八年级数学上册分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：12x M +=，21x N x =+． （1）当x ＞0时，判断M N -与0的关系，并说明理由；（2）设2y N M=+． ①当3y =时，求x 的值； ②若x 是整数，求y 的正整数值．【答案】（1）见解析；（2）①1；②4或3或1【解析】【分析】（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可；（2）①把M 、N 代入整理得到y ，解分式方程即可；②把y 变形为：221y x =++，由于x 为整数，y 为整数，则1x +可以取±1，±2，然后一一检验即可．【详解】（1）当0x >时，M －N ≥0．理由如下： M －N =()()21122121x x x x x -+-=++ ． ∵x ＞0，∴(x -1)2≥0，2(x +1)>0，∴()()21021x x -≥+，∴M -N ≥0． （2）依题意，得：4224111x x y x x x +=+=+++． ①当3y =，即2431x x +=+时，解得：1x =．经检验，1x =是原分式方程的解，∴当y =3时，x 的值是1． ②2422222111x x y x x x +++===++++ ． ∵x y ，是整数，∴21x +是整数，∴1x +可以取±1，±2． 当x +1=1，即0x =时，22401y =+=> ； 当x +1=﹣1时，即2x =-时，2201y =-=（舍去）； 当x +1=2时，即1x =时，22302y =+=> ；当x +1=－2时，即3x =-时，22102y =+=>-（） ； 综上所述：当x 为整数时，y 的正整数值是4或3或1．【点睛】 本题考查了分式的加减法及解方式方程．确定x +1的取值是解答（2）②的关键．2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】解：（1）当x ＞0时，112x x x x +≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭∵12x x --≥= ∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x++==++ ∵x ＞0，∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD∴x ：9=4：S △AOD∴：S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．3．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用43小时到达.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .【解析】【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可； （2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：27327297x x=⋅+ 解得：27x =经检验，27x =是原方程的解且符合题意.所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ； （2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：62764633y -+= 解得：6y =.经检验：6y =是原方程的解且符合题意所以小王步行的速度为每小时6km .【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.4．阅读理解：把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？ 设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式． 【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】 解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-，得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.5．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360h h+倍. 【解析】【分析】 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟，900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．6．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．请根据以上材料解决下列问题：（1）式子①22a b ，②22a b -，③11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．①若m =-n =，求对称式b a a b+的值．②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b+++的最小值． 【答案】（1）①③．（2）①2．②172【解析】试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab+-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b += a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2222a b ab a b+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b +的最小值是172． 试题解析：（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b是对称式， ∴①、③是对称式； （2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，∴a +b =m ，ab =n ，∵m =－n， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-22-－2； ②421a a ++421b b+， =a 2+21a +b 2+21b， =（a +b ）2－2ab +()2222a b ab a b +-， =m 2+8+2816m +， =21716m +172，∵1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172， ∴421a a ++421b b+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.7．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号） ①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231a a +-. （2）将假分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 4321a a +-=______________+________________. （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式： 231a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，521a -；(3)a ＋1＋41a - . 【解析】试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可；（2）根据题意的化简方法进行化简即可；（3）根据题意的化简方法进行化简即可.试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③.（2）4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221a +-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111a a a a a a -++-=+---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.8．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=-总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c+++--==+=+++++ .m b ac ∴=-()434(1)1134.111x x x x x --+==+--- 又∵代数式431x x --的值为整数， 11x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-2x ∴=或 0.9．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.【详解】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得: 1551511.5x x++=．解得: 30x=，经检验，30x=是原方程的解，且符合题意．答:这项工程的规定时间是30天．(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，111()183045÷+=（天），答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.10．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）共有四种方案．【解析】【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【详解】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．。
人教版八年级上册数学 分式填空选择易错题(Word版 含答案)
x3 x3 ∴x−3=0，即 x=3， ∴3+m=6， ∴m=3.
故答案为：3. 【点睛】 此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答.
5．已知关于 x 的方程 3x n 2 的解是负数，则 n 的取值范围为 ． 2x 1
【答案】n＜2 且 n 3 2
【解析】 【分析】 【详解】 分析：解方程 3x n 2 得：x=n﹣2，
2x 1
∵ 关于 x 的方程 3x n 2 的解是负数，∴ n﹣2＜0，解得：n＜2． 2x 1
10．方程
的解是_____________．
【答案】x=2
【解析】
试题分析：此题是分式方程的解法问题，先把方程两边同乘以 x-3，化为整式方程为 2-x=
（x-3）+1，再解这个整式方程求得 x=2，然后把 x=2 代入 x-3≠0，检验出 x=2 是原分式方程
的解即可.
故答案为：x=2.
