高中数学必修5第二章等差数列
人教版高中数学必修五第二章2.2.1等差数列的概念与通项公式【教案】
2.2等差数列的概念与通项公式一、教学目标：1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。
2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力3.情感目标：①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。
②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。
二、教学重点：研究等差数列的概念以及通项公式的推导。
教学难点；（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。
三、学情及导入分析：高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.弄清楚等差数列与通项公式的含义以及通项公式的推导过程。
四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新1、知识链接；数列的通项公式与递推关系.学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
知归纳抽象形成概念比较分析，深化认识创设问题情景：1.下述数列有什么共同特点？根据下述数列的共同特点，可以给出等差数列的定义吗？能将以上的文字语言转换成数学符号语言吗？[来源:学#科#网Z#X#X#K]引例1：从0开始，将5的倍数从小到大排列，得到的数列？引例2：从1开始，将自然数从小到大排列，得到的数列？引例3：为了保证考试笔试的秩序，每次放入2个人考试，依次排列下去，已经考试的人员组成一个什么数列？得出等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差(公差d)为同一常数，这样的一组数列，叫做等差数列”。
《等差数列》 说课稿
《等差数列》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的内容是《等差数列》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“等差数列”是高中数学必修 5 第二章数列中的重要内容。
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
等差数列在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、经济增长等方面。
本节课是在学生已经学习了数列的基本概念和函数特性的基础上，进一步研究一类特殊的数列——等差数列。
通过本节课的学习，不仅可以深化学生对数列的理解，还为后续学习等比数列以及数列求和等知识奠定基础。
教材在内容编排上，先通过实例引入等差数列的概念，然后通过通项公式的推导，让学生体会从特殊到一般的数学思维方法。
同时，教材还配备了丰富的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。
二、学情分析我所授课的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象概括能力，但对于数学概念的理解和应用还需要进一步加强。
在之前的学习中，学生已经掌握了函数的相关知识，这为理解数列这种特殊的函数提供了一定的帮助。
然而，由于等差数列的概念较为抽象，通项公式的推导需要一定的数学技巧，学生在学习过程中可能会遇到困难。
三、教学目标基于对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。
（2）能够运用等差数列的通项公式解决相关问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、分析、归纳等方法，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
（2）经历等差数列通项公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过合作探究，培养学生的团队合作精神和创新意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）等差数列的概念和通项公式。
（2）通项公式的应用。
2、教学难点（1）等差数列通项公式的推导。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》
数学人教B 必修5第二章2.2.2 等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式，并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n 项和公式．(2)等差数列的前n 项和公式有两个，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a 1和末项a n 及项数n 时，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a 1和公差d 及项数n 时，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求和．【做一做1－1】已知数列{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( )． A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值为( )． A ．55 B ．95C ．100D ．不能确定2．等差数列前n 项和公式与函数的关系 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ≠0时，此公式可看做二次项系数为d 2，一次项系数为(a 1－d2)，常数项为0的________，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N ＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最____值；当d ＜0时，S n 有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则{a n }的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－12n ，则当n 等于________时，S n 最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{a n }有偶数项时，设项数为2n ， 设S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，① S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，② ①－②，得S 偶－S 奇＝nd . ①＋②，得S 偶＋S 奇＝S 2n .①②，得S 偶S 奇＝n2(a 2＋a 2n )n2(a 1＋a 2n －1)＝2a n ＋12a n ＝a n ＋1a n .(2)当等差数列{a n }有奇数项时，设项数为2n ＋1， 设S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，③ S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，④③－④，得S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1.③＋④，得S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1. ③④，得S 奇S 偶＝n ＋12(a 1＋a 2n ＋1)n 2(a 2＋a 2n )＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶＋S 奇＝S 2n ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(2)项数为2n ＋1时，S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1，S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 奇S 偶＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n 项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列． ②若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于{S nn }是等差数列．③若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得S n 最小的序号n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n 的值．因为该数列的通项公式为a n＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n ＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a 1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n 项和公式可以变形为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .当d ≠0时，是关于n 的二次函数，如果一个数列的前n 项和公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ，n ＝1，2an －a ＋b ，n ≥2.只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b .因此，当数列的前n 项和公式为S n ＝an 2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d ＝2a .题型一 等差数列的前n 项和公式的直接应用 【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n ； (2)已知S 8＝24，S 12＝84，求a 1和d ； (3)已知a 6＝20，S 5＝10，求a 8和S 8； (4)已知a 16＝3，求S 31.分析：在等差数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．反思：在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a 1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．题型二 S n 与a n 的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．