《初等数学研究》
《初等数学研究》教学大纲
《初等数学研究》教学⼤纲《初等数学研究》教学⼤纲课程名称：初等数学研究英⽂名称：Research on elementary mathematics课程性质：专业必修课学分：4总学时：64 理论学时：64适⽤专业：数学与应⽤数学先修课程：数学分析，⾼等代数，解析⼏何⼀、教学⽬的与要求初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。
通过本课程的开设，应使学⽣在掌握近、现代数学的基础上，系统深⼊掌握中学数学内容有关的初等数学知识，做到初等与⾼等相结合。
⼀⽅⾯，通过初等数学内容的研究，尽量反映近、现代数学思想⽅法，以填补学⽣在中学数学与⾼等数学之间的空⽩；另⼀⽅⾯，试图⽤近、现代数学的思想⽅法居⾼临下地分析、处理、研究中学数学内容，使学⽣对中学数学内容有个⾼屋建建瓴的认识与理解，为当好⼀名中学数学教师打下扎实的知识基础。
同时通过本课程的开设，进⾏解题策略的训练，使学⽣具有⼀定的解题能⼒。
由于学⽣对初等数学内容并⾮⼀⽆所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。
在每章、每节之后提出若⼲问题让学⽣进⾏探索、研究，以帮助学⽣形成⾃主探索、合作交流的学习⽅式，以便他们将来⾛向教学岗位后，能较快地适应课程改⾰的形势。
本课程主要采⽤以讲授为主、学⽣⾃学为辅的教学⽅法，必要时运⽤⼩组合作的⽅式进⾏适当的专题讨论。
初等数学研究是专业选修课，系主⼲课程。
⼀般情况下第七---⼋学期开设，安排32周，有条件时可安排36周,共64课时。
⼆、教学内容与学时分配三、各章节主要知识点与教学要求第⼀章绪论（2课时）包括数学研究的对象，中学数学的发展历程，中学数学的特点，中学数学与初等数学的关系，本课程的研究对象，学习本课程的⽬的意义，等等本章重点：中学数学的特点本章难点：⽆本章教学要求：要求学⽣了解数学研究的对象，中学数学的发展历程；掌握中学数学的特点，中学数学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的⽬的意义第⼆章集合与逻辑（6课时）第⼀节集合集合的特性，集合的运算。
初等数学研究
初等数学研究初等数学研究是数学研究的一个重要分支，主要研究基础数学概念和计算方法。
它涉及到数学的各个方面，包括数的性质、代数、几何、概率统计等内容。
初等数学研究在我们日常生活中起着重要作用，它帮助我们理解和解决各种实际问题。
初等数学研究的一个重要方面是数的性质研究。
数的性质是指数的分类和特点，包括自然数、整数、有理数和实数等。
通过研究数的性质，我们可以了解数的大小关系、运算规则等，进而应用到实际问题中。
例如，在商场购物时，我们需要计算折扣和打折后的价格，这就需要对数的性质有所了解。
代数是初等数学研究的另一个重要方面。
代数研究的是各种数的关系和运算。
代数中的基本概念包括变量、方程、不等式等。
通过代数的应用，我们可以解决一些实际问题。
例如，在计算面积时，我们可以通过建立各种代数方程来求解。
此外，代数还可以帮助我们分析和解决复杂问题，如解析几何和线性方程组。
几何是初等数学研究的又一个重要方面。
几何研究的是空间和形状的关系。
几何通过图形的形状、大小和位置等特征来研究几何关系和计算几何问题。
在日常生活中，几何广泛应用于建筑设计、地图测量等领域。
例如，在建筑设计中，几何可以帮助我们计算房子的面积和体积，以及确定各个部分的位置和关系。
概率统计是初等数学研究的最后一个方面。
概率统计研究的是事件发生的可能性和规律性。
概率统计在我们的生活中无处不在，从赛马比赛的胜算到天气预报的准确度等。
通过研究概率统计，我们可以用统计方法来了解和分析事件的发生规律，并做出相应的决策。
总之，初等数学研究是数学研究的重要分支，涉及到数的性质、代数、几何和概率统计等各个方面。
初等数学研究帮助我们理解数学概念和计算方法，并应用于实际问题中。
它在我们的日常生活中起着重要作用，帮助我们解决各种实际问题，提高我们的数学水平和思维能力。
《初等数学研究》教学大纲
《初等数学研究》课程教学大纲一、教学大纲的说明（一）课程的地位、作用和任务《初等数学研究》为第四学期的课程，是为数学系数学与应用数学（教师教育）专业本科生开设的专业选修课，是师范院校教学计划的重要组成部分，也是整个师范教育结构体系的重要支柱，学生通过学习和训练，对中小学数学教学内容有一个较全面的高观点的认识，掌握作为一名数学教师应掌握的专业知识和基本解题技能，打下扎实基础。