点睛：解分式方程的步骤为：
整理，得 x m 7 ，即 m x 7 .
令最简公分母 x-5=0，得 x=5，
∵x=5 应该是整式方程 x m 7 的解，
∴ m=5-7=-2. 故本题应填写：-2. 点睛： 本题考查了分式方程增根的相关知识. 一方面，增根使原分式方程去分母时所使用的最简公 分母为零. 另一方面，增根还应该是原分式方程所转化成的整式方程的解. 因此，在解决这 类问题时，可以通过令最简公分母为零得到增根的候选值，再利用原分式方程所转化成的 整式方程检验这些候选值是否为该整式方程的解，从而确定增根. 在本题中，参数 m 的值 正是利用 x=5 满足整式方程这一结论求得的.
北师大版数学八年级上册 分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．【答案】（1）x=4；（2）x=．【解析】通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：，化简可得：，整理可得：2x=15﹣8，解得：x=，这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：，化简可得：，解得：x=，这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，所以方程的解为x ==4；（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ）， 所以方程的解为x =．2．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x=+， 解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +≠，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米； （2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b =+， ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++，∵a b ，00a b >>，，∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．【点睛】 本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．3．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-． 【解析】【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80．经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6，∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.4．已知11x a b c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11y b a c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11z c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）当1a =，1b =，2c =时，求1111x y +--的值； （2）当0ab bc ac ++≠时,求111111x y z +++++的值． 【答案】（1）4；（2）1【解析】【分析】（1）分别对x 、y 进行化简，然后求值即可；(2)分别求出1x ＋、1y ＋、和z 1＋值，然后代入化简即可.【详解】 （1）,,ac ab bc ab bc ac x y z bc ac ab+++===， 当1,1,2a b c ===时， 1211111=;122x ⨯+⨯∴-=-⨯ 1211111=122y ⨯+⨯∴-=-⨯1111=4111122x y ∴+=+-- （2）11ac ab ac ab bc x bc bc ++++=+=， 11bc ab bc ab ac y ac ac ++++=+=， 11bc ac bc ac ab z ab ab++++=+=， ∵+0ab bc ac +≠， ∴111111;+++x y z bc ac ab ab bc ac ab bc ac ab bc ac+++++=+++++ ++ab bc ac ab bc ac+=+ =1.【点睛】 本题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是仔细认真的进行整式的化简.5．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．【答案】从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成【解析】试题分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8．试题解析：解：设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需y 周，需要工钱b 万元．依题意得：661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩． 经检验：1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根，且符合题意．又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩，解得：64a b =⎧⎨=⎩． 即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元．答：从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成．点睛：本题主要考查分式的方程的应用，根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱，然后比较应选择哪个公司．6．阅读下面的解题过程： 已知2112x x =+，求241x x +的值。
【精选】八年级上册分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．2．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．据上述条件解决下列问题：①规定期限是多少天？写出解答过程；②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】规定期限20天；方案（3）最节省【解析】【分析】设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定期限x 天完成，则有：415x x x +=+， 解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解；答：规定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（万元）方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．所以方案（3）最节省．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．3．阅读下面材料并解答问题 材料：将分式322231x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为21x -+，可设()322231()x x x x x a b --++=-+++，则323223x x x x ax x a b --++=--+++∵对任意x 上述等式均成立，∴2a =且3a b +=，∴2a =，1b = ∴()2322221(2)12312111x x x x x x x x x -+++--++==++-+-+-+ 这样，分式322231x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答：（1）将分式371x x +-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出422681x x x --+-+的最小值． 