考点10 函数-2018年中考数学考点归纳总结

一、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．二、函数动点问题
1．函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
2．解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．学#科网
3．解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
考向存在性问题与动点问题
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
典例1 已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b的值；
（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，
点F AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时
间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．
①是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； ②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．
【答案】（1）12a =，32
b =-；（2）①存在时刻t ，使得△DCF 为直角三角形，t =34或t =54；②2225(0)41340255(2)3
334542025(2)2t t S t t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩
．
又∵∠EAF =∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF =∠ACB =90°，
∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点D 处；
如图1，由翻折知，DE =AE ，∴AD =2AE =4t ，EF =12
AE =t ． 假设△DCF 为直角三角形，当点F 在线段AC 上时： ⅰ）若C 为直角顶点，则点D 与点B 重合，如图2，∴AE =
12AB =52t =52÷2=54； ⅱ）若D 为直角顶点，如图3．∵∠CDF =90°，∴∠ODC +∠EDF =90°．
∵∠EDF =∠EAF ，∴∠OBC +∠EAF =90°，∴∠ODC =∠OBC ，∴BC =DC ．
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=3
2
，∴t=
3
4
；
当点F在AC延长线上时，∠DFC>90°，△DCF为钝角三角形．
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=3
4
或t=
5
4
．
②ⅰ）当0<t≤5
4
时，重叠部分为△DEF，如图1、图2，∴S=
1
2
×2t×t=t2；
ⅱ）当5
4
<t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4，过点G作GH⊥BE于H，
设GH=m，则BH=1
2
m，DH=2m，∴DB=
3
2
m
．
∵DB=AD-AB=4t-5，∴3
2
m
=4t-5，∴m=
2
3
（4t-5），
∴S=S△DEF-S△DBG=1
2
×2t×t-
1
2
（4t-5）×
2
3
（4t-5）=2
134025
333
t t
-+-；
ⅲ）当2<t≤5
2
时，重叠部分为△BEG，如图5．
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t），∴S=1
2
×（5-2t）×2（5-2t）=4t2-20t+25．
综上所述：
2
2
2
5
(0)
4
1340255
(2)
3334
5
42025(2)
2
t t
S t t t
t t t
⎧
<≤
⎪
⎪
⎪
=-+-<≤
⎨
⎪
⎪
-+<≤
⎪⎩
．
【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．
1．已知抛物线y =ax 2+bx +5与x 轴交于点A （1，0）和点B （5，0），顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC =AB ，点D 的坐标为（0，3），直线l 经过点C 、D ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，连接AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；学科￥网
（3）在（2）的条件下，连接AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
1．如图，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-，并且与y 轴交于点()03，C ，与x 轴交于A 、
B 两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于点A ()10
，-、B ()40，，与y 轴交于点C ． （1）a =__________；b =__________；学科！网
（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，
①求线段PQ 的最大值；
②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．
1．（2017·泰安）如图，是将抛物线y=-x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），另一交点为B，与y轴的交点为C.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=3
2
x+
3
2
的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，
这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2017·河南）如图，直线y=-2
3
x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=-
4
3
x2+bx+c经
过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的表达式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．。