分析：由a 1＝S 1，求a 1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n 确定a n ＋1与a n 的关系，再求通项a n .反思：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n 时，切记验证n ＝1时的情形是否符合n ≥2时a n 的表达式．题型三 等差数列前n 项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．反思：在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n＋1，S 偶＝n ·a n ＋1；(2)若数列项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .题型四 等差数列前n 项和的最值问题【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n ，使a n ≥0，a n ＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．反思：本例四种解法从四个侧面求解前n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前n 项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次式，因此可用二次函数的最值来确定S n 的最值，但要注意这里的n ∈N ＋.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于S n ＝S n －1＋a n ，所以当a n ≥0时，S n ≥S n －1；当a n ≤0时，S n ≤S n －1，因此当a 1＞0且d ＜0时，使a n ≥0的最大的n 的值，使S n 最大；当a 1＜0，d ＞0时，满足a n ≤0的最大的n 的值，使S n 最小．题型 五易错辨析【例5】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1，求数列{a n }的通项公式，并判断它是否为等差数列．错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－5]－(6n －5)＝6(常数)． ∴数列{a n }是等差数列．错因分析：本题忽略了a n ＝S n －S n －1成立的条件“n ≥2”．【例6】已知两个等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项和的比S n S n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10.错解：设S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)， 则a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k (10＋3)－k (9＋3)k (10＋1)－k (9＋1)＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，从而导致结论错误．1已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )． A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3等于( )．A ．120B ．124C ．128D ．1323等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )． A ．130 B ．170 C ．210 D ．2604设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )． A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5 5设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2·3n ，则通项公式a n ＝________. 6设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________．答案： 基础知识·梳理 1．n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d【做一做1－1】D 由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到35n ＋n (n －1)2(－2)＝0，即n 2－36n＝0，解得n ＝36或n ＝0(舍去)．【做一做1－2】B 2．二次函数 小 大 【做一做2－1】9 【做一做2－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∵S n ＝242，∴12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． ∴n ＝11.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 8＝8a 1＋28d ＝24，S 12＝12a 1＋66d ＝84，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2.∴a 1＝－4，d ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝20，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴a 8＝a 6＋2d ＝32，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝88.(4)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝93.【例2】解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，知a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n ，因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.【例3】解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1.∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)×(n ＋1)12(a 2＋a 2n )×n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，得n ＝3.∴2n ＋1＝7.又∵S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有7项． 【例4】解：解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数的性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(解法一)．∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)． 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.∵d ＝－2＜0，a 1＞0， ∴a 13＞0，a 14＜0.故n ＝13时，S n 有最大值169.解法四：先求出d ＝－2(同解法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象的对称轴n ＝9＋172＝13，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.【例5】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.∴数列{a n }不是等差数列．【例6】正解1：利用等差数列的性质，得a 10b 10＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S 19′＝19＋319＋1＝1110. 正解2：设S n ＝kn (n ＋3)，S n ′＝kn (n ＋1)，所以a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k ·10(10＋3)－k ·9(9＋3)k ·10(10＋1)－k ·9(9＋1)＝1110.随堂练习·巩固1．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.2．A3．C 令m ＝1，则S m ＝S 1＝a 1＝30，S 2m ＝S 2＝a 1＋a 2＝100，则有a 1＝30，a 2＝70，d ＝40，则a 3＝110，故S 3m ＝S 3＝S 2＋a 3＝100＋110＝210.4．B 方法一：设该等差数列的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2. 从而有S 4＝－20，S 5＝－20，S 6＝－18.从而有S 4＝S 5.方法二：由等差数列的性质知a 5＋a 5＝a 2＋a 8＝－6＋6＝0，所以a 5＝0，从而有S 4＝S 5.5．－4·3n －1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2·31＝－4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2·3n )－(2－2·3n －1)＝－4·3n －1.此时对n ＝1，有a 1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n ∈N ＋，a n ＝－4·3n －1.6．a n ＝49(2n －1) 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，首项为a 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).解得a 1＝49，d ＝89或a 1＝d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝49＋(n －1)×89＝49(2n －1)．。
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
高中数学人教A版必修5第二章2.2等差数列2课时课件
a2=a1+d,
实际由等差数列定义有
a3=a2+d =a1+2d, a4=a3+d =a1+3d, 由上式猜测: an=a1+(n-1)d.
a2-a1=d, a3-a2=d,
a4-a3=d, ……
an-an-1=d,
联想：形如递推公式a n
- an-1
=
f
(n)，
求通项公式可运用累加法
各式两边分别相加得
问题1. 刚才写出的 4 个数列, 它们有什么共同的 规律? 请你给有这种规律的数列设计一个名称.