【答案】（1）3+101x -；（2）8 【解析】【分析】（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；（2）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ，按照题意，求出a 和b 的值，即可把分式422681x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【详解】解：（1）371x x +-=33101x x -+- =()31101x x -+- =3+101x -； （2）由分母为21x -+，可设4268x x --+()()221x x a b =-+++，则4268x x --+ ()()221x x a b =-+++422x ax x a b =--+++ 42(1)()x a x a b =---++．∵对于任意的x ，上述等式均成立，∴168a a b -=⎧⎨+=⎩解得71a b =⎧⎨=⎩∴422681x x x --+-+ ()()2221711x x x -+++=-+ ()()222217111x x x x -++=+-+-+ 22171x x =++-+． ∴当x=0时，22171x x ++-+取得最小值8，即 422681x x x --+-+的最小值是8． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解答本题的关键是理解阅读材料中的方法，并能加以正确应用．4．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-． 【解析】【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80． 经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6，∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.5．阅读理解： 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将2131x x --表示成部分分式？设分式2131x x --=11m n x x +-+，将等式的右边通分得：(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-，由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得：31m n m n +=-⎧⎨-=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=-⎩，所以2131x x --=1211x x --+-+． （1）把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式，即1(2)(5)x x --=25m n x x +--，则m = ，n = ；（2）请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式． 【答案】（1）13-，13；（2）21212x x ++-． 【解析】【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.【详解】 解：(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----， ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩， 解得：1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得：()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-， 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-，得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩， 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.6．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。
八年级上册数学 分式填空选择易错题(Word版 含答案)
【详解】
解：方程两边都乘 x 2 ，得 x 2m 2m(x 2)
∵原方程有增根，
∴最简公分母 x 2 0， 解得 x 2 ， 当 x 2 时， m 1
故 m 的值是 1， 故答案为 1 【点睛】 本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为 0 确定增 根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
x 1 x 1
x 1
∵ x，y 是整数，∴ 2 是整数，∴ x 1可以取±1，±2． x 1
当x+1=1，即 x 0 时， y 2 2 4 0 ； 1
当x+1=﹣1时，即 x 2 时， y 2 2 0 （舍去）； 1
当x+1=2时，即 x 1时， y 2 2 3 0 ； 2
【分析】
（1）直接把分子变形为 3(x-1)+10 解答即可； （2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出 a 和 b 的值，即可把
分式 x4 6x2 8 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． x2 1
【详解】
解：（1） 3x 7 = 3x 3 10 x 1 x 1
∴
1
101 m
=
=1-
1
，
n 1 102 m 102 m
∴
y1
=
1 2
+1-
1 101
，
y2
=
1 3
+1-
1 100
，
y3
=
1 4
八年级上册数学 分式填空选择易错题(Word版 含答案)
【答案】（1）见解析；（2）①1；②4 或 3 或 1
【解析】
【分析】
（1）作差后，根据分式方程的加减法法则计算即可； （2）①把M、N代入整理得到y，解分式方程即可；
②把y变形为： y 2 2 ，由于x为整数，y为整数，则 x 1可以取±1，±2，然后一一检 x 1
验即可．
【详解】
（1）当 x 0 时，M－N≥0．理由如下：
一项
(
分
)
裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出
1 1 1
1
的值．
1 2 23 3 4
2016 2017
2
若
n
n
1
1 n
2
A
n n 1
n
B
1 n
2
① 求：A、B 的值：
②
求：
1
1 2
3
2
1 3
4
n
n
1
1
n
2
的值．
nn 3 【答案】 4n 1n 2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
（2）由分母为 x2 2 ，可设 5x4 9x2 3 = (x2 2)(5x2 m) n ，
∵ (x2 2)(5x2 m) n = 5x4 mx2 10x2 2m n 5x4 (m 10)x2 (2m n)
∴ 5x4 9x2 3 = 5x4 (m 10)x2 (2m n) ，
【答案】a>-1 且 a≠-0.5 【解析】
ax 1 1 x 2
方程两侧同时乘以最简公分母(x-2)，得 ax 1 x 2 ，
整理，得 a 1 x 1，①
八年级数学分式和分式方程易错题精选附答案