（二）课程教学的目的和要求本课程的教学目的是使学员掌握中小学数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解初等数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初等数学打下较坚实的基础。
本课程分为初等代数和初等几何两部分，其基本要求是：掌握：数系扩展的理论、解析式分类及其恒等变形理论、掌握用初等方法讨论函数、方程的基本概念及其解法、不等式的基本性质及其证明不等式的常用方法、利用初等几何变换解题、轨迹命题的证明方法、作图的基本知识和常用的方法。
理解：代数延拓原理、方程的同解理论、解不等式的概念和理论、合同变换、位似变换和相似变换等概念。
了解：数系扩展的形式及其所遵循的原则、函数概念的发展与几种定义方式、中学几何的逻辑结构。
（三）课程与其他课程的联系本课程涉及到部分高等数学知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。
（四）教材与教学参考书教材：华南师范大学王林全、林国泰教授主编，《初等代数研究教程》《初等几何研究教程》，暨南大学出版社2004年6月教学参考书：1、余元希等编著，《初等代数研究》，高等教育出版社，1988年2月2、王仁发编著，《高观点下的中学数学》，高等教育出版社3、陈计编，《初等数学前沿》，江苏教育出版社二、课程的教学内容、重点和难点第一部分初等代数第一章绪论内容：代数学发展概述、作为教学科目的中学代数第二章数系内容：数的概念的扩展、自然数集基数理论、序数理论、整数环、有理数域、近似计算初步、实数域、无理数的引入、实数的概念及其大小比较、实数的运算、实数集的性质、复数、复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。
初等数学研究 课程教学大纲
初等数学研究课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：数学与应用数学课程代码：14E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：教育心理学、教育学原理、数学方法论后续课程：教育实习，毕业综合训练二、课程性质与任务《初等数学研究》是从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和知识结构，主要围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”这两个基本问题进行初等数学解题的理论分析与实践探索；使学生掌握中学数学教学所需的解题理论。
三、教学目的与要求通过本课程的教学，使学生熟练掌握解题的有效途径，理解一些有代表性的解题观点，如解题推理论、解题化归论、解题化简论、解题信息论、解题系统论、解题差异论和解题坐标系等。
通过分析典型例题的解题过程来领会解题的四步骤基本程式：“简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”。
是学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
四、教学内容与安排第一章解题概论（12课时）解题研究的现状分析，解题概念的初步界定，成功解题的基本要素，基于经验的解题分析.第二章解题观点(16课时）解题推理论，解题化归论，解题化简论，解题信息论，解题系统论，解题差异论，解题坐标系.第三章解题案例（26课时）问题解决视角的解题分析，数学解题的思维过程，特殊与一般的双向沟通，高考数列题的解题反思，高考题的完整求解与思维测试，数学教育的结论也是要证实的，明确知识的认识封闭现象.五、附录教学参考文献1．罗增儒. 中学数学解题的理论与实践[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.2．波利亚（涂泓、冯承天译）. 怎样解题[M]. 上海：上海科技教育出版社，2015.3．单墫. 解题研究[M]. 上海：上海科技教育出版社，2016.4．王林全，吴有昌. 中学数学解题研究[M]. 北京：科学出版社，2009. 5．全国历届数学高考题.。
初等数学研究教案
教案课程名称：初等数学研究任课教师：教师所在单位课程简介《初等数学研究》是初等教育专业的专业课。
它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。
本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。
本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。
《初等数学研究》包括《初等代数研究》和《初等几何研究》两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。
