∠AMN是二面角A﹣BD﹣C的平面角θ，若θ=∠AMN=，从而△AMN为等边三角形，取MN的中点H，连接AH，则AH⊥平面BCD，连接BH，则∠ABH是AB与平面BCD所成角，则AB=，AM=MH=AN=1，则AH=，则sin∠ABH===．解：（3）在BN线段取点R使得从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而θ=∠AMN．∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，∴BD⊥AN，∵PR∥AN，RQ∥BD，∴∠PRQ=，从而有θ1+θ2=，则sinθ1+sinθ2=sinθ1+cosθ1=sin（θ1+）∈（1，]．22．（12分）数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．令b n=a n sin（1）证明：数列{+（﹣1）n}为等比数列；（2）设c n=n•（﹣1），求数列{c n}的前n项和S n；（3）数列{b n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．【解答】（1）证明：∵a n=（n≥2，n∈N）．，∴，∴，又∵，∴数列是首项为3，公比为﹣2的等比数列．（2）解：∵，∴．∴∴S n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①2S n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1．②①﹣②，得﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2．∴S n=（n﹣1）2n+1+2．（3）证明：当n≥3时，则＜=．∵T1＜T2＜T3，∴对任意的n∈N*，．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。