分式和分式方程易错题精选第1节 分式一、分式的概念和性质易错点：忽略分母不为零的条件1、若分式242+-x x 的值等于0，则x 的值为（ ）A ．-2或2B ．2C ．-2D ．02、若分式2)1(3-+x x 的值为正数，则x 的取值范围是_____________．3、【变式1】当x=2时，分式mx kx +-的值为0，则k 和m 必须满足的条件是_______________．4、【变式2x )1)(3(||26-+-x x x 】当取何值时，分式的值为0？5、【变式3】当x 取何值时，分式22||+-x x 满足下列要求：（1）有意义； （2）无意义； （3）值为0．6、【变式4】若分式23xx -的值为负数，则x 的取值范围是_________． 参考答案 1、B2、13≠->x x 且3、2=k ，2-≠m4、3=x5、（1）2-≠x ；（2）2-=x ；（3）2=x6、03≠<x x 且易错点：分式基本性质理解不全面1、下列从左到右的变形正确的是__________（填序号）．①ab a b a 2=；②2a ab b a =；③babc ac =；④)1()1(22++=x b x a b a ；2、【变式1】下列从左到右的变形正确的是（ )A ．)1()1(22--=x b x a b aB ．11++=b a b a C ．)2)(3(231+-+=-x x x x D ．31)2)(3(2-=+-+x x x x 参考答案 1、③④ 2、D二、约分易错点：不理解约分的条件1、约分：ababa 222+2、【变式1】约分：x xxy 392-3、【变式2】约分：yxy x 392+-参考答案1、b b a 22+2、392-y3、y x 3-三、通分易错点：找最简公分母就直接乘1、下列各题中，所求最简公分母正确的是（ ）A ．x 31和261x 的最简公分母是218xB ．c b a b a 32326121与的最简公分母是c b a 326C ．42121-x x 与的最简公分母是)42(2-x xD ．11112-+a a 与的最简公分母是)1)(1(2-+a a 参考答案 1、B易错点：不会处理分母中互为相反数的项1、下列各题中，所求最简公分母正确的是（ ）A ．11-m 与m -11的最简公分母是2)1(--mB ．)(1y x a -与)(1x y b -的最简公分母是))((x y y x ab --C ．n m -1与n m +1的最简公分母是))((n m n m +-D ．b a -1与a b -1的最简公分母是b a -参考答案 1、CD第2节 分式的运算一、分式的乘除易错点：没考虑到除数不能为零1、使2132-+÷-+x x x x 有意义的条件是________． 2、【变式1】先化简：222)2(3443-+÷+-+x xx x x x ，然后为x 选取一个合适的数代入求值． 3、【变式2】先化简，再求值：)11()1541(2aa a a a a --÷---+，其中a 从-2，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．参考答案1、1-≠x 且2≠x 且3≠x2、x 1，只要x 不取0，-3和2，取其它数都可以．3、)2(-a a ，当a 取0，1，2时分母或除数为0，原只能a=-2，原式=8． 易错点：被诱导弄错运算顺序 1、计算：)1(11-⋅-÷x x x2、【变式1】计算：)1(3)1(+⋅+÷x x x3、【变式2】计算：)(1)(1)(122222n m n m n m -÷-÷+ 4、【变式3】计算：yx x x y x y x +⋅+÷+)( 参考答案1、x x x +-2322、1232++x x x3、222n mn m +-4、y x x +2 二、分式的加减 易错点：忽视分式中的隐藏括号 1、计算：xyy x xy x +--22、【变式1】计算：y x yx x y x y x 2222+---++参考答案 1、2--y2、1易错点：整式与分式加减时添括号出错1、计算：2a ab a b --- 2、【变式1】计算：x y y x y +-- 3、【变式2】阅读下列计算过程，回答问题： 1121121)1(1)1(111 222222++=+++-=++-+=+-+=+-+x x x x x x x x x x x x x x x x （1）以上过程有两处错误，分别在第几行？ （2）请写出正确的结果．参考答案1、b a b -22、yx y xy x -+-22223、第二行和第四行有错，正确结果是11+x ．三、分式的混合运算 易错点：误以为除法有分配律1、计算：)131(12-+-÷--x x x x 2、计算：24)22(-÷+--x x x x x x 3、【变式1】计算：)1(1x x x x -÷- 4、【变式2】计算：12)131(--÷--+x xx x 参考答案1、4222+--x x x2、21+x3、11+x4、2--x 四、整数指数幂易错点：负整数指数幂概念不清 1、下列各式计算正确的有__________（填序号）．①3)3(1=--；②2233-=-；③2231)31(=--；④169)34(2=--；④1)14.3(0=-π；⑥823-=- 2、【变式1】计算：222)21(22---+3、【变式2】计算：102)31()4(2--+-+-π参考答案 1、④④2、41 3、-6第3节 分式方程易错点：去分母时漏乘没有分母的项1、解方程：yy y y 13112-=+- 2、【变式1】解方程：1213-+=+x x x 3、【变式2】解方程：12324+-=-xx x参考答案1、31=y2、53-=x3、35-=x易错点：分式方程忘记检验1、解方程：)2)(1(311-+=-+x x x x 2、【变式1】解方程：3911332-=-+x x x参考答案 1、无解 2、无解易错点：考虑问题不全面1、若关于x 的分式方程3222=-+-+xmx m x 的解为正实数，则实数m 的取值范围是__________．2、【变式1】若关于x 的分式方程3122=--x a x 的解为非负数，则实数a 的取值范围是__________．3、【变式2】若关于x 的分式方程xkx --=+-21221的解为正实数，则实数k 的取值范围是__________．4、【变式3】若关于x 的分式方程211=---x nx x 的解为非正实数，则实数n 的取值范围是__________． 参考答案1、26≠<m m 且2、432≠≥a a 且3、22≠->k k 且4、2≥n易错点：分不清分式方程无解和有增根 1、若关于x 的分式方程011=--x x m 有增根，则m 的值为_________． 2、若关于x 的分式方程011=--x x m 无解，则m 的值为_________．3、【变式1】若关于x 的分式方程454-+=-x ax x 有增根，则a 的值为_________． 4、【变式2】若关于x 的分式方程131212-=--+x x x m 有增根，则m 的值为_________． 5、【变式3】若关于x 的分式方程x x x m 2132=--+无解，则m 的值为_________．6、【变式4】若关于x 的分式方程2)2(321x ax x --=-无解，则a 的值为_________． 7、【变式5】若关于x 的分式方程332+-=++x kx x 无解，则k 的值为_________． 参考答案 1、0 2、0或1 3、44、23-5、21-或23-6、1或237、1。
上海 上海市实验学校附属光明学校数学分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如：像33x x -+，23x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，23x x-，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式. 例如：将分式2253x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设225(3)()x x x x a b +-=+++则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立，∴3235a a b +=⎧⎨+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩∴225(3)(1)2(3)(1)22133333x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：2225332(3)(3)2(3)32213333333x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；（2）已知整数x 使分式225112x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15. 【解析】【分析】（1）先变形2731x xx---=26691x x xx--+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x的值．【详解】解：（1）2731x xx---=26691x x xx--+--=(1)6(1)91x x xx-----=961 xx---；（2）225112x xx+-+=2242132x x xx+++-+=2(2)(2)132x x xx+++-+=13212xx+-+，∵x是整数，225112x xx+-+也是整数，∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，∴x=-1或-3或11或-15.【点睛】本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．2．