根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。
理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。
学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。
本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。
对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。
《初等数学研究》教案1. 反射变换函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称；函数)(1x f-与)(x f y =的图象关于直线x y =对称．因此函数)(x f y -=，)(x f y -=和)(1x f-的图象可由函数的图象分别对y 轴、x 轴和直线x y =作反射得到．2. 平移变换函数b x f y +=)(的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向上下平移b 个单位得到．当0>b 时，图象向上平移；当0<b 时，图象向下平移．函数)(m x f y +=的图象可有函数)(x f y =的图象沿x 轴方向左右平移m 个单位得到．当0>m 时，图象向左平移；当0<m 时，图象向右平移．３. 伸缩变换函数)0)((>=k x kf y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向放大)1(>k k 倍或缩短)10(<<k k 倍得到；而函数)0)((>=k kx f y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿轴x 方向压缩)1(>k k 倍或伸长)10(1<<k k 倍得到．例3 作出函数211x y -=的图象．解 易知211xy -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞，且没有零点，)1,1(-是其正值区间．),1(),1,(+∞--∞是其负值区间．所给函数是偶函数，其图象关于y 轴对称．当0=x 时，该函数有极小值1．当]1,0[∈x 时单调递增，当)0,1(-∈x 时单调递减，当)1,1(-∈x 时，函数是下凸的．当),1(+∞∈x 时，函数单调递增，且上凸；当），（1-∞-时，函数单调递减，且上凸．由于011lim 11lim 22=-=-+∞→-∞→x x x x 在)1,1(-区间内+∞=-=-+-→→212111lim 11lim x x x x 在区间内-∞=---→2111lim xx 在),1(+∞区间内-∞=-+→2111lim xx 所以函数图象无限趋近于x 轴与直线1±=x 根据以上分析容易作出函数的图象。
浅谈《初等数学研究》的教育价值,数学范文.doc
浅谈《初等数学研究》的教育价值,数学-：丁丹翎摘要：本文从《初等数学研究》的主要内容以及从高师培养目标和初等数学的特点出发，探讨了《初等数学研究》的教育教学价值。
关键词：初等数学；主要内容；教育价值一、主要内容《初等数学研究》是高师院校数学教育系的专业必修课，它与学生毕业后所从事的中学数学教育工作联系密切。
“初等数学”可以分为“传统的初等数学”以及“现代的初等数学”，本书所讨论的初等数学就是指现代的初等数学。
“初等数学研究”所包括的内容：其一，用现代数学、古典高等数学考察传统的初等数学，理解“中学数学”的理论基础；其二，掌握与灵活运用数学思想方法；其三，用“生长”的观念探讨与延伸一些初等数学问题。
本课程从中学数学教学的需要出发，把基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深与拓广，在理论、观点、思想与方法上予以提高，使中学数学教师具有严谨、系统的初等数学理论与基础知识，提高中学数学教师的解题技巧。
二、主要教育价值1. 利用《初等数学研究》中的内容，引导学生用高观点分析解决问题，提高学生认知结构的层次，激发学生的学习兴趣初等数学中的内容必须在教学中有意识地进行引导，用高观点分析，才能提高学生对初等数学的认知结构的层次，从而掌握中学数学的规律。
如数系这一章是初等代数的重要内容。
学生基本上是在中学阶段已经学习过关于数概念的扩展的知识。
在高师，除了在数学分析中学习实数理论外，关于数的概念扩展再也没有系统提到过，高师的学生仅靠这些知识是绝对不合格的，初等代数中数系这一章让学生掌握了数的发展规律，从而将来能适度地处理中学教材。