(1) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … (2) 18, 15.5, 13, 10.5, 8, 5.5, 3, 0.5. (3) 10072, 10144, 10216, 10288, 10360. (4) 60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42.
问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 设这个数列为{bn}, 则 b1=61, b15=40. 由通项公式 b15=b1+(15-1)d 得
(2) 是等差数列, 它的首项是原数列首项a1, 公差是原 数列公差的 2 倍, 即2d.
(3) 也是等差数列, 它的首项是原数列首项a7, 公差是 原数列公差的 7 倍, 即7d.
5. 已知{an}是等差数列. (1) 2a5=a3+a7 是否成立? 2a5=a1+a9 呢? 为什么? (2) 2an=an-1+an+1 (n>1) 是否成立? 据此你能得出 什么结论?
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
高中数学必修5课件：第2章2-2-2等差数列的性质
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
数学 必修5
第二章 数列
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6. 答案： C
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第二章 数列
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5
＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1 ＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
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第二章 数列
3 ． 已知 {an} 为等差数列 ， a3＋ a8＝22 ，a6＝ 7， 则a5＝ ________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝ 15.
答案： 15
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第二章 数列
4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d) ＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12.
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第二章 数列
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化 计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时， 可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两 项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a －d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
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2．2 等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。
2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。
3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。
（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。
在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。
今天我们就先学习一类特殊的数列。
[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。
该项目共设置了7个级别。
其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。
如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，…… ①48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]对于以上几组数列我们称它们为等差数列。
请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。
提问：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A所以就有 2b a A += 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。
不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。
9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。
看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q则 q p n m a a a a +=+[等差数列的通项公式]对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。
⑴、我们是通过研究数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系去写出数列的通项公式的。
下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：① 这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是n a n 5=② 这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(548-+=n a n③ 这个数列的第一项是18，第2项是15.5（=18-2.5），第3项是13（=18-2.5×2），第4项是10.5（=18-2.5×3），第5项是8（=18-2.5×4），第6项是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.218--=n a n④ 这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(7210072-+=n a n⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项1a 和公差d ，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： ,12d a a =-,23d a a =-,34d a a =-…所以 ,12d a a +=,23d a a +=,34d a a +=……思考：那么通项公式到底如何表达呢？,12d a a +=,2)(123d a d d a d a a +=++=+=,3)2(134d a d d a d a a +=++=+=（n-1）个等式……得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以1a 为首项，d 为公差的等差数列}{n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+=也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a 和公差d ，那么这个等差数列的通项n a 就可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =--,21d a a n n =---,32d a a n n =---……,12d a a =-两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=-所以 d n a a n )1(1-+=（迭代法）：}{n a 是等差数列，则有 d a a n n +=-1d d a n ++=-2d a n 22+=-d d a n 23++=-d a n 33+=-……d n a )1(1-+=所以 d n a a n )1(1-+=[例题分析]例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。
首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。
要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。
解：⑴由1a =8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820-=-⨯-+=a⑵由1a =-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45--=---=n n a n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n 的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于n a 、1a 、d 、n （独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。
（放投影片）例2．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。
如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km 时，每增加1km ，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列}{n a 来计算车费.令1a =11.2，表示4km 处的车费，公差d=1.2。
那么当出租车行至14km 处时，n=11，此时需要支付车费)(2.232.1)111(2.1111元=⨯-+=a答：需要支付车费23.2元。
例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。
（放投影片）思考例题：例3 已知数列}{n a 的通项公式为,q pn a n +=其中p 、q 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定}{n a 是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看1--n n a a （n ＞1）是不是一个与n 无关的常数。
解：取数列}{n a 中的任意相邻两项1-n n a a 与（n ＞1），求差得 p q p pn q pn q n p q pn a a n n =+--+=+--+=--](])1{[)(1它是一个与n 无关的数.所以}{n a 是等差数列。
课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项p d q p a =+=公差,1。
由此我们可以知道对于通项公式是形如q pn a n +=的数列，一定是等差数列，一次项系数p 就是这个等差数列的公差，首项是p+q. 例题评述：通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数n 的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。