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h的代数式表示）【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）360hh+倍.【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．【详解】（1）设乙的速度为x 米/分钟，900900151.2x x+＝， 解得，x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴1.2x=12，即甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，12h +0.5×60＝h y ， 化简，得 y=12360h h +， ∴甲的平均攀登速度是丙的：1236012360h h h h ++＝倍， 即甲的平均攀登速度是丙的360h h+倍．3．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金b n元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金； （2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1k n ≤≤），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；（3）比较k a 和1k a +的大小（k=1，2 ，……，1n -），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．【答案】（1）211()(1)b b a b n n n n =-⨯=- ,23111()(1)(1)b b a b n n n n n =-⨯-=-； （2）11(1)k k b a n n-=- ； （3）1k k a a +> ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．【解析】【试题分析】（1）根据第1所民办学校得奖金b n元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，得：22311111()(1),()(1)(1).b b b b a b a b n n n n n n n n n =-⨯=-=-⨯-=- （2）根据（1）中的两个式子，11(1)k k b a n n -=- ； （3）11(1)k k b a n n -=-，+11(1)k k b a n n=-，则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【试题解析】（1）根据题意得：22311111()(1),()(1)(1).bb b b a b a b n n n n n n n n n=-⨯=-=-⨯-=- （2）根据（1）中的两个式子，11(1)k k b a n n -=- （3）11(1)k k b a n n -=-，+11(1)k k b a n n=-，则1111+121111111(1)(1)(1)1(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b b a a n n n n n n n n n n n n----⎡⎤-=---=---=-⋅⋅=-⋅>⎢⎥⎣⎦，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出23a a 、 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出k a 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.4．某建设工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由.【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天（2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元【解析】【分析】（1）求的是工效，时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，等量关系为：甲6天的工作总量+甲乙合作16天的工作总量=1；（2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用，和19万进行比较．【详解】解：（1）设甲队单独完成这项目需要x天，则乙队单独完成这项工程需要2x天，根据题意，得611161 x x2x⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得x＝30经检验，x＝30是原方程的根，则2x＝2×30＝60答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11y13060⎛⎫+=⎪⎝⎭，解得y＝20需要施工费用：20×（0.67+0.33）＝20（万元）∵20＞19，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．5．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--.（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x=，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【答案】（1）0x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以()2x-得()5321x+-=-解得0x=经检验，0x=是原分式方程的解.（2）设？为m，方程两边同时乘以()2x-得()321m x+-=-由于2x=是原分式方程的增根，所以把2x =代入上面的等式得()3221m +-=-1m =-所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A 型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知，A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A 型车20辆，B 型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a ），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a ，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=30000元．∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．7．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【答案】（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．【详解】（1）解:设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成需要2x3填；403012xx3+=解得：x90=经检验，x=90是原方程的根．则22x906033=⨯=（天）答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y(160+190)=1.解得y=36.需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元).∵504>500.∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．8．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．(1)这项工程的规定时间是多少天?(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】【分析】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.【详解】(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得: 1551511.5x x++=．解得: 30x=，经检验，30x=是原方程的解，且符合题意．答:这项工程的规定时间是30天．