例如自然数理论的建立若用群、环、域的观点，可使学生对数系的发展有一个系统性的认识，并且使学生调整了对中学时代建构的认知结构，提高了认识层次，增强学习目的性，因而激发了学习的兴趣。
2. 利用《初等数学研究》的特点，突出课程的“研究”性质，从而培养学生科研能力弗赖登塔尔曾提出，中学教师的基本要求是：（1）能独立地运用当今数学的基本方法；（2）能向学生提供理解当今数学结构所需的基本知识；（3）能对怎样应用数学知识作一些讲解；（4）对于如何进行数学研究有初步的概念。
初等数学研究
《初等数学研究》------本学期课程内容要点学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！绪论 初等数学研究概况1. 国内外初等数学研究的发展状况；2. 数学发展的各个历史时期。
第一章 数的扩张1. 自然数的序数理论：Peano(皮亚诺)公理化定义；四则运算；2. 自然数的重要性质：三分律；良序性-最小数原理；离散性；阿基米德性；3. 数学归纳法：第一数学归纳法；第二数学归纳法；反向归纳法；4. 整数的公理化体系：整数概念；四则运算；5. 有理数的公理化体系：有理数概念；四则运算；6. 实数概念：戴德金分割法；7. 复数的公理化体系：复数概念及其代数形式、几何表示、三角形式；欧拉公式及其应用；复数的开方运算；复数的模及其应用。
第二章 重要不等式1. 平均值不等式：几何平均、算术平均、调和平均与平方平均； 几何平均:na a a A nn +++=21算术平均:n n n a a a G 21=调和平均:nna a a n H 11121+++=平方平均:2122221)(na a a Q n n+++= n n n n Q A G H ≤≤≤2. 柯西(Cauchy)不等式与琴森(Jonson)不等式：加权几何幂平均不等式；加权幂平均不等式；Yong不等式；H Ölder 不等式；Minkowski 不等式；柯西(Cauchy)不等式:设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 为实数，则22222122222122211)()()(n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立。
琴森(Jonson)不等式：若函数在区间I 内上凸，对于任意的I x x x x n ∈,,,,321 ，以及任意的121=+++n λλλ 的正数n λλλ,,,21 都有()()()()n n n n x f x f x f x x x f λλλλλλ ++≥+++22112211加权几何幂平均不等式:设0),1(0,>≤≤>βλn i x ii 则ββββλλλλλλλλλλλλ1212211121)()(2121nn n n x x x x x x nn++++++≤+++++加权幂平均不等式：设αβλ>≤≤>),1(0,n i x ii 则ββββααααλλλλλλλλλλλλ12122111212211)()(nnn n n n x x x x x x ++++++≤++++++Yong 不等式：设0,)0,(,111>>=+b a q p q p 则q p b qa p ab 11+≤ H Ölder 不等式：设0,)0,(,111>>=+b a q p q p 则)0,(11111>⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===i i qn i q i n i p i n i i i b a b a b a pMinkowski 不等式：设0,0,>>p b a ii 则()()()()101111111111111<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑∑∑∑======p b a b a p b a b a pni p i pni p i pni p i i pni p i pni p i pni p i i 3. 伯努利(Bernoulli)不等式与约当(Jordan)不等式；伯努利(Bernoulli)不等式：设1->x ，则()())1,0(,11)2()11(,11)1(><+≥+<<+≤+αααααααx x x x当且仅当x=0等号成了。
学习《初等数学研究》的收获及建议
学习《初等数学研究》的收获大三第一学期末怀着对《初等数学研究》的浓厚兴趣，我选了这门课，到现在为止已经上了十六周的课了。
课本里的内容在初中、高中基本上都有学过，而现在主要是深入研究，更进一步地学习初等数学。