(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，111()183045÷+=（天），答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.9．某商场购进甲、乙两种空调共50台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价少0.3万元；用20万元购进甲种空调数量是用40万元购进乙种空调数量的2倍．请解答下列问题：（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？（2）若商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，商场有哪几种购进方案？（3）在（2）条件下，若甲种空调每台售价1100元，乙种空调每台售价4300元，甲、乙空调各有一台样机按八折出售，其余全部标价售出，商场从销售这50台空调获利中拿出2520元作为员工福利，其余利润恰好又可以购进以上空调共2台．请直接写出该商场购进这50台空调各几台．【答案】（1）0.1，0.4；（2）商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）购买甲种空调32台，购买乙种空调18台【解析】【分析】（1）可设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，根据等量关系用20万元购进甲种空调数量＝用40万元购进乙种空调数量×2，列出方程求解即可； （2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，根据商场预计投入资金不少于10万元，且购进甲种空调至少31台，求出n 的范围，即可确定出购买方案；（3）找到（2）中3种购进方案符合条件的即为所求．【详解】解：（1）设甲种空调每台进价是x 万元，则乙种空调每台进价是（x+0.3）万元，依题意有20x ＝400.3x ×2， 解得x ＝0.1，x+0.3＝0.1+0.3＝0.4．答：甲种空调每台进价是0.1万元，乙种空调每台进价是0.4万元；（2）设购买甲种空调n 台，则购买乙种空调（50﹣n ）台，依题意有0.10.4(50)1031sn n n +-⎧⎨⎩， 解得31≤n≤3313， ∵n 为整数， ∴n 取31，32，33，∴商场有3种购进方案：①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台；（3）①购买甲种空调31台，购买乙种空调19台，（31﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（19﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3000﹣120+5400﹣560﹣2520＝7720﹣2520＝5200（元），不符合题意，舍去；②购买甲种空调32台，购买乙种空调18台，（32﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（18﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3100﹣120+5100﹣560﹣2520＝7520﹣2520＝5000（元），符合题意；③购买甲种空调33台，购买乙种空调17台，（33﹣1）×（1100﹣1000）+（1100×0.8﹣1000）+（17﹣1）×（4300﹣4000）+（4300×0.8﹣4000）﹣2520＝3200﹣120+4800﹣560﹣2520＝7320﹣2520＝4800（元），不符合题意，舍去．综上所述，购买甲种空调32台，购买乙种空调18台．【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．10．按要求完成下列题目．()1求：()11111223341n n +++⋯+⨯⨯⨯+的值． 对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成()11n n +的形式，而()11111n n n n =-++，这样就把()11n n +一项(分)裂成了两项． 试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出111112233420162017+++⋯+⨯⨯⨯⨯的值． ()2若()()()()()112112A B n n n n n n n =++++++ ①求：A 、B 的值：②求：()()11112323412n n n ++⋯+⨯⨯⨯⨯++的值． 【答案】()()()3412n n n n +++【解析】【分析】（1）根据题目的叙述的方法即可求解；（2）①把等号右边的式子通分相加，然后根据对应项的系数相等即可求解； ②根据()()()()()11111..1221212n n n n n n n =-+++++把所求的每个分式化成两个分式的差的形式，然后求解．解：（1）112⨯+123⨯+134⨯+…+120161017⨯ =1-12+12-13+13-14+…+12016-12017 =1-12017=20162017； （2）①∵()1A n n ++()()12B n n ++=()()()2n 12A B n A n n ++++ =()()1n 12n n ++， ∴120A B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得1212A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴A 和B 的值分别是12和-12； ②∵()()1n 12n n ++=12•()11n n +-12•()()1n 12n n ++ =12•（1n -1n 1+）-12（11n +-12n +） ∴原式=12•112⨯-12•123⨯+12•123⨯-12•134⨯+…+12•()11n n +-12•()()112n n ++ =12•112⨯-12•()()112n n ++ =14-()()1212n n ++ =()()()3412n n n n +++．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确理解()()1n 12n n ++=12•()1n 1n +-12•()()112n n ++。
八年级上册分式填空选择易错题(Word版 含答案)
八年级上册分式填空选择易错题（Word 版 含答案）一、八年级数学分式填空题（难）1．对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=(,0){(,0)b b a a b a a a b a ->≠≤≠，例如：2☆3=2﹣3=18，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____．【答案】16【解析】【分析】判断算式a ☆b 中，a 与b 的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.【详解】由题意可得：[2☆（﹣4）]☆1=2﹣4☆1 =116☆1 =（116）﹣1 =16，故答案为：16．【点睛】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.2．如果关于x 的分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜－2，那么符合条件的所有整数a 的积是_________． 【答案】9【解析】()243412a x x x x ⎧-≥--⎪⎨+<+⎪⎩①②， 由①得：x≤2a+4，由②得：x<-2，由不等式组的解集为x<-2，得到2a+4≥-2，即a≥-3，分式方程去分母得：a-3x-3=1-x ，x=42a -， 由分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，则有a-4<0，所以a<4， 所以-3≤a<4， 把a=-3代入整式方程得：-3x-6=1-x ，即x=-72，符合题意； 把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x ，即x=-3，不合题意； 把a=-1代入整式方程得：-3x-4=1-x ，即x=-52，符合题意； 把a=0代入整式方程得：-3x-3=1-x ，即x=-2，不合题意；把a=1代入整式方程得：-3x-2=1-x ，即x=-32，符合题意； 把a=2代入整式方程得：-3x-1=1-x ，即x=-1，不合题意；把a=3代入整式方程得：-3x=1-x ，即x=-12，符合题意， ∴符合条件的整数a 取值为-3，-1，1，3，之积为9，故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．已知关于x 的方程12x a x +=--有解且大于0，则a 的取值范围是_____． 【答案】a <2 且 a ≠－2【解析】【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，令其解大于0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围.【详解】解：原分式方程去分母得：x+a=-x+2， 解得：22a x -=， 根据题意得：22a -＞0且22a -≠2， 解得：a<2，a ≠-2.故答案为：a<2，a ≠-2.【点睛】 本题考查了分式方程的解，弄清题意和理解分式有意义的条件是解本题的关键.4．已知关于x 的方程4433x m m x x---=--无解，则m=________． 【答案】－3或1【解析】【分析】 分式方程去分母转化为整式方程()348m x m +=+，分两种情况：（1）()348m x m +=+无实数根，（2）整式方程()348m x m +=+的根是原方程的增根，分别求解即可.【详解】去分母得：()()434x x m m ---+=-，整理得()348m x m +=+，由于原方程无解，故有以下两种情况：（1）()348m x m +=+无实数根，即30m +=且480m +≠，解得3m =-；（2）整式方程()348m x m +=+的根是原方程的增根， 即4833m m +=+，解得1m =； 故答案为：3m =-或1m =.【点睛】此题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解，有两种情况，①整式方程本身无解；②整式方程有解，但使得分式方程的最简公分母为零（即为增根）．5．当m =____________时,解分式方程533x m x x-=--会出现增根． 【答案】2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．详解：分式方程可化为：x-5=-m ，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m ，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．计算22111m m m ---的结果是_____． 【答案】11m - 【解析】 【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可得答案．【详解】原式=22111m m m +-- =()()111m m m ++- =11m -， 故答案为11m -. 【点睛】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键，本题属于基础题.7．化简3m m ++269m -÷23m -的结果是___________________. 【答案】1【解析】【分析】先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加法运算即可得.【详解】m m 3++26m 9-÷2m 3- =()()63·3332m m m m m -+++- =333m m m +++ =1，故答案为：1.【点睛】 本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.8．关于x 的方程12ax x +-=−1的解是正数，则a 的取值范围是________.【答案】a>-1且a≠-0.5【解析】112+=--ax x 方程两侧同时乘以最简公分母(x -2)，得 ()12ax x +=--，整理，得 ()11a x +=，①(1) 当a =-1时，方程①为01x ⋅=，此方程无解.(2) 当a ≠-1时，解方程①，得11x a =+. ∵原分式方程有解， ∴11x a =+不为增根， ∴当11x a =+时，最简公分母x -2≠0， ∴1201a -≠+， ∴12a ≠-. ∵原分式方程的解为正数， ∴101x a =>+， ∴1a >-. 综上所述，a 的取值范围应该为1a >-且12a ≠-，即a >-1且a ≠-0.5. 故本题应填写：a >-1且a ≠-0.5.点睛：本题考查了分式方程的解的相关知识. 本题的难点在于准确且全面地理解分式方程的解为正数这一条件. 一方面，既然分式方程所转化成的整式方程只有一个解，那么这个解就不应该是增根；另一方面，当分式方程的解为正数时该整式方程的解也应该为正数. 另外，在去分母后，由于未知数x 的系数中含有未知参数a ，所以不能直接进行“系数化为1”的步骤，应该对参数a 的值进行讨论.9．已知114a b +=，则3227a ab b a b ab-++-＝______. 【答案】1【解析】 ∵11a b+=4,∴4b a ab+=, ∴a+b=4ab, ∴-322-7a ab b a b ab ++=()32()7a b ab a b ab +-+-=4387ab ab ab ab --=ab ab=1 故答案为:1.10．方程的解是_____________．【答案】x =2【解析】试题分析：此题是分式方程的解法问题，先把方程两边同乘以x-3，化为整式方程为2-x=（x-3）+1，再解这个整式方程求得x=2，然后把x=2代入x-3≠0，检验出x=2是原分式方程的解即可.故答案为：x=2.点睛：解分式方程的步骤为：1、确定最简公分母；2、方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；3、解整式方程；4、代入检验，确定是否为分式方程的解.二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．某商场计划销售A ，B 两种型号的商品，经调查，用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元． （1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A ，B 型商品共100件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，已知A 型商品的售价为200元/件，B 型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【答案】(1) B 型商品的进价为120元， A 型商品的进价为150元;(2) 5500元.【解析】分析：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；（2）根据题意中的不等关系求出A 商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.详解：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+30）元． 由题意： =×2，解得x=120，经检验x=120是分式方程的解，答：一件B 型商品的进价为120元，则一件A 型商品的进价为150元．（2）因为客商购进A 型商品m 件，销售利润为w 元．m≤100﹣m ，m≤50，由题意：w=m （200﹣150）+（100﹣m ）（180﹣120）=﹣10m+6000，∵﹣10＜0，∴m=50时，w 有最小值=5500（元）点睛：此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.12．探索：（1）如果32311x m x x -=+++，则m=_______； （2）如果53522x m x x -=+++，则m=_________； 总结：如果ax b m a x c x c +=+++（其中a 、b 、c 为常数），则m=________； （3）利用上述结论解决：若代数式431x x --的值为整数，求满足条件的整数x 的值． 【答案】（1）-5；（2）-13 ； b -ac ;（3）0或2【解析】 试题解析： ()323(1)55133.1111x x m x x x x -+-==-=+++++ 5.m ∴=-()535(2)1313255.2222x x m x x x x -+-==-=+++++ 13.m ∴=- 总结：().ax b a x c b ac b ac m a a x c x c x c x c +++--==+=+++++ .m b ac ∴=-()434(1)1134.111x x x x x --+==+--- 又∵代数式431x x --的值为整数， 11x ∴-为整数， 11x ∴-=或11x -=-2x ∴=或 0.13．