对于这门课，每节课我都很认真地听讲，跟着欧阳老师的思路走，所以学了这么久感觉收获挺大的。
《初等数学研究》包括初等代数和初等几何研究，是高师院校数学系的一门重要专业课。
这本书分为两部分：初等代数与初等几何，这学期主要讲了代数部分的内容，包括数系、解析式、初等函数、方程等，几何部分的内容还没讲。
课本关于数系的讨论，着眼于某一数集里的各种代数运算，而很少涉及数集的抽象性质。
解析式主要讨论代数式与简单超越式的基础概念、基本运算和恒等变换。
初等函数主要在刻画函数概念的过程中逐步渗透了集合、对应思想。
方程则主要讨论各类方程（组）的解法。
印象最深的是学习“多项式的因式分解”这一部分。
多元多项式主要包括齐次多项式、对称多项式、交代多项式以及轮换多项式，这几种多项式容易搞混，当时老是分不清谁是谁，做起题来挺麻烦的。
所以课后我把这几种多项式好好地看了几遍，再去做题，才不至于搞乱思路。
代数里自我感觉比较难的是对于反三角式的学习，因为高中对于反三角式只是初步的了解，并没有系统的学习，因而现在学起来有点费力，公式比较多，需要记的东西很多，很容易弄错。
到现在为止只记得“反正弦”与“反余弦”的一些关系式，而对于“反正切”、“反余切”已经没什么印象了，时间久了容易淡忘。
对于公式的记忆，一直是我一个比较头疼的问题，每次考试，我都会忘记一些公式，所以在以后的公式记忆中，更应该讲究技巧，不能盲目记忆。
在作业方面，我都力求独立完成，遇到有不懂的地方，我就同其他同学一起讨论、研究，结果都能够得到解答。
通过讨论、交流，让我拉进了与同学之间的距离，也让我深深感受到交流学习所带来的良好效果。
虽然有时对一些概念和定理还不是很熟，但只要认真地看课本，基本上都能搞懂。
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《初等数学研究》
一、课程的性质目标与任务
初等数学研究是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程，分初等代数和初等几何两部分。
本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、基础知识和基本技能；了解数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
本课程主要讲授初等几何部分，初等代数部分作为自学内容。
二、课程的内容与基本要求
本课程的基本要求是：从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高；对各专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练；要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
初等几何部分
第一章绪论
1．几何学的历史简介
2．初等几何研究的对象和目的
了解几何学发展的四个基本阶段以及初等几何研究的对象和方法
第二章几何的证明
1．几何证明的概述
2．证度量关系
3．证位置关系
掌握常用的证题方法和技巧
第三章几何量的计算
1．线段度量
2．面积计算
3．解三角形
掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用，会计算面积和解三角形。
第四章初等变换
1．合同变换及其间的关系
2．位似变换和相似变换
3．初等变换的应用
理解合同变换、位似变换和相似变换等概念，能利用初等变换解题。
第五章轨迹
1．基本概念（轨迹的概念与证明方法，轨迹命题的类型）
2．常用轨迹命题及其证明
3．轨迹的探求
理解轨迹的概念，并掌握轨迹命题的证明方法。
掌握常用的几个轨迹命题。
第六章立体图形的一些性质
1．直线与平面（直线与平面的各种位置关系，空间作图公法，简单作图题）
2．三面角（三面角及其性质，三面角的相等）
3．多面体（四面体的一些性质，凸多面体的欧拉定理，正多面体，截面图的画法）4．体积计算（体积概念，拟柱体体积公式，体积计算）
掌握空间直线与平面的各种位置关系。
掌握三面角、四面体的性质，会计算体积。
三、学时分配
四、教学方法与教学手段说明
主要采用讲解法、讲练结合法和研讨法。
五、考核方式
考核方式：开卷考试。
六、教材与主要参考书目
建议选用教材：
张尊宙沈文选《中学代数研究》高等教育出版社 2008年
张尊宙沈文选《中学几何研究》高等教育出版社 2008年
主要参考书目：
1．程晓亮、刘影《初等数学研究》北京大学出版社 2011年1月
2．朱德祥《初等几何研究》高等教育出版社 1985年
3. 李长明、周焕山《初等数学研究》高等教育出版社 1995年6月
2011年12月10日。