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．【答案】小红骑自行车的速度是每小时20千米.【解析】【分析】设骑自行车的速度为x千米/时，则驾车的速度为4x千米/时．依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答．【详解】解：设小红骑自行车的速度是每小时x千米，则驾车的速度是每小时4x千米.根据题意得：202045=+460x x解得x＝20经检验x＝20是分式方程的解，并符合实际意义答：小红骑自行车的速度是每小时20千米.【点睛】本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．14．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克；（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．【解析】【分析】（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（1000÷第一次购进水果的重量 +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．【详解】解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，（1000x+2）×2x=2400整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．经检验，x=100是原方程的解．答：该商店第一次购进水果100千克．（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．答：每千克水果的标价至少是15元．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．15．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【答案】（1）甲队单独完成需60天，乙队单独完成这项工程需要90天；（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4万元.【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．【详解】（1）解:设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成需要2x3填；403012xx3+=解得：x90=经检验，x=90是原方程的根．则22x906033=⨯=（天）答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天．（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有y(160+190)=1.解得y=36.需要施工费用：36×(8.4+5.6)=504(万元).∵504>500.∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元．。
人教版八年级数学上册 分式解答题易错题(Word版 含答案)
【点睛】
本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.
3．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
4．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
则
∵对任意 上述等式均成立，
∴ 且 ，∴ ，
∴
这样，分式 被拆分成了一个整式 与一个分式 的和
解答：（1）将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式
（2）求出 的最小值．
【答案】（1）3+ ；（2）8
【解析】
【分析】
（1）直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可；
（2）由分母为-x2+1，可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
【精选】八年级上册分式解答题易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式解答题压轴题（难）1．如图，小刚家、王老师家、学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米.由于小刚的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车送小刚上学.已知王老师骑自行车的速度是步行的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？【答案】王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【解析】 【分析】王老师接小刚上学走的路程÷骑车的速度-平时上班走的路程÷步行的速度=2060小时． 【详解】设王老师的步行速度是km /h x ，则王老师骑自行车是3km /h x ， 由题意可得：330.50.520360x x ++-=，解得：5x =， 经检验，5x =是原方程的根， ∴315x =答：王老师的步行速度是5km /h ，则王老师骑自行车的速度是15km /h . 【点睛】本题考查列分式方程解应用题.重点在于准确地找出相等关系，需注意①王老师骑自行车接小刚所走路程是（3+3+0.5）千米；②注意单位要统一.2．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟． ①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-．【解析】 【分析】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案. 【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80．经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意． ∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分． （2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mnn m m +=--分钟，小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn-÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-．【点睛】此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.3．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天(2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元【解析】试题分析：（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．试题解析：解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要23x天．根据题意，得201160()12233x x x++=，解得：x=180．经检验，x=180是原方程的根，∴23x=23×180=120，答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，则有11()1120180y+=，解得y=72．需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．∵1008＞1000，∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．点睛：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．4．阅读下面的解题过程：已知21 13 xx=+，求241xx+的值。